高中数学人教a版高一必修一_学业分层测评(一)_word版有答案

学业分层测评(一)集合的含义

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列对象能构成集合的是()

①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员，②所有的钝角三角形，③2015年诺贝尔经济学奖得主，④大于等于0的整数，⑤莘县第一中学所有聪明的学生．

A．①②④B．②⑤

C．③④⑤D．②③④

【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．

【答案】 D

2．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边，则△ABC一定不是()

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形

【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.

【答案】 D

3．下面有三个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a∉N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.

其中正确命题的个数是()

A．0个B．1个

C．2个D．3个

【解析】因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以①错；对于②，取a＝2，则－2∉N，2∉N，所以②错；对于③，a＝0，b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错．

【答案】 A

4．下列正确的命题的个数有()

①1∈N；②2∈N*；③1

2∈Q；④2＋2∉R；⑤

4

2∉Z.

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】∵1是自然数，∴1∈N，故①正确；∵2不是正整数，∴2∉N*，故②不正确；

∵1

2是有理数，∴

1

2∈Q，故③正确；∵2＋2是实数，∴2＋2∈R，所以④不正确；

∵4

2＝2是整数，∴

4

2∈Z，故⑤不正确．

【答案】 B

5．给出下列说法，其中正确的个数为()

(1)由1，3

2，

6

4，⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

－

1

2，

1

2这些数组成的集合有5个元素；

(2)方程(x－3)(x－2)2＝0的解组成的集合有3个元素；

(3)由一条边为2，一个内角为30°的等腰三角形组成的集合中含有4个元素．

A．0 B．1

C．2 D．3

【解析】(1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任意

两个元素都是不同的，而3

2与

6

4相同，⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

－

1

2与

1

2相同，故这些数组成的集合只有3个元素．

(2)不正确．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此写入集合时只有3和2两个元素．

(3)正确．若2为底边长，则30°角可以是顶角或底角；若2为腰长，则30°角也可以是顶角或底角，故集合中有4个元素．

【答案】 B

二、填空题

6．由m－1,3m，m2－1组成的三元素集合中含有－1，则m的值是________. 【导学号：97030003】

【解析】当m＝0时，三个数分别为－1,0，－1，组成的集合中只有两个元素，不合题

意；当m＝－1

3时，三个数分别为－

4

3，－1，－

8

9，符合题意，即m只能取－

1

3.

【答案】－1 3

7．设集合A是由1，k2为元素组成的集合，则实数k的取值范围是________．【解析】∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的性质可知k2≠1，解得k≠±1. 【答案】k≠±1

8．由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中最多含有________个元素．【解析】由于|t|至少与t和－t中的一个相等，故集合M中至多有4个元素．

当t＝－2时，t，－t，t2，t3互不相同，此时集合M中元素最多，为4个．【答案】 4

三、解答题

9．设非空数集A满足以下条件：若a∈A，则

1

1－a

∈A，且1∉A.

(1)若2∈A，你还能求出A中哪些元素？

(2)“3∈A”和“4∈A”能否同时成立？

【解】(1)若2∈A，则

1

1－2

＝－1∈A，于是

1

1－(－1)

＝

1

2∈A，而

1

1－

1

2

＝2.

所以集合A中还有－1，1

2这两个元素．

(2)若“3∈A”和“4∈A”能同时成立，则

1

1－a

＝3且

1

1－a

＝4，由

1

1－a

＝3解得a＝

2

3，由

1 1－a ＝4解得a＝

3

4，矛盾，所以“3∈A”和“4∈A”不能同时成立．

10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，

定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【导学号：97030004】

【解】∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；

当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.

由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．

[能力提升]

1．集合A含有两个元素a－3和2a－1，则实数a的取值范围是________．

【解析】由集合中元素的互异性，可得a－3≠2a－1，所以a≠－2.即实数a的取值范围为a≠－2.

【答案】a≠－2

2．设P、Q是两个数集，P中含有0,2两个元素，Q中含有1,2两个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．【解析】由于a∈P，a＝0或2，b∈Q，b＝1或2，因此a＋b的值为1,2,3,4，共4个．【答案】 4

3．集合A中的元素y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．

【解析】依题意A＝{y∈N|y＝－x2＋1}＝{y∈N|y≤1}＝{0,1}．