高中数学《函数的单调性 》导学案

1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性1．增减函数定义2．函数单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么说函数f(x)在这一区间上具有(严格的)□6单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的□7单调区间．3．基本初等函数的单调性1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．()(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．()(3)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)<f(4)．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P32T1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事物吻合得最好的图象是()(2)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示，①从左至右图象是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(3)已知函数f(x)＝－2x＋1的图象如图2所示，①从左至右图象是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.答案(1)C(2)①上升的②(－∞，＋∞)增大增函数(3)①下降的②(－∞，＋∞)减小减函数『释疑解难』(1)并非所有的函数都具有单调性．如函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域为R ，但不具有单调性．(2)函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．如函数y ＝1x (x ≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性．(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接，如函数y ＝1x (x ≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y ＝1x (x ≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(4)函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D 而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不包括这些点．探究1 证明或判断函数的单调性例1 证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2. ∵2<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．拓展提升定义法证明单调性的步骤判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．利用定义法判断(或运用)函数的单调性的步骤为：【跟踪训练1】 利用单调性的定义判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解 设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1). ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 探究2 求单调区间并判断单调性例2 (1)求函数y ＝|x 2＋2x －3|的增区间与减区间；(2)作出函数f (x )＝x 2－6x ＋9＋x 2＋6x ＋9的图象，并指出其单调区间．解 (1)令f (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.作出f (x )的图象，保留其在x 轴上及其上方部分，将位于x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，得到y ＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象，得原函数的增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，减区间是(－∞，－3]和[－1,1]．(2)函数f (x )可化为：f (x )＝|x －3|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－3，6，－3<x ≤3，2x ，x >3.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．其中，单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋∞)． 拓展提升常用画图象求单调区间(1)对于初等函数⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝k x 单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出．(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)．(3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域．【跟踪训练2】 (1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间．解 (1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．(2)先画出f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图． 所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 探究3 函数单调性的应用例3 (1)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围；(2)已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23.即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23. (2)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2，∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]．又∵已知f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴1－a ≥4，即a ≤－3.∴所求实数a 的取值范围是(－∞，－3]．拓展提升利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．(2)相关结论①正向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)；当x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)；②逆向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)<f (x 2)时，x 1<x 2；当f (x 1)>f (x 2)时，x 1>x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，也有相应的结论．【跟踪训练3】 (1)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，试比较f (1)，f (2)，f (4)的大小；(2)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．解 (1)由题意知f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2，故f (1)＝f (3)．由题意知f (x )在[2，＋∞)上是增函数，所以f (2)<f (3)<f (4)，即f (2)<f (1)<f (4)．(2)由题意，得⎩⎨⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.① 因为f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，所以x －2<1－x ，解得x <32，②由①②得1≤x ＜32. 所以满足题设条件的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.1.若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减.2.对增函数的判断，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0. 对减函数的判断，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0. 3.熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0). 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较.1．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性 答案 C解析 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k ＞12 B ．k ＜12 C ．k ＞－12 D ．k ＜－12答案 D解析 当2k ＋1＝0时，不符合题意，∴2k ＋1≠0，由一次函数的单调性可知2k ＋1＜0，即k ＜－12.3．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案 C解析 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.4．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 设1<x 1<x 2，则x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为x 1x 2>1，即－x 1x 2<－1，所以a ≥－1， 故实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明．解 f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 证明如下：任取x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，由x 1>x 2>0知x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．A 级：基础巩固练一、选择题1．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )A ．一定是增函数B ．一定是减函数C ．可能是常数函数D ．单调性不能确定答案 D解析 由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1x D ．y ＝－x 2＋4答案 A解析 B 在R 上为减函数；C 在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D 在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．3．若y ＝f (x )是R 上的减函数，对于x 1<0，x 2>0，则( ) A ．f (－x 1)>f (－x 2) B ．f (－x 1)<f (－x 2) C ．f (－x 1)＝f (－x 2) D ．无法确定答案 B解析 因为x 1<0，x 2>0，所以－x 1>－x 2，又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以f (－x 1)<f (－x 2)．4．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．(－∞，＋∞)答案 C解析 y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，其对称轴为x ＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴当x ≤－12时单调递减．5．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a ，b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( )A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) 答案 A解析 因为f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a ，b ∈R, 且a ＋b ≤0，所以a ≤－b ，b ≤－a ，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．二、填空题6．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≤－3解析 因为函数f (x )在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，所以1－a ≥4，即a ≤－3.7．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是______．答案 f (－3)>f (－π)解析 由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可知函数f (x )为增函数．又－3>－π，所以f (－3)>f (－π)．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2ax ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．答案(0,2]解析依题意得实数a应满足⎩⎪⎨⎪⎧a－3<0，2a>0，(a－3)＋5≥2a，解得0<a≤2.三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x2，x∈[－1，2]，x－3，x∈(2，5]，(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间及值域．解(1)f(x)的图象如下图．(2)函数f(x)在[－1,0]及[2,5]上为增函数，在(0,2)上为减函数，所以单调递增区间为[－1,0]和[2,5]．由图象知值域为[－1,3]．B级：能力提升练10．函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f⎝⎛⎭⎪⎫xy＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f⎝⎛⎭⎪⎫1x－3≤2.解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，即f (x 2－x 1)>1.所以f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )是R 上的增函数．(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，所以f (y )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )．在上式中取x ＝4，y ＝2，则有f (2)＋f (2)＝f (4)， 因为f (2)＝1，所以f (4)＝2.于是不等式f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －3≤2可变形为f [x (x －3)]≤f (4)．又由(1)，知f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎨⎧x (x －3)≤4，x －3≠0，解得－1≤x <3或3<x ≤4，所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]．。