1 刚体定轴转动的运动学重点
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动一、刚体极其运动刚体——受力时不改变形状和体积的物体。
注：（1）刚体是固体物件的理想模型。
（2）刚体是一个特殊的质点系（各质点间的相对位置在运动中保持不变）。
刚体的运动分为平动和转动。
平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。
（用质点力学处理）转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动。
二、刚体转动的角速度和角加速度刚体定轴转动时，由于各质元间的相对位置保持不变，因此描述各质元的角量是一样的。
角坐标：θ=θ(t)角位移：?θ=θ(t+?t)-θ(t) 角速度：?θdθ=?t→0?tdt角速度的方向：右手螺旋法则。
dω角加速度：α= dt定轴转动的特点：（1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；（2）任一质点运动?θ,ω,α均相同，但v,a不同；（3）运动描述仅需一个坐标。
三、匀变速转动公式匀变速转动------刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比匀变速转动匀变速直线运动v=v+at x=x0+v0t+at2212222v=v0+2a(x-x0)2ω=lim 匀四、角量与线量的关系v=rωaτ=rαan=rω24-2力矩转动定律转动惯量一、力矩设一质点系由n个质点组成，其中i质点受力为n-1j=1Fi外+∑fjin-1 Mi=ri?(Fi外+∑fji)现对i质点所受力的力矩：j=1对i求和，刚体所受力的力矩为n M=∑Mi=∑ri?Fi外ii=1（内力矩为零）二、刚体的转动定律组成刚体的各质点间无相对位移，所以刚体对给定轴的力矩为dω2 M=rma=(rm)α=J=Jα∑iz∑∑iiτiidtii即刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
它在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点力学中的地位。
刚体的定轴转动
2
N
o A
l 4 sin θ
θ
c ω (1)
B
末态： Ek 2
则：
1 2
2
1 2
E P 2 mg
J o ω mg
l 4
sin θ 0
2
由平行轴定理
7 l 2 ml m ml J o J C md 12 48 4
2
1
2
(2)
由(1)、(2)得： ω 2
F
A Mi i
r ω
x
2. 定轴转动动能定理
M 外z J z
A 1 2
2 2
类比法
F m dv dt
d dt
1 2 J1
2
A AB
1 J
2
1 2
mv
2 B
1 2
mv
2 A
J
EK
转动动能 Δmi C × hi hc Ep=0
3 功原理
重力势能
A外 A内非 ( E KB E PB
mv cos Jω0 R
J
2
o
M
x
2
( 3)
由(1)(2)(3)：
ω0 2 gh 2R cos θ (4)
J 2mR
2
( 3)
P
0
2 gh 2R
o
cos (4)
x
m
M 令 E x轴 0
(5)
g R
系统： m +M+地球，
1 2
2
能量守恒
1 2
cos
刚体定轴转动概述
m
已知： m , m1 , m2 , r , 0 0
r
求： t ?
m2
m1
思路：质点平动与刚体定轴转 动关联问题，隔离法，分别列 方程，先求角加速度, 再
23
N
β
r
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第 二定律和转动定律建立方程。 对于 m 1
3 、物理意义：转动惯性的量度 .
I 大 转动惯性大
4、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
I＝ mi ri
i
2
I r dm
2
O m2
例：如图m1 ，m2绕OO′转动，
它们距轴的距离分别为
2 1 l l 3 、 3
m1
2 l 3 1 l 3
则，系统的转动惯量为
2 1 I = m1 l m2 l 3 3
dm 2rdr l
l
3
R
O
r
dr
dI r dm 2lr dr
2
I
dI
R
0
m 1 2 I mR R 2l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量 也是mR2/2。
m1 g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2 a2 (2)
2
T2 mg
T1
对于 m 2
对于滑轮 m T r T r I 1 mr 2 (3) 1 2
T2
a2
T1
m2 g
思考：
第三章 刚体的定轴转动
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
跟我学《大学物理》(上)_ 刚体力学(1)_重点难点讲解_
合内力矩 Mij M ji r i fij rj f ji 0
➢说明只需考虑外力矩对定轴转动的影响。
设 M 为 i 刚体上质点Δmi所受的合外力矩，则：
Mi fir i (mir2 )
质点在Δ t 时间内的角位移：
(t t )(t ) (rad)
方向沿转轴方向
平均角速度： t
(rad/s)
瞬时角速度： lim d
t0 t dt
(rad/s)
方向沿转轴方向（右手螺旋法）
平均角加速度：
t
(rad/s2 )
瞬时角加速度：
lim
t0
t
d
dt
d 2
dt2
(rad/s2 )
其中 d r sin 称为外力对转轴的力臂。
力矩的方向：右手螺旋法则判断
2、刚体的转动定理:
（力矩和刚体角加速度的关系）
（1）质点的圆周运动 仅考虑切向分力：f ma mr
2
定义：质点作圆周运动的转动惯量：
I mr 2
单位：kg·m2
所以，质点作圆周运动的力矩：
M I
（2）刚体的定轴转动
方向沿转轴方向
注意
➢刚体加速转动时， 与的方向相同； ➢刚体减速转动时， 与的方向相反；
讨论
用角量来描述刚体的定轴转动的优势
➢刚体定轴转动时，各质元线量dri ,vi ,ai 均不相同；
➢刚体上所有质点绕定轴转动的各角量 d ,, 均相
同。
2、刚体的匀变速转动:
( =常量)
设t=0时刻角位置θ0，角速度ω0，则：
合外力矩： Mi (mir )2
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
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18
2.2.3 刚体定轴转动的动能定理
W外力 W内力 Ek Ek Ek 0
W外力 Md , W内 力 0,
0
Ek 0
1 2 J 0 , 2
1 Ek J 2 . 2
1 2 微分形式： Md d J 2 积分形式： Md 1 J 2 1 J 2 0 2 2 0
J z 常量，当M z 0时， 常量；如回转仪 1 J 常量， J , 成反比；如跳水运动员 等
物体的一般动力学公式
一般分解为绕质心C 点的转动和质心C点 平动
y y’ x’
23
mxC Fx myC Fy
质心的平动
θ
C
M J
绕质心的转动 在保守力作用下，刚 体的机械能守恒
o
整个刚体动能为
Ek E ki
N
vi ri m i
1 N 2 2 mi ri 1 J 2 2 i 1 2
i 1
o
17
2.2.2 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率 y F dW Md d r P W Md d r 0 x o dW d N M M dt dt
10
1 2 t 10rad 2 所以在这5秒内滑轮转过的圈数为 a 10 N 1.6圈 2
a
o
r
(4)为了图示清晰，将滑 轮放大为如图所示.
an a
a a 0.4m s 2
an r r t 0.32t m s
2 2 2 2
vi ri
m i
质元 转动平面
固定轴
4
1.3 刚体定轴转动的运动学描述
角位置： ( t ) 角位移：
单位为 rad 单位为 rad
平均角速度： t d 角速度： lim t 0 t dt
单位为 rad s-1
5
角速度是矢量!
ri vi
v r
r
v
符合右手螺旋法则
6
d 角加速度： dt
d d 2 大小： 2 dt dt
单位为 rad s-2
1当d 0, 为加速运动， 与 同方向； 方向： 2当d 0, 为减速运动， 与 反方向。
J r 2dm
m
适用于连续分布刚体转动惯量的计算 在国际单位制（SI）中，单位为千克二 次方米，即 kg m2 .
15
1 平行轴定理
J J c md
d
2 正交轴定理
Jz Jx J y
Z
2
c
O
m
X
yi
ri xi
mi
Y
16
2.2 刚体定轴转动的动能定理
2.2.1 刚体定轴转动的动能( 转动动能 )
28
例3. 求长为L ，质量为m 的均匀细棒AB 的转动惯量. （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴； （2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴. 解 （1）如图所示，以过A 端垂直于棒的 oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在 棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有: J 端 点 x 2dm m o x dx B x L m x 2 dx A 0 dm L 1 2 L o mL 3
25
解 对于上下作平动的两 物体，可以视为质点，由 牛顿第二运动定律得
T1 对m ：T1 mg ma1 T2 a1 对 M ： Mg T Ma 2 2 m 若以顺时针方向转的 M 力矩为正，逆时针转的方 a2 Gm 向为负，则由刚体定轴转 GM 动的转动定律得 1 2 T2 R T1 R M阻 J m R 2
对于定轴转动,一般仅计算角速度和角加速 度的代数量（大小）即可.
7
角量与线量的关系
vi ri ai ri 2 a r in i
角量运动学方程
0 t 1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
9
解 （1）由于升降机的加 速度和滑轮边缘上的一点 的切向加速度相等，所以 滑轮的角加速度为 a a 0.8rad s 2 r r （2）由于 0 0 ，所以5 秒末滑轮的角速度为
v
a
t 4.0rad s1
（3）在这5 秒内滑轮转过的角度为
1
第四章 刚体的转动
主要内容: 1 刚体定轴转动的运动学 2 刚体定轴转动动力学
2.1 刚体定轴转动的转动定律 2.2 刚体定轴转动的动能定理 2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的运动学
1.1 刚体
刚体就是有一定的形状和大小，但形状 和大小永远保持不变的物体. 刚体是一种理想模型.
2
刚体可以看成是由许多质点构成，每一 个质点称之为刚体的一个质元. 可见刚体是 一个特殊的质点组，其特殊性在于在外力作 用下各质元之间的相对位置保持不变.
1.2 刚体的定轴转动
相对于某一惯 性参照系（例如地 面）固定不动的直 线的转动称之为刚 体的定轴转动.
这条固定不动 的直线称之为 固定轴.
3
R o M阻 m
26
绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上 一点的切向加速度和物体的加速度相等，即
a a1 a2 a R
联立以上三个方程，得
M阻 ( M m)g R a m M m 2
27
mM阻 m ( 2 M )mg 2 R T1 m( g a ) m M m 2 MM阻 m ( 2m ) Mg 2 R T2 M ( g a ) m M m 2 注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩 时，此时有 T1 T2 ，物理学中称这样的滑轮 为“理想滑轮”，称这样的装置为阿特伍德 机.
d d d d 3g sin dt d dt d 2l
34
移项得 利用初始条件
3g d sin d 2l
t 0时， 0 0,0 0, 得
0
3g d 2l
0
sin d
积分后化简得角速度为
3g 1 cos l
1
2 刚体定轴转动动力学 2.1 刚体定轴转动的转动定律
2.1.1 力矩
对于定点转动而言： M r F
M Fd Fr sin
12
M
F
r
o
d
m
13
对于定轴转动而言： M r F r F
注意:
z
F//
o
r
F F
8
例1 一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机， 如图所示. 滑轮的半径为 r 0.5m ，如果升降 机从静止开始以加速度 a 0.4m s 2 匀加速 上升，求：
（1）滑轮的角加速度；
（2）开始上升后t = 5s末滑轮的角速度； （3）在这5秒内滑轮转过的圈数； （4）开始上升后 t 1s 末滑轮边缘上一点 的加速度（假定缆索和滑轮之间不打滑）.
z
N 2 L mi ri J i
L
vi m i ri
角动量的方向沿轴的正向或负向, 所以可用代数量来描述.
21
2.3.2 角动量定理（动量矩定理）
d d J dL MJ dt dt dt
微分形式：Mdt d J dL
35
例7. 如图所示，一 质量为M 、半径为R 的 匀质圆盘形滑轮，可绕 一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
R
M
h
36
解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
J r 2dm
m R
0
dr
o r
l
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
32
例6. 一长为l 、质量为m 的匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定绞链 O 相接，并可绕其转动。当其 受到微小扰动时，细杆将在重力的作用下由静止开 始绕绞链 O 转动。试计算细杆转到与铅直线呈θ 角 时的角加速度和角速度。 解：细杆受重力 P mg，绞 l 2 链对细杆的约束力 N的作用 , 如图
P
(1)力矩是对点或对轴而言的;
(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动 时M 0；使刚体顺时针绕定轴转动时 M 0.
2.1.2 刚体定轴转动的转动定律
M J
2.1.3 转动惯量
J mi ri
i
, F内力 o i F外力 ri m i
i
z
14
2
适用于离散分布刚体转动惯量的计算
19
2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
2.3.1 角动量( 动量矩 ) 对于定点转动而言： L r P r m v 在国际单位制（SI） 中，单位为 o
r
L
P mv
m
kg m2 s1
r sin