小学奥数讲义 第九讲-循环小数互化与错位相减技巧强化篇
巧用循环小数的性质和加减法则直接运算
巧用循环小数的性质和加减法则直接运算小萌遇到如下两道题，抓耳挠腮的，题目如下：例题1: 计算： ?3210.320.1+30.12=+∙∙∙∙∙例题2: 计算： ?654.0654.0=+∙∙∙∙在循环小数的学习中，聪明的小萌遇到了以上两个问题，如何解决呢，她想按照循环小数化分数的方法，先化成分数再进行四则运算，这个应该是可以的。
不过，这两道题在化成分数后的计算量太大了。
我们看一下化分数计算的过程：一、循环小数化分数法用化分数的方法进行分析，会用到如下结论， 循环小数化分数：b c 1)10-(10AB -ABC =C A.B ∙， 其中，b 为B 的位数，c 为C 的位数。
在使用前，我们先予以证明。
证明：设A.B(C)=X ，则有AB.(C)=10b X ， （1）ABC.(C)=10b+c X （2）由（2）-（1），可得：ABC.(C) - AB.(C)=10b+c X - 10b X （小数部分均为循环节，且都相同，可抵消） 即：ABC - AB= 10b （10c - 1）X解得：b c 1)10-(10AB -ABC X = 所以有：bc 1)10-(10AB -ABC =C A.B ∙ 好了。
证明完成，我就可以直接应用了。
特别地，当A=0时，有bc 1)10-(10B -BC =C 0.B ∙，分子BC-B 为数字BC 代表的数减去非循环部分B 代表的数，分母为c 个9和b 个0组成的数。
在例题1中，3003790011110)110(1212330.1221==⨯--=∙ 4955699011210)110(1123320.112==⨯--=∙∙ 3334199912310)110(1233210.03==⨯-=∙∙ ∴ 3334149556300373210.320.1+30.12++=+∙∙∙∙∙（通分，认真计算，略） 同理在例题2中，99945699045210)110(45610)110(4456654.0654.00312+=⨯-+⨯--=+∙∙∙∙（通分，认真计算，略）从上面的过程可以看出，循环小数化分数计算的方法完全可以解答例题1和例题2。
错位相减法万能公式
错位相减法万能公式错位相减法是一种数学计算方法，通过巧妙地调整数位顺序，使得相减的计算过程更加简化。
这种方法适用于多种计算场景，包括但不限于整数相减、小数相减、分数相减等。
本文将介绍错位相减法的基本原理和运用技巧。
一、错位相减法简介错位相减法是一种快速计算相减的方法，它可以帮助我们避免繁琐的借位运算或补零操作。
通过将被减数和减数按位错位排列，然后相减得到的结果即为原题目的答案。
这种方法非常适合处理数字位数较多、计算过程较复杂的情况。
二、整数相减的错位相减法对于整数相减的计算，错位相减法可以简化计算过程。
以减数为基准，从个位开始按位减去被减数对应位的数值，得到的差即为该位的计算结果。
当被减数位数不足时，可以在高位补零。
下面通过一个例子来说明整数相减的错位相减法。
例：计算98减去17步骤1：个位相减 8-7=1步骤2：十位相减 9-1=8因此，98减去17等于81。
三、小数相减的错位相减法对于小数相减的计算，错位相减法同样适用。
我们可以将小数部分框出来，按位相减，然后按照小数点位置将差值放回原位置。
下面通过一个例子来说明小数相减的错位相减法。
例：计算8.7减去3.25步骤1：百分位相减 0-2（补零）=-2步骤2：十分位相减 7-5=2步骤3：个分位相减 8-3=5因此，8.7减去3.25等于5.45。
四、分数相减的错位相减法对于分数相减的计算，错位相减法同样适用。
我们将被减数和减数的分子对齐，然后按位相减得到差值，并保持分母不变。
下面通过一个例子来说明分数相减的错位相减法。
例：计算4/5减去1/3步骤1：将4/5转化为12/15步骤2：十分位相减 12-5=7步骤3：个分位相减 15-3=12因此，4/5减去1/3等于7/12。
五、错位相减法的应用范围错位相减法不仅适用于整数、小数和分数的相减计算，还可以应用于其他数学问题的解决。
它在解决实际问题时具有较强的普适性和实用性，能够极大地简化计算过程，提高计算效率。
5年级奥数秋季同步课程-02 循环小数
3、循环小数的运算→化成分数计算
中小学数学精品视频课程
循环小数的运算
•
••
•
Байду номын сангаас
【例题】 ������. ������ − ������. ������������ ÷ ������. ������������
中小学数学精品视频课程
本讲知识总结
1、分数化小数→分子除以分母
2、小数化分数
有限小数化分数 循环小数化分数
分子：所有小数部分减去不循环部分 分母：几位循环几个9，几位不循环几个0
������
•
•
������ = ������. ������������������������������������
������
•
•
������ = ������. ������������������������������������
������
•
•
������ = ������. ������������������������������������
循环小数的运算
••
••
••
••
【例题】������. ������������������ − ������. ������������������ + ������. ������������������ + ������. ������������������
中小学数学精品视频课程
������ ������������ ������ ������������ ������ ������������
������ ������ = ������. ������������������
小学奥数之循环小数的计算(完整版)
【例 19】将循环小数 与 相乘，小数点后第 位是。
【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 ， ，所以乘积为 ，
，所以第 位是 。
【答案】
【考点】循环小数计算【难度】4星【题型】计算
【解析】由于 ， ，
所以 ，
而 ，
所以，
【答案】
【例 14】某学生将 乘以一个数 时，把 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算
【解析】由题意得： ，即： ，所以有： ．解得 ，
所以
【答案】
【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，1试
【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为
【答案】
【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998 0.1998 0.1998 0.1998
【答案】
【巩固】真分数 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是 ，则 是多少？
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】我们知道形如 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组
成，只是各个数字的位置不同而已，那么 就应该由若干个完整的 和一个不完整 组成。 ，而 ，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“ ”，因此这个分数应该为 ，所以 。
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】 …… 个数一循环， ……5，是4
新版六年级奥数经典教程讲义
2019 年新版小学六年级奥数经典教程讲义目录第一讲比较分数的大小 .....................错误! 不决义书签。
第二讲巧求分数 . ..........................错误! 不决义书签。
第三讲分数运算的技巧 .....................错误! 不决义书签。
第四讲循环小数与分数 .....................错误! 不决义书签。
第五讲工程问题（一） .....................错误! 不决义书签。
第六讲工程问题（二） .....................错误! 不决义书签。
第七讲巧用单位“ 1” ......................错误! 不决义书签。
第八讲比和比率 . ..........................错误! 不决义书签。
第九讲百分数 . ............................错误! 不决义书签。
第十讲商业中的数学 .......................错误! 不决义书签。
第 11讲圆与扇形 . ..........................错误! 不决义书签。
第 12讲圆柱与圆锥 .........................错误! 不决义书签。
第 13讲立体图形（一） .....................错误! 不决义书签。
第 14讲立体图形（二） .....................错误! 不决义书签。
第 15讲棋盘的覆盖 .........................错误! 不决义书签。
第 16讲找规律 . ............................错误! 不决义书签。
第 17讲操作问题 . ..........................错误! 不决义书签。
第 18讲取整计算 . ..........................错误! 不决义书签。
小学奥数教案——循环小数(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】小学奥数教案---循环小数一本讲学习目标1、掌握循环小数化分数的法则，还要掌握该法则的推导方法——错位相减法；2、会进行分数与循环小数的互化；3、掌握分数与循环小数的混合计算二概念解析循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。
前者是有限小数，后者是无限小数。
一、把循环小数的小数部分化成分数的规则①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。
三例题讲解纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
例把纯循环小数化分数：从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
例把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分0.353由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
(小学奥数)循环小数计算
循環小數與分數的互化，循環小數之間簡單的加、減運算，涉及循環小數與分數的主要利用運算定律進行簡算的問題．1.17的“秘密”10.1428577••=，20.2857147••=，30.4285717••=,…, 60.8571427••= 2.推導以下算式⑴10.19=；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=；⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==；⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110-==以0.1234為例，推導1234126110.123499004950-==．設0.1234A =，將等式兩邊都乘以100，得：10012.34A =； 再將原等式兩邊都乘以10000，得：100001234.34A =， 兩式相減得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循環小數化分數結論純循環小數混循環小數分迴圈節中的數字所組循環小數去掉小數點後的數字所知識點撥教學目標循環小數的計算子 成的數 組成的數與不迴圈部分數字所組成的數的差分母n 個9，其中n 等於迴圈節所含的數字個數按迴圈位數添9，不迴圈位數添0，組成分母，其中9在0的左側·0.9a a =； ··0.99ab ab =； ··10.09910990ab abab =⨯=； ··0.990abc a abc -=，……模組一、循環小數的認識【例 1】 在小數l.80524102007上加兩個迴圈點，能得到的最小的循環小數是_______(注：西元2007年10月24日北京時間18時05分，我國第一顆月球探測衛星“嫦娥一號”由“長征三號甲”運載火箭在西昌衛星發射中心升空，編寫此題是為了紀念這個值得中國人民驕傲的時刻。
小学五年奥数-小数的运算技巧
⼩学五年奥数-⼩数的运算技巧⼩数的运算技巧【知能⼤展台】⼩数的计算技巧指⼩数的速算与巧算，它除了可以灵活运⽤整数四则运算中的定律、性质外，还可以根据⼩数本⾝的特点，利⽤和、差、积、商的变化规律，使计算简便。
1.⼀个数乘以（或除以）0.5、0.25、0.125，只需要将这个数除以（或乘以）2、4、8。
2.积不变的规律：⼀个因数扩⼤若⼲倍，另⼀个因数同时缩⼩相同的倍数，积不变。
3.在没有括号的⼩数乘除法混合运算中，把乘数、除数连同它前⾯的运算符号调换位置，结果不变。
4.在有括号的⼩数乘除法混合运算中，如果括号前⾯是乘号，去掉括号结果不变；如果括号前⾯是除号，去掉括号后，应把原括号内的称号变为除号，除号变为乘号，结果才不变。
【试⾦⽯】例1：计算：9.996＋29.98＋169.9＋3999.5【分析】这⼏个数每个数只要增加⼀点，就成为某个整⼗、整百或整千数，把这⼏个数“凑整”以后，就容易计算了。
当然要记住，“凑整”时增加了多少要减回去。
【解答】9.996＋29.98＋169.9＋3999.5=10＋30＋170＋4000－（0.004＋0.02＋0.1＋0.5）=4210－0.624=4209.376【智⼒加油站】【针对性训练】计算 3.997＋19.96＋1.9998＋199.7【试⾦⽯】例2：计算：1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01【分析】算式中的数是从1开始，依次减少0.01，直到最后⼀个数是0.01，因此，式中共有100个数⽽算式中的运算都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个数……这样的顺序排列的。
由于数的排列、运算的排列都很有规律，按照规律可以考虑每4个数为⼀组添上括号，每组数的运算结果是否也有⼀定的规律？可以看到把每组数中第1个数减第3个数，第2个数减第4个数，各得0.02，合起来是0.04，那么，每组数（即每个括号）运算的结果都是0.04，整个算式100个数正好分成25组，它的结果就是25个0.04的和。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、小数的基本知识
小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。
1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。
2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。
4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。
纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。
5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。
混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。
二、循环小数与分数的转化
1．错位相减法与循环小数转化为分数
⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19
a 。
=
=1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999
⑵以0.1234为例，推导==1234-126110.123499004950。
设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；
再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；
两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950。
循环小数互化与错位相减技巧
2．方法归纳
⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。
⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。
3．常用的分数与循环小数转化
=10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427
；
【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分)
在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)
【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注：公元
2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)
【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89
【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题)
计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。
【例3】(0.15+0.218)⨯0.3⨯
11
111
；(结果表示成循环小数)
【巩固】(2.234+0.98)÷11；(结果表示成循环小数)
【例4】真分数a
7
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是2100，那么
a是多少？
【巩固】将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是什么？
【例5】(2009年第7届希望杯六年级2试第6题)
纯循环小数0.a b c写成最简分数时，分子分母之和为58，求这个循环小数。
【巩固】纯循环小数0.a bc d写成最简分数时，分子分母之和为200，求这个循环小数。
〖答案〗
【例 1】1.80524102007【巩固】1.80524102007【例 2】2.4
【巩固】0.736
【例 3】0.012345679【巩固】0.113
【例 4】6
【巩固】9
【例 5】0.567
【巩固】0.9801。