高中数学函数值域求法总结
求函数值域的几种方法
解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这 说 明 2 “ 方 法1” 中 所 说 的 “ ( x) 0有 实 根 ” 是 必 要 的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
• •
3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解 出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
2 x 4 例3 求 函 数 y 的值域 . x 3
解：由原函数， 得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .
•
6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例8
x2 2 求函数 y 的 值 域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0
求函数值域的方法
求函数值域的十种方法前言：求函数是高中数学的一项基本技能，而且在解高中数学题中是常用到的工具之一，由于求函数值域的方法很多，有时技巧要求很高，致使学生产生畏难情绪．我们试图介绍在求函数值域的十种方法，每一种方法各举了若干个典型例子并配以相应练习，以使学生能举一反三，掌握求函数值域这一高中数学的基本技能．这十种方法是１. 部分分式法；2. 配方法；3. 判别式法； 4. 反函数；5. 函数有界性法；6. 函数单调性法；7. 换元法；8. 数形结合法；9. 不等式法；10. 多种方法综合运用一. 部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式） 例1、求函数12++=x x y 的值域 解：利用恒等变形，得到：111++=x y ，容易观察知x ≠-1,y ≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。
注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
例2、求函数122+--=x x xx y 的值域。
观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。
所以 ⎝⎛⎥⎦⎤∈43,0)(x g 故)1,31⎢⎣⎡-∈y练习．求下列函数的值域：(1) 231--=x x y (2) 1122+-=x x y .答案：（１）值域),(),(3131+∞⋃-∞∈y （２）值域y ∈[-1,1] 例3、求函数])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=x b a b a bxa bxa y 的值域。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
高中数学函数定义域值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一。
求函数得定义域需要从这几个方面入手:(１)分母不为零(2)偶次根式得被开方数非负。
(３)对数中得真数部分大于0。
(４)指数、对数得底数大于0,且不等于1(5)y=tanｘ中x≠ｋπ＋π／2;ｙ=cotｘ中x≠kπ等等。
( 6 )中ｘ二、值域就是函数y=ｆ(x)中y得取值范围。
常用得求值域得方法: (1)直接法(２)图象法(数形结合)(3)函数单调性法 (4)配方法(５)换元法 (包括三角换元)(６)反函数法(逆求法)(7)分离常数法 (8)判别式法(9)复合函数法 (1０)不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。
定义域得求法1、直接定义域问题例1 求下列函数得定义域:①;②;③解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义,而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、②∵3ｘ+2〈0,即x<－时,根式无意义,而,即时,根式才有意义,∴这个函数得定义域就是｛｜｝.③∵当,即且时,根式与分式同时有意义,∴这个函数得定义域就是｛|且｝另解:要使函数有意义,必须:例2 求下列函数得定义域:①②③④⑤解:①要使函数有意义,必须: 即:∴函数得定义域为: [］②要使函数有意义,必须:∴定义域为:{ x｜｝③要使函数有意义,必须: ⇒∴函数得定义域为:④要使函数有意义,必须:∴定义域为:⑤要使函数有意义,必须:即 x< 或 x〉∴定义域为:２定义域得逆向问题例３若函数得定义域就是Ｒ,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题)解:∵定义域就是R,∴∴练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围;3复合函数定义域得求法例4 若函数得定义域为［-１,1],求函数得定义域解:要使函数有意义,必须:∴函数得定义域为:例5 已知f(x)得定义域为［—1,1],求f(2x—１)得定义域。
分析:法则f要求自变量在［-１,1]内取值,则法则作用在2x－1上必也要求2x-1在［－1,1］内取值,即－１≤2x-1≤１,解出ｘ得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2ｘ－1)中2x－１与f(ｘ)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤２x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
高中数学求值域的若干种方法总结
值域值域指的是函数因变量（y ）的取值范围。
求函数值域在高中学习、考试中算是有一定难度的，而很多初学或者基础相对薄弱的学生往往很爱提到一个词——“带入”。
求值域之所以较难，是因为做题时首先要根据题目判断所需方法、选好方法后又得按照所选方法的步骤一步步进行，远不是一个“带入”能解决的，而且求值域的方法算是比较多的，因此需要大家先要把各个方法对应的题型特征、各个方法的步骤、注意事项、技巧等记清楚。
一、分离常数法——适应于分数形式的函数求值域问题 例1：（1）21()3x f x x +=- （2） 34()56x f x x +=+ （3）3sin 1()sin 2x f x x +=+ 解：]34,2[)(]3,1[2sin 53)(2)(]1,1[sin 065032sin 536552533722sin 56sin 36552518337622sin 1sin 3)()3(6543)()2(312)()1(-∈∴∈+∴≠∴≠∴-∈≠+≠-+-=++=-+=+-+=+++=-+-=++=++=-+=x f x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x f x x x f x x x f ΘΘΘ 二、反函数法——适应于分数形式的函数求值域问题例2：（1）312-+=x x y （2） 6543++=x x y （3）11+-=x x e e y解：110115320035021135462131)1(46)35(13)2(1)1(43)65(12)3(11)3(6543)2(312)1(<<-∴>---∴≠∴≠∴>≠-≠----=∴-+-=∴-+=∴--=-∴+-=-∴+=-∴-=+∴+=+∴+=-∴+-=++=-+=y y y y y e y y y y e y y x y y x y e y y x y y x y e e y x x y x x y e e y x x y x x y x x x x x xx ΘΘΘΘΘΘ三、换元法求值域——适用于d cx b ax y +++=或者其他类二次函数形式的问题例3：x x x f x x x f -+=-+=1)(221)(1）（）（]45,(]1,(45)21(211)1(1),,0[21),,0[1)0(1)()0(21)(1210,1)2(0,21)1(2222-∞∴-∞∴====+∞∈=+∞∈=≥+-=∴≥+-=∴-=∴-=∴≥∴=-≥∴=-原函数值域为原函数值域为时，当时，当且开口向下对称轴且开口向下对称轴令令解：f t f t t t t t t t f t t t t f t x t x t t x t t x 例4：x x x f xx x f 2cos sin ()2(cos sin )()1(2-=-=）]2,89[]1,45[2)1(11)1(189)41(4145)21(21,]1,1[41,]1,1[21]1,1[12)(]1,1[1)(]1,1[,sin ]1,1[,sin 1sin sin 21sin sin )sin 21(sin )()2()sin 1(sin )()1(222222-∴-∴====-=--=-=--=-∈-=-∈-=-∈-+=∴-∈-+=∴-∈∴=-∈∴=-+=-+=--=--=原函数值域为原函数值域为时，函数取得最大值当时，函数取得最大值当时，函数取得最小值当时，函数取得最小值当且开口向上对称轴且开口向上对称轴令令解：f t f t f t f t t t t t t t f t t t t f t t x t t x x x x x x x x f x x x f 注：三角函数中同幂不同角、同角不同幂时求值域，是不能用辅助角公式的，此时可以用换元法。
高中数学函数值域的求法(9种)
函数值域的求法求函数的值域时，要明确两点：一是函数值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等。
（1）观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出函数的值域。
如函数211xy +=的值域{}10|≤<y y 。
（2）换元法：运用换元，将已知的函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。
例如：形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，0≠ac ）的函数常用此法。
（3）配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为()02≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上二次函数最值得求法。
如求函数32+-=x x y 的值域，因为()2212≥+-=x y ，所以所求函数的值域为[)∞+，2。
（4）判别式法：求形如fex dx c bx ax y ++++=22（f e d c b a ,,,,,不同时为0）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的一元二次方程，通过方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围，即得到函数的值域。
（5）数形结合法：有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域；或者分段函数也常用画出函数图像的方法判断出函数的值域。
例如：12--+=x x y 。
（6）分离常数法：形如()0≠++=a b ax d cx y 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为()b ax a bc d a c b ax a bcd b ax ac +-+=+-++，再结合x 的取值范围确定b ax a bcd +-的取值范围，从而确定函数的值域。
如求函数112+-=x x y 的值域时，因为132+-=x y ，且013≠+x ，所以2≠y ，所以函数的值域为{}2,|≠∈y R y y 且。
高中数学：求函数值域的10种常见方法
求函数的值域（常用）一、用非负数的性质例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1).练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．练2：求函数y =练3：求函数的值域。
练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y（3）2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例1：求下列函数的值域：（1）y=21x x ++（2）y=2211x x -+.练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3的值域.练1：求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2：求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y =234x x +的最值．练1：利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数的值域。
练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3：求函数的值域．练4：求函数x x y 213--=的值域.六：判别式法例1：求函数的值域。
七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．练1：求函数342+-=x x y 的值域．22x 1x x 1y +++=练2：求函数186122+-++=x x x y 的值域．练3：若（求x-y 的最大、最小值．八、利用已知函数的有界性． 例1：求函数y=25243x x -+的值域.练1：求函数的值域。
高中数学函数值域的种求法总结
高中数学函数值域的种求法总结高中数学中，函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。
求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。
1.利用定义法：根据函数的定义，直接求解函数的取值范围。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方永远非负，所以其值域为[0,+∞)。
2. 利用图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的上下界即可求得函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，故其值域为[-1, 1]。
3.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来快速求解其值域。
例如，对于奇函数f(x)=x^3，由于x^3关于原点对称，故其值域为整个实数轴。
4.利用函数的性质：通过函数的特点和性质来求解其值域。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，由于指数函数永远大于0，所以其值域为(0,+∞)。
5. 利用最值的求解方法：对于具有最值的函数，可以通过求解最值来确定函数的值域。
例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，由于 a > 0，故二次函数的开口向上，函数的最小值为顶点的 y坐标，可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。
6.利用函数的递增性或递减性：对于递增函数或递减函数，可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。
例如，对于递增函数f(x)=2x+1，由于斜率大于零，函数单调递增，故值域为(-∞,+∞)。
7. 利用函数的周期性：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性来求解其值域。
例如，对于正弦函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值在一个周期内是重复的，故其值域为 [-1, 1]。
8. 利用函数的复合性：对于复合函数，可以将函数拆解成多个简单的函数，然后求解每个简单函数的值域，最后将值域组合起来得到复合函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1)，可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1，然后求解 g(x) 和h(x) 的值域，最后得到 f(x) 的值域。