离散数学北京邮电大学PPT课件
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北京邮电大学计算机学院 离散数学 9.1~9.3-relations
A B = {(a, b) | a A and b B}
2015-2-5
College of Computer Science & Technology, BUPT
5
A1 A2 Am
The Cartesian product A1 A2 Am of the nonempty sets A1, A2, , Am is the set of all ordered m-tuples (m元组) (al, a2, ... , am), where ai Ai, i = 1, 2, . . . , m Thus
9.1 Relations and Their Properties 关系及关系性质 9.2 n-ary Relations and Their Applications n元关系及应用 9.3 Representing Relations 关系的表示 9.4 Closures of Relations 关系闭包 9.5 Equivalence Relations 等价关系 9.6 Partial Orderings 偏序关系
R(A1) = {y B | x R y for some x in A1}
2015-2-5
College of Computer Science & Technology, BUPT
15
Theorem
Let R be a relation from A to B, and let A1 and A2 be subsets of A. Then
College of Computer Science & Technology, BUPT
北京邮电大学计算机学院离散数学下半学期
Examples
(Z, +) is a commutative semigroup.
The set P(S), where S is a set, together with the operation of union is a commutative semigroup.
The set Z with the binary operation of subtraction is not a semigroup, since subtraction is not associative.
Subsemigroup – 子半群
Let
(S, *) be a semigroup and T be a subset of S.
if T is closed under the operation *, then
(T, *) is called a subsemigroup of (S, *).
Powers of a
Suppose
(S, *) is a semigroup, a ∈ S n ∈ Z+
Define the powers of an recursively as follows:
al = a, an = an-1 * a, n ≥2.
a0 = e
if (S, *) is a monoid
if it is a one-to-one correspondence from S to T, and f(a*b) = f(a)*'f(b) for all a and b in S.
Note
If f is an isomorphism from (S, *) to (T, *'), then, since f is a one-to-one correspondence, f-1 exists and is a one-toone correspondence from T to S.
北京邮电大学 计算机学院 离散数学 3.2-Growth of Functions
problems. Ignore implementation details such as loop counter
incrementation, etc. We can straight-line any loop.
2021/6/13
精选2021版课件
2
Orders of Growth (§3.2)
Discrete Mathematical Structures
Growth of Functions(函数增长)
Yang Juan
yangjuan@
College of Computer Science & Technology Beijing University of Posts & Telecommunications
Suppose database program A takes fA(n)=30n+8 microseconds to process any n records, while program B takes fB(n)=n2+1 microseconds to process the n records.
精选2021版课件
6
The Big-O Notation
Definition: Let f and g be functions from N or R
to R. Then g asymptotically dominates(渐进地支 配) f, denoted f is O(g) or 'f is big-O of g, iff
Value of function
fA(n)=30n+8 fB(n)=n2+1 Increasing n
incrementation, etc. We can straight-line any loop.
2021/6/13
精选2021版课件
2
Orders of Growth (§3.2)
Discrete Mathematical Structures
Growth of Functions(函数增长)
Yang Juan
yangjuan@
College of Computer Science & Technology Beijing University of Posts & Telecommunications
Suppose database program A takes fA(n)=30n+8 microseconds to process any n records, while program B takes fB(n)=n2+1 microseconds to process the n records.
精选2021版课件
6
The Big-O Notation
Definition: Let f and g be functions from N or R
to R. Then g asymptotically dominates(渐进地支 配) f, denoted f is O(g) or 'f is big-O of g, iff
Value of function
fA(n)=30n+8 fB(n)=n2+1 Increasing n
北京邮电大学计算机学院 离散数学 11.2-trees
5
Coin-Weighing Problem
Imagine you have 8 coins, one of which is a lighter counterfeit, and a free-beam balance.
No scale of weight markings is required for this problem!
2015-2-5
College of Computer Science & Technology, BUPT
4
Decision Trees
A decision tree represents a decision-making process.
Each possible “decision point” or situation is represented by a node. Each possible choice that could be made at that decision point is represented by an edge to a child node.
9
2015-2-5
General Balance Strategy
On each step, put n/3 of the n coins to be searched on each side of the scale.
If the scale tips to the left, then:
You can prove that this strategy always leads to a balanced 3-ary tree.
2015-2-5
北邮概率统计课件2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)
4 5 4 5 5 5 0
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
2013-8-9 北邮概率统计课件
n k
概率统计
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
2013-8-9 北邮概率统计课件
n k
概率统计
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有
离散数学北京邮电大学
– Analysis using order-ofgrowth notation.
• §3.5: Primes and Greatest Common Divisors • §3.6: Integers & Algorithms
– Alternate bases, algorithms for basic arithmetic
Algorithm Characteristics
Some important general features of algorithms: • Input. Information or data that comes in. • Output. Information or data that goes out. • Definiteness. Algorithm is precisely defined. • Correctness. Outputs correctly relate to inputs. • Finiteness. Won‟t take forever to describe or run. • Effectiveness. Individual steps are all do-able. • Generality. Works for many possible inputs. • Efficiency. Takes little time & memory to run.
– Example assignment statement: v := 3x+7 (If x is 2, changes v to 13.)
• In pseudocode (but not real code), the expression might be informally stated:
• §3.5: Primes and Greatest Common Divisors • §3.6: Integers & Algorithms
– Alternate bases, algorithms for basic arithmetic
Algorithm Characteristics
Some important general features of algorithms: • Input. Information or data that comes in. • Output. Information or data that goes out. • Definiteness. Algorithm is precisely defined. • Correctness. Outputs correctly relate to inputs. • Finiteness. Won‟t take forever to describe or run. • Effectiveness. Individual steps are all do-able. • Generality. Works for many possible inputs. • Efficiency. Takes little time & memory to run.
– Example assignment statement: v := 3x+7 (If x is 2, changes v to 13.)
• In pseudocode (but not real code), the expression might be informally stated:
离散数学课件-绪论
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
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• A computer program is simply a description of an algorithm, in a language precise enough for a computer to understand, requiring only operations that the computer already knows how to do.
• §3.6: Integers & Algorithms
– Alternate bases, algorithms for basic arithmetic
• §3.7: Applications of Number theory
– Public-Key Cryptography
• §3.8: Matrices
person whose job was to execute
algorithms!
.
7
Executing the Max algorithm
• Let {ai}=7,12,3,15,8. Find its maximum…
• Set v = a1 = 7. • Look at next element: a2 = 12. • Is a2>v? Yes, so change v to 12. • Look at next element: a2 = 3. • Is 3>12? No, leave v alone…. • Is 15>12? Yes, v=15…
• Definiteness. Algorithm is precisely defined.
• Correctness. Outputs correctly relate to inputs.
• You should know at least 1 real
language!
.
5
Algorithm Example (English)
• Task: Given a sequence {ai}=a1,…,an, aiN, say what its largest element is.
• One algorithm for doing this, in English:
Algorithms
Rosen 6th ed., §3.1
Abu al-Khowarizmi
(ca. 780-850)
.
1
Chapter 3: More Fundamentals
• §3.1: Algorithms
– Formal procedures
• §3.2: Growth of Functions • §3.3: Complexity of
are no more elements in the sequence, & return v.
.
6
Executing an Algorithm
• When you start up a piece of software, we say the program or its algorithm are being run or executed by the computer.
– Set the value of a temporary variable v (largest element seen so far) to a1’s value.
– Look at the next element ai in the sequence.
– If ai>v, then re-assign v to the number ai. – Repeat then previous 2 steps until there
algorithms
– Analysis using order-ofgrowth notation.
• §3.4: The Integers & Division
– Some basic number theory.
• §3.5: Primes and Greatest Common Divisors
– Older: Fortran, Cobol, Lisp, Basic
– Assembly languages, for low-level coding.
• In this class we will use an informal, Pascal-like “pseudo-code” language.
• Given a description of an algorithm, you can also execute it by hand, by working through all of its steps with pencil & paper.
• Before ~1940, “compharacteristics
Some important general features of algorithms:
• Input. Information or data that comes in.
• Output. Information or data that goes out.
– Some basic linear algebra.
.
2
§3.1: Algorithms
• The foundation of computer programming.
• Most generally, an algorithm just means a definite procedure for performing some sort of task.
• We say that a program implements (or “is an
implementation of”) its. algorithm.
3
Programming Languages
• Some common programming languages:
– Newer: Java, C, C++, C#, Visual Basic, JavaScript, Perl, Tcl, Pascal, many others…