2017中考数学《压轴题》专题训练含答案解析

压轴题

1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；

（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为

58，⊙Q 的半径为2

3

；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。

解：（1）42033

y x =-

+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．

当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，

∵t>2.5，∴

符合条件．

②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，

∵t>2.5，∴

符合条件．

综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．

（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（

10

9

,

531）

。 2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）(31)E ，；(12)F ，．

（2）在Rt EBF △中，90B ∠=o

， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．

设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，Q 顶点(1

2)F ，， ∴设抛物线解析式为2

(1)2(0)y a x a =-+≠．

①如图①，当EF PF =时，22

EF PF =，2

2

1(2)5n ∴+-=．

解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+

（第2题）

②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，2

2

(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得5

2

n =-（舍去）．

③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于

y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于

点M N ，，则点M N ，就是所求点．

(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．

43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．

又5EF =Q ，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是55

3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;

②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;

（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;

（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。

解：（1）①在等边三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝60°，∵ＰＧ⊥ＡＢ， ∴∠ＢＧＰ＝30°，∴ＢＧ＝2ＢＰ．

②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x . 又∵ＢＧ＝2x ，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x －1，∴０＜2x －1≤１，∴

1

12

x

2

DE×

DF=)()12112x x --

=2326x x -

+- 当3

4

x =

时，48max S =.

（3）①如图１，若∠ＰＦＥ＝Ｒt ∠，则两三角形相似，

此时可得ＤＦ＝ＤＧ 即121x x -=-

解得：23

x =

．

C B 第3题

C

B

②如图２，若∠ＰＥＦ＝Ｒt ∠，则两三角形相似，

此时可得ＤＦ＝12ＥＦ＝1

4ＢＰ， 即114x x -=．解得：4

5

x =．

4、如图，二次函数c bx x y ++-=2

4

1的图像经过点()()4,4,0,4--B A ， 且与y 轴交于点C .

（1）试求此二次函数的解析式；

（2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）；

（3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，

∴???+--=-++-=c b c b 444440，解得?????

==2

21c b ，

∴二次函数解析式为22

1

412++-

=x x y . （2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ，则在AOC Rt ?中，

2142tan ===

∠AO CO CAO ，又在ABD Rt ?中，2

1

84tan ===∠AD BD BAD ， ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ，∴BAO CAO ∠=∠.

（3）由()0,4A 与()4,4--B ，可得直线AB 的解析式为221

-=x y ，

设()44,221,

ππx x x P -??? ??-，则??

? ??++-22141,2x x x Q ， ∴22

141,2122212++-=-=-=

x x QH x x PH .∴221

4122122++-=-x x x .

当4212122++-=-

x x x ，解得 4,121=-=x x （舍去）

，∴??? ??

--25,1P . 当4212122--=-

x x x ，解得 4,321=-=x x （舍去）

，∴??? ?

?

--27,3P . 综上所述，存在满足条件的点，它们是??? ?

?

--25,1与??

? ??--27,3.

图

1

C Q → B

5、如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的

时间为x 秒()80

＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米． （1）求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；

（2）如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长；

（3）在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ．

①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．

解：（1）∵CD CQ S DCQ ??=?2

1，CD ＝3，CQ ＝x ，∴x y 23

1=．

图象如图所示．

（2）方法一：CP CQ S PCQ ??=

?2

1

，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ， ∴()kx kx x kx k y 42

18212

2+-=?-?=．∵抛物线顶点坐标是（4，12），

∴12444212

=?+?-k k ．解得23=k ．则点P 的速度每秒2

3厘米，AC ＝12厘米．

方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ 面积为12． 此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．∴由CP CQ S PCQ ??=?21，得 122

4

4=?k ． 解得23

=

k ．则点P 的速度每秒2

3厘米，AC ＝12厘米． 方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2

．

C ∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），

∴?????=++=++=.0864124160c b a c b a c ，， 解得 ?

??

?

???

==-=.

0643c b a ，，∴x x y 64322+-=． ①

∵CP CQ S PCQ ??=?21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴kx kx y 42

12

2+-=． ②

比较①②得23

=k .则点P 的速度每秒2

3厘米，AC ＝12厘米．

（3）①观察图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差（或△PDQ 面积）．②由⑵得 x x y 64

32

2+-=.（方法二，x x x x y 643232382122+-=???? ??-??=）

∵EF ＝y 2－y 1，∴EF ＝x x x x x 2

9

432364322+-=-+-

， ∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，4

27

=

EF 最大． 6、如图，在ABC ?中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC

上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .

（1）试求ABC ?的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设x AD =，ABC ?与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（4）当BDG ?是等腰三角形时，请直接写出AD 的长。

解：（1）过A 作BC AH ⊥于H ，∵6,5===BC AC AB ，∴32

1

==

BC BH .

则在ABH

Rt?中，4

2

2=

-

=BH

AB

AH，∴12

2

1

=

?

=

?

BC

AH

S

ABC

.

（2）令此时正方形的边长为a，则

4

4

6

a

a-

=，解得

5

12

=

a.

（3）当2

0≤

x

π时，2

2

25

36

5

6

x

x

y=

?

?

?

?

?

=.

当5

2π

πx时，()2

25

24

5

24

5

5

4

5

6

x

x

x

x

y-

=

-

?

=.

（4）

7

20

,

11

25

,

73

125

=

AD.

7、如图已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22

y mx mx n

=++上．（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与ABC

△相似．

解：（1）根据题意，得：

?

?

?

=

+

+

=

+

-

2

4

4

4

n

m

m

n

m

m

解得

??

?

?

?

=

-

=

4

3

4

n

m

（2）四边形A A′B′B为菱形，则A A′=B′B=AB=5

∵4

3

8

3

4

2+

-

-

=x

x

y

=()3

16

4

3

42

+

-

-x

∴向右平移5个单位的抛物线解析式为()

3

16

4

3

42

,+

-

-

=x

y

B

A

O 1

1

－1

－1

x

y

A′

B

′

（3）设D （x ，0）根据题意，得：AB=5，5',10,53===C B BC AC

∵∠A =∠B B ′A

ⅰ) △ABC ∽△B ′CD 时，∠ABC =∠B ′CD ，∴BD=6－x ，

由 得x -=

65

355 解得x =3， ∴D （3，0） ⅱ）△ABC ∽△B ′DC 时，C

B AC

D B AB ''= ∴5

5

365=

-x 解得313=x ∴)0,313(D 8、如 图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，A B ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝8，

CD ＝10．

（1）求梯形ABCD 的面积S ；

（2）动点P 从点B 出发，以1cm/s 的速度、沿B→A→D→C 方向，向点C 运动；动点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度、沿C→D→A 方向，向点A 运动，过点Q 作QE ⊥BC 于点E ．若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒．问：①当点P 在B→A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值，并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积；若不存在，请说明理由；

②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．

D B AC

C B AB ''

=E C B C

B E

C B （备用图）