人教版八年级数学下册17.1.3《利用勾股定理作图与计算》同步训练含答案
17.1 勾股定理
课时3 利用勾股定理作图与计算基础训练
知识点1 勾股定理与实数
1.(2018福建福州福清期中)如图,以原点O为圆心、OB长为半径画弧与数轴交于点A,若点A表示的数为x,则x的值为( )
D.-2
2.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于( )
A.-6和-5之间
B.-5和-4之间
C.-4和-3之间
D.-3和-2之间
3.在数轴上作出.
知识点2 勾股定理与几何问题
4.如图,将长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=6,则AE的长为 .
5.嘉嘉参加机器人设计活动,需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B
点,且每个小方格皆为正方形,主办单位规定了三条行走路径R
1,R
2
,R
3
,其行径位
置如图与表所:
已知A,B,C,D,E,F,G七点皆落在小方格的顶点上,且两点之间的路径皆为直线,
在无法使用任何工具测量的条件下,请判断R
1,R
2
,R
3
这三条路径中,最长路径与最
短路径分别是哪个,并说明理由.
参考答案
1.B
解析:由题图,可知点O到点A=因为点A在原点的左边,所
以x的值为故选B.
2.C
解析:∵点P的坐标为(-2,3),=A的横坐
标为∵∴点A的横坐标介于-4和-3之间.故选C.
3.解析:如图所示,表示A,C.
名师点睛:一条线段长度等于已知无理数的方法不唯一,尽量利用直角边长为
整数的直角三角形作出.另外要注意:并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点,如:0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)等.
4.1.75
解析:∵△BDC′是由△BDC折叠得到的,∴△BDC′与△BDC全等,∴∠DBC=∠DBE.∵AD//BC,∴∠DBC=∠BDE,∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE.设AE=x,则BE=DE=AD-AE=
8-x,在Rt△ABE中,∵AE2+AB2=BE2,∴x2+62=(8-x)2,解得x=1.75,即AE的长为
1.75.
名师点睛:长方形中的折叠问题一般包括“全等形”“等腰三角形”和“勾股定理”三大问题.“全等形”和“等腰三角形”用来进行边、角转换,“勾股定理”用来列方程求值.
5.解析:最长路径是R
2,最短路径是R
3
.理由如下:
路径R
1=
路径R
211,
路径R
3=
∵1,
<<
∴最长路径为R
2,最短路径为R
3
.
17.1 勾股定理
课时3 利用勾股定理作图与计算提升训练
1.(2018河南许昌一中课时作业)如图点C表示的数是 ( )
2.(2018山东济南育英中学课时作业)如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A的对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是 ( )
A.1.5
B.2
C.2.25
D.2.5
3.(2018天津武清区期中)如图,正方形的网格中每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点叫格点.
(1)在图1中,以格点为端点,画线段
(2)在图2中,以格点为顶点,画正方形ABCD,使它的面积为10.
参考答案
1.D
解析:由题图,可知=∴∴=
∴故选D.
2.B
解析:如图,连接BM,B′M,在Rt△ABM中,AB2+AM2=BM2.在Rt△MDB′中,
B′M2=MD2+DB′2.由题意,得MB=B′M,∴AB2+AM2=MD2+DB′2,
∴92+AM2= (9-AM)2+(9-3)2,解得AM=2.故选B.
3.解析:(1)如图1所示.(画法不唯一)
(2)如图2所示(画法不唯一)
名师点睛:本题主要考查勾股定理的应用和作图设计,关键是理解题意,借助网格中的直角完成作图.。
八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理同步练习(含解析)(新版)新人教版 (1)
54
+
60
=
114.
18．修这条公路的最低造价是 12 万元.
【解析】
解：∵BC2+AB2=122+52=169，AC2=132=169， ∴BC2+AB2=AC2， ∴∠ABC=90°，当 BD⊥AC 时 BD 最短，造价最低，
∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BD， ∴BD = AB•BC = 60 km，
16．如图，已知△ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边， 画第 2 个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第 3 个等腰 Rt△ADE，…， 依此类推，则第 2018 个等腰直角三角形的斜边长是___________．
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∴AB= 169 =13．
故选：A． 6．A 【解析】 如图，
1
△ABC 的面积= ×BC×AE=2，
2
由勾股定理得，AC= 12 22 = 5 ，
1
则×
2
5 ×BD=2，
解得 BD= 4 5 ， 5
故选 A．
7．B
【解析】
解： 沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，
B EAF 45， AFB 90，
3600 所以速度为小车此时速度为 0.12 6 72 千米/时，
3600
所以这辆“小汽车”超速了. 20．（1）BD=1m；（2）CE 与 BE 的大小关系是 CE=BE，证明见解析. 【解析】 （1）∵AO⊥OD，AO=4m，AB=5m，
∴OB= AB2 AO2 =3m，
人教版八年级下册数学 17.1 勾股定理 同步习题(含答案)
17.1 勾股定理同步习题知识点1 勾股定理1.如图,以直角三角形的三边a,b,c为边或直径,分别向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是()A.1B.2C.3D.42.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,b,c的关系式中不正确的是()A.b2=c2-a2B.a2=c2-b2C.b2=a2-c2D.c2=a2+b23.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为()A.5B. 7C.2D.5或74.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为()A.5B.6C.8D.105.在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于()A.10B.8C.6或10D.8或106.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是()A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5知识点2 勾股定理与面积的关系7.如图,字母B所代表的正方形的面积是()A.12B.13C.144D.1948.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为()A.3B.4C. 5D.79.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.8010.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是()A.13B.26C.47D.94易错点考虑问题不全面而漏解(分类讨论思想)11.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2为()A.25B.7C.7或25D.9或16提升训练考查角度1 利用勾股定理求直角三角形中的边长12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.(1)求DC的长;(2)求AB的长.考查角度2 利用勾股定理求三角形的面积13.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.如图,作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积探究培优拔尖角度1 利用勾股定理解非直角三角形问题(倍长中线法)14.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)求△ABC中BC边上的高.拔尖角度2 利用勾股定理解四边形问题(补形法)15.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求: (1)AB的长;(2)四边形ABCD的面积.参考答案解：因为直角三角形的三边为a,b,c,所以应用勾股定理可得a2+b2=c2.第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.2.【答案】C3.【答案】D解：当两直角边长分别为3和4时,斜边长为=5;当斜边长为4时,另一条直角边长为=.故选D.4.【答案】C5.【答案】C解：根据题意画出图形,如图①所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD+CD=8+2=10;如图②所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD-CD=8-2=6,则BC的长为6或10.故选C.6.【答案】A解：如图,过A点作AF⊥BC于F,连接AP,因为在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,所以BF=4,所以在Rt△ABF中,AF2=AB2-BF2=9,所以AF=3,所以×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5(PD+PE),解得PD+PE=4.8.7.【答案】C8.【答案】D解：利用勾股定理求出正方形的边长为10,阴影部分的面积为正方形面积与直角三角形面积之差.10.【答案】C11.错解:A诊断:容易忽略a,c为直角边长,b为斜边长这种情况,故很容易错选A.正解:C解题策略:解答此题要用分类讨论思想.此题有两种情况:a,b为直角边长,c为斜边长和a,c为直角边长,b为斜边长,利用勾股定理即可求解.12.解:(1)在Rt△BCD中,DC2=BC2-BD2=32-=,所以DC=.(2)在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=42-=,所以AD=,所以AB=AD+BD=+=5.13.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,所以152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.在Rt△ABD中,AD===12.所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84.14.解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,∴BD==3.(2)如图,延长BD至E,使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA 中,∴△BDC≌△EDA(SAS),∴∠DAE=∠DCB,∴AE∥BC.∵BD⊥BC,∴BE⊥AE.∴BE为△ABC中BC边上的高,∴BE=2BD=6.15.解:(1)如图,延长AD,BC交于点E,在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∴CE=2CD=8,∴BE=BC+CE=6+8=14.设AB=x,则有AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x=,则AB=.(2)在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∴DE===4.∴S=S△ABE-S△CDE 四边形ABCD =·AB·BE-·CD·DE=××14-×4×4=.。
人教版初中数学八年级下册《17.1 勾股定理》同步练习卷(含答案解析
人教新版八年级下学期《17.1 勾股定理》同步练习卷一．填空题（共19小题）1．在凸四边形ABCD中，AD=，AB+CD=2，∠BAD=60°，∠ADC=120°．M是BC的中点，则DM=．2．如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置．3．如图，已知，直角△ABC中，∠ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD=5，BE=2，则斜边AB之长为．4．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=时，才能使△ABC与△QPA全等．5．如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于．6．如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜边长为．7．直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为．8．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D 点到直线AB的距离是cm．10．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为cm2．11．两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为．12．课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm 和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是cm．13．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为．14．直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的斜边长为，面积为．15．如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，则S3=．16．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为．17．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD=．18．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4的方格纸中，找出格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C共有个．19．如图，三个正方形A，B，C如图放置，且正方形A，B的面积分别是2cm2和3cm2，则正方形C的面积等于cm2．二．解答题（共31小题）20．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？21．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=，（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长．22．如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．23．如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看．的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17①试说明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积．25．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长．26．如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）△ABC的面积为．（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为．（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD（D 与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为．28．如图，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=20，AD=8，BC=12，E为AB上一点，且DE=CE，求AE．29．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，AD⊥BC，垂足为D，（1）求BC的长；（2）求AD的长．30．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，垂足为E，AD⊥CE，垂足为D，（1）判断直线BE与AD的位置关系是；BE与AD之间的距离是线段的长；（2）若AD=6cm，BE=2cm，求BE与AD之间的距离及AB的长．31．如图，将在Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2=c2．32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF、BE分别垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF的长．33．如图，直角坐标系中，已知A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O移动；动点Q从点A点出发，沿AB向终点B移动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位．设从出发起运动了x秒．（1）点P的坐标是（，）；（2）点Q的坐标是（，）；（3）x为何值时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形？34．在如图的5×5网格中，小方格的边长为1．（1）图中格点正方形ABCD的面积为；（2）若连接AC，则以AC为一边的正方形的面积为；（3）在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你所画的正方形面积为．35．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上；探索创新：（3）若△ABC中有两边的长分别为、（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上．36．已知：在四边形ABCD中，∠D=90°，DC=3cm，AD=4cm，AB=12cm，BC=13cm．求四边形ABCD的面积．37．已知a、b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，求这个直角三角形的斜边长．38．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，所得的差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的整数部分为a，那么a=．如果，其中b是整数，且0＜c＜1，那么b=，c=．（2）将（1）中的a、b作为直角三角形的两条直角边，请你计算第三边的长度．39．如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积；（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．40．在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．41．如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．你能利用这个图形验证勾股定理吗？42．在数轴上作出表示的点．43．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，（1）求AB的长；（2）求CD的长．44．如图已知，每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC的周长（结果用根号表示）．45．图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形．46．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形BC边上的高．杰杰同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．借用网格等知识就能计算出这个三角形BC边上的高．（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；（2）求出这个三角形BC边上的高．47．美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．48．在图中，BC长为3，AB长为4，AF长为12，求正方形的面积．（其中∠FAC 和∠ABC都为直角．）49．用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出的点．50．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，．（2）如下图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．（3）如图（2），以△ABC边AB作如图正三角形ABD，∠CBE=60°，且BE=BC，连接DE、DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．人教新版八年级下学期《17.1 勾股定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共19小题）1．在凸四边形ABCD中，AD=，AB+CD=2，∠BAD=60°，∠ADC=120°．M是BC的中点，则DM= 1.5．【分析】本题要靠辅助线的帮助．根据题意画出图形，作出辅助线，根据各边的关系求解．【解答】解：如图，延长DM、AB，交于E，在AE上取中点F，连接DF．∵∠BAD=60°，∠ADC=120°，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，∴∠EBM=∠DCM；在△EMB和△DMC中，，∴△EMB≌△DMC，∴BE=CD；∵AB+CD=2，点F为EA的中点，∠BAD=60°，AD=AF=EF=，∴∠EDA=90°；根据勾股定理可得ED=AD，∴ED=3∵M为ED的中点∴MD=1.5．【点评】本题是一道根据三角形的中线定义结合勾股定理求解的综合题，有利于锻炼学生综合分析、解答问题的能力．2．如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置．【分析】根据等腰三角形的性质在表格中找出C点．【解答】解：以A为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C2、C3；以B为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C1，∴BC1=AC2=AC3=AB==，∵因为AB的中点不在格点上，因此AB的垂直平分线不会经过格点∴C1、C2、C3是所要找的点．【点评】心动不如行动，赶快拿起圆规，画出图形，根据数形结合思想，利用全等三角形的性质解答此题．3．如图，已知，直角△ABC中，∠ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD=5，BE=2，则斜边AB之长为．【分析】设BC=x，AC=y，根据已知列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长．【解答】解：设BC=x，AC=y根据题意运用勾股定理，得整理得，=65，即x2+y2=52∴斜边的长是2．【点评】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可．4．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=5或10时，才能使△ABC与△QPA全等．【分析】分两种情形分别求解即可．【解答】解：当AP=5时，Rt△ABC≌Rt△QPA，理由是：∵∠C=90°，AQ⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，当AP=5=BC时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），当AP=AC=10，AQ=BC=5时，△ABC≌△PQA，故答案为：5或10．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．5．如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于18．【分析】可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA、PB、PC、PD四条线段的长度的数量关系，然后再代值计算．【解答】解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18．【点评】此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、PD四条线段之间的数量关系至关重要．6．如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜边长为．【分析】分别求出图中所给直角三角形的斜边长，找出规律，即可解答．【解答】解：根据图形，运用勾股定理知，第一个直角三角形的斜边是，第二个直角三角形的斜边是，推而广之，则第n个直角三角形的斜边是，所以第10个直角三角形的斜边长为．故答案为：．【点评】熟练运用勾股定理，能够根据具体数据进行推广，发现规律．7．直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为 2.4．【分析】根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高．【解答】解：由勾股定理知，斜边c==5，设斜边上的高为h，根据直角三角形的面积公式得：S△=×3×4=×5h，∴h==2.4．【点评】本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解．8．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为10或2．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：设第三边为x，（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82=x2解得：x=10，（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2=82，解得x=2．故第三边长为10或2．故答案为：10或2．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D 点到直线AB的距离是6cm．【分析】首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB得距离等于CD的长．【解答】解：∵AD=10cm，AC=8cm∴CD=6cm∵AD平分∠CAB∴D点到直线AB的距离=CD=6cm【点评】运用了勾股定理以及角平分线的性质．10．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为15cm2．【分析】设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，由勾股定理得出a2+b2=c2，求出以a b为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2=15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S=c2=a2+b2，代入求出即可．【解答】解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，则由勾股定理得：a2+b2=c2，则分别以a b为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2=7cm2+8cm2=15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S=c2=a2+b2=15cm2，故答案为：15．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积，关键是得出c2=a2+b2=15cm2，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．11．两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为4或．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当5是斜边时，第三边长==4；当5是直角边时，第三边长==．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．12．课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm 和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是10或2cm．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：8是斜边时，第三边长=2cm；8是直角边时，第三边长=10cm．故第三边应该是10或2cm．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．13．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为7：3．【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，根据DE⊥BC，F是AB中点，利用三角形中位线定理求出EG=BE=4，AG=2EF=6，再根据∠C=45°，DE⊥BC，求出DF，然后即可得出答案．【解答】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，∵DE⊥BC∴EF∥AG又∵F是AB中点∴E也为BG中点，==∴EG=BE=4 AG=2EF=6又∵∠C=45°∴AG=GC=6∴EC=EG+GC=10又∵∠C=45° DE⊥BC∴DE=EC=10∴DF=DE﹣EF=10﹣3=7∴DF：FE=7：3．故答案为：7：3．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形中位线定理求出EG=BE=4，AG=2EF=6．14．直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的斜边长为2cm，面积为cm2．【分析】此题直接利用勾股定理及三角形的面积解答即可．【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长==2cm；直角三角形的面积=×=cm2．故填2cm，cm2．【点评】此题主要考查勾股定理及三角形的面积．15．如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，则S3=12．【分析】根据勾股定理的几何意义解答．【解答】解：∵△ABC直角三角形，∴BC2+AC2=AB2，∵S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，S1=4，S2=8，∴S3=S1+S2=12．故答案为12．【点评】此题是勾股定理题目，解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关．16．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为．【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=×+×+×，=（AC2+BC2+AB2），=AB2，=×52=．故答案为．【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．17．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD=．【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可．【解答】解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S=×3×4=×5×CD，△ABC∴CD=．故答案为：．【点评】此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用．18．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4的方格纸中，找出格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C共有8个．【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理分别求出以AB为腰的等腰三角形的个数和以AB为底边的等腰三角形的个数即可得出答案．【解答】解：如图所示：以AB为腰的等腰三角形共4个，其底边长为=2的共有4个；以AB为底边的等腰三角形共有4个，其中腰长为的2个，腰长为2的有2个．故答案为：8．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，此题难易程度适中，适合学生训练．19．如图，三个正方形A，B，C如图放置，且正方形A，B的面积分别是2cm2和3cm2，则正方形C的面积等于5cm2．【分析】先根据角之间的关系以及正方形的性质证明两空白三角形全等，然后根据勾股定理即可解答．【解答】解：如图所示∵∠1+∠5=90°，∠1+∠2=90°，∴∠5=∠2，同理∠1=∠3，又FD=DE，∴△FGD≌△EDH，可得，FG=DH，由勾股定理的几何意义可知S A+S B=S C即2+3=S C．∴S C=5．【点评】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．二．解答题（共31小题）20．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC=4 因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．【解答】解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2，∵∠C=90°，∴PB==，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+；（2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD=1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形．【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BCP 为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．21．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=，（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长．【分析】（1）分别以点A，C为圆心，以大于AC为半径画弧，两弧相交于点C，D，过CD作直线l即可．（2）所求线段DE等于BC的一半，那么根据题中的数据利用三角函数求出BC 即可．【解答】解：（1）如图，（2）因为直线l垂直平分线段AC，所以CE=AE，又因为BC⊥AC，所以DE∥BC，所以DE=BC．因为在Rt△ABC中，AB=5，cosA=，所以AC=ABcosA=5×=3，由BC===4得DE=2．【点评】本题考查基本作图和利用三角函数来解决相关问题．22．如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．【分析】根据大正方形面积=四个相同直角三角形面积+小正方形面积，得c2=4×ab+（a﹣b）2即得c2=a2+b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．【解答】解：∵大正方形面积为：c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（a﹣b）2，所以c2=4×ab+（a﹣b）2，即c2=a2+b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，要认真理解勾股定理．23．如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看．【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，有中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积；化简得a2+b2=c2，即证在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．【点评】本题考查了学生对定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用．24．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17①试说明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积．。
八年级数学下册勾股定理同步练习(含答案)
x=______①x 86②y=______y6.56③m=______m4140④n=______n 1512勾股定理同步练习17.1.1 勾股定理(1)1．填空：(１)如图，在下列横线上填上适当的值：(２)求出下列各图中阴影部分的面积（单位：cm 2）．0.640.36(1)225144(2)2cm1(3)图（１）阴影部分的面积为＿＿＿＿； 图（２）阴影部分的面积为＿＿＿＿； 图（３）阴影部分的面积为＿＿＿＿；(３)直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为＿＿＿＿＿＿．2．选择题：(1) 如图,在等腰△ABC 中，AB=AC=13,BC=1O,则高AD 的长为（ ）A. 10B. 5C.12D. 69 (2)在Rt △ABC 中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ） A 、5、4、3、； B 、13、12、5； C 、10、8、6； D 、26、24、10 3．你能用面积法来验证勾股定理吗？4．如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用玻璃遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．．3ACDB17.1.2 勾股定理(2)1． 填空：(1)△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=16cm ，AD ⊥BC 于D ，则AD=＿＿＿＿ (2)如图(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应_________米． (3)如图(2)为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米. 2.选择题:(1) 两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A. 50cmB. 100cmC. 140cmD. 80cm(2) 一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为 （ ） （A ）4 （B ）8 （C ）10 （D ）123. 如图，在一块由边长为1米的正方形的地砖铺设的广场上，一只鸽子飞来落在点A 处，鸽子要吃到小朋友撒在B 、C 处的鸟食，最少需要走多远？4.如图,一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm ，高为10cm ，现有一支11cm 的吸管任意斜放于杯中，则吸管能否露出杯口外?若能请求出露在外面的长度,若不能请说明理由?10cm5米3米图(2)B 1.52A 图(1)1.填空题:(1)如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是_______.___。
新人教版八年级数学下册17.1 第3课时 利用勾股定理作图或计算(同步练习)
第十七章勾股定理17.1 勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算一、选择——基础知识运用1．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个2．如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（）A．5 B．6 C．3 D．43．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1 B．-1 C．-+1 D．--14．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．5．如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，画一条线段AB=，使点A，B在小正方形的顶点上，设AB与网格线相交所成的锐角为α，则不同角度的α有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、解答——知识提高运用6．如图中的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第7个直角三角形的斜边长为。
7．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，按要求画一个三角形：使这个三角形的顶点都在格点上，该三角形的面积为3，且有一边长为。
8．如图所示．从锐角三角形ABC的顶点B向对边作垂线BE．其中AE=3，AB=5，∠EBC=30°，求BC。
9．如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积。
10．在平面直角坐标系内，已知点A（2，2）．B（2，3），点P在y轴上，且三角形APB为直角三角形，求点P的坐标。
11．（1）在右面的方格纸中，以线段AB为一边，画一个正方形；（2）如果图中小方格的面积为1平方厘米，你知道（1）中画出的正方形的面积是多大吗？解释你的计算方法。
新人教版初中数学八年级下册同步练习试题及答案_第17章 勾股定理(20页)
第十七章勾股定理测试1 勾股定理(一)学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．课堂学习检测一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．2(A)4 (B)6 (C)8 (D)108．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2(C)225cm2(D)无法计算三、解答题9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三、解答题13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC 的长．拓展、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；图②(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．图③测试2 勾股定理(二)学习要求掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m 路，却踩伤了花草．3题图4．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ．4题图二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )．5题图(A)5m (B)7m (C)8m(D)10m6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )．6题图 (A)212(B)310(C)56 (D)58三、解答题7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 为____ __米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______( 取3)二、解答题：11．长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m ．12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD ＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．测试3 勾股定理(三)学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______．2．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______．3．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______．二、选择题6．已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是( )． (A)41 (B)43 (C)21 (D)17．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )．(A)7(B)7或41 (C)24 (D)24或7三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．9．在数轴上画出表示10-及13的点．综合、运用、诊断10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．12．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．测试4 勾股定理的逆定理学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．课堂学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________；②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a 10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4(C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．15．在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由．17．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．参考答案第十七章 勾股定理测试1 勾股定理(一)1．a 2＋b 2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2．3．52． 4．52，5． 5．132cm ． 6．A ． 7．B ． 8．C ．9．(1)a ＝45cm ．b ＝60cm ； (2)540； (3)a ＝30，c ＝34； (4)63； (5)12．10．B ． 11．.5 12．4． 13．.31014．(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3．测试2 勾股定理(二)1．13或.119 2．5． 3．2． 4．10．5．C ． 6．A ． 7．15米． 8．23米． 9．⋅3310 10．25． 11．.2232- 12．7米，420元． 13．10万元．提示：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．测试3 勾股定理(三)1．;343415,34 2．16，19.2． 3．52，5． 4．.432a 5．6，36，33． 6．C ． 7．D8．.132 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝.1324422=+k m9．,3213,31102222+=+=图略．10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝622=-AB AF ，CF ＝4．在Rt △CEF 中(8－x )2＝x 2＋42，解得x ＝3．13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则.172,34=∴=AC AB15．128，2n－1．测试4 勾股定理的逆定理1．直角，逆定理．2．互逆命题，逆命题．3．(1)(2)(3)．4．①锐角；②直角；③钝角．5．90°．6．直角．7．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8．8．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．9．D．10．C．11．C．112．CD＝9．13．.514．提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0．18．352＋122＝372，[(n＋1)2－1]2＋[2(n＋1)]2＝[(n＋1)2＋1]2．(n≥1且n为整数)第十七章勾股定理全章测试一、填空题1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．3题图4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC ＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．4题图5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．5题图6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．6题图7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．8题图二、选择题9．下列三角形中，是直角三角形的是( )(A)三角形的三边满足关系a ＋b ＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3(C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，4110．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( )．10题图(A)450a 元 (B)225a 元(C)150a 元 (D)300a 元11．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )．(A)2(B)3 (C)22 (D)3212．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋BC 等于( )．(A)5(B)135 (C)1313 (D)59三、解答题13．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD 的长．14．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD ＝10m，求这块草地的面积．15．△ABC中，AB＝AC＝4，点P在BC边上运动，猜想AP2＋PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?18．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．图1 图2 图3(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．参考答案第十七章 勾股定理全章测试1．8． 2．.3 3．.10 4．30． 5．2．6．3．提示：设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6， CE ＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程．7．26或.2658．6．提示：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为Rt △．9．D ． 10．C 11．C ． 12．B13．.2172 提示：作CE ⊥AB 于E 可得,5,3==BE CE 由勾股定理得,72=BC 由三角形面积公式计算AD 长．14．150m 2．提示：延长BC ，AD 交于E ．15．提示：过A 作AH ⊥BC 于HAP 2＋PB ·PC ＝AH 2＋PH 2＋(BH －PH )(CH ＋PH )＝AH 2＋PH 2＋BH 2－PH 2＝AH 2＋BH 2＝AB 2＝16．16．14或4．17．10； .16922n +18．(1)略； (2)定值， 12；(3)不是定值，.10226,1028,268+++19．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6由勾股定理得：AB ＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况．①如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求CD ＝CB ＝6得△ABD 的周长为32m ．图1②如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求CD ＝4图2由勾股定理得：54=AD ，得△ABD 的周长为.m )5420(+．③如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，图3 由勾股定理得：325 x ，得△ABD 的周长为.m 380。
人教版八年级下册数学第17章勾股定理同步及答案
《勾股定理》基础训练知识点1 勾股定理的证明1.利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_______________，该定理结论的数学表达式是____________.2.在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积.利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？知识点2 利用勾股定理进行计算3.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对应边分别是,,a b c ，若90B ︒∠=，则下列等式中成立的是（ ）A.222a b c +=B.222b c a +=C.222a c b +=D.222c a b -=4.（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）A.5B.6C.7D.85.已知直角三角形中30角所对的直角边的长是3cm ，则另一条直角边的长是（ ）A.4cmB.43cmC.6cmD.63cm6.（2019·毕节）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上.若1,2EB EC ==，则正方形ABCD 的面积为（ ）A.3B.3C.5D.5 7.直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为_______.8.如图，以直角三角形的三边为边长向外作三个正方形,,A B C .若26,18A B S S ==，则c S =______________.【变式1】如图，分别以Rt ABC 的三边为边长向外作等边三角形.若4AB =，则三个等边三角形的面积之和是（ ）A.83B.63C.18D.12【变式2】如图，以Rt ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆123,,S S S .若2332,18S S ππ==，则斜边上半圆的面积1S =______________.知识点3 赵爽弦图9.【关注数学文化】（2019·咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A. B. C. D.10.（2019·大庆）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为,a b，那么2的值是_________________.a b()易错点边的类型不确定时漏解11.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为________________.《勾股定理》提升训练1.如图，点E 在正方形ABCD 内，满足906,8AEB AE BE ︒∠===，，则阴影部分的面积是（ ）A.48B.60C.76D.802.如图，将两个大小、形状完全相同的ABC 和A B C '''拼在一起，其中点A '与点A 重合，点C '落在边AB 上，连接B C '.若903ACB AC B AC BC ''︒∠=∠===，，则B C '的长为（ ）A.33B.6C.32D.213.（2019·河南）如图，在四边形ABCD 中，//,90,4,3AD BC D AD BC ︒∠===.分别以点,A C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O .若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A.22B.4C.3 104.（2019·绵阳）在△ABC 中，若45,102,55B AB AC ︒∠===，则△ABC 等的面积是_______________.5.在△ABC 中，15,14,13AB BC AC ===，求ABC 的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.6.（2019·巴中）如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C 在直线m 上，分别过点,A B 作AE ⊥直线m 于点,E BD ⊥直线m 于点D .（1）求证：EC BD =.（2）若设AEC 三边分别为,,a b c ，利用此图证明勾股定理.基础参考答案1. 勾股定理 222a b c +=2.解：梯形的面积为21111()()2222a b a b ab ab c ++=++， 2222222.a ab b ab ab c a b c ∴++=++∴+=.3. C4. A5. C6. B7. 68. 8 【变式1】A 【变式2】50π9. B 10. 1 11. 13或提升参考答案1.C2.A3.A4.75或255.解：在△ABC 中，15,14,13AB BC AC ===，设BD x =，则14CD x =-.由勾股定理，得22222215,AD AB BD x AD =-=-=222213(14)AC CD x -=--. 22221513(14)x x ∴-=--. 解得119.12.14128422ABC x AD S BC AD =∴=∴=⋅=⨯⨯=△. 6.证明：（1）90,90.ACB ACE BCD BD m ︒︒∠=∴∠+∠=⊥，AE m ⊥， 90.90CDB AEC ACE CAE ︒︒∴∠=∠=∴∠+∠=.CAE BCD ∴∠=∠.在AEC 和CDB 中，,,().,AEC CDB CAE BCD AEC CDB AAS EC BD AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠∴∴=⎨⎪=⎩≌.（2）由（1）知,BD CE a CD AE b ====，22111()()222ABDE S a b a b a ab b ∴=++=++梯形. 又2211112222AEC BCD ABC ABDE S S S S ab ab c ab c ∴=++=++=+梯形， 221122a ab b ∴++=212ab c +，即222.a b c +=∴直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.《勾股定理的逆定理》基础训练知识点1 互逆命题1.下列各命题的逆命题不成立的是（ ）A.两直线平行，同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C.对顶角相等D.如果22a b =，那么a b =2.（2019·安徽）命题“如果0a b +=，那么,a b 互为相反数”的逆命题为_____________________.逆命题是_______________.（填“真命题”或“假命题”） 知识点2 勾股定理的逆定理3.下列各组数是勾股数的是（ ）A.3,4,5B.1.5,2,2.5C.2223,4,5D.111,,3454.（2019·益阳）已知,M N 是线段AB 上的两点，2,1AM MN NB ===，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接,AC BC ，则ABC 一定是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.在△ABC 中，8,15,17AB AC BC ===，则该三角形为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形6.将勾股数3,4,5扩大2倍，3倍，4倍，，可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16，20;，则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：_________________________.7.已知：在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角.（1）a b c ===2）5,7,9a b c ===；（3）2,a b c ===4）5,1a b c ===.8.如图是一个零件的示意图，测量4cm,3cm,12cmAD=，===,13cmAB BC CD∠=，根据这些条件，你能求出ACDABC︒90∠的度数吗？试说明理由.《勾股定理的逆定理》提升训练1.如图，AD为△ABC的中线，且13,10,12===，则AC等于（）AB BC ADA.10B.11C.12D.132.下列定理中，没有逆定理的是（）A.等腰三角形的两个底角相等B.对顶角相等C.三边对应相等的两个三角形全等D.直角三角形两个锐角的和等于903.【关注数学文化】（2018·长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米4.如图，方格中的点,A B 称为格点（横线的交点），以AB 为一边画△ABC ，其中是直角三角形的格点C 的个数为（ ）A.3B.4C.5D.65.把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是______________三角形.6.（教材P34习题T6变式）如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 边上的一点，且22,9BE EC FC DC ==，连接,,AE AF EF ，求证：△AEF 是直角三角形.7.（教材P34习题T5变式）如图，在四边形ABCD 中，1,3,1AB BC CD DA ====，且90B ︒∠=.求：（1）BAD ∠的度数；（2）四边形ABCD 的面积（结果保留根号）；（3）将△ABC 沿AC 翻折至AB C '△，如图所示，连接B D '，求四边形ACB D '的面积.8.（2019·呼和浩特改编）如图，在△ABC中，内角,,A B C∠∠∠所对应的边分别为,,a b c.（1）若,,a b c满足1()2a b caa b c c++=-+，求证：△ABC是直角三角形；（2）若,2,a m nb mnc m n=-==+，（其中,m n都是正整数，且m n>），求证：△ABC是直角三角形.基础参考答案1.C2.如果,a b 互为相反数，那么0a b += 真命题3.A4.B5.B6.答案不唯一，如：5,12,13;7,24,257.解：（1）是，B ∠是直角.（2）不是.（3）是，C ∠是直角.（4）是，A ∠是直角.8.解：90ACD ︒∠=，理由略.提升参考答案1.D2.B3.A4.B5.直角6.证明：设2FC a =，则9,7.9DC a DF a AB BC AD CD a ==∴====. 2BE CE =，6,3BE a EC a ∴==.在Rt ECF △中，222222(3)(2)13EF EC FC a a a =+=+=.在Rt ADF △中，222222(9)(7)130AF AD DF a a a =+=+=.在Rt ABE △中，222222(9)(6)117AE AB BE a a a =+=+=.22222213117,130.a a a EF AE AF AEF +=∴+=∴是以AEF ∠为直角的直角三角形.7.解：（1）135BAD ︒∠=.（2）ABCD S =四边形（3）24ACB D S '+=四边形. 8.证明：（1）原式可变形为22,()22a a b c a c b ac a c b c++=∴+-=+-，即22222222..a ac c b ac a c b ABC ++-=∴+=∴△是以B ∠为直角的直角三角形.（2）22222222(),4,(),()4()a m n b mn c m n m n mn m n =-===+∴-+=+，即222.a b c ABC +=∴△是以C ∠为直角的直角三角形.《勾股定理的应用》基础训练知识点1 勾股定理在平面图形中的应用1.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行__________________米.2.【方程思想】（2018·湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一.在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去有三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC 中，90,10,3ACB AC AB BC ︒∠=+==，求AC 的长.如果设AC x =，那么可列方程为_______________.3.八（2）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长度为15米；（注：BD CE ⊥）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明身高为1.6米.求风筝的高度CE.4.如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5小时后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？知识点2 两次勾股定理的应用5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米6.（教材P25例2变式）如图，滑竿在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑竿AB 长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑______________米.知识点3 利用勾股定理求两点间的距离7.（2019·常州）平面直角坐标系中，点(3,4)P-到原点的距离是____________.8.（教材P26练习T2变式）如图，在平面直角坐标系中，(4,4),(1,0),(0,1)A B C，则,B C两点间的距离是_____________；,A C两点间的距离是____________；,A B两点间的距离是_____________.9.（2019·大庆）如图，一艘船由A港沿北偏东60方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30方向航行10km至C港.（1）求,A C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：23 1.732≈≈）；（2）确定C港在A港的什么方向.《勾股定理的应用》提升训练1.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（）A.4米B.8米C.9米D.7米2.（2019·南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有____________cm.3.【方程思想】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m （不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.4.超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处.这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s ，并测得60,45APO BPO ︒︒∠=∠=，试判断此车是否超过了80km /h 的限制速度？5.如图，在Rt △ABC 中，90,5cm,3cm C AB AC ︒∠===，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm/s 的速度移动，设运动的时间为 s. t（1）求BC 边的长；（2）当△ABP 为直角三角形时，求t 的值.基础参考答案1.102. 2223(10)x x +=-3.解：风筝的高度CE 为21.6米.4.解：乙船每小时航行12海里.5.C6. 0.57. 5 5 59.解：（1）,A C 两港之间的距离约为14.1km .（2）C 港在A 港北偏东15的方向上.提升参考答案1.D2. 53.解：秋千支柱AD 的高为3m .4.解：在Rt △APO 中，60APO ︒∠=，则30.2200m PAO AP OP ︒∠=∴==，AO ==.在Rt △BPO 中，45BPO ︒∠=，则100m.100)m.BO OP AB AO BO ==∴=-=∴从A 到B 小车行驶的速度为100)324.4(m /s)87.84km /h 80km /h.÷≈=>∴此车超过80km /h 的限制速度.5.解：（1）4cm BC =.（2）当△ABP 为直角三角形时，4t =或254.《利用勾股定理作图》基础训练知识点1 在数轴上表示无理数1.（2019·南通改编）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB OA⊥，使3AB=（如图）.以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P 所表示的数为（）A.5B.11C.13D.42.在数轴上作出表示5的点（保留作图痕迹，不写作法）.3.利用如图44⨯的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实-.数8和8知识点2 网格中的无理数4.如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,1)B-，则线段AB的长度为A，点(3,1)（）A.2B.3C.5D.35.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；（2）如图2所示，,,A B C是小正方形的顶点，求ABC∠的度数.知识点3 等腰三角形中的勾股定理6.将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若12cmAB=，则AF=_________cm.7.（2019·天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A.(1,1)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,3)8.（教材P27练习T2变式）如图，在△ABC中，13cm,10cmAB AC BC===，求等腰三角形的底边上的高与面积.《利用勾股定理作图》提升训练1.如图，在22⨯的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点,,A B C 均为格点，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交格线于点D ，则CD 的长为（ ）A.12B.13C.3D.23-2.如图，图中小正方形的边长为1,ABC 的周长为（ ）A.16B.1242+C.772+D.5112+3.（教材P27练习T1变式）如图，数轴上点A 所表示的实数是_______________.4.点,,A B C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离为_____________.5.如图，△ABC和△CDE都是边长为4的等边三角形，点,,B C E在同一条直线上，连接BD，求BD的长.6.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点,,,E F G H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图.（1）在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为65时，求正方形EFGH 的面积；（2）在图2中再画一个格点弦图，并求出正方形EFGH的面积.7.仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.22211(1)12,2OA S =+==； 22322(2)13,2OA S =+==； 22433(3)14,OA S =+==；（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出10OA 的长；（3）求出222212310S S S S ++++的值.基础参考答案1.C2.略.3.略.4.C5.解：（1）图略.（2）45ABC ︒∠=.6. 7.B8.解：过点A 作AD BC ⊥于点,13cm D AB AC ==，11105(cm)22BD CD BC ∴===⨯=.AD ∴=12(cm)=，即等腰三角形底边上的高为()21112cm.101260cm 22ABC S BC AD ∴=⋅=⨯⨯=△.提升参考答案1.D2.B 15.解：BD =6.解：（1）正方形EFGH 的面积为5.（2）略.7.解：（1）221,2nn OA n S =+==（n 为正整数）.（2）221010110,OA OA =+=∴=（3）554.章末复习 勾股定理分点突破知识点1 勾股定理1.如图，在ABC △中，90,30,12C A AB ︒︒∠=∠==，则AC =（ ）A.6B.62C.63D.122.如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为____________2cm .3.如图，在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC ︒∠===，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则BD =____________________.4.如图，在四边形ABCD 中，22290,,2B CD AD AD CD AB ︒∠=⊥+=.求证：AB BC =.知识点2 勾股定理的应用5.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（ ）A.12mB.13mC.16mD.17m6.你听说过亡羊补牢的故事吧.为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在宽0.9m ，长1.2m 的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需___________长.7.如图，O 为数轴原点，,A B 两点分别对应3,3-，作腰长为4的等腰ABC △，连接OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 对应的实数为___________.知识点3 逆命题及逆定理8.“同旁内角互补”的逆命题是____________________，它是___________命题. 知识点4 勾股定理的逆定理及其应用9.在ABC 中，6,8,10AB AC BC ===，则该三角形为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 10.在ABC △中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c 且222a b c -=，则下列说法正确的是（ ） A.C ∠是直角B.B ∠是直角C.A ∠是直角D.A ∠是锐角易错题集训11.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是__________. 12.（2018·襄阳）已知CD 是ABC 的边AB 上的高，若3,1,2CD AD AB AC ===，则BC 的长为___________________. 常考题型演练13.如图，在ABC △中，90,2C AC ︒∠==，点D 在BC 上，2,5ADC B AD ∠=∠=，则BC 的长为（ ）A.31-B.31+C.51-D.51+14.如果将长为6cm ，宽为5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ） A.8cmB.6cmC.5.5cmD.1cm15.如图，在单位正方形组成的网格图中标有,,,AB CD EF GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A.,,CD EF GHB.,,AB EF GHC.,,AB CD EFD.,,GH AB CD16.如图，在ABC△中，5,8,===是线段BC上的动点（不含端点,B C）.AB AC BC D若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A.5个B.4个C.3个D.2个17.若一个三角形的周长为123cm，一边长为33cm，其他两边之差为3cm，则这个三角形是___________________.18.（2019·枣庄）把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B C D在同一直线上.若2,,AB=，则CD=_________________.19.（2019·河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了,,A B C三地的坐标，数据如图（单位：km）.笔直铁路经过,A B两地.（1）,A B间的距离为____________km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到,A C 的距离相等则,C D间的距离为_____________km.20.如图，有一块空白地，90,6m,8m,26m,24m ADC CD AD AB BC ︒∠=====.试求这块空白地的面积.参考答案 1.C 2.64 3.24.证明：连接.AC 在ABC △中，22290.,B AB BC AC CD AD ︒∠=∴+=⊥，90.ADC ︒∴∠=∴在ACD △中，2222222,,AD CD AC AD CD AB +=+=222222..0,0,AB BC AB BC AB AB BC AB BC ∴+=∴=>>∴=.5.D6.1.5m7.8.互补的两个角是同旁内角 假9.B10.C 11.100或28 12. 13.D 14.A 15.B16.C 17.直角三角形 19.（1）20（2）13 20.解：这块空白地的面积为296m模拟练：勾股定理三年模拟全练一、选择题1.（2019山西阳泉平定期末，6，★☆☆）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(2,3)-，以点O 为圆心，OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标为（ ）A.13B.213-C.13-D.132--2.（2019浙江温州瑞安西部学校期末，10，★★☆）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知127S S +=，且8AC BC +=，则AB 的长为（ ）A.6B.223C.52D.783.（2019河南漯河临颖期末，5，★★☆）下图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中512AE BE ==,，连接EF ，则EF 的长是（ ）A.7B.8C.72D.3二、填空题4.（2019上海浦东新区第四教育署期末，17，★★☆）将一副三角尺按图所示的方式叠放在一起，如果10cm AB =，那么___cm __AF =.5.（2019江苏扬州高邮期末，17，★★☆）如图，在Rt △ABC 中，90,ACB CD AB ︒∠=⊥于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，若2,1AC AE ==，则BC =________.6.（2017江苏南京师大附中第一阶段测试，15，★★☆）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S 若1239S S S ++=，则2S 的值是________.中考全练一、选择题1.（2019河南中考，9，★★☆）如图，在四边形ABCD 中，//,90,4,3AD BC D AD BC ︒∠===.分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O .若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A.22B.4C.3D.102.（2019浙江宁波中考，12，★★☆）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.两个较小正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和二、填空题3.（2018湖北襄阳中考，15，★★☆）已知CD 是△ABC 的边AB 上的高，若3,1,2CD AD AB AC ===，则BC 的长为_______.4.（2019内蒙古通辽中考，15，★★☆）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为_______.参考答案模拟全练一、选择题1.答案：C解析：由勾股定理得，OP OA OP ==∴==∴点A 的横坐标为 C.2.答案：A解析：在Rt △ABC 中，由勾股定理得，22212,7AC BC AB S S +=+=， 222111172222222AC BC AB AC BC πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯+⨯⨯+⋅-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，14,6AC BC AB ∴⋅=∴===，故选A. 3.答案：C解析：由题意知，△AEB ≌△BHC ，5,7BH AE EH BE BH ∴==∴=-=，同理，7,90,90,HF BHC FHE EF ︒︒=∠=∴∠=∴== C.二、填空题4.答案：解析：在△ACB 中，190,30,5cm,//,2ACB B AC AB FC DE ︒︒∠=∠=∴== 45,5cm AFC D FC AC ︒∴∠=∠=∴==，在Rt △ACF 中，由勾股定理，得AF ==，故答案为5.答案：1.5解析：90,,90ACB CD AB ACD BCD ︒︒∠=⊥∴∠+∠=，90,.ACD A BCD A CE ︒∠+∠=∴∠=∠平分,ACD ACE DCE ∠∴∠=∠.又,BEC A ACE BCE BCD DCE ∠=∠+∠∠=∠+∠，,BEC BCE BC BE ∴∠=∠∴=，设BC BE x ==，则1AB x =+，222222,2(1)AC BC AB x x +=∴+=+，解得 1.5x =，即 1.5BC =.6.答案：3解析：设四边形MTKN 的面积为x ，八个全等的三角形面积都为y ，正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123123,,,9S S S S S S ++=，1231238,4,,3129S y x S y x S x S S S x y ∴=+=+=∴++=+=，243,43x y S x y ∴+=∴=+=，故答案为3.中考全练一、选择题1.答案：A解析：如图，连接FC ，则//,AF FC AD BC FAO BCO =⋅∴∠=∠.易证△FOA ≌△BOC （AAS ），3,3AF BC FC AF ∴==∴==，431FD AD AF ∴=-=-=.在△FDC 中，22222290,,13,22D CD DF FC CD CD ︒∠=∴+=∴+=∴=.故选A.2.答案：C解析：设直角三角形的斜边长为c ，较长直角边的长为b ，较短直角边的长为a ，则222c a b =+，阴影部分的面积222()()c b a c b a ac ab a a b c =---=-+=+-， 易知两个较小正方形重叠部分的宽()a c b =--，长a =，则两个较小正方形重叠部分的面积()a a b c =+-，所以若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出两个较小正方形重叠部分的面积，故选C.二、填空题3. 答案：23或27 解析：分两种情况：（1）当△ABC 是锐角三角形时，如图①，CD AB ⊥，90CDA ︒∴∠=，3,1,2CD AD AC ==∴=，2,4AB AC AB =∴=，413BD ∴=-=，2222(3)323BC CD BD ∴=+=+=；（2）当△ABC 是钝角三角形时，如图②，同理得2,4AC AB ==，则5BD =，2222(3)527BC CD BD ∴=+=+=.综上所述，BC 的长为23或27.4.答案：6或25或45解析：①如图1，当5,4,3AB AC AD BD CD =====时，∴底边长为6；②如图2，当5,4AB AC CD ===时，3AD =，222,2425BD BC ∴=∴=+=，∴底边长为25；③如图3，当5,4AB AC CD ===时，223AD AC CD =-=，8,45,BD BC ∴=∴=∴底边长为45.综上，三角形的底边长为6或25或45.模拟练：勾股定理的逆定理三年模拟全练一、选择题1.（2019浙江金华婺城期末，7，★☆☆）下列条件中，不能判断三角形为直角三角形的是（）A.三个角的比是1: 2: 3B.三条边长满足关系222=-a c bC.三条边长的比是2: 3: 4D.三个角满足关系B C A∠+∠=∠2.（2019重庆江北新区联盟期中，9，★☆☆）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，那么它们的积是正数.它们的逆命题是真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.33.（2017山西阳泉孟县期中，9，★★☆）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A.南偏东60°B.南偏西60°C.北偏西30°D.南偏西30°二、填空题4.（2018山西吕梁孝义期末，13，★★☆）勾股定理222a b c+=本身就是一个关于,,a b c通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯a b c的方程，满足这个方程的正整数解(,,)学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),.分析上面勾股数组可以发现，=⨯+=⨯+=⨯+，分析上面规律，第5个勾股数组41(31),122(51),243(71),为_______.5.（2019河南信阳固始期末，12，★★☆）如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出6m,8m,24m,26m,====⊥，那么CD AD BC AB AD CD需要绿化部分的面积为_______.6.（2019福建龙岩新罗期末，15，★★☆）如图，在△ABC中，5,13,==AB AC BC 边上的中线6AD=，则△ABD的面积是_______.三、解答题7.（2019四川达州达川期末，21，★★☆）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，,,A B C为格点.（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求BC边上的高.中考全练一、选择题1.（2018湖南长沙中考，11，★★☆）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米二、填空题2.（2019安徽中考，12，★☆☆）命题“如果0a b +=，那么,a b 互为相反数”的逆命题为______.3.（2019北京中考，12，★★☆）如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠+∠=______°（点,,A B P 是网格线的交点）.三、解答题4.（2019河北中考，21，★★☆）已知整式()2221(2)A n n =-+，整式0B >. 尝试：化简整式A ；发现：2A B =，求整式B ；联想：由上可知，()22221(2)B n n =-+，当1n >时，21,2,n n B -为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B 的值：参考答案 模拟全练 一、选择题 1. 答案：C解析：A.三个角的比为1:2:3，设最小的角为x ，则23180x x x ︒++=，解得30x ︒=，则390x ︒=，故此三角形是直角三角形；B.三条边长满足关系222a c b =-，即222a b c +=，故此三角形是直角三角形；C.三条边长的比为2:3:4，不妨设三条边长分别为2，3，4，则222234+≠，故此三角形不是直角三角形；D.三个角满足关系B C A ∠+∠=∠，因为180A B C ︒∠+∠+∠=，即2180A ︒∠=，所以∠A 为90°，故此三角形是直角三角形.故选C. 2. 答案B解析：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；②全等三角形的对应边相等的逆命题是各边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题；③如果两个实数是正数，那么它们的积是正数的逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数，是假命题.故选B. 3. 答案：A解析：如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，∴甲客轮走了4015600(m)⨯=，乙客轮走了4020800(m)⨯=.A B 、两点间的直线距离为2221000m,6008001000+=，90AOB ︒∴∠=，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，∴乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，故选A.二、填空题 4.答案：(11,60,61)解析：在勾股数组：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),中，41(31),122(51),243(71),=⨯+=⨯+=⨯+，可得第4组勾股数组中间的数为4(91)40⨯+=，故对应的勾股数组为(9,40,41)；第5组勾股数组中间的数为5(111)60⨯+=，故对应的勾股数组为(11,60,61)， 故答案为(11,60,61). 5.答案：296m解析：22290,6436100ADC AC AD CD ︒∠=∴=+=+=，222210057667626AC BC AB +=+===， ∴△ABC 为直角三角形，∴需要绿化部分的面积1122ACB ACD S S AC BC AD CD ∆∆=-=⋅-⋅ ()21110248696m 22=⨯⨯-⨯⨯=，故答案为296m . 6. 答案：15解析：如图，延长AD 到点E ，使6DE AD ==，连接,CE AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在△ABD 和△ECD 中，,,,BD CD ADB CDE AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ECD （SAS ），5,CE AB BAD E ∴==∠=∠，222212,5,13,,90,90AE AD CE AC CE AE AC E BAD ︒︒====∴+=∴∠=∴∠=， ∴△ABD 为直角三角形，∴△ABD 的面积1152AD AB =⋅=，故答案为15.三、解答题 7.答案：见解析解析：（1）△ABC 是直角三角形.理由：2222222221865,2313,6452BC AC AB =+==+==+=，222AC AB BC ∴+=， ∴△ABC 是直角三角形.（2）设BC 边上的高为h ，则有1122AC AB BC h ⋅=⋅， 13,213,65AC AB BC ===265h ∴=中考全练 一、选择题 1. 答案：A解析：依题意得三角形沙田的三边长分别为2.5千米，6千米，6.5千米，因为2222.56 6.5+=，所以这个三角形为直角三角形直角边长分别为2.5千米和6千米，所以该沙田的面积16 2.57.52=⨯⨯=（平方千米），故选A.二、填空题 2.答案：如果,a b 互为相反数，那么0a b += 解析： 3. 答案：45解析：如图，延长AP 交网格边缘于D ，连接BD ，设每个小正方形的边长为1，则2222222125,1310PD BD PB ==+==+=，222,90PD DB PB PDB ︒∴+=∴∠=，45DPB PAB PBA ︒∴∠=∠+∠=.三、解答题 4.答案：见解析解析：尝试 ()()22224224221(2)214211A n n n n n n n n =-+=-++=++=+.发现22,0,1A B B B n =>∴=+.联想 勾股数组I 2228,4,14117n n B n =∴=∴=+=+=.勾股数组II()222135,11237n B n n -=∴=+=-+=.模拟练：勾股定理的应用三年模拟全练一、选择题1.（2019吉林长春绿园期末，8，★☆☆）如图8，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度为（）A.4米B.5米C.6米D.7米2.（2017湖北襄阳枣阳期中，4，★☆☆）小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，在如图所示的数轴上的2个单位长度的位置找到一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段CD，CD长为3个单位长度，以原点O为圆心，OC长为半径作弧，交数轴（原点右侧）于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间3.（2019广东深圳宝安期末，10，★★☆）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙上时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A.2.7米B.2.5米C.2米D.1.8米。
【人教版】八年级数学下第十七章《勾股定理》课时作业同步练习(含答案)
微课堂第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2.2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为 c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，∴c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C )A ．a 2＋b 2＝c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2D ．c 2－a 2＝b 24．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 的长为(C )A ．4B . 5C .13D ．55．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C )A ．4 cmB ．4 3 cmC ．6 cmD ．6 3 cm 6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6． 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(1)a ＝7，b ＝24，求c ； (2)a ＝4，c ＝7，求b.解：(1)∵∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．∴a 2＋b 2＝c 2. ∴72＋242＝c 2.∴c2＝49＋576＝625.∴c＝25.(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴42＋b2＝72.∴b2＝72－42＝49－16＝33.∴b＝33.8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数；(2)若AC＝2，求AD的长．解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝CD.根据勾股定理，得AD＝ 2.02中档题9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C) A．5 B．6 C．8 D．10第9题图第10题图10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C) A．48 B．60 C．76 D．8011．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.21第11题图第14题图12．(2016·东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C) A．10 B．8C．6或10 D．8或1013．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3．15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15.(1)求AB 的长；(2)求CD 的长．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25.(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AC ·BC ＝AB ·CD .∴20×15＝25CD .∴CD ＝12.17．(2016·益阳)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作AD ⊥BC 于点D ， 设BD ＝x ，用含x的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84.03综合题18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2017．习题解析第2课时 勾股定理的应用01 基础题知识点1 勾股定理在平面图形中的应用1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处，旗杆折断之前的高度是(D )A ．5 mB ．12 mC ．13 mD ．18 m第1题图 第2题图2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长度为15米；(注：BD ⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE.解：在Rt △CDB 中，由勾股定理，得CD ＝CB 2－BD 2＝252－152＝20(米)．∴CE ＝CD ＋DE ＝20＋1.6＝21.6(米)． 答：风筝的高度CE 为21.6米．4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h 后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？解：设码头所在的位置为C ，1.5 h 后甲船所在位置为A ，乙船所在位置为B ，则 AC 与正北方向的夹角为45°，BC 与正北方向的夹角为45°， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵AC ＝16×32＝24(海里)，AB ＝30海里．由勾股定理，得 BC 2＝AB 2－AC 2＝302－242＝324.解得BC ＝18. ∴18÷32＝12(海里/小时)．答：乙船每小时航行12海里．知识点2勾股定理与方程的应用5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：如图，由题意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC.设OA＝x，则OB＝OA＋AC＝x＋0.5.在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，∴x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3.75.∴水深3.75尺．6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？解：B为猴子的初始位置，则AB＝10 m，C为池塘，则AC＝20 m.设BD＝x m，则树高AD＝(10＋x)m.由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10.∴CD＝(30－x)m.在Rt△ACD中，∠A＝90°，由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5.∴AD＝10＋5＝15(m)．故这棵树有15 m高．知识点3两次勾股定理的应用7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米第7题图第8题图8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B 距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．02中档题9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草(D)A．4 B．6 C．7 D．8第9题图第10题图10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D) A．4米B．8米C．9米D．7米11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.第11题图第12题图习题解析12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝DF2＋EF2＝1202＋902＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？解：在Rt △APO 中，∠APO ＝60°，则∠PAO ＝30°. ∴AP ＝2OP ＝200 m ，AO ＝AP 2－OP 2＝2002－1002＝1003(m )．在Rt △BOP 中，∠BPO ＝45°，则BO ＝OP ＝100 m .∴AB ＝AO －BO ＝1003－100≈73(m )． ∴从A 到B 小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m /s )＝87.48 km /h >80 km /h . ∴此车超过每小时80千米的限制速度．03 综合题15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度移动，设运动的时间为t s .(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16. ∴BC ＝4 cm .(2)由题意，知BP ＝t cm ，①当∠APB 为直角时，如图1，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4；②当∠BAP 为直角时，如图2，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2＝32＋(t －4)2. 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， 即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2. 解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数1．在数轴上作出表示5的点(保留作图痕迹，不写作法)．解：略．知识点2 网格中的无理数2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为(A )A ．5B ．6C ．7D ．25知识点3 等腰三角形中的勾股定理3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的边上的高与面积.解：过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ， ∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12(cm)．∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 4．(2017·南充)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(D )A ．(1，1，)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3) 5．(2017·成都)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．第5题图 第6题图6．(2017·乐山)点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离355．7．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8，DB ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.03 综合题8．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …求：(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n ＝(n －1)2＋1＝n ，S n＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10，∴OA 10＝10. (3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.【例1】 直角三角形纸片的两直角边AC ＝8，BC ＝6，现将△ABC 如图折叠，折痕为DE ，使点A 与点B 重合，则BE 的长为254．1．(2017·黔西南)如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是94cm .第1题图 第2题图2．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】 (教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的AA ′剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．【解答】 如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根裾勾股定理得：AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225.∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路径是15 cm.3．如图是一个高为10 cm ，底面圆的半径为4 cm 的圆柱体．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA ＝3 cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1＝2 cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是16π2＋25cm.(结果用带π和根号的式子表示)第3题图 第4题图4．如图，在一个长为2 m ，宽为1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m (精确到0.01 m )．5．如图，长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm .(1)点A 1到点C 2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm ， ∴A 2C 2＝42＋12＝17(cm )． ∴A 1C 2＝52＋（17）2＝42(cm )． (2)如图1所示，A 2C 1＝52＋52＝52(cm )． 如图2所示，A 2C 1＝92＋12＝82(cm )． 如图3所示，A 2C 1＝62＋42＝213(cm )．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，爬行的最短路程是5 2 cm .17.2 勾股定理的逆定理01 基础题知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C )A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b2．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；(2)等腰三角形的两个底角相等．解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题． (2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题．知识点2 勾股定理的逆定理3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B) A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 4．下列各组数是勾股数的是(A )A ．3，4，5B ．1.5，2，2.5C ．32，42，52D .13，14，155．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝15，BC ＝17，则该三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．三角形的边长之比为：①1.5∶2∶2.5；②4∶7.5∶8.5；③1∶3∶2；④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形8．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a ＝3，b ＝22，c ＝5； (2)a ＝5，b ＝7，c ＝9； (3)a ＝2，b ＝3，c ＝7； (4)a ＝5，b ＝26，c ＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是不是直角三角形？为什么？解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.(2)△ABC不是直角三角形．理由：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．02中档题10．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10B．11C．12D．13c－10＝0，那么下列说法中不正确的是(C) 11．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋b－8＋||A．这个三角形是直角三角形B．这个三角形的最长边长是10C．这个三角形的面积是48D．这个三角形的最长边上的高是4.812．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°13．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则∠NOF 的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°14．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．15．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5 cm.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，即AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.求：(1)∠BAD的度数；(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)．解：(1)连接AC.∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝AB2＋BC2＝ 2.又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝CD2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.03 综合题17．在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：(1)请你分别观察a ，b ，c b ，c ，则a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1；(2)猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 解：以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝(n 2＋1)2＝c 2， ∴以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．章末复习(二)勾股定理01基础题知识点1勾股定理1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A. 6 B．6 2C．6 3 D. 12第1题图第2题图2．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 m B．13 mC．16 m D．17 m第5题图第6题图6．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B 两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．7．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题与逆定理8．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形02中档题10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋1第10题图第11题图11．(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD 长为正整数，则点D的个数共有(C)A．5个B．4个C．3个D．2个12．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C) A．90°B．60°C．45°D．30°第12题图第13题图13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD14．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．15．有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC .∵∠ADC ＝90°，∴△ADC 是直角三角形．∴AD 2＋CD 2＝AC 2，即82＋62＝AC 2，解得AC ＝10.又∵AC 2＋CB 2＝102＋242＝262＝AB 2，∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90°∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ACB －S Rt △ACD＝12×10×24－12×6×8 ＝96(m 2)．故这块空白地的面积为96 m 2.16．小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD ＝2，求AC 的长．解：∵BD ＝CD ＝2，∴BC ＝22＋22＝2 2.∴设AB ＝x ，则AC ＝2x.∴x 2＋(22)2＝(2x)2.∴x 2＋8＝4x 2.∴x 2＝83. ∴x ＝263. ∴AC ＝2AB ＝436.03 综合题17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，CD ＝PC ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．解：连接BD.∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，∴△CPD为等腰直角三角形．∴∠CPD＝45°.∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)．∴DB＝P A＝3.在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8. 又∵PB＝1，DB2＝9，∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.∴∠DPB＝90°.∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.。
人教版 八年级数学 下册 第17章 勾股定理 同步课时训练 (含答案)
人教版 八年级数学 第17章 勾股定理 同步课时训练一、选择题1. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C)，若线段AD 长为正整数．．．，则点D 的个数共有( )A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个2. 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<3. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定4. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定5. 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）A ．x y =B ．x y >C ．x y <D ．不确定C A6. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ， CD ， EF ， GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EFF HG E D BC A7. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.88. 如图所示，底边BC 为23，顶角A 为120°的等腰△ABC 中，DE 垂直平分AB 于D ，则△ACE 的周长为( )A . 2＋2 3B . 2＋ 3C . 4D . 3 3二、填空题9. 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒， （1）如果34a b ==，，则c = ；（2）如果68a b ==，，则c = ；（3）如果512a b ==，，则c = ；（4）如果1520a b ==，，则c = .10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8.分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，相交于点E ，F.过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长是________．11. 将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为12. 一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．13. 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为CB A14. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为三、解答题17. 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.18. 如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？19. 已知，如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．(1)求证：△ACE ≌△BCD ；(2)求证：2CD 2＝AD 2＋DB 2.20. 如图，在凸四边形ABCD 中，30,60ABC ADC ∠=∠=，,AD DC =证明:222BD AB BC =+.DCBA人教版八年级数学第17章勾股定理同步课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD 之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．2. 【答案】C【解析】a= 105,c= 13. 选D.3. 【答案】C【解析】整体代入法.应用平方差公式.选C.4. 【答案】C【解析】速度一定且相同，路程比=时间比.再用勾股定理，直线距离应该是25分钟的路程.选C.5. 【答案】B【解析】由勾股定理得()()2222a a a x a y +=-++，化简得()2220a x y x y -=+>，x y >6. 【答案】B【解析】8AB =，20CD =，5EF =，13GH =，选B ．7. 【答案】D【解析】本题易错.最短边为6，它的高为8.选D .8. 【答案】A 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ，BC ＝23，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，BF ＝CF ＝3，在Rt △ACF 中，AC ＝CF cos C ＝3cos30°＝2.∵DE 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ，∴△ACE 的周长＝AE ＋CE ＋AC ＝BE ＋CE ＋AC ＝BC ＋AC ＝23＋2.二、填空题9. 【答案】(1)5；(2)10；(3)13；(4)25【解析】直接应用勾股定理,且c 为斜边. (1)5；(2)10；(3)13；(4)25.10. 【答案】5 【解析】由题意知EF 垂直平分AB ，∴点D 是AB 的中点，∵∠ACB ＝90°，∴CD 为斜边AB 的中线，∴CD ＝12AB.∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10，∴CD ＝5.11. 【答案】2.3cm12. 【答案】25【解析】 题目要求只在平面状态下考虑,所以直接用勾股定理可知铁条最长为25.13. 【答案】74【解析】设BC x =米，则()8AC x =-米，因为6AB =米，根据勾股定理可得：()22268x x +=-，解答74x =，故折断点C 到旗杆底部的距离为74米14. 【答案】10【解析】直接应用勾股定理可知,少走了5m.又知2步为1米,所以少走了10步.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】6013【解析】由()()()222512130a b c -+-+-=，得51213a b c ===，，，得三角形ABC 是直角三角形，所以高为6013三、解答题17. 【答案】5【解析】①当两直角边为3和45；②当斜边为4，一直角边为318. 【答案】5cm【解析】这是立体几何问题.盒子内两点间最长距离是长方体的斜对角线.=20cm.细木棒露在盒外面的最短长度是25-20=5cm.19. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分)在△ACE 与△BCD 中，⎩⎨⎧EC ＝DC∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)20. 【答案】以BC 为边作等边三角形BCE ，连接AC ，AE .E DCBA则BC EC =，60BCE CBE ∠=∠=.∵60,,ADC AD DC ∠==∴ACD ∆为等边三角形，∴60ACD ∠=，AC DC =.又∵ACD ACB BCE ACB ∠+∠=∠+∠，∴BCD ECA ∆≅∆.∴BD AE =.word 版 初中数学11 / 11 ∵30ABC ∠=，∴90ABE ∠=.∴222AE AB BE =+，即222BD AB BC =+.。
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最短路径问题：第17 章勾股定理专题训练（含答案）1.用对称法求平面中最短问题例 1．高速公路的同一侧有 A、B 两城镇，如图，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口 P，使 A、B 两城镇到 P 的距离之和最小．求这个最短距离．2.用计算法求平面中最短问题例2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A 走到B，为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2 步为1 m)，却踩伤了花草．3.用展开法求立体图形中最短问题2例 3．如图，已知圆柱体底面圆的半径为π，高为 2，AB，CD 分别是两底面的直径．若一只小虫从A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根号)．巧用勾股定理解折叠问题1.巧用对称法求折叠中图形的面积例 1．如图所示，将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点C′处，BC′交 AD 于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．2.巧用方程思想求折叠中线段的长例2．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长 EF 交 BC 于点 G，连接 AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG 的长．构造直角三角形，利用勾股定理解题例1．如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 AC 边的中点，过 D 点作DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE＝4，FC＝3，求 EF 的长．例 2.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求 BC 的长．系统训练一、选择题（每题3 分，共30 分）1.下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是（）3a -b - 50 A. a 2 -c 2 = b 2 B. (a - b )(a + b ) + c 2 = 0C. ∠A ＝∠B ＝∠CD. ∠A ＝2∠B ＝2∠C2. 在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶 7.5 米、10 米，则 10 秒后两车相距（ ）米 A. 55 B. 103 C. 125 D. 1533. 如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12 米B. 13 米C. 14 米D. 15 米4. 如图，是 2002 年 8 月北京地 24 届国际数学家大会会标，我国古代的数学家赵爽为证明所作的“弦图”，由 4 个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大,小正方形的面积分别为 52 和 4,那么一个直角三角形的两直角边的积等于（ ） A. 12B. 20C. 24D. 105. 等边三角形的边长为 6，则它的面积为（）A. 9B. 18C. 36D. 18 6. 若等腰三角形中相等的两边长为 10cm ，第三边长为 16cm ，那么第三边上的高为（）A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm 7. △ABC 的三边满足 a + b - 50 + + (c - 40)2 = 0 ，则△ABC 为（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形8. 如图，一圆柱体的底面周长为 10cm ，高 BD 为 12cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点 D出发沿着圆柱的表面爬行到点 C 的最短路程为（ ）cm A. 17 B. 13 C. 12 D. 149. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD 、EF 、GHB. AB 、EF 、GHC. AB 、CF 、EFD. GH 、AB 、CD10. 直角三角形的两条直角边长为 a ，b ，斜边上的高为 h ，则下列各式中总能成立的是（ ）A. ab = h 2B. a 2 + b 2 = 2h 2C. 1 + 1 = 1 a b hD.1+ 1 = 1 a 2 b 2 h 2二、 填空题（每天 4 分，共 20 分） 11. 已知一直角三角形的两边分别为 3 和 4，则第三边长的平方是 。