2014北京市高考压轴卷 数学(文科) Word版含解析

2014北京市高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.已知函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则123()()()f x f x f x ++的值为()A.正B.负C.零D.可正可负3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）A ．4+52π B ．4+32π C ．4+2π D ．4+π 4.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( )A ．-1B ．CD ．15.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A． B．C． D．7. 已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若，线段AB 的中点到直线的距离为1，则p的值为（）8. 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是（）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置． 9.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，则实数a 的值为________________.10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a 指向①时输出的结果S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果S ＝n ，求m ＋n 的值．11.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ．12. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是________________.13.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是_______14.设a ∈R ，若x ＞0时均有[（a ﹣1）x ﹣1]（x 2﹣ax ﹣1）≥0，则a= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15.已知向量)4cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x x n x m ==．记n m x f ⋅=)( (I)求)(x f 的周期；(Ⅱ)在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a —c)cos B=b cosC ， 若12f (A )=，试判断∆ABC 的形状． 16. 某校要从2名男同学和4名女同学中选出2人担任羽毛球比赛的志愿者工作，每名同学当选的机会均相等．（Ⅰ）求当选的2名同学中恰有l 名男同学的概率； （Ⅱ）求当选的2名同学中至少有1名女同学的概率．17. 如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （1）求证：B 1B ∥平面D 1AC ； （2）求证：平面D 1AC ⊥平面B 1BDD 1．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .求证: '⋅k k 为定值.19.已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20. 已知函数x a x g ln )2()(-=，2ln )(ax x x h +=)(R a ∈，令)()()('x h x g x f +=.(Ⅰ)当0=a 时，求)(x f 的极值； (Ⅱ)当2-<a 时，求)(x f 的单调区间；(Ⅲ)当23-<<-a 时，若对]3,1[,21∈∀λλ，使得3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m f f λλ恒成立,求m 的取值范围.2014北京市高考压轴卷数学文word 版参考答案1. 【答案】D 【解析】1()1,2,1,12x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D ． 2. 【答案】B【解析】∵3()f x x x =--，∴函数()f x 在R 上是减函数且是奇函数，∵120x x +>，∴12x x >-，∴12()()f x f x <-，∴12()()f x f x <-，∴12()()0f x f x +<， 同理：23()()0f x f x +<，31()()0f x f x +<，∴123()()()0f x f x f x ++<.3. 【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分2π，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．故选A ． 4. 【答案】A. 【解析】5. 【答案】C【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n 可能在平面α内，故①错误 ②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确 ③过直线m 作平面γ交平面β与直线c ， ∵m、n 是两条异面直线，∴设n∩c=O， ∵m∥β，m ⊂γ，γ∩β=c∴m∥c， ∵m ⊂α，c ⊄α，∴c∥α，∵n ⊂β，c ⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α ∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m ，n ⊂β，n⊥m ，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选C6. 【答案】C.【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选7.【答案】B.【解析】分别过A、B作交线l：x=﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）根据抛物线的定义，得∴梯形ACDB中，中位线MN=（）=2，可得x0+=2，x∵线段AB的中点M到直线的距离为1，可得|x0﹣|=1∴|2﹣p|=1，解之得p=1或3故选：B8.【答案】C.【解析】求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc ∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故选C．【解析】①若a-3=-3,则a=0，此时：}1,1,3{},3,1,0{--=-=B A ,}3,1{-=⋂∴B A ,与题意不符，舍 ②若2a-1=-3,则a=-1，此时：}2,4,3{},3,1,0{--=-=B A ，}3{-=⋂∴B A ，∴a=-1 ③若a2+1=-3,则a 不存在 综上可知：a=-1 10. 【答案】20.【解析】当箭头指向①时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0，S ＝1； i ＝2，S ＝0，S ＝2； i ＝3，S ＝0，S ＝3； i ＝4，S ＝0，S ＝4； i ＝5，S ＝0，S ＝5； i ＝6结束． ∴S＝m ＝5．当箭头指向②时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0， S ＝1； i ＝2，S ＝3； i ＝3，S ＝6； i ＝4，S ＝10； i ＝5，S ＝15； i ＝6结束． ∴S＝n ＝15． ∴m＋n ＝20． 11. 【答案】44【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得64a =,又由611111611211()114422a a a S a ⨯+====【解析】每个个体被抽到的概率等于 =，而中型超市有120家，故抽取的中型超市数是 120×=613.【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为y kx =，因为与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，所以0k >，且联列解得,P Q ⎛ ⎝，所以4PQ ==≥14. 【答案】【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a ≠1，构造函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1，y 2=x 2﹣ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）． 考查函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1：令y=0，得M （，0），∴a ＞1；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣1，显然过点M （，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）． 故答案为：15. 【解析】211()cos cos cos 4442222x x x x x f x +=++1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（I ）π4=T（Ⅱ 根据正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒=∵()f A =∴ 1sin 262263A A πππ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或 π 而203A π<<，所以3A π=，因此∆ABC 为等边三角形.……………12分16. 【解析】（I ）所有的选法共有=15种，当选的2名同学中恰有1名男同学的选法有•=8种，∴当选的2名同学中恰有1名男同学的概率为 ．（II ）所有的选法共有=15种，当选的2名同学中恰有2名女同学的选法有=6种，当选的2名同学中恰有1名女同学的选法有•=8种，故当选当选的2名同学中至少有1名女同学的选法有6+8=14种，故当选的2名同学中至少有1名女同学的概率为．17. 【解析】证明：（1）设AC ∩BD=E ，连接D 1E ，∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1．∴B 1D 1∥BE ，∵B 1D 1=BE=，∴四边形B 1D 1EB 是平行四边形，所以B 1B ∥D 1E ．又因为B 1B ⊄平面D 1AC ，D 1E ⊂平面D 1AC ，所以B 1B ∥平面D 1AC（2）证明：侧棱DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥DD 1．∵下底ABCD 是正方形，AC ⊥BD ．∵DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线，∴AC ⊥平面B 1BDD 1∵AC ⊂平面D 1AC ，∴平面D 1AC⊥平面B 1BDD 1．18. 【解析】（Ⅰ）由条件2,a b =…………2分 故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………5分 由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分 因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立.设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x .…………8分 因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ，………9分 令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x y N ，所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--.………10分 直线2PF 的斜率为12121()0222'31y yx x k +---=-12121()422y yx x =+--122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++1212121223()4142()4kx x k x x kx x x x -++=⋅-++…………12分 2222222241282341434341284244343k k k k kk k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++34k =-所以k k '⋅为定值43-. …………13分 19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分所以1122n n a a a a ++-=-, ………2分 即21214n n a a a a ++-=-=. ………3分 所以数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分 所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分 （Ⅱ）（１）充分性：若对于任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121n n a qa a qa ++-=-. ………7分 因为当1n =时，由(1)(1),B qA =可得21a qa =， ………8分所以210n n a qa ++-=.因为0n a >， 所以2211n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， ………9分（２）必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有 1n n a a q +=. ………10分因为0n a >，所以(),(),()A n B n C n 均大于0.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分 即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………13分综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………14分20. 【解析】。