2020年河南省六市高三数学第一次联考(理科)试题【含答案】
2020年河南省六市高三第一次联考理科数学试题参考答案一、选择题1-5CADDC6-10DBBDB 11-12BC二、填空题13.1014.),1(+∞15.13516.),1(1e e 三、解答题：17、解：（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⨯⨯，...........................3分因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =，所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =.所以边BC 的长为10............................6分（2）由（1）知ADC ∆为直角三角形，所以14362ADC S ∆=⨯⨯=，212ABC ADC S S ∆∆==......................8分因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42105AC BC ===....................10分所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+7125BCE S ∆==，所以607BCE S ∆=.即BCE ∆的面积为607............................12分18.解：（1）分所以又因为所以的中点，是又因为是等边三角形，所以是菱形，且因为四边形2 (333),660BAD ABCD ===⊥∆=∠︒BO AO AB ADBO AD O ABD分所以平面所以又所以是菱形，又因为所以分平面所以又所以，又5................................,//3..................,43,4222PE AC POEAC OOE PO OE AC BDOE ABCD ACPO ABCD PO OOB AD AD PO OBPO PB PO BO PB PO ⊥⊥=⋂⊥⊥⊥=⋂⊥⊥=+==（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()()()30,0,4,,00,0,0,2P B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，)0,0,3-(D 设平面POE 的一个法向量为()111,,m x y z =,则：11140302m OP z m OE x ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，据此可得平面POE的一个法向量为)1,0m =- ，.........................8分设平面PBD 的一个法向量为()222,,n x y z = 则:{03330432222=--=⋅=--=⋅y x BD n z x PD n 据此可得平面PBD 的一个法向量为)33,4,34(-=n (10)分9191891216-=-==nm 平面POE 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值91918............................12分19.解：（1）由题知），（，，ac c a c e 1P 1∴==在椭圆上所以11,11222222222==+∴=+bb ac b b a c a 故2,1==a b 所以椭圆C 的方程为1222=+y x (4)分（2）由题意得，P 不在x 轴上，不妨设()),(),,(0),(2211y x B y x A n n m P ，，≠，由,11P F AF λ=得),1(),1(11n m y x +=---λ，所以n y m x λλλ-=---=11,1，又由122121=+y x 得1)(2122=+++n m λλλ）（①…………………………………6分又1222=+n m ②，联立①②消去n 得01)22()23(2=-+++λλm m 即0)1](1)23[(=+-+λλm ，由题意知0>λ，01≠+λ，所以m 231+=λ……………………………………8分同理可得m 231-=μ…………………………………………………………………10分所以2496231231m m m -=-++=+μλ故当0=m 时，μλ+取最小值32.………………………………………………12分20解：（1）由题可知02)1()(2'=-+=x x ae e x x f 有两个不相等的实根即：021=-+x ae x 有两个不相等实根..........................1分令)(12x h e x a x =+=R x ex e e x e x h x x x x ∈-=+-=,)()1()(2'0)(),,,0(;0)(),0,(''<+∞∈>-∞∈x h x x h x 故上单减上单增，在（在),0)0,()(+∞-∞x h ........................3分1)0()(max ==∴h x h ;0)()1,(,0)1(<--∞∈=-x h x h 时，又 0)(),1(>+∞-∈x h x 时，21,0(),1,0(2∈∈∴a a 即...........................................5分此题还可以利用数形结合转化为1(1)2x y x y e a=+=与相交问题，（2）方法一：由（1）知，21,x x 是方程a e x x21=+的两根，∴2101x x <<<-，则001221>->⇔>+λλx x x x 因为)(x h 在），（∞+0单减，()(),()(),()(111212λλx h x h x h x h x h x h -<∴=-<∴又即λλ111111x x e x e x -+-<+，两边取对数，并整理得：0)1(1ln()1ln(111<+---+x x x λλλλ对()0,11-∈x 恒成立........................8分设)0,1(,)1(1ln()1ln()(-∈+---+=x x xx x F λλλλ))(1()1)(1()1(111)(x x x x x x x F -+-++=+--++='λλλλλλ..........................9分当1≥λ时，0)(>'x F 对）0,1(-∈x 恒成立，)(x F ∴在）0,1(-上单增，故0)0()(=<F x F 恒成立，符合题意；..............10分当），（10∈λ时，），（011-∈-λ，)0,1(-∈λx 时0)(<'x F )(x F ∴在)0,1(-λ上单减，0)0()(=>F x F ，不符合题意.综上，1≥λ...........................12分方法二：设21x x 、是021=-+x ae x 的两根，且21x x <，则021<-x x 即1110212121212121<==++<⇒⎩⎨⎧=+=+-t e x x aex ae x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-+-+=⇒⎩⎨⎧+=+=-11ln 11ln ln )1(1ln 212121t t t x t t t t x x t x t x x )10011ln 11ln ln 021<<>--++-+-+>+t t t t t t t t x x 恒成立（即λλ即恒成立0)1(ln 1ln <+-++-t t t t t λ................................8分令)1(ln 1ln )(+-++-=t t t t t t g λ22'''1)(,1ln )(t t t t t g t t t t g λλλ-=-=-+=.............................9分当1≥λ时，0)(''<t g ，)('t g 单减，故0)1()(''=>g t g 故上为增函数在)1,0()(t g ，0)1()(=<∴g t g ........................10分当10<<λ时，0)(),1,(;0)(),,0(''''>∈<∈t g t t g t λλ上为增函数在)1,()('λt g ，故上为减函数在故)1,()(,0)1()(''λt g g t g =<舍去，∴=>∴0)1()(g t g ，1≥∴λ.………………………………12分21.解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k q ，呈阳性反应的概率为1-k q .依题意可知111X k k =+所以X 的分布列为：.......................5分（2）方案②中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：E(X)=111(1)(1)1k k k q q q k k k ⋅++⋅-=-+.......................7分所以当k=2时，E(X)=210.91=0.692-+，此时1000人需要化验的总次数为690次，.......................8分k=3时，E(X)=310.910.60433-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，.......................9分k=4时，E(X)=410.91=0.59394-+，此时1000人需要化验的次数总为594次，.......................10分即k=2时化验次数最多，k=3时次数居中，k=4时化验次数最少而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当k=4时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.......................12分Xk 1k 11+P k q 1kq -22．解:（1）由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 3331消t 得，03=-y x 即x y 33=…………2分2C 是过原点且倾斜角为6π的直线2C ∴的极坐标方程为)(6R ∈=ρπθ……………………………………………5分（2）由⎪⎩⎪⎨⎧-==)sin 1(6θρπθa 得，⎪⎩⎪⎨⎧==62πθρa )6,2(πa A ∴由⎪⎩⎪⎨⎧-==)sin 1(67θρπθa 得⎪⎩⎪⎨⎧==6723πθρa )67,23(πa B ∴.2232a a a AB =+=∴………………………………………………………………10分23.解：(1)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=2,1221,31,12)(x x x x x x f …………………………2分当1-≤x 时，由7)(≥x f 得712≥+-x ，解得3-≤x ；当21<<-x 时，7)(≥x f 无解；当2≥x 时，由7)(≥x f 得712≥-x ，解得4≥x ，所以7)(≥x f 的解集为(][)+∞-∞-,43, .……………………………………5分(2)若a x x x f 24)(++-≤的解集包含[]2,0等价于242---≤+-+x x a x a x 在[]2,0∈x 上恒成立，因为[]2,0∈x 时，224=---x x 所以22≤+-+a x a x 在[]2,0∈x 上恒成立…………………………6分由于[]2,0∈x 若0≤-a 即0≥a 时，22|2|||≤-=--+=+-+a a x a x a x a x 恒成立；………7分若2≥-a 即2-≤a 时，22|2|||≤=++--=+-+a a x a x a x a x 恒成立；……8分若20<-<a 即02<<-a 时，2<+a x ，2|2|||≤+-+a x a x 恒成立.………9分综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是R .…………………………10分。
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2a
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（2）方法一：由（1）知，
x1,
x2
是方程
x 1 ex
2a
的两根，
∴ 1
x1
0
x2
，则
x1
x2
0
x2
x1
0
因为
h(x)
在（0，
）单减，
h( x2
)
h(
x1
), 又h( x2
23. 解：(1)当 a 1时，
2x 1, x 1 f (x) 3,1 x 2
2x 1, x 2
…………………………2 分
当 x 1时，由 f (x) 7 得 2x 1 7 ，解得 x 3 ；
当 1 x 2 时， f (x) 7 无解；
当 x 2 时，由 f (x) 7 得 2x 1 7 ，解得 x 4 ，
1)
即 t ln t t 1 (ln t t 1) 0恒成立 ................................8 分
令 g(t) t ln t t 1 (ln t t 1)
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g ' (t)
ln t
1 t t
, g '' (t)
1 t t2
t t2
.............................9 分
当 1 时， g '' (t) 0 ， g ' (t) 单减，故 g ' (t) g ' (1) 0
故 g(t)在(0,1)上为增函数 ， g(t) g(1) 0 ........................10 分
【全国市级联考】河南省洛阳市2020届高三第一次统一考试数学(理)试题
洛阳市2019-2020学年高三年级第一次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合*2{|20}A x N x x =∈--≤，{2,3}B =，则A B =U （ ） A ．{1,0,1,2,3}- B ．{1,2,3} C ．[1,2]- D ．[1,3]-2.若复数z 为纯虚数，且(1)i z a i +=-（其中a R ∈），则||a z +=（ ） A ． 2 B ．3 C ． 2 D ．53.函数sin ln ||xy x =的图像大致为（ ）4.在区间[1,1]-内随机取两个实数,x y ，则满足21y x ≥-的概率是（ ） A ．29 B ．79 C. 16 D ．565.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A ． 24种B ．36种 C. 48种 D ．60种 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．936 B ．636+ C. 336+ D ．12367.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过左焦点1F 的直线切圆222x y a +=于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若1F P PQ =u u u r u u u r，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =± B ．y x =± C. 2y x =± D ．32y x =± 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈3.14159π=L ，判断下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．36031d V ≈．32d V ≈ 3158d V ≈．32111d V ≈ 9.已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5y z x =-的取值范围为（ ）A ．24[,]33-B ．42[,]33- C. 23(,][,)34-∞-+∞U D ．33(,][,)42-∞-+∞U10.设,A B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO CB u u u r u u u rg 的取值范围是（ ） A ．[1,3]- B ．[1,3] C. [3,1]-- D ．[3,1]- 11.已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A．(0)()4f π> B()()34f ππ< C. (0)2()3f f π> D()()34f ππ-<-12.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．3[,4]4ππ B ．5[,4]4ππ C. 7[,4]4ππ D ．11[,4]4ππ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知tan()24πα+=，则2sin 3sin cos ααα=+ ．14.数列{}n a 首项12a =，且*132()n n a a n N +=+∈，令3log (1)n n b a =+，则21211{}n n b b -+的前2019项的和2019S = ．15. 27(32)()x y x y +-的展开式中含有54x y 的项的系数为 ．16.若函数2()2x ae f x x x x+=-+在(0,)+∞上仅有一个零点，则a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，D 是直角ABC ∆斜边BC上一点，AC =.（1）若030DAC ∠=，求角B 的大小；（2）若2BD DC =，且23AD =，求DC 的长.18. 如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==.（1）求证：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为045，求二面角P CE D --的余弦值.19. 已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线32y x =与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2F ，椭圆C 另一个焦点是1F ，且1294MF MF =u u u u r u u u u r g . （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2F PQ ∆的内切圆面积的最大值. 20. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值. 21. 已知函数()ln(1)1x f x e ax x =+++-.（1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：232ee <. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线1C ，2C 的公共点为,A B .（1）求直线AB 的斜率；（2）若点,C D 分别为曲线1C ，2C 上的动点，当||CD 取最大值时，求四边形ACBD 的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈. （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BABDD 6-10: ACDAA 11、12：DB 二、填空题13. 13 14. 20194039 15. -21 16. 5ln 24-三、解答题17.（1）在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin AC DCADC DAC=∠∠，∵AC =，∴sin 2ADC DAC ∠=∠=， 又006060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+>， ∴0120ADC ∠=，于是00001801203030C ∠=--=， ∴060B ∠=.（2）设DC x =，则2BD x =，3BC x =，AC =，于是sin 3AC B BC ==，cos 3B =，AB =， 在ABD ∆中，由余弦定理，得2222cos AD AB BD AB BD B =+-g ，即2222642223x x x x =+-⨯⨯=，x =DC =18.证明：（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接,OF EF ， ∵,O F 分别为,AC PC 的中点， ∴//OF PA 且12OF PA =， ∵//DE PA 且12DE PA =， ∴//OF DE 且OF DE =， ∴四边形OFED 为平行四边行， ∴//OD EF ，即//BD EF ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥ ∵ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥， ∵PA AC A =I ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵//BD EF ，∴EF ⊥平面PAC ， ∵FE ⊂平面PCE ， ∴平面PAC ⊥平面PCE .（2）∵直线PC 与平面ABCD 所成角为045， ∴045PCA ∠=， ∴2AC PA ==， ∴AC AB =，故ABC ∆为等边三角形，设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥，以A 为原点，,,AM AD AP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,2)P ，3,1,0)C ，(0,2,1)E ，(0,2,0)D ，3,1,2)PC =-u u u r ，(3,1,1)CE =u u u r ，(0,0,1)DE =u u u r，设平面PCE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00n PC n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u rg r u u u r g ，即11111132030x y z x y z +-=-++=⎪⎩，令11y =，则112x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴2)n =r设平面CDE 的法向量为222(,,)m x y z =u r，则00m DE m CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u rg，即222200z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令21x =，则220y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴m =u rcos ,||||n m n m n m <>===r u rr u r g r u r g 设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，∴cos 4θ=-即二面角P CE D --的余弦值为4-. 19.（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，点M 在直线32y x =上，且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2(,0)F c ，则点3(,)2cM c . ∵12339(2,)(0,)224MF MF c c c =---=u u u u r u u u u r g g ∴1c =又222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143x y += （2）由（1）知，1(1,0)F -，过点1(1,0)F -的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为48a =，又2142F PQ S a r ∆=g g （r 为三角形内切圆半径），∴当2F PQ ∆的面积最大时，其内切圆面积最大. 设直线l 的方程为：1x ky =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得22(43)690k y ky +--=，∴122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩∴212121||||2F PQS F F y y ∆=-=g gt =，则1t ≥，∴21213F PQ S t t∆=+令1()3f t t t =+，21'()3f t t =-当[1,)t ∈+∞时，'()0f t >，1()3f t t t =+在[1,)+∞上单调递增，∴212313F PQ S t t∆=≤+，当1t =时取等号，即当0k =时，2F PQ ∆的面积最大值为3，结合21432F PQ S a r ∆==g g ，得r 的最大值为34，∴内切圆面积的最大值为916π. 20.（1）2100.5(400210)0.6(410400)0.8227⨯+-⨯+-⨯=元（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3373107(0)24C P C ξ=== 217331021(1)40C C P C ξ=== 12733107(2)40C C P C ξ=== 333101(3)120C P C ξ=== 故ξ的分布列为∴721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足3(10,)5X B :， 可知101032()()()55k k k P x k C -==（0,1,2,3,10k =L ） 10119101010111110103232()()()()55553232()()()()5555k k k k k k k k k k k kC C C C -++-----⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得：283355k ≤≤，*k N ∈ ∴当6k =时概率最大，∴6k =.21.（1）法一：若0x ≥时，则1'()1x f x e a x =+++，令()'()g x f x =21'()(1)x g x e x =-+，'()g x 在[0,)+∞上单调递增，则'()'(0)0g x g ≥=则'()f x 在[0,)+∞上单调递增，'()'(0)2f x f a ≥=+①当20a +≥，即2a ≥-时，'()0f x ≥，则()f x 在[0,)+∞上单调递增， 此时()(0)0f x f ≥=，满足题意②若2a <-，由'()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于'(0)20f a =+<，x →+∞，'()0f x >故0(0,)x ∃∈+∞，使得0'()0f x =，则当00x x <<时，0'()'()0f x f x <= ∴函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0f x f <=，不恒成立，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是[2,)-+∞.法二：若2x ≥-时，1'()1x f x e a x =+++，①0a ≥，令()1x g x e x =--，则'()10x g x e =-≥，()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+11'()(1)11x f x e a x a a x x =++≥+++≥++20a =+≥∴函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=成立.②若2a <-，由2221(1)1''()0(1)(1)x x x e f x e x x +-=-=≥++∴函数'()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于'(0)20f a =+<，x →+∞，'()0f x >故0(0,)x ∃∈+∞，使得0'()0f x =，则当00x x <<时，0'()'()0f x f x <= ∴函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0f x f <=，不恒成立，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是[2,)-+∞.（2）证明：由（1）知，当2a =-时，()ln(1)1x f x e ax x =+++-在[0,)+∞上单调递增， 则1()(0)2f f >，即1211ln(1)102e -++->∴3ln 22>∴232e >232e <.22.（1）消去参数α得曲线1C 的普通方程221:20C x y y +-= （ⅰ） 将曲线2:4cos C ρθ=化为直角坐标方程得：2240x y x +-= （ⅱ） 由（ⅰ）-（ⅱ）化简得：2y x =，即为直线AB 的方程， 故直线AB 的斜率为2.（2）由221:20C x y y +-=，知直线1C 是以1(0,1)C 为圆心，半径为1的圆， 由222:40C x y x +-=，知曲线2C 是以2(2,0)C 为圆心，半径为2 的圆， ∵1122||||||||CD CC C C DC ≤++∴当||CD 取得最大值时，圆心1C ，2C 在直线CD 上，∴直线CD （即直线12C C ）的方程为：22x y +=∵O 到直线CD 的距离为5d ==，即||AB =此时12||||123CD C C =++=∴四边形ACBD 的面积1||||225S CD AB ==+g g .23.（1）当12x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--由()2f x ≥，解得4x ≤-，综合得4x ≤-； 当112x -<<时，()21(1)3f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<；当1x ≥时，()21(1)2f x x x x =+--=+， 由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥. ∴()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-+∞U .（2）∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4)，∴当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立， 原式可变为21||3x x m x +--≥-，即||4x m x -≤+， ∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立， 显然当3x =时，24x +取得最小值10， 即m 的取值范围是[4,10]-.。
河南省六市联考一模理数(含答案)
2020六市一模理科数学一、选择题1.若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =( )A ．2 B ．32 C ．10 D ．122、集合},4|{2Z x x y y M ∈-==的真子集的个数为A.7B. 8C. 31D. 323、五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为 A.15 B. 14 C.13 D. 124、著名的斐波那契数列,,8,5,3,2,1,1:}{Λn a 满足*1221,,1N n a a a a a n n n ∈+===++，若∑=-=2020112n n k a a ，则=kA.2020B.4038C.4039D.40405、已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D ．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益6、设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．7、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x ，若32z x y =-+的最大值为n ，则n x x )12(-的展开式中2x 项的系数为A. 60B. 80C. 90D. 1208、已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为A.35B.932C.34D.925 9、已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ,准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A,B 两点，若2PA AF =u u u r u u u r,则AB 为A.409 B. 40 C. 16 D.16310、已知P 为圆C:36)5(22=+-y x 上任意一点，)0,5(-A ，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为A.116922=+y x B.116922=-y x C.)0116922<=-x y x （ D.)0116922>=-x y x （ 11.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若201920202018S S S <<，设21++=n n n n a a a b ，则数列}1{nb 的前n 项和n T 取最大值时n 的值为 A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 201712.方程01sin )1(2=+-x x π在区间]4,2[-内的所有解之和等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题13、已知向量),,4(),1,2(y =-=若⊥，则=+|2| . 1014.设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20200,2019)(x x e x f x ，则满足)3()4(2x f x f ->-的x 的取值范围为 . ),1(+∞15、六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种. 13516、若方程)1,0(≠>=a a x a x有两个不等实根，则实数a 的取值范围为 .),1(1ee三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
河南省洛阳市2020届高三第一次统一考试数学(理)试卷 PDF版【附参考答案】
言
(2）若 a
=
J ，A
＝
互‘且 3
6ABC
为锐角三角形，求 .6ABC
周长的范围．
18. （木小题满分12分）
如阁，已知四边形 ABCD 为等腰梯形， BDEF 为正方形，平面
BDEF _l平面 ABCD ,AD II BC ,AD= AB= 1 ，ζ ABC= 60。．
(1）求证：平面 CDE _ J 平面 BDEF;
(2）若A,B在直线y =-2上的射影分别为儿，Bi，线段A1B1的中点为Q,
求证 BQ II PA1.
20. （本小题满分 12分）
－ 设函数 f(X)
=
ex ( X - 2） 一
1 kx 3 3
十一1 位 2 2
(1）若k=l，求！＜川的单调区间；
(2）若 f(x ） 存在三个极值点 X1, X2 ， 句，且 X1 < X2 ＜町，求元的取值范围，
并证明： X1 十X3 > Zxz.
21. （本小题满分12分） “公平正义 ” 是社会主义和谐社会的重要特征．是社会主义法治理念的价值追求．“考 试” 作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后 ，考生最关心
的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？ …
AD,E ； ③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为2工4 ．其巾所有正确
的序号是
高三数学（理） 第2页 （共4页） (2020. 01)
理 数学试卷参考答案
一、选择题 1-5 CBDCB 6-10 BCACB 11-12 CA
二、填空题 13. ,/f百
14. -9
i. 15.豆＋ 36
河南省六市2020年高三第一次联合调研检测 理科综合卷(含答案)
2020年河南省六市高三第一次联合调研检测理科综合能力测试注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35．5 K 39Fe 56 Cu 64 Sn 119第Ⅰ卷一、选择题（本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．多酶片是一种促消化的药品，主要成分是胰蛋白酶、胃蛋白酶。
多酶片还具有分解脂质的功效，加速胆固醇的酯化从而降低血液中的胆固醇含量。
下列说法合理的是A．多酶片应整颗服用，防止唾液淀粉酶对多酶片水解B．胃蛋白酶在肠道中把蛋白质水解成多肽C．胆固醇是动物细胞膜的重要成分之一D．人体小肠黏膜可通过主动运输的方式吸收胰蛋白酶2．小明在寒冷的冬季，没吃早饭就去学校，结果出现面色苍白、全身颤抖等症状。
关于此生理反应的表述，不合理的是A．此时内环境中丙酮酸氧化分解为细胞提供能量，有利于生命活动的进行B．全身颤抖是因为骨骼肌收缩以加速热量产生C．此时小明同学体内血糖含量有所下降，细胞产热不足D．小明面色苍白的原因是皮肤毛细血管收缩，血流量减少3．下列关于细胞结构和组成的叙述，正确的是A．细胞膜、细胞质基质中负责转运氨基酸的“载体”都是蛋白质B．内质网上核糖体合成的性激素与第二性征的维持有关C．溶酶体是蛋白质加工场所，蛋白质只有加工形成特定的空间结构才能体现生理活性D．细胞只有保持完整性，才能正常的完成各项生命活动4．下列生物学实验操作或描述正确的是A．低温诱导植物染色体数目变化实验中，染色体数目加倍的细胞所占的比例与固定液处理的时间正相关B．调查土壤小动物丰富度时，用带冷光源的诱虫器采集小动物时，与实际数据相比，测得数值更小C．鉴定组织样液是否含有蛋白质，应先后加入等量的双缩脲试剂A液和B液D．在“观察洋葱根尖有丝分裂”和“观察细胞中DNA和RNA的分布”的实验中，加入盐酸的浓度和目的都相同5．研究表明，下丘脑SCN细胞中PER基因表达与昼夜节律有关，其表达产物的浓度呈周期性变化，如图为相关过程。
2020年河南省六市联考高三一模理科综合答案
2020年河南省六市高三第一次联考理科综合答案1.C2.A3.D 4．B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.C 10.D 11.B 12.C 13.D 14.D15.B 16.A 17.C 18.A 19.AC 20.BD 21.BC22．(6分)（1）0.650（2分）（2）L bd 22（2分）m bd gL ⎪⎭⎫⎝⎛-122（2分）23．(9分)（1）R 2（2分）（2）50（3分）（3）4.2（2分）0.5（2分）24．（14分）解：（1）如图所示，粒子在磁场Ⅰ、Ⅱ中的偏转角θ相同。
212t t =，（1分）11360T t ︒=θ，（1分）22360T t ︒=θ，（1分）qB mT π21=，（1分）22π2qB mT =，（1分）解得B B 22=。
（1分）（2）12R v m qvB =，（1分）222R v m B qv =⋅，（1分）解得1221=R R 。
2/2sin R d=θ，（1分）11/sin R d =θ，（1分）所以d d =1。
（1分）（3）因为m qBd v 35=，所以d R 351=，1sin R d =θ，（1分）所以︒=37θ。
粒子在磁场中运动的时间21t t t +=，（1分）所以qBm t 120π37=。
（1分）25．（18分）解：(1)设弹簧释放瞬间A 和B 获得的速度大小分别为v A 、v B ，以向右为正方向，根据动量守恒定律解得s=1.36m。
（1分）26.（14分，除标注外，每空2分）（1）检验装置气密性---1分冷凝，使SnCl4气体变成液体---1分（2）浓硫酸---1分吸收G中挥发的水蒸气，防止进入E中导致SnCl4水解---2分（若未写出水蒸气来自G，不得分）（3）F液面上方出现黄绿色气体----2分（若是G装置上方出现黄绿色气体也可给分,但F以前的任何装置均不给分。
）（4）SnC14+（x+2）H2O=SnO2•xH2O↓+4HCl---2分（必须是=，可逆号不给分。
河南省名校联考2020届高三联考数学(理)试题Word版含解析
河南省名校联考2020届高三联考数学（理）试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据集合补集与并集定义求结果.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查集合的补集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基本题.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为（）A. 先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D. 先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图像变换规律作出判断.【详解】函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得--,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变得-,所以选A.【点睛】本题考查三角函数图像变换，考查基本分析判别能力，属基本题.5.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件得在双曲线右支，代入方程解得，进而确定等腰三角形的腰，列方程解离心率.【详解】因为满足，所以在双曲线右支，因此,又为等腰三角形，所以,因为,所以，选B.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，化简，代入求值即可.【详解】由，得，则故选：D【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题7.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.9.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.10.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.11.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.12.已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】先求,值域，再研究单调性与值域,进而确定取值范围，即得结果.【详解】因为，所以由题意得在上不单调，因为，所以,当时, ,, 当时, ,,因此，选A.【点睛】本题考查任意存在性问题以及函数值域与单调性，考查综合分析化简求解能力，属难题.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先作出可行域，再根据斜率含义确定最优解.【详解】作出可行域，如图，则的最大值为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.的展开式中，含的项的系数为_____.（用数字填写答案）【答案】35【解析】【分析】先根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，再代入求结果.【详解】,即含的项的系数为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.16.如图所示，点，分别在菱形的边，上，，，则的面积的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设,，在中，且由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，计算即可.【详解】在菱形中，，所以=，在中，=，设,,则,且由正弦定理得，在中， ,则,由正弦定理，得，在中，因为，所以，即，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理在三角形的应用，也考查了直角三角形的面积公式，三角函数求最值得问题，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，与交于点，，，.（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.【详解】（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.（II）易知为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，，，，则，，，.设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以.设平面的个法向量为，则有即令，则，所以.所以.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（Ⅰ）求得分在上的频率；（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望.【答案】（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；（III）人数服从，即可得出P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．【详解】（I）依题意，所求频率.（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：即问卷调查的平均得分的估计值为.（III）依题意，.故,.,,.故的分布列为：故.【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故另导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故.构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值.【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知..因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。
2020年河南六市高三第一次六市联考理科数学答案
2020年河南省六市高三第一次联合调研检测数学理科参考答案一㊁选择题1-6 C A D D C D 7-12 B A D B B C 二㊁填空题13.10 14.(1,+ɕ) 15.135 16.(1,e )三㊁解答题17㊁解:(Ⅰ)因为D 在边B C 上,所以c o s øA D B =-c o s øA D C ,在ΔA D B 和ΔA D C 中由余弦定理,得A D 2+B D 2-A B 22A D ˑB D +A D 2+D C 2-A C 22A D ˑD C =0,3分 因为A B =213,A C =4,A D =3,B D =D C ,所以9+B D 2-52+9+B D 2-16=0,所以B D 2=25,B D =5.所以边B C 的长为10.6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知ΔA D C 为直角三角形,所以S ΔA D C =12ˑ4ˑ3=6,S ΔA B C =2S ΔA D C =128分因为C E 是øB C A 的角平分线,所以S ΔA C E S ΔB C E =12A C ˑC E ˑs i n øA C E 12B C ˑC E ˑs i n øB C E =A C B C =410=2510分 所以S ΔA B C =S ΔB C E +S ΔA C E =S ΔB C E +25S ΔB C E =75S ΔB C E =12,所以S ΔB C E =607.即ΔB C E 的面积为607.12分 18.解:(Ⅰ)因为四边形A B C D 是菱形,且øB A D =60ʎ所以ΔA B D 是等边三角形,又因为O 是A D 的中点,所以B O ʅA D又因为A B =6,A O =3所以B O =332分又P O =4,P B =43,B O 2+P O 2=P B 2所以P O ʅO B又P O ʅA D ,A D ɘO B =O所以P O ʅ平面A B C D 3分所以P O ʅA C又因为A B C D 是菱形,O E ʊB D)页5共(页1第 案答学数科理三高所以A C ʅO E ,又P O ɘO E =O所以A C ʅ平面P O E所以A C ʅP E 5分 (Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知O P ʅO A ,O P ʅO B ,O A ʅO B ,以点O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O -x y z ,则:P (0,0,4),B (0,33,0)0(0,0,0),E (23,323,0),D (-3,0,0)设平面P O E 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1)则: m ㊃O P ң=4z 1=0m ㊃O E ң=32x 1+323y 1=0ìîíïïïï,据此可得平面P O E 的一个法向量为m =(3,-1,0)8分 设平面P B D 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2)则:n ㊃B D ң=-3x 2-33y 2=0n ㊃P D ң=-3x 2-4z 0=0{据此可得平面P B D 的一个法向量为n =(-43,4,33)10分 c o s <m ,n >=m ㊃n |m ||n |=-16291=-89191平面P O E 与平面P B D 所成锐二面角的余弦值8919112分 19.解:(Ⅰ)由题知e =c a ,c =1,ʑP (1,c a )在椭圆上所以1a 2+c 2a 2b 2=1,ʑb 2+c 2a 2b 2=1b 2=1故b =1,a =2所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.4分 (Ⅱ)由题意得,P 不在x 轴上,不妨设P (m ,n ),(n ʂ0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由A F 1ң=λF 1P ң,得(-1-x 1,-y 1)=λ(m +1,n ),所以x 1=-λm -λ-1,y 1=-λn ,又由x 212+y 21=1得(λm +λ+1)22+(λn )2=1①6分 又m 22+n 2=1②,联立①②消去n 得(3+2m )λ2+(2m +2)λ-1=0即[(3+2m )λ-1](λ+1)=0,由题意知λ>0,λ+1ʂ0,所以λ=13+2m 8分 同理可得μ=13-2m 10分 )页5共(页2第 案答学数科理三高所以λ+μ=13+2m +13-2m =69-4m 2故当m =0时,λ+μ取最小值23.12分 20.解:(Ⅰ)由题可知f '(x )=(x +1)e x -2a e 2x =0有两个不相等的实根即:x +1-2a e x =0有两个不相等实根1分令2a =x +1e x =h (x )h '(x )=e x -(x +1)e x (e x )2=-x e x ,x ɪR x ɪ(-ɕ,0),h '(x )>0;x ɪ(0,+ɕ),h '(x )<0故h (x )在(-ɕ,0)上单增,在(0,+ɕ)上单减3分 ʑh (x )m a x =h (0)=1又ȵh (-1)=0,x ɪ(-ɕ,-1)时,h (x )<0;x ɪ(-1,+ɕ)时,h (x )>0ʑ2a ɪ(0,1),即a ɪ(0,12)5分 此题还可以利用数形结合转化为y =12a (x +1)与y =e x 相交问题,(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知,x 1,x 2是方程x +1e x =2a 的两根,ʑ-1<x 1<0<x 2,则x 1+λx 2>0⇔x 2>-x 1λ>0因为h (x )在(0,+ɕ)单减,ʑh (x 2)<h (-x 1λ),又h (x 2)=h (x 1),ʑh (x 1)<h (-x 1λ)即x 1+1e x <-x 1λ+1e -,两边取对数,并整理得:λl n (x 1+1)-λl n (1-x 1λ)-(1+λ)x 1<0对x 1ɪ(-1,0)恒成立8分 设F (x )=λl n (x +1)-λl n (1-x λ)-(1+λ)x ,x ɪ(-1,0)F '(x )=λx +1+11-x λ-(1+λ)=(1+λ)(x +1-λ)x (x +1)(λ-x )9分 当λȡ1时,F '(x )>0对x ɪ(-1,0)恒成立,ʑF (x )在(-1,0)上单增,故F (x )<F (0)=0恒成立,符合题意;10分 当λɪ(0,1)时,λ-1ɪ(-1,0),x ɪ(λ-1,0)时F '(x )<0ʑF (x )在(λ-1,0)上单减,F (x )>F (0)=0,不符合题意.综上,λȡ112分)页5共(页3第 案答学数科理三高方法二:设x 1㊁x 2是x +1-2a e x =0的两根,且x 1<x 2,则x 1-x 2<0即x 1+1=2a e x x 2+1=2a e x {⇒0<x 1+1x 2+1=e x -x =t <1x 1-x 2=l n t x 1+1=t (x 2+1){⇒x 1=l n t +l n t +1t -1x 2=l n t -t +1t -1ìîíïïïïx 1+λx 2>0即l n t +l n t -t +1t -1+λl n t +t -1t -1>0恒成立(0<t <1)即t l n t -t +1+λ(l n t -t +1)<0恒成立8分 令g (t )=t l n t -t +1+λ(l n t -t +1)g '(t )=l n t +λ1-t t ,g ᵡ(t )=1t -λt 2=t -λt 29分 当时λȡ1,g ᵡ(t )<0,g '(t )单减,故g '(t )>g '(1)=0故g (t )在(0,1)上为增函数,ʑg (t )<g (1)=010分 当0<λ<1时,t ɪ(0,λ),g ᵡ(t )<0;t ɪ(λ,1),g ᵡ(t )>0g '(t )在(λ,1)上为增函数,故g '(t )<g '(1)=0,故g (t )在(λ,1)上为减函数ʑg (t )>g (1)=0,ʑ舍去.ʑλȡ1.12分21.解:(Ⅰ)设每个人的血呈阴性反应的概率为q ,则q =1-p .所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为q k ,呈阳性反应的概率为1-q k .依题意可知X =1k ,1+1k,所以X 的分布列为:5分 (Ⅱ)方案②中.结合(Ⅰ)知每个人的平均化验次数为:E (X )=1k ㊃q k +(1+1k )㊃(1-q k )=1k -q k +17分 所以当k =2时,E (X )=12-0.92+1=0.69,此时1000人需要化验的总次数为690次,8分 k =3时,E (X )=13-0.93+1ʈ0.6043,此时1000人需要化验的总次数为604次,9分 k =4时,E (X )=14-0.94+1=0.5939,此时1000人需要化验的次数总为594次,10分 即k =2时化验次数最多,k =3时次数居中,k =4时化验次数最少而采用方案①则需化验1000次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当k =4时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次12分)页5共(页4第 案答学数科理三高22.解:(Ⅰ)由x =1+3t y =33+t ìîíïïïï消t 得,x -3y =0 即y =33x 2分 C 2是过原点且倾斜角为π6的直线ʑC 2的极坐标方程为θ=π6(ρɪR )5分 (Ⅱ)由 θ=π6ρ=a (1-s i n θ)ìîíïïïï得,ρ=a 2θ=6ìîíïïïï ʑA (a 2,π6)由 θ=7π6ρ=a (1-s i n θ)ìîíïïïï得ρ=3a 2θ=7π6ìîíïïïï ʑB (3a 2,7π6)ʑ|A B |=a 2+3a 2=2a .10分 23.解:(Ⅰ)当a =1时,f (x )=-2x +1,x ɤ-1,3,-1<x <2,2x -1,x ȡ2,ìîíïïïï2分 当x ɤ-1时,由f (x )ȡ7得-2x +1ȡ7,解得x ɤ-3;当-1<x <2时,f (x )ȡ7无解;当x ȡ2时,由f (x )ȡ7得2x -1ȡ7,解得x ȡ4,所以f (x )ȡ7的解集为(-ɕ,-3]ɣ[4,+ɕ).5分 (Ⅱ)若f (x )ɤ|x -4|+|x +2a |的解集包含[0,2]等价于|x +a |-|x +2a |ɤ|x -4|-|x -2|在x ɪ[0,2]上恒成立,因为x ɪ[0,2]时,|x -4|-|x -2|=2所以|x +a |-|x +2a |ɤ2在x ɪ[0,2]上恒成立6分 由于x ɪ[0,2]若-a ɤ0即a ȡ0时,|x +a |-|x +2a |=x +a -x -2a =-a ɤ2恒成立;7分若-a ȡ0即a ɤ-2时,|x +a |-|x +2a |=-x -a +x +2a =a ɤ2恒成立;8分 若0<-a <2即-2<a <0时,|x +a |<2,|x +a |-|x +2a |ɤ2恒成立.9分 综上所述,满足条件的实数a 的取值范围是R .10分 )页5共(页5第 案答学数科理三高。