例析排列组合中的球与盒子问题
高中数学排列与组合练习 (8)
高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
题型三
涂色问题
涂色问题曾在历届高考题中多次出现，下面举几例以期抛 砖引玉． 例3 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选 择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)
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(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个 球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空 盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球” 是一回事．故也有144种方法． (4)先从四个盒子中任取两个有C42种，问题转化为：“4个 球，两个盒子，每盒必放球，有几种方法？”从放球数目看， 可分为(3，1)，(2，2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然 后放入指定的一个盒子中即可，有C43·C21种方法；第二类：有 C42种方法．因此共有C43·C21＋C42＝14(种)．由分步乘法计数 原理得“恰有两个盒子不放球”的方法有C42·14＝84(种)．
3．重复计数 例3 几种？ 【错解1】 排在排头的有除甲之外的A61种情形，排在排尾 7个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有
的也有除乙之外的A61种情形，两端排好后余下的排中间有A55种 情形，所以不同的排法有A61A61A55＝4 320种． 【错解2】 头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人
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探究1 解排列组合问题的“16字方针”是：有序排列、无 序组合；分类为加，分步为乘．
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排列组合典型问题-分球入盒
分球入盒问题高二数学组朱育璋分球入盒问题（球在盒子的分布情况）是概率中常见的一类题型，如：（1）生日问题：n个人的生日的可能情况（每个人生日是365天之一），相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况（设一年365天）；（2）书籍分堆问题： 6 本画册分给 3 份，每份至少一本（3）名额分配问题：7 个参赛名额分给不同班级（4）有n 封信随机的投放在N 个信筒中（筒内信数不限）；此类问题具有背景丰富，应用广泛等特点。
本文旨在总结解此类题的规律，理清思路，以便更好的更快的求解问题。
例题分析【例1】按下列要求分配6个不同的小球，各有多少种不同的分配方式（1）分成三份， 1 份1 个，1 份2个， 1 份3个；（2）甲、乙、丙三人中，一人得 1 个，一人得2个，一人得3个；分析：（1）为典型无序分组问题，可分三步完成，即拿出一个做第一份，拿出2个做第二份，拿出3个做第三份，完成分组，对于（2）为有序分组问题，可采取先按（1）分组，再进行分配，即排列。
归纳：从1,2 问区分分组要求与分配要求，并掌握基本方法。
另外，举出类似问题，一起归结为：不同小球投入相同的盒子，不同小球投入不同的盒子（3）分成三份， 1 份 4 个，另外两份每份 1 个；（4）甲、乙、丙三人中，一人得4个，另外两人每人得 1 个；分析：（3 ）与（ 1 ）问题类型相同，同为分组要求，不同的地方：出现两份小球数目一样，即有均分组，此时按原方法计算会导致重复计算，举例：不妨记6个球为A、B、 C D E、F,若第一步取了ABCD第二步取了E,第三步取了F,记该种分法为（ABCD，E,F），则同样分法中还有（ABCD,F,E），共2种情况，而这2种情况仅是E，F的顺序不同,从排列角度易算出不同的分法为A22,需在原基础上除以A22,消去顺序。
归纳：在分组中出现均分组情况，需要消序，即除以均分组的组数全排列数【例2】按下列要求分配 6 个相同的小球，各有多少种不同的分配方式（1）分成三份， 1 份1 个，1 份2个， 1 份3个；（2）甲、乙、丙三人中，一人得 1 个，一人得2个，一人得3个；一.（1）通过穷举的办法算出结果，认识到分法差异在于各组小球数量的相对性二.（2）分法差异在于不同的小组小球的数量，方法：先定数量分配，再分配入盒。
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。
其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。
由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。
下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。
有种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。
变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。
第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
几类经典排列组合问题
一、小球放盒子问题（分组问题）（1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。
解析：分步乘法计数原理，每个小球都有六种放法答案：66。
（2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。
解析：思路一：分步乘法计数原理，第一个小球有6种放法第二个小球有5种放法……第六个小球有1种放法即6*5*4*3*2*1；思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A6 6。
答案：720。
（3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。
解析：平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF，首先从6个球中选出2个，为C2 6；然后从剩下的4个球中选出2个，为C2 4；最后剩下2个球，为C2 2；但是：C2 6取出AB球、C2 4取出CD球、剩EF球；C2 6取出AB球、C2 4取出EF球、剩CD球；C2 6取出CD球、C2 4取出AB球、剩EF球；C2 6取出CD球、C2 4取出EF球、剩AB球；C2 6取出EF球、C2 4取出AB球、剩CD球；C2 6取出EF球、C2 4取出CD球、剩AB球；得到的结果是一样的，故按照C2 6C2 4C2 2组合完成后还应除去A3 3，答案：C2 6C2 4C2 2/A3 3（4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。
解析：平均分组后再分配的问题平均分组得到的结果为C2 6C2 4C2 2/A3 3，分完组后三堆小球还要放到不同的盒子里，即再进行一个A3 3的排列答案：C2 6C2 4C2 2（5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。
解析：非平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆，首先从6个球中选出1个，为C1 6；然后从剩下的5个球中选出2个，为C2 5；最后剩下3个球，为C3 3；注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，因此C1 6C2 5C3 3即为最后结果，不需要再除以A3 3答案：C1 6C2 5C3 3（6）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个不同的盒子里。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
“球放盒子里”的排列组合解题策略
分析
题 目要求 每个 盒子不空 ， 且盒 子和球都 相 同， 因
此， 只有一种放法 ， 事实上也 可以看成是将 ４拆 分成正 整数
的和 ： ４ ＝ １ ＋ １ ＋ ２ ， 而且 只有 这一 唯一 的拆 法 ， 像这 类 问题
都可 以用拆数 的方法来解 决． 变题 把 ７个相 同 的球 放 入 ４个 相 同的盒 子里 ， 要 求 每个盒子至少一个球 ， 共有 多少 种放法． （ 解： ７＝ｌ＋１ ＋ｌ ＋
以用球 放盒子中这类 问题来解 决 ， 为此 ， 下 面我们 简单地 介
绍 球放 盒子 中有 限制条件 的排 列组 合问题的处理办法． 问题 ： 把 ４个相 同或 不相 同 的球放 入相 同 或不 相 同的
分析
先找 出空盒 子 ， 然 后转 化 为例 ３的情 形 ， 共有
Ｃ Ｘ ３＝１ ２种不 同放法． 例 ５ 把 ４个不 同的球放入 ３个相 同的金子里 ， 要求每 个盒子至少一个球 ， 共有 多少种放法．
的和．
分析
本题应先 取后 排 ， 根据 题 意有 一个 盒子 放 ２个
球， 其余盒 子各 放 １ 个球 ， 因此 ， 有ｃ ２ 乙 ： Ｉ 乙 １ 。 ＝ ７ ２ 种．
把 ７个相 同 的球 放人 ４个 相 同的 盒子里 ， 要求 例 ８ 把 ４个 不同的球 放入 ４个 不同的盒子里 。 要求有 １个盒子 空， 共有 多少种放法？ 分析 先将空 盒子取出来 ， 然 后转 化为例 ７问题 ， 共有
７ ３ ＋ ３ 有 ： ７ ｏ ： ２ ＋ ２ ＋ ３ 有 擎 ： ｌ ０ ５
２ ＾２
种， 共有 ３ ０ １ 种． ） 例 ６ 把 ４个不 同的球 放入 ４个 相同的盒子里 ， 要求有 １个盒子 空， 共有多少种放法？ 分析 先拆数 ： ４＝ ０＋ｌ ＋１ ＋２ ， 只要取 ２个球 即可 ， 因
解排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
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例析排列组合中的球与盒子问题
作者：华瑞芬
来源：《数理化学习·高一二版》2013年第09期
在排列组合问题中有这样一类问题，把一些小球投入到几个盒子中，给出一定的限制条件，求有多少种不同的方法.下面分类例析，希望对提高同学们的解题技能能够有所帮助.
一、 m个不同的球放入n个不同的盒子
此类问题中球必须都放进盒子，因此按球分步.把“一个球放进盒子”作为第一步，共分m 步，每一步都有n种不同的放法，所以把m个不同的球放入n个不同的盒子，共有nm种不同的放法.求解此类问题的关键在于分清谁是球，判断的标准为“球”必须都放完.
此类问题不仅要求“球”必须放完，而且要求每个盒子不空.求解此类问题时，首先要考虑分配情况，然后再考虑球的搭配、盒子的选择.。