高等数学行列式
高等数学(下) 第3版课件-行列式的性质
1
0
3
1
4
1
1
5
3
3
3 6 7
a
0
b
a
0
b
0
0
0
0
0
b
0
0
0
0
a
b
a
4.
0
2 1 1 1 1
1 3 1 1 1
3. 1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
1 1 1 1 6
1 a1
2 a1
n a1
5. 1 a2
2 a2
n a2
1 an
2 an
n an
《高等数学》
3 1
0
0
0
3
1
1 1
1
1
21
按第二行展开 (1) 3
(4) 1
3 1
12
4
例2 用行列式的性质计算下列行列式：
1
1
2
2
1
0
3
1
4
1
1
5
3
3
3
（1） 5
解：(1)
3
1
1
2
1
3
1
2
5
1
3
5
3
4
2
0
1
4
1
〔〕
1 〔2〕
1
0
2
1
1
5 3 3
5 1 3 3
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1
ai 2
ain
ai1 cak 1
行列式在高等数学中的应用
行列式在高等数学中的应用行列式是高等数学中的重要概念，它在许多数学问题的求解中起到了关键作用。
本文将从几个方面介绍行列式在高等数学中的应用。
一、线性方程组的解在线性代数中，我们经常需要求解线性方程组的解。
而行列式可以用来判断线性方程组是否有解以及计算解的个数。
具体来说，对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵A的行列式记为|A|，方程组的常数向量记为b。
如果|A|≠0，那么方程组有唯一解；如果|A|=0且b≠0，那么方程组无解；如果|A|=0且b=0，那么方程组有无穷多解。
二、矩阵的逆在矩阵论中，行列式也被用来计算矩阵的逆。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式|A|≠0，那么A存在逆矩阵A^-1，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵在很多问题中有着重要的应用，如线性方程组的求解、矩阵的变换等。
三、向量的线性相关性行列式还可以用来判断向量的线性相关性。
对于n个n维向量组成的矩阵A，如果其行列式|A|≠0，那么这n个向量线性无关；如果|A|=0，那么这n个向量线性相关。
线性相关性的判断对于研究向量空间的性质以及解决相关问题都起到了重要的作用。
四、二次型的正定性在矩阵论中，二次型是一个重要的概念。
行列式可以被用来判断二次型的正定性。
对于一个n元二次型，我们可以将其用矩阵形式表示为Q(x)=x^TAX，其中x为n维列向量，A为n阶实对称矩阵。
如果A的所有顺序主子式都大于0，那么二次型Q(x)是正定的；如果A的所有顺序主子式都小于0，那么二次型Q(x)是负定的；如果A的顺序主子式正负交替，那么二次型Q(x)是不定的。
正定性的判断在优化问题、极值问题等方面有着重要的应用。
五、平面与立体几何行列式在平面与立体几何中也有着重要的应用。
例如，在平面几何中，我们可以用行列式计算两条直线的交点坐标；在立体几何中，我们可以用行列式计算线段、向量的长度，以及计算平面的面积和体积等。
行列式在高等数学中的应用非常广泛。
高等数学中的矩阵与行列式
高等数学中的矩阵与行列式矩阵与行列式是高等数学中的两个重要概念，也是线性代数的基础部分。
通过对这两个概念的深入学习和理解，不仅可以帮助我们更好地理解和掌握线性代数的知识，还可以在实际应用中起到重要的作用。
一、矩阵矩阵是线性代数中的基本概念，通常用方括号表示。
矩阵是一个由数（也可以是变量或者函数）排成的矩形阵列，形式如下：$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix}$其中 $m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数，$a_{ij}$ 表示矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
矩阵可以进行加法、数乘、乘法等运算。
两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算，两个矩阵可以进行乘法运算，但是矩阵的大小必须满足一定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
二、行列式行列式是矩阵的一种特殊形式，它是由矩阵中的元素按照特定的方式组合成的一个标量。
行列式可以看作是一个矩阵的体积或者面积，它表示的是矩阵所围成的平行六面体或平面的大小。
行列式的求解需要使用到一系列的性质和方法，包括代数余子式、余子式、代数余子式按行（列）展开式等。
在实际应用中，行列式常用于解决线性方程组、计算矩阵的逆矩阵、求解特征值和特征向量等问题。
三、矩阵与行列式的应用矩阵和行列式在实际应用中有着广泛的应用，特别是在计算机科学、统计学、物理学、工程学、经济学等领域。
在计算机科学中，矩阵和行列式常用于图形计算、数字信号处理等方面。
比如，图像处理过程中常常需要对图像进行矩阵变换，如旋转、平移、缩放等操作。
高等数学行列式教材
高等数学行列式教材第一章：行列式的引入与基本概念行列式是高等数学中重要的概念之一，它在线性代数和微积分等领域都有广泛的应用。
本章将引入行列式的基本概念，并讨论其性质和计算方法。
1.1 行列式的定义行列式是一个方阵所对应的特征量，用来描述线性方程组的解的性质。
一个n阶的方阵可以表示为一个n维的向量空间中的变换操作。
行列式的值可以用来衡量这个线性变换对空间的扩大或压缩的程度。
1.2 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，包括线性性、反对称性和对角线性等等。
这些性质是行列式理论的基础，对于后续的内容理解和应用都非常重要。
1.3 行列式的计算方法求解行列式的值可以通过展开定理、数学归纳法和辅助行列式等方法。
本节将介绍这些计算方法，并通过例题详细说明具体的步骤和技巧。
第二章：行列式的性质和性质二阶和三阶行列式是最简单的行列式，它们的性质和计算相对较为简单。
本章将深入研究二阶和三阶行列式的性质，并介绍它们的一些重要特点和应用。
2.1 二阶行列式二阶行列式由两个元素构成，它有一些独特的性质和计算方法。
本节将详细介绍二阶行列式的定义、展开和计算过程，并通过例题演示应用。
2.2 三阶行列式三阶行列式是三个元素构成的行列式，它相比二阶行列式更加复杂。
本节将介绍三阶行列式的性质、计算方法以及一些特殊情况下的计算技巧。
通过练习题的讲解，帮助学生理解三阶行列式的概念和应用。
第三章：行列式的性质和应用行列式在线性代数和微积分等领域有广泛的应用，本章将进一步研究行列式的性质，并介绍一些应用场景。
3.1 行列式的性质行列式具有很多重要的性质，包括行列互换、倍基行、行列式的性质扩展等。
本节将介绍这些性质，并通过例题演示应用。
3.2 行列式的应用行列式在解线性方程组、求逆矩阵、计算曲线和曲面的面积和体积等方面有广泛的应用。
本节将结合具体的问题，把行列式的概念和计算方法应用到实际场景中，帮助学生学以致用。
第四章：高阶行列式与特殊行列式的计算高阶行列式和特殊行列式具有一些特殊的性质和计算方法，本章将详细讨论这些内容，并且通过例题加深学生对行列式的理解和应用能力。
高教社2024高等数学第五版教学课件-9.1 行列式的定义
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2
=
2
, 3
=
3
.
(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2
=
11 1
素 的代数余子式．
11
例 如 ， 三 阶 行 列 式 21
31
12
22
32
13
23 中 元 素 12 的 余 子 式 =
33
= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作 ．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12
⋱
⋮ ，则 = ⋮
高等数学中的行列式计算技巧
在高等数学中，行列式是一个重要的概念，它可以用于解决线性代数中的许多问题。
行列式的计算涉及到一些技巧，掌握这些技巧对于理解和应用数学知识非常重要。
首先，我们需要了解行列式的定义和性质。
行列式是一个方阵中各个元素的代数和，它是一个数值。
一个n阶方阵的行列式可以表示为det(A)或|A|，其中A 是这个方阵。
行列式有很多性质，包括行列式的值与方阵的行列互换无关、任意两行（或两列）互换行列式改变符号、方阵某一行（或某一列）的倍数加到另一行（或另一列），行列式的值不变等。
其次，我们需要了解如何计算行列式。
对于2阶和3阶矩阵，我们可以直接套用定义进行计算。
例如，对于2阶矩阵，行列式的计算方式为：行列式的值等于对角线上元素的乘积减去反对角线上元素的乘积。
而对于3阶矩阵，行列式的计算方式为：行列式的值等于各元素与其两边元素之积的代数和。
这些计算方法是简单直观的，但是当矩阵的阶数增大时，计算就变得复杂了。
对于n阶矩阵的行列式计算，我们可以使用行列式的性质和一些技巧来简化计算。
其中，最常用的方法是行列式按行（或列）展开。
按行展开的方法是将n阶行列式看作n个代数余子式的代数和。
例如，对于3阶矩阵，我们可以以第一行展开行列式，得到：|A| = a11A11 + a12A12 + a13A13，其中A11、A12和A13分别是三个2阶子阵的行列式。
这种按行展开的方法可以将原始的n阶行列式转化为较小阶的行列式，从而简化计算。
同时，我们还可以利用矩阵的性质，如行列式的线性性质和行列式的乘法公式。
行列式的线性性质指的是，若行列式的某一行（或某一列）可以表示成两个行（或列）的和，则行列式可以表示为两个较小阶的行列式之和。
行列式的乘法公式指的是，如果两个方阵A和B的行数相同，那么它们的行列式的乘积等于两个行列式分别求出来再相乘。
此外，我们还可以使用性质和技巧来简化行列式的计算。
例如，对于上下三角矩阵，其行列式的计算非常简单，只需要将对角线上的元素相乘即可。
高等数学——理工版6.3行列式的性质
a11 a12
a1n
ai1 ai2 ai1 As1 ai2 As2 ain Asn
ai1 ai2
ain
0,(i s)
ain
（推论 1）
an1 an2
ann
【推论2】 如果行列式的某一行（或列）的元素全为 零，则此行列式等于零．
证明 由性质3，按元素全为零的行（或列）展开， 即得。
【性质5】 行列式的某一行（或列）的所有元素都 乘以同一个数k，等于用k乘以该行列式，即
例如
3 12 15 5
757
1
3
7
8 0,
8
61
8 0
6 16 23 31
21 76 21
3 12 15 5
【性质3】 n阶行列式等于它的任一行（或任一列）的 每个元素与其对应的代数余子式的乘积之和．即
a11 a12 D a21 a22
an1 an2 a11 a12 D a21 a22
a1n
a2n ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
ann aik Aik k 1
i 1, 2,...,n
a1n
a2n a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
an1 an2
n
ann akj Akj k 1
j 1, 2,..., n
性质3说明了行列式可按任一行（或列）展开．在具 体计算时，只要行列式的某一行（列）的零元素多， 我们就按该行（列）来展开，这样降低了行列式的阶 数，从而简化运算．
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
kai1 kai2
kain k ai1 ai2
ain
an1 an2
行列式项的正负判定
行列式项的正负判定行列式是线性代数中的一个重要概念，是高等数学中的必修内容。
在计算行列式的过程中，需要对行列式项的正负进行判定。
这个问题看似简单，但实际上却涉及到了很多的数学知识和技巧。
本文将介绍行列式项的正负判定的相关知识和技巧。
一、行列式的定义与性质行列式是一个数学对象，它是一个方阵中元素的代数和。
具体地说，设$A$是一个$n$阶方阵，$a_{ij}$表示$A$的第$i$行第$j$列的元素，则$A$的行列式定义为：$$det(A)=sum_{sigmainS_n}epsilon(sigma)a_{1sigma(1)}a_{2sigma(2)}cdotsa_{nsigma(n)},$$其中，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$sigma$表示一个置换，$epsilon(sigma)$表示置换$sigma$的奇偶性。
行列式有很多重要的性质，这里只列举一些比较常用的性质：1. 行列式对换行或列，其值变号，即$det(A)=det(A')$，其中$A'$是$A$的某一行或某一列换成另一行或另一列后得到的矩阵。
2. 行列式有线性性，即如果$A$和$B$是两个$n$阶矩阵，$k$是任意一个数，则有$det(kA)=k^ndet(A)$，$det(AB)=det(A)det(B)$。
3. 行列式的任意两行或两列互换，行列式的值不变。
4. 行列式的某一行（列）的元素乘以一个数$k$后加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变。
二、行列式项的正负判定在计算行列式时，需要对每一项的正负进行判定。
下面我们将介绍几种常见的方法。
1. 奇偶性法根据行列式的定义式，我们可以发现，每一项的符号取决于置换的奇偶性。
因此，我们可以通过计算置换的奇偶性来判断每一项的正负。
具体地说，设$sigma$是一个置换，$t$表示$sigma$中逆序对的个数，则$epsilon(sigma)=(-1)^t$。
例如，对于置换$sigma=(1,2,3)$，它的逆序对个数为$0$，因此$epsilon(sigma)=1$；对于置换$sigma=(2,1,3)$，它的逆序对个数为$1$，因此$epsilon(sigma)=-1$。
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例3
计算行列式D
1 1 1 1 1
2 1 a a a
1 1 0 0
3 2 1 a a
1 1 1
4 3 2 1 a
5 n 1
n
4 n 2 n 1 3 n3 n2 2 n4 n3 a
1 1 1 1
a
1 1 1 1 1 1 1
1 a1 1 D 1
1
1 1
1 a2 1
1 an
1 (1 )a1a2 an i 1 ai
4
三、证明行列式Dn被整除的方法
设Dn中的元素均为个位整数，证明行列 式Dn被某整数整除的方法是： 将Ｄn 的各行(列)的数字排在一起，看 成一个n位数(该行(列)第 i 列(行)上的元素 就是这个n位数的第 i 位数字)。只需证明 这n个n位数都能被给定的某整数整除即可 这是因为：将第一列(行)乘以 10n1，第二 列(行)乘以 10n2， ，第n-1列(行)乘以10
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 0 1 x
解：
x3 x3 x3 x3 x 1 1 r1 r2 r3 r4 1 D 1 1 x 1 1 1 1 x
1 x 1 1 1 1 x 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x
1 1 ( x 3)r1 ( x 3) 1 1
数，否则将给后面的计算增加困难。
（2）把第一行分别乘以 a21 ,a31 ,,an1
，n行对应元素上去， 加到第2，3， 这样就把第一列a11以下的元素全化
为零。 再逐次用类似的方法把主对角 线以下(以上)的元素全部化为零。 （3）利用三角行列式求值。
说明：
在上述变换过程中，主对角线上元素
（1）、若行列式有一行(列)的元素相同 时，可试用此法。
方法：
将其它各行都改写成两分行之和，其中 一分行与该行成比例，一次去掉成比例的 分行，使行列式简化。
例2
a
b
c
计算三阶行列式 D a
ab abc a 2a b 3a 2b c
解法一：r
D
r3 r2
r2 r r 1
r 1 r 3
0 1 1
abd 0 ac 0
1 1
b ad
1 0 1
1 (1)11 1 a c
ad 1 1 0 (a b d ) abd 1 1
1 a 例6 D b a
a 0 a b
b a 1 a
a b a 0
解：
1 b 0 c1 c3 b c2 c4 0 D b 1 0 0 b
1 0 0 0
1 1 1 3
0 1 1 1
2 2 2 4
1 r3 r2 r4 3r2 0 0 0
1 0 1 1 0 2 0 2
1 1 0 2 2 2 r4 r3 0 1 1 2 0 0 2 4 4 2 0 0 0 2
=4 练习
3 1 1 2 0 1 4 1 计算四阶行列式 D 3 2 0 3 2 1 1 1
b b a b
b b b a
0
(a 3b)(a b)
3
(二)、利用“降阶法”计算行列式
所谓降阶法就是应用行列式按行(列)
展开定理，把高阶行列式的计算转化为 低阶行列式的计算。
方法：
先结合行列式的性质，把行列式的某 一行(列)的元素尽可能多的转化为零，然 后再展开。这是行列式最常用、最有效 的方法。
an bn
(n 1)!
(b1b2 bn )
（2）、有的行列式虽有一行(列)的元素 相同，但将其它各行(列)都改写成两分行 (列)之和，使其一分行(列)与该行(列)成比 例，去掉成比例的分行(列)后，并不能将 行列式化简，
方法：
一般的自n行(列)起，后行(列)减去前 列，再去掉与第一行(列)成比例的分行 (列)，即得三角行列式。
5 2 6 2 1 3 1 2
二、计算行列式的基本方法
(一)、利用“化三角法”计算行列 式 1、数字元素行列式化为三角
行列式的方法 （1）先把 a11变换为1或-1.
1 一般可通过变换行(列)、 乘以第1行 a11 (列) 或r1 kri (c1 kci ) 等变换来实现， 但
要注意保值，同时要避免元素变为分
1
解：
D
( i 1, 2 ,n 1)
1
1 0
ri 1 ri 1
1 a 1 1 a 1 a 1
1 a 1 0
1 a 1
0 0 1 a
1 1
0 1
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 a 2 a 0 0 0 ri r1 (i 2,3, n ) 1 a 2 1 a 0 0
r3 r 1 r4 r2
b a 1 a
a b a 0
b
1 a b a
a 0 a b
b a 1 a
a b a 0
b (1 b) 0 0
a
1 b 2a 2a b
1 b 2a (1 b)(b) 2a b
b(1 b)[4a b(1 b)]
2
练习
a
b
0 0
3 2
a b 0 a
c ab
a b c abc
0 a 2a b
a b
c
0 a ab 0 0 a
a 0b
a
3
D a ab
a 2a b 3a 2b c
解法二：
0c a 0 0
D a ab
ab abc a a a 2a b 3a 2b c a 2a 3a 2b
加边的一般方法：
1 b1 bn
*
n n
0 0 *
( n 1)( n 1)
例7
1 x1 x2 x1 D x3 x1 x4 x1
2
x1 x2 x1 x3 x1 x4 2 1 x2 x2 x3 x2 x4 2 x3 x2 1 x3 x3 x4 2 x4 x2 x4 x3 1 x4
1 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2 1
解：
2 1 ri (i 1,2,3,4) 1 41 2 D ( ) 2 1 1
1 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 2 1
1 1 1 2
5 1 5 16 5 5 1 5 1 16 1 1 1 2 1 1
1 2 1 1 1 1 2 1
6
2、行列式中有一行(列)与另一(些)行 (列)的分行(分列)成比例时，用化
三角的方法。
说明：
所谓行列式中有一行(列)与另一(些) 行(列)的分行(分列)成比例。是指该一行 (列)与另一(些)行(列)的分行(分列)成比例
方法：
根据消法变换的性质，可先一次去 掉所有成比例的分行(分列)，将原行列式 化成易于计算的行列式。
解：
1
0
2 1
0
x1x2
2
0
x1x3 x2 x3
2
0
x1x4 x2 x4 x3 x4
2
x1 1 x
D
x2 x2 x1 1 x2
x3 x3 x1
x3 x2 1 x3 x4 x2
x4 x4 x1
x4 x3 1 x4
1
ci xi 1c1 (i 2,3,4,5)
x1 x2 x3 x4 1 0 0 0
用记号 ri krj (ci kc j )表示行列式的第
倍加到第 i行(列)对应元素上的行 行(列)的 k j (列)消法变换。 如：
5 3 0 2
3 1 1 6 17 11 r1 3r2 1 6 4 1 6 4
5
c2 2 c3
0
3
2
1 2 6 0 1 3 3 2
1 1 1 1 1 r r i 1 0 x 1 0 0 1 ( i 2 , 3, 4 ) ( x 3) 0 0 x 1 0 1 0 0 0 x 1 x
( x 3)(x 1)3 0
故
x1 3, x2 x3 x4 1
例4
1
1 计算四阶行列式 D 2 1 2 1 2
都加到第n列(行)上去，则Dn的第n列(行)
恰为这n个n位数，这样第n列(行)的元 素都能被某数整除，有行列式的性质知， Dn也能整除。
例8
已知：1326、2743、5005、3874都能 被13整除，不计算行列式的值 1 3 2 6 2 7 4 3 证明： D 能被13整除。 5 0 0 5 3 8 7 4
1 0
2
0
练习
1 1 1、D 1
a 1 1 ab 1 2 3a 2b
1 1 1
a
3
1
a1
a2
an an an
1 a1 b1 a2 1 1 3 1 2、D 1 a1 a2 b2 1 1 1 n
2 1
1
a1
a2
aii (i 1,2,, n)不能为零， 若出现零，可
通过行(列)变换使得主对角线上不为零。
例1
0 1 1 2 1 1 0 2 计算四阶行列式 D 1 2 1 0
解：
D
r1 r2
2 1 1 0 2 0 1 1 2
1 2 2 1 1 0 1 0
1
1
0
r3 r1 r4 r1 (2)