画法几何直线的投影全解
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画法几何-投影法
a' Ⅲ
X
Ⅱ
O
b
Ⅰ D
d
Ⅳ Ac
3(4 )a
b’
（2’） 1‘
3’
c’
d’
4’ a’
X
O
b
2
Yd
1
c 3（4） a
交叉两直线可能有一组或两组同面投影平行，但两直线的其余同面投影必定不平行； 交叉二直线也可能在3个投影面的同面投影都相交，但交点必定不符合一个点的投影 规律，其投影的交点是两直线对不同投影面的重影点
b’
k'
a’
b' k' B
C a'
d’ X
O
d' X
K
b
D d
k
O c
A
a
b
d Y
k
c a
3、两直线交叉
既不相交也不平行的两直线称为交叉两直线。如果两直线的投影既不符合
两平行直线的投影特性，又不符合两相交直线的投影特性，则可断定这两条直 线为空间交叉两直线。
V
c' Z
b'
(2’ ) 1‘
C
d' B
三、平行投影法 的基本特征
• a实形性 • b积聚性 • c平行性 • d类似性 • e定比性 • f从属性
一、投影法的基本知识
物体在阳光的照射下，就会在墙上或地面上投下影子，这 就是投影现象。投影法是将这一现象加以科学抽象和思维 而产生的。投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上 得到图形的方法，称为投影法。
一般位置直线的投影
z
V b’
X
a’ A a”
b’
βγ
α
B O
画法几何与阴影透视例题精讲与解题方法全解
2、完成已知平面上的点和直线的投影；
3、完成多边形的投影。
一、 平面上取任意直线
二、 平面上取点
三、属于特殊位置平面的点和直线
2024/7/18
土建2004-1~2
34
1．取属于平面的直线
F E D
e'
f'
d'
d
f
e
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属 于该202平4/7/1面8 的一已知点，且平行于土建属2004于-1~2该平面的一已知直线。 35
影。
a
a
9
8
5
a
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4
直线的投影
直线的两投点影决仍定为一直条线直，线特。殊情况下为一点。a’ Z a”
分别将两点的同名（同面）投影 b’
用直线连接，就得到直线的投影。 X
O
a
b”
YW
a
b
b
直线对投影面的Y倾H 角：
对c(水d)平投影面的倾角——
对正立投影面的倾角——
是什么位置 的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
铅垂面
投影面垂直面的投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该
直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。 2024/7/18
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31
1．水平面
a' A
a
b' c' B
b
点、直线、平面的投 影
➢直线的投影 ➢直角三角形法求线段实长及倾角 ➢直线上的点 ➢两直线的相对位置关系
3、完成多边形的投影。
一、 平面上取任意直线
二、 平面上取点
三、属于特殊位置平面的点和直线
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1．取属于平面的直线
F E D
e'
f'
d'
d
f
e
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属 于该202平4/7/1面8 的一已知点，且平行于土建属2004于-1~2该平面的一已知直线。 35
影。
a
a
9
8
5
a
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直线的投影
直线的两投点影决仍定为一直条线直，线特。殊情况下为一点。a’ Z a”
分别将两点的同名（同面）投影 b’
用直线连接，就得到直线的投影。 X
O
a
b”
YW
a
b
b
直线对投影面的Y倾H 角：
对c(水d)平投影面的倾角——
对正立投影面的倾角——
是什么位置 的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
铅垂面
投影面垂直面的投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该
直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。 2024/7/18
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1．水平面
a' A
a
b' c' B
b
点、直线、平面的投 影
➢直线的投影 ➢直角三角形法求线段实长及倾角 ➢直线上的点 ➢两直线的相对位置关系
《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影
相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α
画法几何( 2.2 )直线的投影
E5与4D 相交垂直 4D与67 交叉
1’ 4’(3’) 2’
b′
a′ X
d′ 0
a′ a
3
d′
a
d
d
c c
b
1(2)
4
b
判断两直线的位置关系
c’ f’ e’ X c e a’
b’ d’
g’ b’
a’ c’
0 X a 0
d’
a（ f） g
d
c b b d
AB与CD 交错
AB与AE 相交 AB与FG 交错
CD与AE 交错
AB与CD 平行
量取 △ZAB
b″
量取 △YAB
AB真长
β
b′ △ZAB
α
γ a″ b △YAB
a′
b α
a
AB真长
在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长， 另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的 真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的 倾角。
真长（TL)
坐标差 △Z、△Y、△X
α 、β 、γ
H、V、W投影长
c′
b′
(4)
a′
d′
d′
c′
b d
b
c
a
d
d b
c a
a
相交
(5) a′ b′ d′ (6)
a
交错
d
b
交错
(7)
c
a′
平行
(8)
c′
b′
d′
d′
c′ b′
d′
c′
d a c b
a′
a′
c′ c a
b′
c
a b d a
画法几何与工程制图 第四章 直线的投影
[例2]已知侧平线CD上一点E的正面投影e′,求e。
第五节 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线
[例4-5] [例4-6] [例4-7]
一、平行两直线
如果空间两直线互相平行，则此两直线的各同面投影 必互相平行。 若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间 一定互相平行。
第四章 直线的投影
第一节 直线的投影
第二节 直线与投影面的相对位置
第三节 线段的实长及其对投影面的倾角 第四节 直线上的点 第五节 两直线的相对位置直线的投影
第六节 垂直两直线的投影
第一节 直线的投影
一、直线的投影一般仍为直线 二、直线的投影可由直线上两点的同面 投 投影确定
一.直线的投影一般仍为直线
W
H
三、投影面垂直线
铅垂线 正垂线
侧垂线
垂直于W 面的线
小结：
⑴.
投影面垂直线的投影面上的投影集聚成一点；
W
⑵ .投影面垂直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于
相应的投影轴，且反映该直线段的实长。
H
第三节
线段的实长及对投影面的倾角
一、线段的实长及其对H面的倾角α
二、线段的实长及其V面的倾角
C
D
c( d )
直线的投影一般仍为直线
特殊情况下积聚为一点
二.直线的投影可由直线上两点的同面投影确定
第二节 直线与投影面的相对位置
一、一般位置直线 二、投影面平行线 三、投影面垂直线
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
《画法几何》课件——5.直线与平面平行投影
b′ f′
c
f
a
b
e
33
平面与平面垂直
直线与平面及两平面的相对关系
主讲人：
二面角
Q
β
B
A
l
P
α
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱。
• 这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为α,β 的二面角记作二面角α-AB-β。
• 有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分 别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q。
PV
M
QV
Q
P
m′
QV
n′
PH
QH
N
m(n)
PH
QH
25
平面与平面相交
无积聚性时求交
由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积聚性进行求解。解决这类问题，通常可借 助设置特殊辅助平面进行求解。
基本作图
两一般位置平面相交
Q
C
A M KF
N
E B
M
B
KA
F
L
N
C
平面与平面相交
案例3 两一般位置平面相交。
c
e
20
平面与平面相交
直线与平面及两平面的相对关系
主讲人：
平面与平面相交
直线与平面、平面与平面相交
几何条件
两平面相交于一直线，交线是两平面的共有线。
1、利用积聚性求交
2、无积聚性时求交
平面与平面相交
利用积聚性求交
两相交元素中若有一个元素具有积聚性，则可利用其积聚性来求交点或交线。
M
B
P
KA
F
第3章 直线的投影【画法几何】.
1、水平投影ab反映实长， 并反映倾角β 、γ
a
b
2、正面投影a´b´//OX轴， 侧面投影a˝b˝//OYw轴
正平线的投影
c´d´反映CD实长
d′ c′ C
D
d˝ c˝
c˝d˝//OZ轴
c
d
cd //OX轴
d´
d˝ c˝
c´
正平线的投影特 性
1、正面投影c´d´反映实 长，并反映倾角α ,γ
二、 投影面平行线
( 一 ) 含义：仅平行于某一个投影面 的直线，称为投影面平行线。
平行于H面的直线称为水平线 平行于V面的直线称为正平线 平行于W面的直线称为侧平线
水平线的投影
a´b´ //OX轴
a´ A
β
b´ a˝
γ
a˝b˝//OY轴
B
b˝
a
β
γ
b
ab 反映AB的实长
a´
b´
a˝
b˝
(二) 投影面平行线 的投影特性： 水平线
e
f
投影面垂直线的投影特性
1 、 直 线 在 所 垂 直 的 投 影 面 上 积 聚为 一 点 （即有积聚性）
2 、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并
且反映实长（即有显实性）。
例3－2：判断AB、CD、DE直线的空间位置，并找出其第三投影
d’ e’
a’ b’ c’
e”
d”
a” c”
b”
正垂线
e
a´
α
b´
B
b´ a´
m
C
b
X
A
O b
α α
a
a
b
2、正面投影a´b´//OX轴， 侧面投影a˝b˝//OYw轴
正平线的投影
c´d´反映CD实长
d′ c′ C
D
d˝ c˝
c˝d˝//OZ轴
c
d
cd //OX轴
d´
d˝ c˝
c´
正平线的投影特 性
1、正面投影c´d´反映实 长，并反映倾角α ,γ
二、 投影面平行线
( 一 ) 含义：仅平行于某一个投影面 的直线，称为投影面平行线。
平行于H面的直线称为水平线 平行于V面的直线称为正平线 平行于W面的直线称为侧平线
水平线的投影
a´b´ //OX轴
a´ A
β
b´ a˝
γ
a˝b˝//OY轴
B
b˝
a
β
γ
b
ab 反映AB的实长
a´
b´
a˝
b˝
(二) 投影面平行线 的投影特性： 水平线
e
f
投影面垂直线的投影特性
1 、 直 线 在 所 垂 直 的 投 影 面 上 积 聚为 一 点 （即有积聚性）
2 、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并
且反映实长（即有显实性）。
例3－2：判断AB、CD、DE直线的空间位置，并找出其第三投影
d’ e’
a’ b’ c’
e”
d”
a” c”
b”
正垂线
e
a´
α
b´
B
b´ a´
m
C
b
X
A
O b
α α
a
画法几何及机械制图 第二章 点、直线和平面的投影
a
定比作图方法
c
b
§2－2 直线的投影
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b Z
b
V
b
c a C B
X
A
O
a
X
a
a
O
a
c YW
a
c Hb
c b
YH
§2－2 直线的投影
例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。
b c
a
L
b c
a
a
X
a
b
L
c
ZAB
O
b
c
ZAB
b0
L
c0
平面对 投影面的倾 角、、
二、各种位置平面的投影特性
§2－3 平面的投影
投影面垂直面： 垂直于一个、倾斜 于另两个投影面的 平面
V面—正垂面 H面—铅垂面 W面—侧垂面
特殊位 置平面
投影面平行面： 平行于一个、同时 垂直于另两个投影 面的平面
V面—正平面 H面—水平面 W面—侧平面
投影面倾斜面： 对三个投影面都倾 斜的平面
c b
X
b O c
YW
当两直线均为
b
一般位置直线时， c
若有两个同面投影 满足上述条件，则 空间两直线相交。
d
a
YH
§2－2 直线的投影
3. 交叉两直线
既不平行又不相交的两直线
b
1(2 )
d
c
a
Ⅱ
2 Ⅰd
c
b
a1
b d
1(2 )
c
X a
O
d
c
a
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V Z
b
B b
O
a
X
W
C
H
A a
b
a
Y
2、投影面平行线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
Z a
A
a a
bห้องสมุดไป่ตู้
z
a
b
b
B
X O
b
X
O
YW
a
a b
Y
投影特性：1．ab OX ; ab OYW 2． ab=AB 3．反映、 角的真实大小
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
1、
一般位置直线的投影特性
（1）一般位置直线的三面投影都与投影轴倾斜； （2）其三面投影都小于空间直线的实长，也不反映直线 与投影面的倾角。
Z
b′ b′ A b” a′ a′ X 0 b a” YW Z b”
X a
B
b
0 a” Y a
YH
一般位置直线与投影面的倾角 一般位置直线与某投影面的夹角，称为直线对该 投影面的倾角。对H面的倾角记为“a”；对V面的 倾角记为“β” ；对W面的倾角记为“ ”。
a
b
（a）直线的真实性
(b)直线的积聚性
（c）直线的收缩性
2.2.1.2
与投影面成各种位置状态的直线
直线与投影面的位置关系有三种：
平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线） 正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与其余两投影面倾斜
（b）正垂线
（c）侧垂线
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一 个投影轴或分别垂直于相应的投影轴。
判断下列直线是什么直线？
a’ X Z b’ 0 a’ a” 0 b” b’ b’ a a’
a
b
X b
a
yW
a
yH
b
b
水平线
Z
X 0 a” b” yW X a
β
α
b
γ
b
b
a
与H面的夹角:α
与V面的角:β
与W面的夹角:γ
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线 与另两投影面倾角。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
3、投影面垂直线
（1）铅垂线
Z V a’ b’ X H Z
a’
A B a(b) a” W
a”
0
b” X Y
2.2.1
直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置
• 直线的投影
• 直线上的点
V a′
b′ β A γ
Z B b″
W a″ b
• 直线的真长及其倾角
• 两直线间的相对位置 •直角投影规律
X
α
aH
Y
2.2.1.1
直线的投影
根据初等几何，两点决定一直线，所以， 直线上两点的同面投影的连线就是直线在该 面上的投影。其作图方法与点的作图方法一 样。
yW
yH
直线投影的特点（三性）
1、真实性：在与直线相平行的投影面上的投影，反映实长。
2、积聚性：直线的方向在与投影线的方向一致（或垂直于 投影面）时，其在该面的投影积聚为一点。 3、收缩性：直线与投影面处于倾斜位置时，在该投影面上 的投影长度小于真实长度。
A A B B A B
a H
b
a(b)
H H
b
YH
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
b a
Z
B a b
O
Z b b a O YW
a
X
A
X
a
b
Y
a
b
YH
投影特性： 1．ab OX ; a b OZ
2．a b=AB 3．反映、 角的真实大小
（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线
Z
a A a X b a Z a
B
a (b) (c)
f d
e
ED:DF = ed:df = e′d′: d′f′=e″d″:d″f″
检验点C、F、I、L是否在直线AB、DE、GH、JK上
a’ d’
g’ (h’) i’
j’ l’
c’
b’
f’
X
e’ b a
c dfe
k’
O
h
i g
j
l
k
点C在直线AB上
点I不在直线GH上
点F在直线DE上
b’ 0 a(b)
b” YW
YH
（1）正面投影⊥OX ；平行于Z轴
（2）侧面投影⊥OYW;平行于Z轴
（3）水平投影积聚成一点。
（2）正垂线
Z Z V a’ (b’) b” W 0 A a H Y a” X a’ (b’) 0 b a YH YW b” a”
B
X b
（1）水平投影⊥OX ,平行于YH轴; （2）侧面投影⊥OZ ,平行于YW轴;
O
a b
Y
b
b
X
a
b
O
YW
B b YH
投影特性： 1．ab OZ ; ab OYH
2．ab =AB 3．反映 、 角的真实大小
投影面平行线的投影特性归纳为：
水平线
a
a 实长 b a b 实长
正平线
a
γ α
侧平线
a b
a
b a
b
a 实长
β
b
水平线
a’ b’ 0 b b’ a’
侧平线
Z a” b” 0
倾斜直线
Z a” 0 a
b”
yW
X
a
b
yH
b
yH
正平线
侧垂线
铅垂线
正垂线
2.2.2
直线上的点的投影特性
A C E D F
点与直线的关系：点在直线上；点在直线外。 直线上点的投影特性: 1、从属性：直线上点的投 影必定位于直线的同 面投影上。 2、定比性：直线上的点分 割直线为两段，则线 段的空间之比等于它 们的投影之比，即：
（3）正面投影积聚成一点。
（3）侧垂线
Z a’ B A X a 0 b H Y a”(b”) W X a b YH b’ 0 a”(b”) YW
V a’
b’
（1）正面投影⊥OZ ,平行于X轴;
（2）水平投影⊥OYH，平行于X轴; （3）侧面投影积聚成一点。
投影面垂直线的投影特性归纳为：
（a）铅垂线
点L不在直线JK上
【例题】判定下题中，点K是否在直线AB上？
方法一：从属性
b′ k′ Z b″ k″
a′ a″
X
O
YW
a
k
b YH
K 点 在 直 线 AB 上
方法二：定比性
b′ k′
a′
X O
a
k
k0
b0
K 点 在 直 线 AB 上
b
【例题】判断点C、D是否在直线AB上。
方法一：从属性
a′
Z a″
2.2 直线的投影
教学目标：
1、掌握直线的投影及与投影面之间的位置关系 2、根据直线的投影判断空间直线的位置关系 3、熟练运用直角三角形法解决作图问题 4、熟练运用直角投影定理解决作图问题
教学重点：
1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理
教学难点：
1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理
b
B b
O
a
X
W
C
H
A a
b
a
Y
2、投影面平行线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
Z a
A
a a
bห้องสมุดไป่ตู้
z
a
b
b
B
X O
b
X
O
YW
a
a b
Y
投影特性：1．ab OX ; ab OYW 2． ab=AB 3．反映、 角的真实大小
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
1、
一般位置直线的投影特性
（1）一般位置直线的三面投影都与投影轴倾斜； （2）其三面投影都小于空间直线的实长，也不反映直线 与投影面的倾角。
Z
b′ b′ A b” a′ a′ X 0 b a” YW Z b”
X a
B
b
0 a” Y a
YH
一般位置直线与投影面的倾角 一般位置直线与某投影面的夹角，称为直线对该 投影面的倾角。对H面的倾角记为“a”；对V面的 倾角记为“β” ；对W面的倾角记为“ ”。
a
b
（a）直线的真实性
(b)直线的积聚性
（c）直线的收缩性
2.2.1.2
与投影面成各种位置状态的直线
直线与投影面的位置关系有三种：
平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线） 正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与其余两投影面倾斜
（b）正垂线
（c）侧垂线
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一 个投影轴或分别垂直于相应的投影轴。
判断下列直线是什么直线？
a’ X Z b’ 0 a’ a” 0 b” b’ b’ a a’
a
b
X b
a
yW
a
yH
b
b
水平线
Z
X 0 a” b” yW X a
β
α
b
γ
b
b
a
与H面的夹角:α
与V面的角:β
与W面的夹角:γ
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线 与另两投影面倾角。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
3、投影面垂直线
（1）铅垂线
Z V a’ b’ X H Z
a’
A B a(b) a” W
a”
0
b” X Y
2.2.1
直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置
• 直线的投影
• 直线上的点
V a′
b′ β A γ
Z B b″
W a″ b
• 直线的真长及其倾角
• 两直线间的相对位置 •直角投影规律
X
α
aH
Y
2.2.1.1
直线的投影
根据初等几何，两点决定一直线，所以， 直线上两点的同面投影的连线就是直线在该 面上的投影。其作图方法与点的作图方法一 样。
yW
yH
直线投影的特点（三性）
1、真实性：在与直线相平行的投影面上的投影，反映实长。
2、积聚性：直线的方向在与投影线的方向一致（或垂直于 投影面）时，其在该面的投影积聚为一点。 3、收缩性：直线与投影面处于倾斜位置时，在该投影面上 的投影长度小于真实长度。
A A B B A B
a H
b
a(b)
H H
b
YH
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
b a
Z
B a b
O
Z b b a O YW
a
X
A
X
a
b
Y
a
b
YH
投影特性： 1．ab OX ; a b OZ
2．a b=AB 3．反映、 角的真实大小
（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线
Z
a A a X b a Z a
B
a (b) (c)
f d
e
ED:DF = ed:df = e′d′: d′f′=e″d″:d″f″
检验点C、F、I、L是否在直线AB、DE、GH、JK上
a’ d’
g’ (h’) i’
j’ l’
c’
b’
f’
X
e’ b a
c dfe
k’
O
h
i g
j
l
k
点C在直线AB上
点I不在直线GH上
点F在直线DE上
b’ 0 a(b)
b” YW
YH
（1）正面投影⊥OX ；平行于Z轴
（2）侧面投影⊥OYW;平行于Z轴
（3）水平投影积聚成一点。
（2）正垂线
Z Z V a’ (b’) b” W 0 A a H Y a” X a’ (b’) 0 b a YH YW b” a”
B
X b
（1）水平投影⊥OX ,平行于YH轴; （2）侧面投影⊥OZ ,平行于YW轴;
O
a b
Y
b
b
X
a
b
O
YW
B b YH
投影特性： 1．ab OZ ; ab OYH
2．ab =AB 3．反映 、 角的真实大小
投影面平行线的投影特性归纳为：
水平线
a
a 实长 b a b 实长
正平线
a
γ α
侧平线
a b
a
b a
b
a 实长
β
b
水平线
a’ b’ 0 b b’ a’
侧平线
Z a” b” 0
倾斜直线
Z a” 0 a
b”
yW
X
a
b
yH
b
yH
正平线
侧垂线
铅垂线
正垂线
2.2.2
直线上的点的投影特性
A C E D F
点与直线的关系：点在直线上；点在直线外。 直线上点的投影特性: 1、从属性：直线上点的投 影必定位于直线的同 面投影上。 2、定比性：直线上的点分 割直线为两段，则线 段的空间之比等于它 们的投影之比，即：
（3）正面投影积聚成一点。
（3）侧垂线
Z a’ B A X a 0 b H Y a”(b”) W X a b YH b’ 0 a”(b”) YW
V a’
b’
（1）正面投影⊥OZ ,平行于X轴;
（2）水平投影⊥OYH，平行于X轴; （3）侧面投影积聚成一点。
投影面垂直线的投影特性归纳为：
（a）铅垂线
点L不在直线JK上
【例题】判定下题中，点K是否在直线AB上？
方法一：从属性
b′ k′ Z b″ k″
a′ a″
X
O
YW
a
k
b YH
K 点 在 直 线 AB 上
方法二：定比性
b′ k′
a′
X O
a
k
k0
b0
K 点 在 直 线 AB 上
b
【例题】判断点C、D是否在直线AB上。
方法一：从属性
a′
Z a″
2.2 直线的投影
教学目标：
1、掌握直线的投影及与投影面之间的位置关系 2、根据直线的投影判断空间直线的位置关系 3、熟练运用直角三角形法解决作图问题 4、熟练运用直角投影定理解决作图问题
教学重点：
1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理
教学难点：
1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理