高中数学立体几何导学案

3. 2.1立体几何中的向量方法（线线角）教学目标：1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法 教学过程： 设疑自探：两条异面直线所成的角：设l 1与l 2两条异面直线，n ∥l 1 ， m ∥l 2，则l 1与l 2所成的角α=<n ，m >或α=л -<n ，m > （0<α≤2π）cos<n ，m >=mn m n ⋅⋅或 cosα=mn m n ⋅⋅ （0<α≤2π）例1.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BD D D ,1的中点，G 在棱CD 上，且CD CG 41=，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题。

（1）求证：EF ⊥B 1C ；（2）求EF 与C 1G 所成的角的余弦； （3）求FH 的长。

例2.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系。

（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标； （2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值。

.cos sin 0np p n P P o ⋅==βθP αnP 0dOθβ解疑合探：1、在正方体1111D C B A ABCD -中，如图E 、F 分别是BB 1，CD 的中点，（1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）),cos(1CB EF2.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， AA 1=1，E 、H 分别是A 1B 1和BB 1的中点.求：(1)EH 与AD 1所成的角； (2)AC 1与B 1C 所成的角.3. 如图所示，ABCD 是一个正四面体，E 、F 分别为BC 和AD 的中点.求：AE 与CF 所成的角质疑再探：请同学们踊跃发言提问，解除心中的疑问。

课堂练习：1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 。

2.正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。

3.已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点a p ∈，若a 、b 间距离为2，点P 到l 的距离为2，P 到b 的距离为5 ，则异面直线a 与b 所成的角为 。

4.如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=2AA 1，M 、N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 则AM 与CN 所成角为 。

ABD CB 1D 1C 1B 1EHACD B FEA'A B C M N5.如图PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形，AB=2AD=2DP ，E 为CD 中点。

（1）AP 与BE 所成的角为（2）若∈F 直线PD ，且AF 与BE 所成角为θ1. θ=30˚行吗？2. θ=75˚时；DPDF= 。

6.空间四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 与各边长均为1，O 为BCD ∆的重心，M 是AC 的中点，E 是 AO 的中点，求异面直线OM 与BE 所成的角 。

7.空间四边形ABCD 中AB=BC=CD ，∠BCD=∠ABC=120˚，AB ⊥CD ，M 、N 分别是中点（1）AC 和BD 所成的角为 。

（2）MN 与BC 所成的角为 。

8.已知正方体AC 1中， （1）E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则AE 与CF 所成的角为 （2）M 、N 分别是AA 1，BB 1的中点， 则CM 和D 1N 所成的角是 。

9、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ；(II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；ABC DPE F10、如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，求异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值。

11、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。

12、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；13、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =，E 为PD 的中点 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；OB B1A1AC1DCD1CBDA B 1B 1A 1D 1C CD3. 2. 2立体几何中的向量方法（线面角）一、基础知识1.定义： （①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③αα//l l 或⊂）2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。

（最小值定理）4. 求法： 几何法 公式法 问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要求的角，解三角形求出此角。

（2）公式法：θθθθθθcos cos cos cos cos cos 2121=⇔=21,,,θθθα=∠=∠=∠⊥BOC AOC AOB B AB 于点n m =><=,cos sin θ本节内容我们与学生主要讨论和学习向量法,其他方法只做补充,不做研究. 设疑自探:请同学们在规定时间内阅读课本,并掌握线面角的做法,在上一节求线线角的基础上,尝试建系,并求出线面角. 例题如下:(要求独立完成)例1、在长方体AC 1中，AB=2，BC=CC 1=1，求（1）CD 与面ABC1D 1所成的角 （2）A 1C 与平面ABC 1D 1所成的角 （3）A 1C 与平面BC 1D 所成的角例2如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点。

求直线DE 与平面ABCD 所成角的余弦值.AEB 1D 1 DC 1 A 1 BC解疑合探：（请同学们合作探究）1．如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D 是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；2.如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

3、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F 分别是AB、PC的中点。

（1）求证：EF//平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若︒=∠45PDA，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

AB CAB CExy z4、如图,,,AB ABCD BC CD AB BC AD ⊥⊥=平面 与平面ABCD 所成的角为30o ⑴求AD 与平面ABC 所成的角 ⑵AC 与面ABD 所成的角质疑再探：请同学们大胆提问，踊跃发言，把心中的疑惑讲出来，我们进一步探讨。

课堂练习：1. 如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱长为√2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是＿＿.2. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于＿＿.3. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为＿＿.4. 在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ， DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. 求DE 与平面EMC 所成角的正切值5. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面 ∠ABC=60。

,PA=AB=BC,E 是PC 的中点.求PB 与平面PAD 所成角的大小.ABB 1CA 1C 1ABCDA 1B 1C 1D 1BACDEM PAEDCB（1）（3）（4）（5）6. 四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD.已知∠ABC=45。

，AB=2，BC=2√2，SA=SB=√3. 求直线SD 与平面SBC 所成角的大小.7.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）3 （B）3 （C ）23（D）38.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ）4(B) 4 (C)4 (D) 349.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°10.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）3 （B）3 （C ）23（D）311.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ）4(B) 4 (C)4 (D) 34SA3. 2. 3立体几何中的向量方法（面面角）一、基础知识1.定义：二面角:由一条直线出发的所组成的图形叫做二面角平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是.注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。

在书写时不要写成”∠AOB 为所求二面角”，而应写成”∠AOB为二面角βα--l的平面角”。

2.求法：几何法向量法公式法（2）向量法：①分别求出α和β的法向量,，则二面角βα--l的大小为><或π—><m用此法须知：〈1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标〈2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量〈3〉当βα--l为锐角时=θ><（><m为锐角）或π—><（><m为钝角）②在平面α内⎪⎩⎪⎨⎧∈⊥EFAEFAC在平面β内，BD⊥EF，且B∈EF分别求出,，则><AC即为二面角βα--EF的大小（3）公式法：①设二面角βα--l的大小为,θ,,,,lCDlABCDAB⊥⊥⊂⊂βα令,,,dBDnCDmAB===则注意：BA与DC所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA和CD所成角的大小。