工程数学知识点

工程数学知识点
线性代数
1． 二阶、三阶行列式的计算。

如： P13T1（1）（3）（4）。

2． 行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）。

如：P13T1（5），1111102022111121A -=---，23
4534
5245235432
A =。

3． 余子式，代数余子式。

如：求 22
1
02
2
11
1
2
a -中22a 的余子式和代数余子式。

4．矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别
5．矩阵的运算（加减、数乘、乘法、转置、方阵的幂、乘法不满足交换律和消去律） （n n kD k D =）。

如：P32T2，T3
6．特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E ）、三角形矩阵） 7． 矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形 8．逆矩阵的定义、运算性质。

如：P33T20。

9． 伴随矩阵
10． 利用初等变换求逆矩阵。

如P33T21。

11． 线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）。

如P58T2。

12．特征值的求法。

如：P71T4。

13．线性相关性的判别（定义，向量组中有两向量成比例则相关，向量线中含有零向量则相关，向量组中向量的个数大于向量的维数则相关）
概率论
概率的基本概念及计算
１、 基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机
事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型、放回抽样方式、不放回抽样方式、事件相互独立、条件概率 ２、基本公式：
概率的可加性（互不相容）()()1
2
1n
n i i P A A A P A ==∑
概率的加法公式（相容）()()()()P A B P A P B P AB =+-
概率的乘法公式()()()P AB P B P A B =
逆事件的概率()
()1P A P A =-
事件A 和B 独立，则有()()()P AB P A P B = ３、基本结论：
当事件A 和B 相互独立时，我们可以证明，事件,;,;,A B A B A B 亦相互独立。

随机变量
１、基本概念：随机变量、离散型和连续型随机变量、离散型随机变量的概率分
布律、概率分布函数（{}(),F x P X x x =≤-∞<<+∞）、连续型随机变量的概率密度函数（密度函数或密度）、
分布函数（{}()(),x
P X x F x f t dt x -∞
≤==-∞<<+∞⎰，
{}{}1P X x P X x >=-≤）随机变量的独立、随机变量的函数及其分布。

２、 基本公式：几种常见的分布的分布律或概率密度函数 服从正态分布的随机变量的概率计算。

如：P125例9；P166T32；P165T22；
３、 基本结论：连续型随机变量在某一点的概率为0，即 {}0P X x == 随机变量的数字特征、几个极限定理
１、基本概念：离散型和连续型随机变量的数学期望、方差及其性质、随机变量
函数的数学期望，k 阶（原点）矩、k 阶中心矩 ２、基本公式：
（1） 数学期望（平均值、期望值、均值）： １）{}1
1
()i i i i i i E X x P X x x p ∞
∞
=====∑∑，()()E X xf x dx +∞
-∞
=⎰
２）1
(),()(())(),()(())()()i i i Y g X E Y E g X g x p E Y E g X g x f x dx ∞
+∞
-∞
======∑⎰
(),()(),()()(),()()()E C C E CX CE X E X Y E X E Y E XY E X E Y X Y ==+=+=（,独立）
（2） 方差：
１）2
2
21
()[()][()][()]()i i i D X E X E X x E X p x E X f x dx ∞
+∞
-∞
==-=-=-∑⎰
２）22()()[()]D X E X E X =-
2()0,()(),()()()D C D CX C D X D X Y D X D Y X Y ==+=+（,独立）
（3） 标准差（均方差）
：X σ=（） ３、基本结论：
（1）0－1（p ）分布：{}1(1),0,1k k P X k p p k -==-=
()E X p =，()(1)D X pq p p ==-
（2）n 重贝努里试验、二项分布（b(n,p)）：
{}(1),0,1,2,
,k k n k n P X k C p p k n -==-=
()E X np =，()(1)D X npq np p ==-
（3）泊松公布（Poisson ()πλ）：{
},0,1,2,!k
e P X k k k λλ-==
=
()E X λ=，()D X λ=
（4）指数分布（(),0E λλ>）：0
()0
0x
e x
f x x λλ-⎧>=⎨
≤⎩，10()0
x
e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩
1
()E X λ
=
，2
1
()D X λ=
（5）均匀分布（(,)U a b ）：1
()0
a x
b f x b a
⎧<<⎪
=-⎨⎪⎩其它
，0
()1
x a x a F x a x b b a x b
≤⎧⎪-⎪
=<<⎨
-⎪≥⎪⎩ ()2a b E X +=，2
()()12
b a D X -=
（6）正态分布（2(,)N μσ）
：22
()2(),x f x x μσ--
=
-∞<<+∞
()E X μ=，2(),()D X X σσσ==
（7）标准正态分布（(0,1)N ）
：2
2
(),x x x ϕ-=-∞<<+∞，()()1x x Φ+Φ-=
（8）n 个相互独立的正态随机变量的线性函数还是服从正态分布
练习1:设一袋中有10个球,其中4个白球,6个红球,从中随机地不放回地取6个球,设取到白球数为随机变量X , 求(1)X 的分布律;(2)E(X);(3)D(X). 练习2:
设随机变量X 的密度函数为
(1),01
()0,
k x x f x +<<⎧=⎨
⎩其它
求(1)常数K, (2) X 的分布函数F(x).
(3) E(X ), D (X ), (4) p(0<X<5).
练习3: E(X)=2, D(X)=4， 求(1) ， (2) （3）
数理统计
数理统计的基本概念
１、基本概念：总体（母体）、个体、样本（子样）、样本观测值（实现）、简单
随机样本（随机性、独立同分布性）、统计量的判断、统计量的观测值、抽样分布
２、基本公式：
（1） 样本平均值：1
1n
i i X X n ==∑
（2） 样本方差：22
22
11
11()()11n n
i i i i S X X X nX n n ===-=---∑∑ （3）
样本标准差：S =（4） 样本k 阶原点矩：1
1,1,2,
n k
k i i A X k n ===
∑
（5） 样本k 阶中心矩：1
1(),1,2,
n
k k i i B X X k n ==-=
∑
2()E X 2(23)
E X X -(23)D X -。