2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省温州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221916x y -=的实轴长为（ ）A. 3B.4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】由题得a =3, 所以实轴长为6. 故选：C2.与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（ ） A. 2310x y ++= B. 2310x y C. 3210x y -+= D. 3210x y ++=【答案】B【解析】设M (x ,y )是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点为(,)M x y '-在直线:2310l x y -+=上，所以23+10,x y 即2310x y .与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为2310x y . 故选：B3.若直线0x y -=与圆()()2211x y m-++=相离，则实数m 的取值范围是（ ）A.(]0,2B.(]1,2C.()0,2D.()1,2【答案】C【解析】由题得圆心到直线的距离为d =>，所以2m <，因为m ＞0，所以0＜m ＜2.故选：C4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A. 6B. 2C. 12D. 3【答案】A【解析】根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱,如图所示：故该几何体的体积为1(12)2262V=+=．故选：A．5.一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（）A. 底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B. 各个面都是正三角形C. 三个侧面是全等的等腰三角形D. 顶点在底面上的射影为重心【答案】A【解析】A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意；B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误.C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA =VC =BC =AB ，AC =VB 时，不一定是正三棱锥，故该选项错误；D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形ABC ,其重心为O ,过点O 作平面ABC 的垂线OV ，连接VA ,VB ,VC 得到三棱锥V -ABC ,显然三棱锥V -ABC 不是正三棱锥，所以该选项错误. 故选：A6.如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】D【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D ,E ,F ， 连接PD ,DE ,EF ,PF .由题得PD ||VB ,DE ||AC ,因为,PD DE ⊆平面DEFP ,VB ,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB ||平面DEFP ,AC ||平面DEFP , 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB===,所以四边形DEFP 平行四边形， 因为VB =4,AC =2,所以PD =FE =2,DE =PF =1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D7.已知直线1:l y kx=和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（ ）A.221x y +=B.()2211x y -+=C.()2210x y x +=≠D.()()22110x y x -+=≠【答案】D【解析】由题得,,22y kx y xx ky x y =⎧∴=⎨-+=-+⎩所以()2211x y -+=.由题得222220,(1)21x k x k x x k +-=∴+=∴=+，，所以0x >.所以点P 的轨迹方程为()()22110x y x -+=≠.故选：D8.已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是（ ） A. ()1,1B.()1,2C.()2,1D.()2,2【答案】B 【解析】设112200(,),(,),(,)A x yB x y P x y ，是由题得22111212121222224()()()()04x y x x x x y y y y x y ⎧-=∴+--+-=⎨-=⎩，，所以1200120121202()2()0,y y xx x x y y y k x x y ----=∴==-.当P 的坐标为()1,2时，1,2k =直线AB 的方程为1132(1),222y x y x -=-∴=+. 把1322y x =+代入双曲线方程得>0∆.对于选项A,C,D 中点P 的坐标经检验得，不满足>0∆. 故选：B9.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，且124PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为（ ）A. 35B. 45C. 14D. 34【答案】A 【解析】设P00(,)x y ，由题得1020||,||,PF a ex PF a ex =+=-因为124PF PF =，所以0003344,,55a a ex a ex x a e e +=-∴=≤∴≥,所以此椭圆的离心率e 的最小值为35.故选：A10.在平面直角坐标系中，已知点()2,0A ，()0,2B ，圆()22:1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得2212MA MB +=，则实数a取值范围为（ ）A. 1,1⎡+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1,1⎡+⎣D. 1⎡-+⎣【答案】B【解析】设(,)M x y ，则2222(2)(2)12x y x y -+++-=， 所以22(1)(1)4x y -+-=，所以点M 的轨迹是一个圆D , 由题得圆C 和圆D相交或相切，所以13≤≤，所以11a -≤≤+ 故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线()2:1210l m x y +-+=（m为常数），若直线l 的斜率为12，则m =__________，若1m =-，直线l 的倾斜角为__________． 【答案】 (1). 0 (2). 45︒【解析】（1）由题得211,022m m +-=∴=-；（2）若1m =-，则直线的斜率21,2k =-=-所以直线的倾斜角为45︒.故答案为：(1). 0 (2). 45︒ 12.在平面直角坐标系中，点()1,2A -关于x 轴的对称点为()1,2A '--，那么，在空间直角坐标系中，()1,2,3B -关于x 轴的对称点B '坐标为__________，若点()1,1,2C -关于xOy平面的对称点为点C '，则B C ''=__________．【答案】 (1).()1,2,3---(2).【解析】（1）由题得()1,2,3B -关于x 轴的对称轴点B '坐标为()1,2,3---；（2）点()1,1,2C -关于xOy 平面的对称点为点C '（1,-1，-2），所以B C ''==故答案为：(1). ()1,2,3---(2).13.已知圆221:1C x y +=和圆()()()2222:430C x y r r -+-=>外切，则r 的值为__________，若点()00,A x y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为__________．【答案】 (1).4 (2). 5【解析】（1|1|,4r r =+∴=.（2）点()00,A x y 在圆1C 上，所以2222000011x y y x +=∴=-，，所以2200004=14x y x x +--，因为011x -≤≤，所以220004x y x +-的最大值为5.此时01x =-.故答案为： (1).4 (2). 514.已知直线1y x =-与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA OB ⊥，则p 的值为__________．【答案】 (1). 1x =- (2). 12【解析】（1）由于直线过抛物线的焦点，令y =0得x =1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0), 所以抛物线的准线方程为x =-1.（2）联立221y pxy x ⎧=⎨=-⎩得2(22)10x p x -++=，设1122(,),(,)A x yB x y ，所以121222,1x x p x x +=+⋅=，因为OA OB ⊥，所以121212120,(1)(1)0x x y y x x x x +=∴+--=，所以1212()210x x x x -++⋅+=，所以12230,2p p --+=∴=.故答案为：(1). 1x =- (2). 1215.某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆()222210x y a b a b +=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是__________．【答案】243a bπ【解析】由祖暅原理得椭球体的体积为22214()233a b a b a bπππ-⨯=.故答案为：243a bπ16.如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC 上一点，且1BE =，P 为DC 的中点.沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE △内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是__________．【答案】10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，由于梯形是等腰梯形，所以AE BE AE EC ⊥⊥，.折叠之后，AE BE AE EC ⊥⊥，.所以BEC ∠就是二面角B AE C --的平面角θ.当090θ>时，不存在这样的点Q ;当090θ=时，点Q 恰好是AE 的中点.此时cos 0θ=.当0090θ<<时，以点E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则E (0,0,0),B (sin ,cos ,0)θθ，5(0,2A P . 设Q 在平面ABE 内，(tan ,y,z)Q y θ.所以EB(sin ,cos ,0)θθ,EA =.5(tan ,,2PQ y y z θ=--,由题得0,PQ EA z z ⋅==∴=.所以点Q 在△ABE 的中位线GH 上，所以点Q 的纵坐标1cos 2y θ≤.由题得25sin 5sin tan ()cos ()cos 02cos 2PQ EB y y y y θθθθθθ⋅=+-=+-=，所以25cos 2y θ=，所以251cos cos 22y θθ=≤，所以1cos 5θ≤. 所以此时10cos 5θ<≤.综上所述，10cos 5θ≤≤.故答案为：10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦17.设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点()0,M m 在y轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为__________． 【答案】()()0,11,9【解析】设()24,4N t t ，可知()0,1F ，0m >且1m ≠，所以()24,14NF t t =--，()24,4NM t m t =--，因为FNM ∠是锐角，所以0NF NM ⋅>， 即()()222161440t t m t +-->， 整理得()42161240t m t m +-+>，等价于()4286202mt m t +-+>对任意t R ∈恒成立；令20x t =≥，则()()286202mf x x m x =+-+>对任意[)0,x ∈+∞恒成立；因为()f x 的对称轴为38mx -=-，故分类讨论如下：（1）308m--≤，即03m <≤时， ()()min 002mf x f ==>，所以03m <≤；（2）308m -->，即3m >时，应有()2624802mm ∆=--⨯⨯<，得39m <<；综上所述：()()0,11,9m ∈.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点()1,2A -和()3,2B -，且过点()3,1P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点,M N .（1）求圆C 的标准方程；（2）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程.【解】（1）易求得AB 的中点为()1,0，且1AB k =-，AB ∴的中垂线方程为10x y --=由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得圆心C 的坐标为()1,0， ∴半径CA =，故圆C 的标准方程为：()2218x y -+=（2）当90MCN ∠=︒时，则圆心C 到直线l 的距离为2，若直线l 的斜率存在，设直线():13l y k x +=-，即310kx y k ---= ∴圆心()1,0C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=若直线l 的斜率不存在，则直线:3l x ，符合题意，综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=19.如图，CD αβ=，EF αγ=，AB βγ=，AB CD ∥.（1）求证：CD EF ；（2）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE △是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积.【解】（1）AB CD AB CD αα⎫⎪⊄⎬⎪⊂⎭AB α⇒ 又AB γ⊂，EF αγ=，AB EF ∴， 又AB CD ∥，CDEF ∴ （2）由题得122sin 602ACE S =⋅⋅⋅︒=△又棱柱高2h ==2=V Sh ∴===20.已知点,A B 的坐标分别是()1,0-，()1,0，直线,AM BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2.（1）求点M 的轨迹方程C ；（2）若直线:0l x y -=与曲线C 交于,P Q 两点，求APQ ∆的面积.【解】（1）设(),M x y ，则1AM y k x =+，1BM y k x =-， 所以211y y x x -=-+，所以轨迹方程21y x =-(0y ≠或1x ≠±)； （2）设()11,P x y ，()22,Q x y 联立方程210y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以PQ ==A到直线的距离为d ==所以12APQ S d PQ =⋅⋅=△．21.如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点.（1）求证：AD BC ⊥；（2）在直线CH 上确定一点F ，使得AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角.【解】（1）易知CH BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCDCH ∴⊥面ABD ，CH AD ∴⊥又AD CD ⊥，AD CH ⊥，⋂=CD CH C ，,CD CH ⊆平面BCD , AD ∴⊥平面BCD ，AD BC ∴⊥（2）在CH 延长线上取点F ，使FH HC =,则四边形BCDF 为平行四边形 又EH AF ，EH ⊂面BDE ，AF ⊄面BDE ，AF ∴面BDE又AD ⊥面BCD ，AFD ∴∠即为AF 与面BCD 所成线面角又DF BC AD ==，45AFD ∴∠=︒，即AF 与面BCD 所成线面角为45︒22.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上. 【解】（1）由已知得22312b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆的方程为22143x y +=；（2）设()11,M x y ，()()2212,N x y y y >，:1MN l x my =+， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=， 所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()111:22A M y l y x x =++，()222:22A N y l y x x =--，所以()()()122121122121222P x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()12212121212222my y y y y y y y y y +++-=-++， 又因为()121223my y y y =+， 所以()()()()2121212124242P y y y y x y y y y ++-==-++； 所以点P 在直线4x =上．。
温州市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
温州市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆22124x y+=，则以点()1,1M为中点的弦所在直线方程为（）A．230x y+-=B．4590x y-+=C．5490x y-+=D．230x y--=【答案】A【解析】【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程．【详解】解：设以点()1,1M为中点的弦与椭圆22124x y+=交于点1(A x，1)y，2(B x，2)y，则122x x+=，122y y+=，分别把点A，B的坐标代入椭圆方程得：22112222124124x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()24x x x x y y y y+-+-+=，∴1212()02y yx x--+=，∴直线AB的斜率12122y ykx x-==--，∴以点(1,1)M为中点的弦所在直线方程为：12(1)y x-=--，即230x y+-=，故选：A．【点睛】本题主要考查了点差法解决中点弦问题，属于中档题．2．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（）A．316B．34C．1316D．14【答案】C【解析】【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．【详解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯， 灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是31311616-=， 故选：C ．【点睛】 本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．3．已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，则A B =（ ） A ．(]2,3B ．[)2,3C ．()2,3D ．[]2,3 【答案】A【解析】【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】 由题意，集合{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤，∴集合(2,3]A B =．故选：A ．【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．以下四个命题中是真命题的是 ( )A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C ．若数据123,,,...n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,...2n x x x x 的方差为2D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案.【详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D 是正确的．【点睛】本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．已知曲线()ln a f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ） A ．2-B ．0C ．1D ．2 【答案】D【解析】【分析】利用导数求出()1f '，由()31tan14f π'==可求出a 的值． 【详解】 ()ln a f x x x =+，()21a f x x x'∴=-， 由题意可得()311tan 14f a π'=-==-，因此，2a =，故选D ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题．6．设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（） A ．()f x 在区间[]3,2--单调递减B ．()f x 在区间[]2,1--单调递增 C ．()f x 在区间[]3,4单调递减D ．()f x 在区间[]1,2单调递增 【答案】D【解析】【分析】根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数，由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确；由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以C 不正确，D 正确，故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。
浙江省金华市十校2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题 Word版含解析
浙江省金华十校2018-2019学年第一学期期末调研考试高二数学试题一，选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.在空间直角坐标系中,点与点（）A. 有关平面对称B. 有关平面对称C. 有关平面对称D. 有关轴对称【结果】C【思路】【思路】利用“有关哪个对称,哪个坐标就相同”,得出正确选项.【详解】两个点和,两个坐标相同,坐标相反,故有关平面对称,故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系,考查理解和记忆能力,属于基础题.2.圆与圆地位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【结果】A【思路】【思路】计算两个圆地圆心距以及,比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆地圆心分别为,圆心距,两个圆半径均为,故,所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆地位置关系,考查圆地圆心和半径以及圆心距地计算,属于基础题.3.“”是“”地（）A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】B【思路】【思路】将两个款件相互推导,依据能否推导地情况选出正确选项.【详解】当“”时,如,,故不能推出“” .当“”时,必然有“”.故“”是“”地必要不充分款件.【点睛】本小题主要考查充分，必要款件地判断,考查含有绝对值地不等式,属于基础题.4.给定①②两个命题：①为“若,则”地逆否命题。
②为“若,则”地否命题,则以下判断正确地是（）A. ①为真命题,②为真命题B. ①为假命题,②为假命题C. ①为真命题,②为假命题D. ①为假命题,②为真命题【结果】C【思路】【思路】判断①原命题地真假性,得出其逆否命题地真假性.写出②地否命题,并判断真假性.由此得出正确选项.【详解】对于①原命题显然为真命题,故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若,则”,由于时,,故否命题是假命题.所以①为真命题,②为假命题,故选C.【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系,考查命题真假性地判断,属于基础题.5.设是两款异面直线,下面命题中正确地是（）A. 存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面B. 存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面C. 不存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面D. 不存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面【结果】A【思路】【思路】画出一个正方体,依据正方体地结构特征,结合线，面平行和垂直地定理,判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示,分别是地中点.由图可知,,平面,平面.由此判断A选项正确,本题选A.【点睛】本小题主要考查空间异面直线地位置关系,考查线面平行等知识,属于基础题.6.已知,则（）A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数地导数,然后令求出正确选项.【详解】依题意有,故,所以选D.【点睛】本小题主要考查基本初等函数地导数,考查复合函数地导数计算,考查函数除法地导数计算,属于中档题.7.如图,在空间四边形中,,,,,则异面直线与所成角地大小是（）A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】通过计算出地数量积,然后利用夹角公式计算出与所成角地余弦值,进而得出所成角地大小.【详解】依题意可知,.设直线与所成角为,则,故.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量地数量积,计算空间两款异面直线所成角地大小,考查化归与转化地数学思想方式,考查数形结合地数学思想方式,属于中档题.要求两款异面直线所成地角,可以通过向量地方式,通过向量地夹角公式先计算出夹角地余弦值,再由此得出所成角地大小.8.经过坐标原点地直线与曲线相切于点.若,则A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数在上地表达式,利用导数求得切线地斜率,写出切线方程,利用切线方程过原点求出切点地坐标满足地等式,由此得出正确选项.【详解】当时,故,.所以切点为,切线地斜率为,由点斜式得,将原点坐标代入得,即,故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点地曲线切线方程地求解方式,考查含有绝对值地函数地思路式,考查利用导数求曲线地切线方程,考查同角三角函数地基本关系式,属于中档题.本题地关键点有两个：一个是函数在上地表达式,另一个是设出切点,求出切线方程后,将原点坐标代入化简.9.已知椭圆地右焦点是,为坐标原点,若椭圆上存在一点,使是等腰直角三角形,则椭圆地离心率不可能为（）A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】分别依据为直角时,椭圆地离心率,由此得出正确地选项.【详解】当时,代入椭圆方程并化简得,解得.当时,,,故.当时,,即,,,解得.综上所述,C选项不可能,故选C.【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形地性质,考查椭圆离心率地求解方式,属于中档题.10.在正方体中,分别为线段，上地动点,设直线与平面，平面所成角分别是,则（）A. B.C. D.【结果】B【思路】【思路】在图中分别作出直线与平面，平面所成地角,依据边长判断出,求出地表达式,并依据表达式求得地最小值,也即是地最大值.【详解】设正方体边长为.过作,而,故平面,故.同理过作,得到.由于,故,所以,即.而,当得到最小值时,得到最小值为,即得到最大值为.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和平面所成地角,考查三角函数最值地判断与求解,属于中档题.二，填空题（每题4分,满分20分,将结果填在答题纸上）11.已知直线：,若地倾斜角为,则实数_______。
浙江省温州市2020-2021学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷) (解析版)
2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y＝x D．3．已知函数，则f（x2）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（0，1）4．在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,终边与单位圆的交点为,则sin(π-α)＝( ) A．B．C．D．5．已知a＝e0.3，b＝ln0.3，c＝0.3e，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a6．已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（）A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝8．某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（）A．10个B．15个C．20个D．25个二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[]D．[﹣1，1]10．已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（）A．B．tan（π﹣θ）＝m C．D．11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象过两点，则ω的可能取值为（）A．1B．2C．3D．412．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝log a（x﹣b），g（x）＝b x﹣a的图象可能是（）A B C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．下列直线中与直线210x y -+=垂直的一条是（ ） A ．210x y ++= B ．2420x y -+= C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】A【解析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论. 【详解】解：已知直线210x y -+=的斜率为12，而直线210x y ++=的斜率为2-，它与已知直线的斜率之积等于1-，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A 满足条件； 而直线2420x y -+=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12-，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D 不满足条件， 故选：A.【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题.2．双曲线22154x y -=的焦点坐标是（）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】B【解析】直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可. 【详解】 解：双曲线22154x y -=，焦点在x轴上，3c ==， 所以双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【解析】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =心距为d ==．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a +=-∴=-．故选B ．4．已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则x y +的取值范围为（ ）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]2,4D ．[]2,4-【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）. 令z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点()1,5A -时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大. 即max 154z =-+=.当直线y x z =-+经过点()1,1B --时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小. 即min 112z =--=-. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也比不要条件【答案】C【解析】2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，1n n n a S S -=-.1n =时，11a S p q ==+，可得2n a pn p q =-+.利用等差数列的通项公式及其性质即可判断出结论. 【详解】解：2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn p q -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 1n =时，11a S p q ==+，对于上式也成立.∴2n a pn p q =-+.∴{}n a 成等差数列，反之也成立.∴“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的充要条件. 故选：C . 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．7．已知AB 、CD 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的短轴和长轴，点E 是椭圆弧CBD 上异于B 的任意一点，将坐标平面沿x 轴折叠成大小为α（02πα<<）的二面角，记AOE ϕ∠=，则（ ） A ．αϕ≥ B ．αϕ> C ．αϕ<D ．αϕ≤【答案】C【解析】由题意画出图形，利用直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角得答案. 【详解】 解：如图，折叠后，,OA OB 都与x 轴垂直，AOB α∠=OA 看作是椭圆弧CBD 所在平面的一条斜线，其射影为OB ，则α为平面CBD 的一条斜线OA 与平面CBD 所成角， 而OE 为平面CBD 内的一条与OB 不重合也不平行的直线，ϕ为OA 与OE 所成角，根据直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，可知αϕ<. 故选：C . 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查空间中直线与直线、直线与平面所成角的关系，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．8．在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()2,0B ，动点M 满足12MA MB =，且M 在直线20ax y a --=上.若满足条件的点M是唯一的，则a =（ ）A．3±B．CD【答案】A【解析】先求出动点M 的轨迹方程为圆，结合题意利用直线和圆相切，求出a 即可. 【详解】解：设动点(),M x y12=， 化简可得：()2224x y ++=，∴动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=.曲线C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆， 且M 在直线20ax y a --=上，故直线与圆相切，且切点为M ， 2=，得231a =，∴3a =±，故选：A. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程以及直线与圆相切求参数的值，属于中档题.9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为3：④二面角A BC D --的：其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，1cos 22AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确： 设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =， 设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,33BC t BC t BC tθ⋅====⋅，故③正确： 平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m n m n m n⋅<>==⋅，∴6sin ,m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .若左焦点1F 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e 的值为（ ） A 3B ．3C 5D ．5【答案】C【解析】设左焦点()1,0F c -，渐近线方程为by x a=，对称点为(),F m n '，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】解：设()1,0F c -，渐近线方程为by x a =，对称点为(),F m n '，即有n a m c b =-+，且()1122b m c n a-⋅=⋅， 解得22b a m c-=，2abn c=-， 将222,b a ab F c c ⎛⎫-'- ⎪⎝⎭，即2222,c a ab c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()222222222241c a a b c a c b--=， 化简可得2241c a -=，即有25e =，解得e =故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题11．经过两点A (2,3)，B (1,4)的直线的斜率为________，倾斜角为________．【答案】－1 135°【解析】由斜率定义式得k ＝－1，再结合斜率与倾斜角关系得倾斜角． 【详解】由斜率定义得k ＝4312--=－1，设倾斜角为α,α[0.π∈）,则tan α1,=-故3πα4=，即135°故答案为－1 ； 135° 【点睛】本题考查直线的斜率及倾斜角，熟记斜率与倾斜角关系是关键，是基础题 12．已知椭圆C ：221169y x +=，则该椭圆的长轴长为______：焦点坐标为______.【答案】8(0,【解析】利用椭圆方程求解a ，b ，c ，推出结果即可. 【详解】 解：椭圆C ：221169y x +=，可得4a =，3b =，且焦点在y 轴上，则该椭圆的长轴长：8，c ==(0,故答案为：8；(0,.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体最长的一条棱的长度是__________cm ；体积为__________3cm .【答案】43643【解析】【详解】几何体为一个四棱锥P-ABCD ，如图，最长的一条棱的是P Ｃ,长度22244443++= ,体积为21644433⨯⨯= 14．如图所示，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线l 上取线段1AB =，AC l ⊥，BD l ⊥，1AC =，1BD =，2CD =，则AB 与CD 所成的角为______：二面角l αβ--的大小为______.【答案】60︒ 120︒【解析】作出图形，由异面直线所成角及二面角的定义直接可以得解.【详解】解：如图，在平面β内过点A 作//AE BD ，且AE BD =，又AB BD ⊥，则ABDE 为矩形，连接CE ，DE ，∵AB AC ⊥， ∴ED AC ⊥， 又ED AB ⊥，ABAC A =，AB平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴ED ⊥平面ACE ， ∴ED EC ⊥， ∴3CE =，1cos 2CDE ∠=，即60CDE ︒∠=，则AB 与CD 所成的角为60︒：又BD l ⊥，则AE l ⊥，又AC l ⊥，CAE ∠为二面角l αβ--的平面角， 又1131cos 2112CAE +-∠==-⨯⨯，则120CAE ∠=︒. 故答案为：60︒；120︒.【点睛】本题考查二面角的计算，属于中档题.15．在平面区域2100260270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩内含有一个圆，当圆的面积最大时圆记为M ，则M 的方程为______.【答案】()()22345x y -+-=【解析】先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由面积最大的圆则为该平面图形的内切圆.再由圆的相关条件求圆的方程. 【详解】解：画出该区域得三角形ABC ，顶点坐标分别为()2,4A -，()4,1B ，()8,9C ，且为直角三角形，三边长分别为35，45，55，由于面积最大，故圆M 是ABC 内切圆，5R =：设(),M a b ，则21026275555a b a b a b -++---===：解得3a =，4b =：所以圆M 的方程为()()22345x y -+-=.故答案为：()()22345x y -+-=.【点睛】本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的几何性质以及圆的切线的应用．还考查了数形结合的思想方法，属于中档题． 16．已知过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若2AF BF k +≥恒成立，则k 的最大值为______.【答案】321+【解析】由题意画出图形，再由2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，结合椭圆上的点右端点到左焦点的距离最大求解. 【详解】 解：如图，由椭圆C ：2212x y +=，得2a =1b =，1c =.2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，∵AB 的最大值为22BF 21，∴2321AF BF +≥，又2AF BFk +≥恒成立，则k 的最大值为321.故答案为：321.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，属于基础题．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为______.【答案】【解析】根据题意，求出直线AB 的方程，设()00,P x y ，分析可得点C 、D 在以OP 为直径的圆上，求出以OP 为直径的圆的方程，分析可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由直线OM 的方程，联立3个方程可得点M 的轨迹方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】解：根据题意，()4,0A -，()0,4B ，则直线AB 的方程为40x y -+=，设()00,P x y ，则004y x =+，①，如图：又由OD DP ⊥，OC CP ⊥，则点C 、D 在以OP 为直径的圆上，又由OP 的中点即该圆圆心为00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其半径为1122OP = 则以OP 为直径的圆的方程为22000x y x x y y +--=，联立两圆的方程22220040x y x y x x y y ⎧+=⎨+--=⎩，可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由线段CD 的中点为M ，则直线OM ：000x y y x -=，③ 联立①②③消去0x ，0y ，可得M 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径22r ：又由()4,0A -，则AM 的最大值为14923244++=： 故答案为：32【点睛】本题考查轨迹方程的计算以及应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析点M 的轨迹，属于综合题．三、解答题18．已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=.（1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；（2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长. 【答案】（1）见解析；（2）7【解析】试题解析：（1）因为不论k 为何实数，直线l 总过点A （1,0），而523AC R <=,所以点A 在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点 （2）由几何性质过点A （1,0）的弦只有和AC 垂直时最短，而此时点A （1，0）为弦的中点，由勾股定理，弦长为212527-=【考点】本题考查直线与圆的位置关系点评：解决本题的关键是利用圆的几何性质解题19．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，M是PC的中点，二面角P DC A--的大小为45︒.（1）设l是平面PAB与平面PCD的交线，证明CD l∥；（2）在棱AB是否存在一点N，使M DN C--为60︒的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求AN长.【答案】（1）见解析（2）存在，35AN=【解析】（1）先证明//CD平面PAB，再利用线面平行的性质即得证；（2）易知二面角P DC A--的平面角，由此建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，设()N x，求出平面的法向量，,0,0根据M DN C--的二面角为60︒，建立方程，解出即可得出结论.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴//CD AB，又AB在平面PAB内，CD不在平面PAB内，∴//CD平面PAB，又平面PCD过直线CD，且平面PAB⋂平面PCD l=，∴//CD l ：（2）∵PA ⊥正方形ABCD 所在平面，∴易知二面角P DC A --的平面角即为45PDA ∠=︒， 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则()0,2,0D ，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1M ，设(),0,0N x ， 易得平面DNC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面MDN 的一个法向量为(),,n a b c =，又()1,1,1MD =--，()1,1,1NM x =-，则()010n MD a b c n NM x a b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，则可取1,,122x x n ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴22112cos ,cos 6021142xm n m n m nx x -⋅===︒=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，解得35x =-，故存在存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角，且35AN =-.【点睛】本题考查线面平行的性质，及利用空间向量求解二面角问题，考查运算能力及逻辑推理能力，属于中档题． 20．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点.（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求MN 的长；（2）设M 在准线上的射影为A ，求证：A ，O ，N 三点共线（O 为坐标原点）. 【答案】（1）8；（2）见解析【解析】（1）由题意知直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长MN ：（2）设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之积，得出纵坐标之间的关系，求出AO ，ON 的斜率，值相等，结合两直线有公共点O 可得三点共线. 【详解】解：（1）由题意知抛物线的焦点()1,0F ，直线l 的倾斜角为45︒，则直线的斜率为1，所以直线l 的方程：1x y =+，设(),M x y ，(),N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440y y --=， 所以4y y '+=，4yy '=-，所以弦长8MN===，所以MN 的长为8；（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线方程为：1x my =+，设(),M x y ，(),N x y ''，由题意知()1,A y -，联立直线与抛物线的方程整理为：2440y my --=，4y y m '+=，4 yy'=-，4 yy =-'因为41OAyk yy==-='-，244ONyy ykx y'''===''∴OA ONk k=，AO，ON又有公共点O，所以A，O，N三点共线.【点睛】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21．如图，设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC.若1AB=，3BC=，1AF FE EC===.（1）求证：AC DE⊥；（2）若1DE=，求BE与面ACEF所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）12【解析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，1OE CE AF===，2==AC BD，从而CDO∆是边长为1的正三角形，取OC中点G，连结DG，EG，连结DG，EG，从而EG AC⊥，DG AC⊥，由此能求出AC⊥平面DEG，由此能证明AC DE⊥. （2）过B作BH AO⊥，交AO于点H，连结FH，以H为原点，HB为x轴，HC为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与面ACEF 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ， ∵矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .1AB =，BC =，1AF FE EC ===.∴1OE CE AF ===，2AC BD ===，∴CDO ∆是边长为1的正三角形，取OC 中点G ，连结DG ，EG ，连结DG ，EG ， ∴EG AC ⊥，DG AC ⊥， ∵DGEG G =，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，∴AC ⊥平面DEG ， ∵DE ⊂平面DEG ， ∴AC DE ⊥.（2）解：∵1DE =，∴三棱锥E CDO -和三棱锥E ABO -都是棱长为1的正四面体，过B 作BH AO ⊥，交AO 于点H ，连结FH ，∴1BF EF HG ===，2FH BH EG ====，12CG =，30BCA ∠=︒，∴BG ===，∴以H 为原点，HB 为x 轴，HC 为y 轴，过H 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，263E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,33BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面ACEF 的法向量()0,0,1n =，设BE与面ACEF所成角为θ，则21 3sin2169BE nBE nθ⋅===⋅，∴BE与面ACEF所成角的正弦值为12.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．22．如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为32，点()2,1M-是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l，设1l与椭圆C相交于点,A B，2l 与椭圆C相交于点,D E．当点M恰好为线段AB的中点时，10AB．（1）求椭圆C的方程；（2）求AD EB⋅的最小值．【答案】（1）221123x y +=；（2）165.【解析】分析：（Ⅰ3|AB|=10列一个方程组，解方程组即得a,b,c 的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出AD EB ⋅的表达式()()()2222201144k AD EB k k +⋅=++，再求函数的最小值即得AD EB ⋅的最小值．详解：（Ⅰ）由题意设224a b =，即椭圆2222:14x y C b b +=，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得，()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=又∵()2,1M -,即12124,2x x y y +=-+=， ∴AB斜率121212y y k x x -==-．由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 消x 得，224820x x b ++-=． 则()221211116482104AB k x b =+-=+--=解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．（Ⅱ）设直线():21AB y k x =++,由()22112321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， ()()()22214821421120k xk k x k +++++-=． 于是()()212122282142112,1414k k k x x x x kk-++-+=⋅=++．()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-∵()()()()()21122122,12,1122x y x y k x x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +⎡⎤=-++++=⎣⎦+．同理可得()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+． ∴()()()()22222222011141144144k AD EB k kk k k +⎛⎫⋅=++= ⎪++++⎝⎭，()222222011651442k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,当1k =±时取等号．综上，AD EB ⋅的最小值为165．点睛：本题的难点在求得()()()2222201144kAD EB k k +⋅=++之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，()()()()2222222222012011651441442k k k k k k ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01(人教A版2019必修第一册)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。
2019-2020学年浙江省温州市高二第一学期期末数学试卷(A卷) 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（A卷）一、选择题1．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤02．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．两个圆台、一个圆锥3．已知l1：2x+m2y+2m＝0与l2：y＝﹣3x+，若两直线平行，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或4．设α，β，γ为三个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β．有如下的两个命题：①若l∥β，m∥α，则α∥β；②若l⊥γ，m⊥γ，则α∥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题5．已知双曲线过点P（2，2），其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a，b∈R）在x＝﹣1时处取得极值0，则a+b＝（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或107．已知P是椭圆上在第一象限内的点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，若存在点P使得点F2在线段PF1的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图，正四面体ABCD中，E是AC的中点，F是CD边上的动点，记二面角B﹣EF﹣D的平面角为α，则F从C运动到D的过程中（不含端点D）（）A．α增大B．α减小C．α先增大后减小D．α先减小后增大9．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）＝（）A．B．0 C．D．110．已知点A，B分别是互不垂直的两条异面直线a，b上的点，且直线AB与a，b均垂直，P∈a，Q∈b，若直线PQ与AB所成锐角θ为定值，则PQ的中点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．圆D．线段二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为．12．已知函数f（x）＝x﹣e x，则f'（1）＝；函数f（x）的值域为．13．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3；表面积是cm2．14．已知集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，集合B＝{（x，y）|x2+y2≤a2，a＞0}，若“x ∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是；若“x∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．15．如图，已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|＝1：3，且∠AFB＝90°，则直线AB的斜率为．16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，，对角线BD＝3，E是线段CD上除端点外的任一点，将△ABD沿BD翻折成△A'BD，使二面角A'﹣BD﹣C为120°，设异面直线A'D和BE所成的角为α，则sinα的最小值是．17．已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，满足k1+k2＝8k，则△OAB面积的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，与直线相切于点B．（1）求圆M的方程；（2）圆M和圆x2+y2＝1相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．19．已知函数f（x）＝x+alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，如果函数在定义域内单调递增，求实数t的取值范围．20．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'中，BC＝BB'＝B'C＝4，，AC⊥AA'，二面角B﹣AB'﹣C是直二面角，E，F分别是A'B'，CC'的中点．（1）求证：EF∥平面AB'C；（2）求EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．21．如图，F是抛物线x2＝4y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B 两点处的切线相交于点M．（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求△FPQ面积的最小值．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝2x ﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案．解：命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，故选：C．2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．两个圆台、一个圆锥【分析】画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状．解：设等腰梯形ABCD，较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）故选：B．3．已知l1：2x+m2y+2m＝0与l2：y＝﹣3x+，若两直线平行，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或【分析】直线l2的方程化为3x+y﹣＝0，根据两直线平行列方程求出m的值，再排除两直线重合情况．解：直线l2：y＝﹣3x+可化为3x+y﹣＝0，由直线l1：2x+m2y+2m＝0与l2平行，则3m2﹣2×1＝0，解得m＝±；当m＝时，l1的方程为3x+y+＝0，两直线平行；当m＝﹣时，l1的方程为3x+y﹣＝0，两直线重合；综上知，m的值为．故选：B．4．设α，β，γ为三个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β．有如下的两个命题：①若l∥β，m∥α，则α∥β；②若l⊥γ，m⊥γ，则α∥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题【分析】直接利用线面和面面之间的平行和垂直的判定的应用求出结果．解：对于两个命题：①若l∥β，m∥α，则α∥β；错误，由于直线和平面之间没有传递性．②若l⊥γ，m⊥γ，则α∥β．错误，可能α和β相交．故选：D．5．已知双曲线过点P（2，2），其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】设以为渐近线的双曲线方程为（λ≠0），把P的坐标代入求得λ，则答案可求．解：设以为渐近线的双曲线方程为（λ≠0），∵双曲线过点P（2，2），∴，即λ＝﹣3．∴双曲线的标准方程为．故选：D．6．已知函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a，b∈R）在x＝﹣1时处取得极值0，则a+b＝（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或10【分析】由题意可得，f（﹣1）＝0，f′（﹣1）＝0，代入即可求解．解：∵f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1时处取得极值0，∴f′（x）＝3x2+6ax+b，∴，解可得，或当时，f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0恒成立，函数单调递增，没有极值，不合题意，则a+b＝11．故选：B．7．已知P是椭圆上在第一象限内的点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，若存在点P使得点F2在线段PF1的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件转化列出a、c关系式，然后求解离心率的范围．解：F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，可得|PF2|＝2c，即以F2为圆心，2c为半径的圆与椭圆有交点，所以2c＞a﹣c．可得e ＞，P是椭圆上在第一象限内的点，a＞2c，可得e椭圆C的离心率的取值范围是：（，）．故选：C．8．如图，正四面体ABCD中，E是AC的中点，F是CD边上的动点，记二面角B﹣EF﹣D的平面角为α，则F从C运动到D的过程中（不含端点D）（）A．α增大B．α减小C．α先增大后减小D．α先减小后增大【分析】作图，先求得二面角B﹣EF﹣D的平面角，再在直角三角形中求得tanα的值，通过OG的变化，得到tanα的变化情况，进而得解．解：由题意得，BO⊥平面ACD，其中O为△ADC的中心，过O作OG⊥EF交于点G，连接BG，由三垂线定理可得，BG⊥EF，∠BGO为二面角B﹣EF﹣D的平面角α，易知，在Rt△BOG 中，，由图可得，F从C运动到D的过程中OG减小，而BO为定值，故tanα增大，则α增大，故选：A．9．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）＝（）A．B．0 C．D．1【分析】令g（x）＝x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，g（x）的单调区间和极值点，可得g′（1）＝0，即有2f（1）+f′（1）＝0，由f′（1）＝﹣1，即可得出．解：当x＞0且x≠1时，，可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0；0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0．令g（x）＝x2f（x），x∈（0，+∞），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]．可得：x＞1时，g′（x）＞0；0＜x＜1时，g′（x）＜0．可得函数g（x）在x＝1处取得极值，∴g′（1）＝2f（1）+f′（1）＝0，由f′（1）＝﹣1，可得f（1）＝，故选：C．10．已知点A，B分别是互不垂直的两条异面直线a，b上的点，且直线AB与a，b均垂直，P∈a，Q∈b，若直线PQ与AB所成锐角θ为定值，则PQ的中点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．圆D．线段【分析】画出图象，根据动点轨迹锐角θ为定值，故以AB为轴，夹角为θ，PQ为母线画圆锥，由P，Q分别在a，b上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M随椭圆的变化位置，因为AB长度为定值，故可投影为平面问题，建立坐标系，求出M的轨迹为椭圆．解：如图，直线AB与两条异面直线a，b垂直，将b从BB'移动到AA'，与a相交于A 点，故直线AB与底面APA'垂直，且AB与PQ所成的锐角θ为定值，故以AB为轴，夹角为θ，PQ为母线画圆锥，由P，Q分别在a，b上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M随椭圆的变化位置，因为AB长度为定值，故可投影为平面问题，如下图，以直线a，b交点为原点，角平分线为x轴建立如图直角坐标系，为了方便计算不妨设a，b的夹角θ＝60°，直线x轴与a，b夹角为30°，令定值|P'Q'|＝|AB|tanθ＝6，则设动点Q'（a，a），设M（x，y），M为P'Q'中点，故P'（2x﹣a，2y﹣a）可得tan（﹣30°）＝，得3a＝x+3y，由|P'Q'|＝（2x﹣2+（2y﹣2a）2＝36，联立解得，故选：A．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为．【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果．解：由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，圆柱的高h＝2R，则V球＝πR3，V柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．∴＝＝．S球＝4πR2，S柱＝2πr2+2πrh＝2πR2+2πR•2R＝6πR2．∴＝＝．故答案为：；．12．已知函数f（x）＝x﹣e x，则f'（1）＝1﹣e；函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1] ．【分析】对函数求导，判断单调性和最值，代入即可．解：f（x）＝x﹣e x，所以f'（x）＝1﹣e x，f'（1）＝1﹣e，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）递增；当x∈（0，+∞）时，f（x）递减，故f（x）有最大值f（0）＝﹣1，故f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]，故答案为：1﹣e；（﹣∞，﹣1]．13．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是8+cm3；表面积是20+4cm2．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下面为正方体的组合体，故＝8+．S＝＝20+4．故答案为：；20+4．14．已知集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，集合B＝{（x，y）|x2+y2≤a2，a＞0}，若“x ∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，+∞）；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（0，] ．【分析】根据题意，分析集合A、B的几何意义，进而结合集合与充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，其几何意义为如图正方形ABCD及其内部区域，集合B＝{（x，y）|x2+y2≤a2，a＞0}，其几何意义为圆x2+y2＝a2的圆周及其内部区域，而圆x2+y2＝a2的圆心为（0，0），半径r＝a，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则正方形ABCD在圆x2+y2＝a2的内部，必有a ≥1，此时a的取值范围为[1，+∞）；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则圆x2+y2＝a2在正方形ABCD的内部，必有a ≤，此时a的取值范围为（0，]；故答案为：[1，+∞）；（0，]．15．如图，已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|＝1：3，且∠AFB＝90°，则直线AB的斜率为．【分析】由题意得A，B横坐标的关系，再由∠AFB＝90°知，△AA'F∽△FB'B，所以得坐标的关系，代入抛物线中得A，B的坐标，进而求出斜率．解：由题意知，焦点F（1，0），准线方程：x＝﹣1，A（x，y），B（x'，y'）过A，B分别做AA'，BB'垂直于x轴，则由∠AFB＝90°，△AA'F∽△FB'B，∴，|FA|：|FB|＝1：3，所以3AA'＝B'F，∴3y＝x'﹣1①，由3（x+1）＝x'+1，∴x'＝3x+2②由①②y＝2+，x'＝7+2，y'＝2+2，x＝，所以k AB＝＝＝＝＝；故答案为：．16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，，对角线BD＝3，E是线段CD上除端点外的任一点，将△ABD沿BD翻折成△A'BD，使二面角A'﹣BD﹣C为120°，设异面直线A'D和BE所成的角为α，则sinα的最小值是．【分析】抓住点E的任意性，“最小角定理”得到的线面角不超过线线角，由此能求出sinα的最小值．解：设A′O⊥平面BCD，过O作OH⊥BD于H，连结A′H，由题意得∠A′HO＝60°，由等面积法得A′H＝，∴＝＝，由最小角定理得直线A′D与平面BCD所成角是异面直线A'D和BE所成的角的最小角，∴（sinα）min＝＝＝．故答案为：．17．已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，满足k1+k2＝8k，则△OAB面积的取值范围是．【分析】设直线l的方程，与椭圆联立，求出两根之和两根之积，进而求直线OA，OB 的斜率，再由斜率之和为8k，求出参数的关系，代入面积公式均值不等式求出面积的取值范围．解：设直线AB的方程：y＝kx+t，设A（x'，y'），B（x''，y''），联立与椭圆的方程整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，△＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，即t2＜3+4k2，x'+x''＝﹣，x'x''＝，∴k1＝k OA＝，k2＝k OB＝，由题意得：＝8k，∴＝8k，8k＝2k+t，∴4t2＝9，∴t2＝；∴，原点O到直线的距离d＝，AB＝＝＝4＝2，∴S△OAB＝•AB•d＝•＝＝＜，∴△OAB面积的取值范围是：（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，与直线相切于点B．（1）求圆M的方程；（2）圆M和圆x2+y2＝1相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．【分析】（1）设圆心M（，b），b＞0，则圆M的方程为+（y﹣b）2＝b2，再根据圆和直线相切的性质可得＝b，由此求得b＝1，可得圆的标准方程．（2）由题意利用两个圆相交的性质，利用弦长公式求出线段PQ的长度．解：（1）已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，设圆心M（，b），b＞0，则圆M的方程为+（y﹣b）2＝b2，由于该圆M与直线相切于点B，故有＝b，求得b＝1，故圆M的方程为+（x﹣1）2＝1．（2）∵圆M和圆x2+y2＝1相交于P，Q两点，把两个圆的方程相减，可得PQ的方程为2x+2y﹣3＝0．由于点O到直线PQ的距离为d＝＝，故弦长PQ＝2＝2×＝1．19．已知函数f（x）＝x+alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，如果函数在定义域内单调递增，求实数t的取值范围．【分析】（1）对函数f（x）求导，对a进行讨论，判断单调性；（2）函数在定义域内单调递增，g'（x）＝≥0，分离参数求出t的范围．解：（1）已知函数f（x）＝x+alnx，（a∈R），x＞0，f'（x）＝1+，当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；当a＜0时，x∈（0，﹣a），f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（﹣a，+∞），f'（x）＞0，f（x）递增；（2）当a＝1时，g（x）＝x+lnx+，x＞0，g'（x）＝≥0，即x2+（t+1）x+1≥0在x＞0恒成立，分离参数t+1≥，由x+，x＞0，故t+1≥﹣2，即t≥﹣3．20．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'中，BC＝BB'＝B'C＝4，，AC⊥AA'，二面角B﹣AB'﹣C是直二面角，E，F分别是A'B'，CC'的中点．（1）求证：EF∥平面AB'C；（2）求EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．【分析】（1）取AB′的中点G，连结GE，GC，推导出四边形GCFE为平行四边形，EF∥CG，由此能证明EF∥平面AB′C．（2）由CG∥EF，得EF与平面ABB′A′所成的角等于CG于平面ABB′A′所成角，作BH ⊥B′A，H是垂足，推导出∠CGA是CG与平面ABB′A′所成角，由此能求出EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．解：（1）证明：取AB′的中点G，连结GE，GC，∵E，F分别是AB′，CC′的中点，∴GE∥AA′，且GE＝，∵CF∥AA′，且CF＝，∴GE∥CF，且GE＝CF，∴四边形GCFE为平行四边形，∴EF∥CG，又CG⊂平面AB′C，EF⊄平面AB′C，∴EF∥平面AB′C．（2）解：∵CG∥EF，∴EF与平面ABB′A′所成的角等于CG于平面ABB′A′所成角，作BH⊥B′A，H是垂足，由面BAB′⊥面AB′C，得BH⊥面AB′C，∴BH⊥AC，又AC⊥AA′，BH和AA′是相交直线，∴AC⊥平面ABB′A′，∴∠CGA是CG与平面ABB′A′所成角，AC＝3，AG＝，CG＝，∴EF与平面ABB'A'所成角的正弦值为sin∠CGA＝＝．21．如图，F是抛物线x2＝4y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B 两点处的切线相交于点M．（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求△FPQ面积的最小值．【分析】（1）求得抛物线的焦点F的坐标，设出A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理，求得y＝x2的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点M的坐标，即可得证；（2）设C（x3，y3），求得切线的方程，运用点到直线的距离公式，求得P，Q的坐标，和距离|PQ|，再由三角形的面积公式和基本不等式，即可点到所求最小值．解：（1）证明：抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12＝4y1，x22＝4y2，直线AB的方程为y＝kx+1，联立抛物线方程可得x2﹣4kx﹣4＝0，可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，由y＝x2的导数为y′＝x，可得A处的切线的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即为y＝x1x﹣x12，同理可得B处切线的方程为y＝x2x﹣x22，解方程可得M（，），即M（2k，﹣1），即点M在抛物线的准线y＝﹣1上；（2）设C（x3，y3），可得C处的切线PQ的方程为y＝x3x﹣x32，则点F到直线PQ的距离为d＝，由（1）可得P（，），Q（，），可得|PQ|＝，则S△FPQ＝d|PQ|＝（1+x32）≥＝＝≥＝1，当且仅当x1＝﹣2，x2＝2，x3＝0时取得等号．则△FPQ面积的最小值为1．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝2x ﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值．【分析】（1）由已知结合导数的几何意义可得，，代入即可求解a，b，（2）由已知可得，k，转化为求g（x）＝的最小值，结合导数即可求解．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax2+bx，∴f′（x）＝﹣2x+b，由题意可得，，解可得，a＝0，b＝1，（2）由（I）可得f（x）＝lnx+x，f′（x）＝+1，由恒成立可得，k，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝x﹣ln（x+1），则h′（x）＝＞0，∴h（x）单调递增，而h（2）＜0，h（3）＞0，所以h（x）有唯一的实数根x0∈（2，3），且0＝x0﹣ln（x0+1），∴g（x）min＝g（x0）＝[1+ln（1+x0）]＝1+x0∈（3，4），∴k≤3，k∈z，故k的最大值3．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(b卷)
2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）双曲线221916x y -=的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．82．（4分）与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．2310x y ++=B ．2310x y +-=C ．3210x y -+=D ．3210x y ++=3．（4分）若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(1，2]C ．(0,2)D ．(1,2)4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是()A ．6B ．2C ．12D ．35．（4分）一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是( ) A ．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B ．各个面都是正三角形C ．三个侧面是全等的等腰三角形D ．顶点在底面上的射影为重心6．（4分）如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为( )A ．12B ．10C ．8D ．67．（4分）已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y -+= C ．221(0)x y x +=≠D ．22(1)1(0)x y x -+=≠8．（4分）已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是( ) A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(2,2)9．（4分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为( )A ．35B ．45C ．14D ．3410．（4分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,2)B ，圆22:()1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得22||||12MA MB +=，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1,12]+B ．[12,122]-+C ．[1,122]+D ．[12,12]+二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），若直线l 的斜率为12，则m = ，若1m =-，直线l 的倾斜角为 ．12．（6分）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．13．（6分）已知圆221:1C x y +=和圆2222:(4)(3)(0)C x y r r -+-=>外切，则r 的值为 ，若点0(A x ，0)y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为 ． 14．（6分）已知直线1y x =-与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为 ，若OA OB ⊥，则p 的值为 ．15．（4分）某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理研究椭圆22221(0)x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是 ．16．（4分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC 上一点，且1BE =，P 为DC 的中点．沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE ∆内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是 ．17．（4分）设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点(0,)M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点(1,2)A -和(3,2)B -，且过点(3,1)P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程．19．（14分）如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，//AB CD ． （Ⅰ）求证：//CD EF ；（Ⅱ）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE ∆是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积．20．（14分）已知点A ，B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与曲线C 交于P ，Q 两点，求APQ ∆的面积．21．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）在直线CH 上确定一点F ，使得//AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角．22．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M 、N ；若l 垂直于x 轴，则||3MN =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆的左右顶点分别为1A 、2A ，直线1A M 与直线2A N 交于点P ．求证：点P 在定直线上．2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）双曲线221916x y -=的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．8【解答】解：双曲线221916x y -=的实轴长为：2236a =⨯=．故选：C ．2．（4分）与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．2310x y ++=B ．2310x y +-=C ．3210x y -+=D ．3210x y ++=【解答】解：设(,)P x y 为要求直线上的任意一点，则点P 关于y 轴对称的点为(,)x y -，代入直线l 的方程可得：2310x y --+=， 化为：2310x y +-=， 故选：B ．3．（4分）若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(1，2]C ．(0,2)D ．(1,2)【解答】解：若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离， 则圆心到直线的距离d r >，>0m >，解得02m <<， 故选：C ．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是()A．6B．2C．12D．3【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，1(12)2262V=⨯+⨯⨯=，故选：A．5．（4分）一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是()A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B．各个面都是正三角形C．三个侧面是全等的等腰三角形D．顶点在底面上的射影为重心【解答】解：对于A，若一个三棱锥是正三棱锥，则底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，反之，若一个三棱锥底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，则三棱锥为正三棱锥，故A正确；对于B，正三棱锥的侧面不一定是正三角形，故B错误；对于C，如图，三棱锥A BCD-满足2AB AC BD CD====，3AD BC==，满足三个侧面是全等的等腰三角形，但三棱锥不是正三棱锥，故C错误；对于D，一个三棱锥顶点在底面上的射影为重心，三棱锥不一定是正三棱锥，故D错误．故选：A．6．（4分）如图，已知三棱锥V ABC-，点P是VA的中点，且2AC=，4VB=，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为()A．12B．10C．8D．6【解答】解：如图所示，过点P作//PF AC，交VC于点F，过点F作//FE VB交BC于点E，过点E作//EQ AC，交AB于点Q；由作图可知：//EQ PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得122EF PQ VB===，112EQ PF AC===；所以截面四边形EFPQ的周长为2(21)6⨯+=．故选：D．7．（4分）已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y -+= C ．221(0)x y x +=≠D ．22(1)1(0)x y x -+=≠【解答】解：设(,)P x y ，直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ， 可得20yx y x+-=g ，0x ≠，即2220x x y -+=，0x ≠，可得22(1)1(0)x y x -+=≠． 故选：D ．8．（4分）已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是( ) A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(2,2)【解答】解：双曲线224x y -=，双曲线的渐近线方程为：y x =±，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，(1,1)，(2,2)在双曲线的渐近线上，所以A 、D ，不成立．因为(2,1)是第一象限，在双曲线外与x 轴与y x =所围成的区域内，不可能满足：过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点， 所以只有选项B 满足条件， 故选：B ．9．（4分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为( )A ．35B ．45C ．14D ．34【解答】解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，可得12||||2PF PF a +=，所以22||5a PF =，18||5aPF =， 222212121212178cos 4||||2||||cos 4()25F PF c PF PF PF PF F PF a -∠=+-∠=当且仅当12cos 1F PF ∠=时，2294425c a ⨯…，所以35e …．故选：A ．10．（4分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,2)B ，圆22:()1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得22||||12MA MB +=，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,1+B ．[1-+C ．[1,1+D ．[1+【解答】解：设(,)M x y ，22||||12MA MB +=Q2222(2)(2)12x y x y ∴-+++-=， 22(1)(1)4x y ∴-+-=，Q 圆C 上存在点M ，满足22||||12MA MB +=∴两圆相交或相切，13∴，即|1|a -„，11a ∴-+ 故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），若直线l 的斜率为12，则m = 0 ，若1m =-，直线l 的倾斜角为 ．【解答】解：Q 直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），直线l 的斜率为12，∴21122m +=， 解得0m =，Q 直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），1m =-，∴直线l 的斜率2(1)112k -+==，∴直线l 的倾斜角为45︒．故答案为：0，45︒．12．（6分）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 (1-，2-，3)- ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．【解答】解：在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为(1-，2-，3)-，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '， 则(1C '，1-，2)-，||B C ''∴故答案为：(1-，2-，3)-13．（6分）已知圆221:1C x y +=和圆2222:(4)(3)(0)C x y r r -+-=>外切，则r 的值为 4 ，若点0(A x ，0)y 在圆1C 上，则22004x y x +-的最大值为 ．【解答】1r =+，解得4r =；由点0(A x ，0)y 在圆1C 上，所以2201x y +=，且0[1x ∈-，1]， 所以22000414[3x y x x +-=-∈-，5] 所以220004x y x +-的最大值为5， 故答案分别为：4，5．14．（6分）已知直线1y x =-与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为 1x =- ，若OA OB ⊥，则p 的值为 ． 【解答】解：由题意知抛物线的焦点在x 轴，1y x =-，令0y =，1x =，求出直线与x 轴的交点，即为抛物线的焦点(1,0)， 所以抛物线的方程为24y x =， 所以准线方程为：1x =-； 若OA OB ⊥，设(,)A x y ，(,)B x y ''， 直线与抛物线联立：2(22)10x p x -++=， 22x x p '∴+=+，1xx '=， ()12yy xx x x p '''∴=-++=- 若OA OB ⊥，则0OA OB =u u u r u u u rg ，0xx yy ''∴+=，即120p -=，解得12p =； 故答案分别为：1x =-，12． 15．（4分）某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理研究椭圆22221(0)x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是243a b π ．【解答】解：S S =Q 圆环总成立，∴椭球的体积为：222142()33a b a b a b πππ-=．故答案为：243a b π．16．（4分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC上一点，且1BE =，P 为DC 的中点．沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE ∆内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是 1[0,]5．【解答】解：如图，过点P 作AE 的垂线，垂足为O ，并延长交AB 于点M ，由翻折性质可知，AE ⊥平面OMP ，故平面OMP ⊥平面ABE ，因此点P 在平面ABE 内的射影点Q 必在OM 上：由于点Q 在ABE ∆内（含边界），则点Q 在线段OM 上； 当θ取最小值时，有PM OM ⊥，此时cos θ有最大值OM OP ，又15,22OM OP ==，故1(cos )5max θ=， 显然θ的最大值为2π，故(cos )0min θ=， 综上，cos θ的取值范围是1[0,]5．故答案为：1[0,]5．17．（4分）设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点(0,)M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为 (0，1)(1⋃，9) ． 【解答】解：设2(4,4)N t t ，可知(0,1)F ，0m >且1m ≠，所以2(4,14)NF t t =--u u u r ，2(4,4)NM t m t =--u u u u r ， 因为FNM ∠是锐角，所以0NF NM >u u u r u u u u rg ，即22216(14)(4)0t t m t +-->， 整理得4216(124)0t m t m +-+>， 等价于428(62)02mt m t +-+>对任意t R ∈恒成立； 令20x t =…，则2()8(62)02mf x x m x =+-+>对任意[0x ∈，)+∞恒成立； 因为()f x 的对称轴为38mx -=-，故分类讨论如下： （1）308m--„，即03m <„时， ()(0)02min mf x f ==>， 所以03m <„； （2）308m-->，即3m >时， 应有2(62)4802mm =--⨯⨯<V ， 得39m <<；综上所述：(0m ∈，1)(1⋃，9)． 故答案为：(0，1)(1⋃，9)．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点(1,2)A -和(3,2)B -，且过点(3,1)P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程．【解答】解：（1）法一、Q 易求得AB 的中点为(1,0)，且1AB k =-，AB ∴的中垂线方程为10x y --= 由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得圆心C 的坐标为(1,0)，∴半径||CA =故圆C 的标准方程为：22(1)8x y -+=， 法二、设圆心(,22)C a a -，则由||||CA CB ==解得：1a =∴圆心(1,0)C ，半径r =， 故圆C 的标准方程为：22(1)8x y -+=．（2）法一、当90MCN ∠=︒时，则圆心C 到直线l 的距离为2， 若直线l 的斜率存在，设直线:1(3)l y k x +=-， 即310kx y k ---=∴圆心(1,0)C 到直线l 的距离2d ==，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=， 若直线l 的斜率不存在，则直线:3l x =，符合题意， 综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=． 法二、设1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，90MCN ∠=︒Q ，||4MN ∴= 若直线l 的斜率不存在， 则直线:3l x =，符合题意， 若直线l 的斜率存在，设:(3)1l y k x =--与圆方程22(1)8x y -+=，联立得：2222(1)2(31)3(322)0k x k k x k k +-++++-=， 由弦长公式得：221212(1)[()4]16k x x x x ++-=， 由韦达定理代入，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=， 综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=．19．（14分）如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，//AB CD ． （Ⅰ）求证：//CD EF ；（Ⅱ）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE ∆是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积．【解答】（Ⅰ）证明：//AB CD Q ，AB α⊂/，CD α⊂，//AB α∴， 又AB γ⊂，EF αγ=I ，//AB EF ∴， 又//AB CD Q ，//CD EF ∴；（Ⅱ）解：122sin 6032ACE S ∆=︒g g g又三棱柱ACE BDF -的高212421()266555h =-=g g∴41236255V Sh ===g． 20．（14分）已知点A ，B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与曲线C 交于P ，Q 两点，求APQ ∆的面积． 【解答】解：（Ⅰ）设(,)M x y ， 则1AM y k x =+，1BM y k x =-， 所以211y y x x -=-+， 所以轨迹方程为21(0y x y =-≠或1)x ≠±；（Ⅱ）方法一：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 联立方程21y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以221212||11()410PQ x x x x ++-A 到直线的距离为22211d ==+所以15||2APQ S d PQ ∆==g g方法二：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 联立方程21y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，212121212111||||||||()4222APQ S AO y y AO x x x x x x ∆=-=-=+-g g g g ，所以5APQ S ∆=． 21．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）在直线CH 上确定一点F ，使得//AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角．【解答】（Ⅰ）证明：AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点． 所以CH BD ⊥，又面ABD ⊥面BCD ，CH ∴⊥面ABD ，CH AD ∴⊥， 又AD CD ⊥，AD CH ⊥，CD CH C =I ，AD ∴⊥面BCD ， AD BC ∴⊥．（Ⅱ）解：在CH 延长线上取点F ，使FH HC =， 则四边形BCDF 为平行四边形，又//EH AF ，EH ⊂面BDE ，AF ⊂/面BDE ，//AF ∴面BDE ， 又AD ⊥面BCD ，AFD ∴∠即为AF 与面BCD 所成线面角， 又DF BC AD ==，45AFD ∴∠=︒， 即AF 与面BCD 所成线面角为45︒．22．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M 、N ；若l 垂直于x 轴，则||3MN =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆的左右顶点分别为1A 、2A ，直线1A M 与直线2A N 交于点P ．求证：点P 在定直线上．【解答】解：（Ⅰ）由已知得22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设1(M x ，1)y ，2(N x ，212)()y y y >，:1MN l x my =+，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=， 所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--， 所以12212112212112212121212(2())2(22())2()2()P x y x y y y my y y y y y x x y x y y y y y y y ++-+++-==-++-++，又因为121223()my y y y =+， 所以212121212(4()2())42()P y y y y x y y y y ++-==-++；所以点P 在直线4x =上．。
浙江省温州市乐清市六校理科班2019-2020学年八年级上学期期末考试数学试卷(含答案)
2019-2020学年浙江省温州市乐清市六校理科班八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题6分，共48分）1．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）A．21B．22C．23D．242．已知四边形的四条边的长分别是m、n、p、q，且满足m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq．则这个四边形是（）A．平行四边形B．对角线互相垂直的四边形C．平行四边形或一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形D．对角线相等的四边形3．如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（）A．3B．C．D．4﹣4．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（）A．2个B．4个C．6个D．8个5．已知关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有唯一实数解，且反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝6．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．设P是高为h的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x，y，z（x≤y≤z）．若以x，y，z为边可以组成三角形，则z应满足的条件为（）A．h≤z h B．h≤z h C．h≤z h D．8．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离3，试在直线a上找一点C，直线b上找一点D，满足CD⊥a，AC+CD+DB 的长度和最短，且AC+DB＝8．则AB长（）A．3B．3C．2D．2二、填空题（本大题有7小题，每小题6分，共42分）9．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC＝6cm，则△BCD的面积是cm2．10．设a、b、c都是实数，且满足，ax2+bx+c＝0；则代数式x2+2x+1的值为．11．如图，P是函数y＝（x＞0）图象上一点，直线y＝﹣x+1交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则AF•BE的值为．12．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是．14．在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为．15．规定：[x]表示不超过x的最大整数，若实数x满足[x]+[2x]+[3x]＝2019，则[5x]的值为．三、解答题（本大题有4小题，共60分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知：x＞0，y＞0且．（1）用含x的代数式来表示y；（2）设t＝2x+y，求t的最小值．17．（15分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？18．（15分）如图所示，已知双曲线y＝（k＞0，x＞0）上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，试比较S1和S2的大小．（2）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2，试比较C1，C2的大小．（3）若P是双曲线y＝（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？19．（18分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x折叠，点B落在y轴的点C处．（1）点C的坐标为；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2019-2020学年浙江省温州市乐清市六校理科班八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有8小题，每小题6分，共48分）1．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）A．21B．22C．23D．24【分析】根据5个相异自然数的平均数为12，得到5个自然数的和，又因为中位数为17，求数据中的最大数，所以可得出这组数据，即可求得这5个自然数中最大一个的值．【解答】解：∵5个相异自然数的平均数为12∴5个相异自然数的和为60；∵中位数为17，∴这5个数中有2个数比17小，有两个数比17大；又∵求这5个数中的最大一个的可能值的最大值，∴设这5个数中两个最小的数为0和1，而比17大的最小的自然数是18，∴剩下的第5个数是：60﹣0﹣1﹣17﹣18＝24，即第5个数是24，∴这5个数为0，1，17，18，24．∴这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是24；故选：D．2．已知四边形的四条边的长分别是m、n、p、q，且满足m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq．则这个四边形是（）A．平行四边形B．对角线互相垂直的四边形C．平行四边形或一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形D．对角线相等的四边形【分析】对于所给等式m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq，先移项，配成两个完全平方式的和为0的形式，即（m﹣n）2+（p﹣q）2＝0，进而可得m＝n，p＝q，分m、n为对边与m，n 为邻边进行讨论，故可判定是平行四边形或对角线互相垂直的四边形．【解答】解：m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq，可化简为（m﹣n）2+（p﹣q）2＝0，∴m＝n，p＝q，∵m，n，p，q分别为四边形的四边，当m、n为对边，p、q为对边，∴可确定其为平行四边形，当m，n为邻边时，可以证明有两个顶点在一条对角线的垂直平分线上，∴这个四边形的对角线互相垂直．故选：C．3．如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（）A．3B．C．D．4﹣【分析】根据题意，结合2个式子可得|x|（3﹣|x|）+x3＝0，分x＞0与x＜0两种情况讨论，求出x的值，由y＝3﹣|x|，求出y的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，|x|+y＝3则y＝3﹣|x|，又由|x|y+x3＝0，则有|x|（3﹣|x|）+x3＝0，分2种情况讨论：①当x＞0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到：x（3﹣x）+x3＝0，变形可得：x2﹣x+3＝0，无解；②当x＜0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到（﹣x）[3﹣（﹣x）]+x3＝0，变形可得：x2﹣x﹣3＝0，解可得：x＝或x＝，（舍）综合可得：x＝，则y＝3﹣|x|＝3+x，x+y＝3+2x＝4﹣；故选：D．4．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】把所给函数解析式化为整式，进而整理为两数积的形式，根据整点的定义判断积的可能的形式，找到整点的个数即可．【解答】解：将函数表达式变形，得2xy﹣y＝x+12，4xy﹣2y﹣2x＝24，2y（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝24+1，（2y﹣1）（2x﹣1）＝25．∵x，y都是整数，∴（2y﹣1），（2x﹣1）也是整数．∴或或或或或．解得：或或或或或．∴解得的整点为：（13，1），（﹣12，0），（1，13），（0，﹣12），（3，3），（﹣2，﹣2）共6个．故选：C．5．已知关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有唯一实数解，且反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．【解答】解：关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2化成一般形式是：2x2+（2﹣2b）x+（b2﹣1）＝0，△＝（2﹣2b）2﹣8（b2﹣1）＝﹣4（b+3）（b﹣1）＝0，解得：b＝﹣3或1．∵反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0∴b＜﹣1，∴b＝﹣3．则反比例函数的解析式是：y＝﹣．故选：B．6．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】（1）设∠1＝x度，把∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，∠4＝（x+60）度，∠3＝60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；（2）根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC＝∠E＝60°，∠CDA＝120°﹣60°＝60°，可知DC平分∠BDA；（3）由②可知，∠BAC＝60°，∠E＝60°，从而得到∠E＝∠BAC．（4）由旋转可知AE＝BD，又∠DAE＝180°，DE＝AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC＝DE＝DB+BA．【解答】解：如图，①设∠1＝x度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC＝DB+BA．故④正确；故选：A．7．设P是高为h的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x，y，z（x≤y≤z）．若以x，y，z为边可以组成三角形，则z应满足的条件为（）A．h≤z h B．h≤z h C．h≤z h D．【分析】如图，连接AP，BP，CP，先利用S△ABC＝S△APC+S△BPC+S△APB，找出x，y，z 与h的关系，再运用三角形三边关系可得z＜h，由x≤y≤z可得z≥h，即可求出z 应满足的条件．【解答】解：如图，PE＝x，PF＝y，Pq＝Q＝z，连接AP，BP，CP，∵S△ABC＝S△APC+S△BPC+S△APB，∴BC•h＝AC•x+BC•y+AB•z，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴BC•h＝BC（x+y+z），即x+y+z＝h，∵以x，y，z为边可以组成三角形，∴x+y＞z，∴2z＜h，即z＜h，又∵x≤y≤z，∴z≥（x+y+z），即z≥h，∴h≤z h．故选：B．8．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离3，试在直线a上找一点C，直线b上找一点D，满足CD⊥a，AC+CD+DB 的长度和最短，且AC+DB＝8．则AB长（）A．3B．3C．2D．2【分析】如图，作AE⊥a，使得线段AE＝4，连接EB交直线b于点D，作DC⊥b交直线a于点C，连接AC，作BF⊥AE交AE的延长线于点F．证明四边形AEDC是平行四边形，推出AC＝ED，推出AC+CD+BD＝ED+BD+CD，此时AC+CD+DB的值最小．【解答】解：如图，作AE⊥a，使得线段AE＝4，连接EB交直线b于点D，作DC⊥b 交直线a于点C，连接AC，作BF⊥AE交AE的延长线于点F．∵CD＝AE＝4，CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝ED，∴AC+CD+BD＝ED+BD+CD，此时AC+CD+DB的值最小，由题意EF＝2+4+3﹣4＝5，BE＝AC+BD＝8，∴BF＝＝＝，∴AB＝＝＝2，故选：D．二、填空题（本大题有7小题，每小题6分，共42分）9．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC＝6cm，则△BCD的面积是27cm2．【分析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．【解答】解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC＝∠EBD＝30°，∴＝，cos∠ABC＝cos30°＝＝，∴AB＝BE＝2AC＝2DE＝2×6＝12，BC＝×AB＝×12＝6，∴BD＝6，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE＝30°，∴＝＝，DF＝3，∴S△BCD＝BC•DF＝×6×3＝27cm2．故答案为：27．10．设a、b、c都是实数，且满足，ax2+bx+c＝0；则代数式x2+2x+1的值为5．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入ax2+bx+c＝0并求出x2+2x 的值，再代入代数式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，2﹣a＝0，a2+b+c＝0，c+8＝0，解得a＝2，b＝4，c＝﹣8，∴ax2+bx+c＝2x2+4x﹣8＝0，即x2+2x﹣4＝0，解得x2+2x＝4，∴x2+2x+1＝4+1＝5．故答案为：5．11．如图，P是函数y＝（x＞0）图象上一点，直线y＝﹣x+1交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则AF•BE的值为1．【分析】由于P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF的长度也可以用a表示，接着F点、E点的坐标也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．【解答】解：∵P是函数y＝（x＞0）图象上一点，∴P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），∴BN＝1﹣，∵直线y＝﹣x+1交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（1，0），B（0，1），∴OA＝OB，∴∠OAB＝OBA＝45°，∴在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°，∴NF＝BN＝1﹣，∴F点的坐标为（1﹣，），同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），∴AF2＝（﹣）2+（）2＝，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，∴AF2•BE2＝•2a2＝1，即AF•BE＝1，故答案为1．12．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝3+2．【分析】设AD＝x，则AB＝x+2，利用折叠的性质得DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A ＝90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE＝AD＝x，再根据折叠的性质得DH ＝DC＝x+2，当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，然后根据勾股定理得到x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，再解方程求出x即可．【解答】解：设AD＝x，则AB＝x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE＝AD＝x，∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH＝DC＝x+2，∵HE＝1，当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2＝DH2，∴x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，整理得x2﹣6x﹣3＝0，解得x1＝3+2，x2＝3﹣2（舍去），即AD的长为3+2．故答案为：3+2．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是3．【分析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．【解答】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．14．在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为y＝﹣x+4．【分析】首先证明OD⊥AB，求出直线OD解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出D坐标，设直线CD解析式为y＝mx+n，把B与D坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式．【解答】解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，∴△BOA≌△CDA，∴AB＝AC，OA＝AD，∵B、D、C共线，AD⊥BC，∴BD＝CD＝OB，∵OA＝AD，BO＝CD＝BD，∴OD⊥AB，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A与B坐标代入得：，解得：，∴直线AB解析式为y＝﹣x+4，∴直线OD解析式为y＝x，联立得：，解得：，即M（，），∵M为线段OD的中点，∴D（，），设直线CD解析式为y＝mx+n，把B与D坐标代入得：，解得：m＝﹣，n＝4，则直线CD解析式为y＝﹣x+4．故答案为：y＝﹣．15．规定：[x]表示不超过x的最大整数，若实数x满足[x]+[2x]+[3x]＝2019，则[5x]的值为1713或1714．【分析】设x的整数部分为m，小数部分为n，则x＝m+n，[x]＝m，分情况求出m的值，再分情况，即可得出结论．【解答】解：设x的整数部分为m，小数部分为n，则x＝m+n，[x]＝m，2x＝2（m+n）＝2m+2n，3x＝3（m+n）＝3m+3n，①当n＜时，2n＜1，3n＜1，∴[2x]＝2m，[3x]＝3m，∵[x]+[2x]+[3x]＝2019，∴m+2m+3m＝2019，∴m＝，不是整数，不符合题意；②当≤n＜时，2n＜1，3n≥1，∴[2x]＝2m，[3x]＝3m+1，∴m+2m+3m+1＝2019，∴m＝，不是整数，不符合题意，③当≤n＜时，2n≥1，1＜3n＜2，∴[2x]＝2m+1，[3x]＝3m+1，∴m+2m+1+3m+1＝2019，∴m＝，不是整数，不符合题意，④当n≥时，2n＞1，3n≥2，∴[2x]＝2m+1，[3x]＝3m+2，∴m+2m+1+3m+2＝2019，∴m＝336，符合题意，Ⅰ、当≤n＜时，[5x]＝5m+3＝5×336+3＝1713，Ⅱ、当n＞时，[5x]＝5m+4＝5×336+4＝1714，即满足条件的[5x]的值为1713或1714，故答案为1713或1714．三、解答题（本大题有4小题，共60分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知：x＞0，y＞0且．（1）用含x的代数式来表示y；（2）设t＝2x+y，求t的最小值．【分析】（1）将变形为用含x的代数式来表示y即可求解；（2）可得t＝2x+y≥3+2，得到＝时t有最小值．【解答】解：（1），＝1﹣＝，y＝．故用含x的代数式来表示y为y＝；（2）t＝2x+y＝（2x+y）（+）＝3++≥3+2＝3+2，故＝时，t的最小值是3+2．17．（15分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝2，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【分析】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；（2）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B；（3）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△≥0，可找出m、n之间的关系．【解答】解：（1）利用求根公式可知：x1＝＝，x2＝＝2．故答案为：；2．（2）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B．（3）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．∵矩形B存在，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，∴（m﹣n）2≥4mn．故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．18．（15分）如图所示，已知双曲线y＝（k＞0，x＞0）上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，试比较S1和S2的大小．（2）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2，试比较C1，C2的大小．（3）若P是双曲线y＝（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？【分析】（1）根据反比例函数中系数k的几何意义可直接得到S1＝S2；（2）由于AC、BD的值不能确定，所以应分AC＝BD、AC＜BD、AC＞BD三种情况讨论．（3）根据题意画出图形，设出P点坐标，根据k为定值，则当x＝y时四边形的周长最小．【解答】解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1＝S2＝k；（2）∵C1＝2OB+2AO＝2BO+2CO+2AC，C2＝2CO+2OD＝2CO+2OB+2BD，∴当y1﹣y2＝x2﹣x1，即AC＝BD时，C1＝C2；当y1﹣y2＜x2﹣x1，即AC＜BD时，C1＜C2；当y1﹣y2＞x2﹣x1，即AC＞BD时，C1＞C2．（3）设P（x，y），即（x，），四边形PMON的周长＝2（x+y）＝2（x+），因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，所以x＝，即x2＝k，解得x＝，故P点坐标为（，）．∴最小值为4．19．（18分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x折叠，点B落在y轴的点C处．（1）点C的坐标为（0，3）；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设直线l2与y轴交于点H（0，﹣），则BH＝＝，则CH ＝BH＝，即可求解；（2）分两种情况进行讨论：①点D在第一象限时，由△CDB与△CDO面积相等，得出CD∥OB，即可求解；②点D在第二象限时，由S△CDB＝S△CDA+S△CAB，以及△CDB与△CDO面积相等，得出点D的横坐标，即可求解；（3）过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，证明△MNF≌FOE≌△EQP，根据全等三角形的性质可得点M（m，3）和点P的坐标，即可求解．【解答】解：（1）直线l1：y＝﹣x+4分别交x、y轴于B、A两点，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（6，0），设直线l2与y轴交于点H（0，﹣），则BH＝＝，则CH＝BH＝，则OC＝HC﹣OH＝﹣＝3，故答案为：（0，3）；（2）①点D在第一象限时，∵△CDB与△CDO面积相等，∴CD∥OB，∴点D的纵坐标为3，当y＝3时，﹣x+4＝3，解得：x＝，∴点D的坐标为（，3），∴直线OD的解析式为：y＝2x；②点D在第二象限时，AC＝4﹣3＝1．设点D到y轴的距离为a，则S△CDB＝S△CDA+S△CAB＝×1•a+×1×6＝a+3，∵△CDB与△CDO面积相等，∴a+3＝×3a，解得a＝3，∴点D的横坐标为﹣3，当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）+4＝6，∴点D的坐标为（﹣3，6），∴直线OD的解析式为：y＝﹣2x；（3）存在，理由：设直线OD平移后的解析式为y＝2x+b，令y＝0，则2x+b＝0，解得x＝﹣b，令x＝0，则y＝b，所以OE＝﹣b，OF＝b，过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，∵四边形EFMP为正方形，∴△MNF≌FOE≌△EQP，∴MN＝OF＝EQ，NF＝OE＝PQ，M（m，3），∴ON＝b+b＝3，解得b＝2∴OE＝1，OF＝2，∴OQ＝OE+QE＝1+2＝3，∴M（﹣2，3），P（﹣3，1）．故存在点M（﹣2，3）和点P（﹣3，1），使四边形EFMP为正方形．当直线在EF经过一，二，三象限时，如图3﹣1中，同法可得M（6，3），P（3，﹣3）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣3，1）或（3，﹣3）．。
2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末教学质量统一检测数学(a卷)试题 pdf版
设 A(a, b, c) ，则 a2 b2 c2 7 ， CA (a 2 3, b 2, c) ， CC (0, 4, 0)
在矩形 ACCA 中， CACC 0 即 4( b -2)=0 b 2 a2 c2 3 …………11 分
BA (a, 2,c) ， BB (0, 4, 0) ,设平面 BAB 的法向量为 n1 (x1, y1, z1) ，
作 ' B' E
C'
由面 BAB ' 面AB 'C 得： BH 面AB 'C ……………………………………………10 分
BH AC ，又 AC AA' ， BH和AA'是相交直线
AC 平面 ABB' A' CGA 就是 CG 与平面 ABB' A' 所成的角．…………………………………………13 分
2
2
g(x) x2 (t 1 x) 1…………………………………………………………………9 分 x
所以 g(x) 在定义域内单调递增，即 x2 (t 1)x 1 0 在 (0, ) 恒成立，…………11 分
分离参数可得：
t
1
(x
1) x
，因为
x
1 x
2
，………………………………………14
………………………………………………………10
分
令 h(x) x 1 ln(x 1)
数学试题卷(A)参考答案 第 4 页（共 5 页）
则 h(x) x 0 所以 h(x) x 1 ln(x 1) 为增函数……………………………11 分 x 1