2017中考有关《二次函数新定义》题型练习

2016年中考数学二次函数综合题练习 【二次函数中新定义问题】
1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：
如果()()
0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“关联点”． 例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点”为点（－5，－6）．
（1）下面哪个点的“关联点”在函数3
y x
=
的图象上？ （ ） A 、（0，0） B 、（3，－1） A 、（－1，3） D 、（－3，1）
（2）如果一次函数y = x + 3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2)，求点M 的坐标；
（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标
y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．
x
y
O
x
y
O
O x y D 1D 2B 3
A 3D 3C
A B A 2B 2
A 1
B 1
C 2
C 1
2、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点 都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形。

点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ， C 的最佳外延矩形．例如，图中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ，
333CD B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333CD B A 是点A ，B ，
C 的最佳外延矩形．
（1）如图1，已知A （－2，0），B （4，3），C （0，t ）．
①若2=t ，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为 ； ②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为 ；
（2）如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （x ，y ）是抛物线542
++-x x y ＝上一点，
求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围；
（3）如图3，已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数)0(4
>=
x x
y 的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．
3、在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），(3
1-
，3
1
-
)，(2-，2-)，…，都是和谐点． （1）分别判断函数12+-=x y 和12
+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐
标；
（2）若二次函数)0(42
≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(
23，2
3
)，且当m x ≤≤0 时，函数)0(4
3
42
≠-
++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的取值范围． （3）和谐点为P 的直线2+=kx y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数x
n
y =
的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，且23<+AN AM ，请直接写出n 的取值范围．
4、（北京房山模拟）【探究】如图1，点()N m,n 是抛物线2
1114
y x =
-上的任意一点，l 是过点()02,-且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为H .
①计算: m=0时，NH= ; m =4时，NO = . ②猜想: m 取任意值时，NO NH (填“＞”、“＝”或“＜”).
【定义】我们定义：对于平面内一个定点F 和一条不经过点F 的定直线l ，如果抛物线上任意一点到点F 的距离和它到直线l 的距离都相等，则称点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O 即为抛物线2
1114
y x =
-的“焦点”，直线l :2y =-即为抛物线1y 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.
【应用】（1）如图2，“焦点”为F (-4，-1)、“准线”为l 的抛物线()2
21+44
y x k =
+与y 轴交于点N （0，2），点M 为直线FN 与抛物线的另一交点，MQ ⊥l 于点Q ，直线l 交y 轴于点H .
①直接写出抛物线y 2的“准线”l ： ； ②计算求值：
NH
MQ 11+ （2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），直线y =
3
3
x +n 与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式. 图2
图3
图1
5、如图1，抛物线2y ax bx c(a 0)的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，
若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高.
（1）抛物线2
1y
x 2
对应的碟宽为 ；抛物线2y 4x 对应的碟宽为 ；抛物线2y ax （a>0）对应的碟宽为 ；抛物线2
y
a(x
2)3(a
0)对应的碟宽 ；
（2）若抛物线25
y ax 4ax
(a 0)3
对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；
（3）将抛物线2n
n n n n
y a x b x c (a 0)的对应准蝶形记为F n （n=1,2,3，…），定义F 1，F 2，…..F n
为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比. 若F n 与F n-1的相似比为1
2
，且F n 的碟顶是F n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1. ①求抛物线y 2的表达式
② 若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n 。

则h n = ,F n 的碟宽右端点横坐标为 ；F 1，F 2，….F n 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由.
6、我们常常用符号()f x 表示x 的函数，例如函数2()21f x x x =-+，则2(3)32314f =-⨯+=.
对于函数()f x ，若存在a ,b ，()f x 满足以下条件：① 当0a x x <<时，随着x 的增大，函数值()f x 增大；② 当0x x b <<时，随着x 的增大，函数值()f x 减小，则称0()f x 为()f x 在a<x<b 的一个峰值. （1）判断函数()1f x x =+是否具有峰值；
（2）求函数2()41f x x x =-++的峰值；
（3）已知m 为非零实数，当x m ≤时，函数22(1)2y m x m =-+的图象记为T 1；当x m >时，函数 2(1)2y m x m =-+的图象记为
T 2；图象T 1，T 2组成图象T . 图象T 所对应的函数记为()f x . 若()f x 存
在峰值，求实数m 的取值范围.
7、对于平面直角坐标系xOy 中的点(),P m n ，定义一种变换：作点(),P m n 关于y 轴对称的点'P ，再 将'P 向左平移()0k k >个单位得到点'k P ，'k P 叫做对点(),P m n 的k 阶“ℜ”变换．
（1）求()3,2P 的3阶“ℜ”变换后3'P 的坐标；
（2）若直线33y x =-与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点A 的2阶“ℜ”变换后得到点C ，求
过,,A B C 三点的抛物线M 的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线M 的对称轴与x 轴交于D ，若在抛物线M 对称轴上存在一点E ，
使得以,,E D B 为顶点的三角形是等腰三角形，求点E 的坐标．。