2019-2020学年天津市南开中学高三(下)第四次月考数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年天津市南开中学高三（下）第四次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合，集合，则A. B. 0，1，2，C. 1，2，D.2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知定义在R上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.4.函数的一个单调递增区间是A. B. C. D.5.数列满足：且，若数列是等比数列，则的值等于A. 1B.C.D. 26.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A，B两点，且的面积为为原点，则双曲线的方程为A. B. C. D.7.设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为A. B. 1 C. 2 D. 48.已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则A. B. C. D. 19.己知函数，在上的最大值为，若函数有4个零点，则实数t的取值范围为．A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.若z是复数，，则______．11.二项式的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．则展开式中项的系数是______．12.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为______．13.在平行四边形ABCD中，，，，E，F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于H，则的值是______．14.已知实数x，y满足，则的最小值为______．15.已知函数，函数有四个零点，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．Ⅰ求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；Ⅱ求“环保宣传”被这4名学生选择的人数的分布列及其数学期望．17.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，．证明：；求二面角的余弦值；设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值．18.已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点为坐标原点，求的最大值．19.已知数列满足．设，求数列的通项公式；求数列的前n项和；记，求数列的前n项和．20.已知函数，．Ⅰ求的极值；Ⅱ证明：时，Ⅲ若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，，，设且的最大值是，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：根据题意，或，则或，则，，1，2，3，，则1，2，；故选：C．根据题意，解可得集合A，由补集的意义可得，解可得集合B，由交集的意义计算即可得答案．本题考查集合的混合运算，关键是正确求出集合A、B．2.答案：B解析：解：由，反之不成立．是q的必要不充分条件．故选：B．由，反之不成立．即可得出．本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，函数的定义域为R，且满足，则函数为偶函数，，，，又由函数在上是减函数，则在上为增函数，且，则；故选：A．本题主要考查函数的奇偶性，单调性的应用，属于中档题．根据题意，可得函数为偶函数，根据偶函数的性质和单调性求解即可．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题．利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得的一个增区间．【解答】解：对于函数，令，，求得，，可得函数的增区间为，，令，可得选项A正确．故选A．5.答案：D解析：解：由，得．由于数列是等比数列，，得，故选：D．把已知数列递推式变形，由数列是等比数列求得的值．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题．6.答案：D解析：解：抛物线的焦点F为，可得双曲线的焦点分别为，，，抛物线的准线为，由的面积为6，可得，即，可设，可得A到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为，即，可得，由，可得双曲线的方程为．故选：D．求得抛物线的焦点和准线方程，可得双曲线的c，由三角形的面积公式可得A的坐标，由双曲线的定义可得a，进而得到b，可得双曲线的方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：设椭圆的长半轴是，双曲线的实半轴是，它们的半焦距是c并设，，，根据椭圆的和双曲线的定义可得解得，又，由勾股定理得化简可得故选：C．椭圆的长半轴是，双曲线的实半轴是，它们的半焦距是c并设，，，根据椭圆的和双曲线的定义可得，，写出两个曲线的离心率，代入要求的式子得到结果．本题考查圆锥曲线的共同特征，本题解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，本题是一个基础题．8.答案：B解析：解：函数的图象过点，，．在上单调，，．把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，，，，当且时，，若，则，，故选：B．利用正弦函数的周期性和单调性，函数的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得的值，可得的值．本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．9.答案：C解析：解：当时，为偶函数，此时最大值为，当时，函数在上的最大值为，当时，函数在上的最大值为，即．．由得，设函数，，作出两个函数的图象如图：若，要使有4个零点，则两个图象的交点个数有4个，此时满足，即，解得．若，则，当抛物线过点时，．当抛物线与直线相切时，当时，由，此时，由判别式，解得．要使有4个零点，则两个图象的交点个数有4个，此时满足．综上或．故选：C．根据条件求出函数的表达式，然后由得，利用函数有4个零点，建立条件关系即可求出t的取值范围．本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，根据条件求出的表达式是本题的难点．注意对t要进行分类讨论．综合性较强，难点交大．10.答案：解析：解：，．故答案为：．由商的模等于模的商，结合求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．11.答案：解析：解：因为二项式的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．所以展开式共有11项，则，即，则二项式的展开式的通项为，令得：，即展开式中项的系数是，故答案为：．由二项式定理及展开式的通项公式得：，令得：，即展开式中项的系数是，得解．本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，属中档题．12.答案：解析：解：设中位数为a，则，解之得，故答案为为：．根据中位数的公式代入即可．本题考查中位数，熟悉掌握中位数的公式，属于基础题．13.答案：解析：解：过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且，则∽，从而，，，则，，则，故答案为：．过点F作BC的平行线交DE于G，计算出，求出和的向量，利用向量数量积的定义和公式计算即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据条件求出和的表达式是解决本题的关键．14.答案：解析：解：设，，可知，则．当且仅当，即，也即，时取等号．故答案为：设，可知是定值，即可利用基本不等式的性质求解．本题主要考查了基本不等式性质的构造，确定是定值是解题的关键，属于中档题．15.答案：解析：解：由得，当时，不成立，即，则，若有四个零点，则等价为有四个不同的根，设，则当时，，，则当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，即此时当时，取得极小值，极小值为，当，，当时，，，由得舍或，此时函数为增函数，由得，此时为减函数，即当时，取得极大值，极大值为，作出函数的图象如图：要使有四个根，则满足，即实数k的取值范围是，故答案为：根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，转化为两个函数交点个数，求函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：解：Ⅰ某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．基本事件总数，恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数，恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率．Ⅱ“环保宣传”被这4名学生选择的人数的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，的分布列为：0 1 2 3 4P．解析：Ⅰ基本事件总数，恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数，由此能求出恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率．Ⅱ“环保宣传”被这4名学生选择的人数的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：证明：在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，，0，，，，，，．解：0，，0，，，设平面APC的法向量y，，则，取，得，平面PCD的法向量0，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解：设Q为线段PD上的点，b，，，，则b，，，，解得，，，，平面PAC的法向量，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，，解得或舍，．解析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．设Q为线段PD上的点，b，，，，求出，由平面PAC的法向量，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意可得，，，，解得，，，即有椭圆的方程为；Ⅱ由题意可知，k存在，设直线为，，，．将直线代入椭圆方程可得，，，由直线l与圆O：相切，可得，即有，，当且仅当，即时等号成立．的最大值为2．解析：Ⅰ由已知可得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由题意可知，k存在，设直线为，，，将直线代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得m与k的关系，结合基本不等式即可得到的最大值．本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．19.答案：解：数列满足，可得：，设，数列是等差数列，公差为1，首项为1，所以；易得，其前n项和：，，可得：；，或写成．解析：利用已知条件两边同除，推出数列是等差数列，然后求解的通项公式．利用数列的通项公式，求解数列的通项公式，然后通过错位相减法求和即可．化简通项公式，利用裂项求和求解即可．本题考查数列通项公式的求法，数列求和的应用，考查计算能力．20.答案：解：Ⅰ函数的定义域为．由已知可得，当时，，故在区间上单调递增，f无极值；当时，由，解得；由，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，f的极大值为，无极小值；Ⅱ证明：令，故只需证明，函数在上为增函数，且，，故F在上有唯一实数根，且，，则，当时，，当时，，从而当时，取得最小值，故，综上，时，；Ⅲ证明：函数有且只有三个不同的零点，显然是其零点，函数存在两个零点，即有两个不等的实数根，可转化为方程在区间上有两个不等的实数根，即函数的图象与函数的图象有两个交点，，由，解得，故在上单调递增；由，解得，故在上单调递减；故函数的图象与的图象的交点分别在，上，即的两个根分别在区间，上，的三个不同的零点分别是，e，，且，，令，则，由，解得，故令，则，令，则，在区间上单调递增，即，，即在区间上单调递增，即，，即．解析：Ⅰ求导，讨论得出函数的单调性情况，进而求得极值；Ⅱ将代入，构造函数，只需函数的最小值大于0即可得证；Ⅲ显然，，且分析可知，，通过换元，降元可得，进而构造函数得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查转化思想，降元换元思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档偏上题目．。
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题(解析版)
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}124x A x -=≥，{}2230B x x x =--<，则()R AB ð等于（ ）A.{}3x x ≥B.{}3x x >C.{}13x x -<< D.{}31x x x ≥≤-或【答案】A【解析】解出集合A 、B ，再利用交集和补集的定义求出集合()R A B ð.【详解】解不等式124x -≥，即12x -≥，得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式2230x x --<，解得13x -<<，{}13B x x ∴=-<<， 则{}13R B x x x =≤-≥或ð，因此，(){}3R A B x x ⋂=≥ð，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题. 2．“成立”是“成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x -1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的必要不充分条件 【考点】1．解不等式；2．充分条件与必要条件3．已知()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ） A ．p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D ．p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：'()1cos f x x =-+，当(0,)2x π∈，'()0f x <，因此()f x 是减函数，所以(0,)2x π∈，()(0)0f x f <=，命题p 是真命题，p ⌝是：000,,()02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭，故选D ．【考点】命题的真假，命题的否定． 4．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】B【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式()()22log 22f a f x x ≤-+可化为()()22log 22f a f x x ≤-+，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以22log 22a x x ≤-+，而()222211x x x -+=-+的最小值为1，所以2log 1a ≤，21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤． 6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上恒成立，即在恒成立，而在递减，在递增，且，即；故选C.7．设函数()144x f x ex -=+-，()1ln g x x x=-，若()()120f x g x ==，则（ ）A.()()120g x f x <<B.()()120g x f x <<C.()()210f x g x <<D.()()210f x g x <<【答案】B【解析】分析函数()y f x =和()y g x =的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性来得出()2f x 与()1g x 的正负. 【详解】()144x f x e x -=+-Q ，()140x f x e -'∴=+>，则函数()y f x =为增函数， ()00f <Q ，()10f >，且()10f x =，由零点存在定理知101x <<.()1ln g x x x =-Q ，则()221110x g x x x x+'=+=>，所以，函数()y g x =为增函数， 且()10g <，()12ln 202g =->，又()20g x =，由零点存在定理可知212x <<.()()210f x f ∴>>，()()110g x g <<，因此，()()120g x f x <<，故选：B.【点睛】本题考查函数值符号的判断，同时也考查了函数单调性与零点存在定理的应用，解题的关键就是利用函数的单调性与零点存在定理求出零点的取值范围，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.8．设实数,,a b c 分别满足322,a a +=2log 1b b =，5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >> D.a c b >>【答案】C【解析】令3()22f x x x =+-，则3()22f x x x =+-在R 上单调递增，且(0)(1)2110f f ⋅=-⨯=-<，即(0,1)a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题. 9．已知函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ） A.650,2252⎛⎤⎡⎫⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，B.650,2252⎛⎫⎡⎤⋃-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， C.{}56,,0,2225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D.56,,225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A【解析】关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，等价于()y f x =和y ax =有两个交点，如图所示：作出函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩的图象，()2,5A -，()1,2B ，65,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，625OC k =，由图可得60,25k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与21y x =+有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程21y kxy x =⎧⎨=+⎩得：210x kx -+=，由240k =-=解得2k =±，切点坐标为()1,2-和()1,2且52OA k =-，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足5,22k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，综上可得650,,2252k ⎛⎤⎡⎫∈⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选A.二、填空题10．设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z =__________．【答案】1+【解析】分析：根据条件先将z 的表达式求出，再结合复数的四则运算即可.详解：3)13i i z ===+点睛：考查复数的计算，属于基础题.11．6⎛⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答）【答案】-160【解析】试题分析：由6662166(1)(2)rrr r r r rr T C C ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以6⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.【考点】二项式定理.12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e . 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 ．【答案】【解析】试题分析：由图知，当时，,由得即所以不等式解集为【考点】利用函数性质解不等式14．已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】由题意得直线y a =和函数()y f x =的图象有两个交点，故函数()y f x =在定义域内不能是单调函数．在同一坐标系内画出函数3y x =和2y x =的图象，结合图象可得所求的结果． 【详解】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进行求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用．15．函数()()4ln (1)f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为___________。
2020-2021学年天津市南开中学高三(上)第四次月考英语试卷
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第四次月考英语试卷第一部分：听力（20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．（1分）What did the woman do last night？A．She slept．B．She watched TV．C．She surfed the internet2．（1分）When did the maths class end？A．At 3：00 p．m．B．At 12：00 p．m．C．At 10：00 a．m．3．（1分）What is wrong with the woman？A. She has caught a cold.B. She has got a cough.C. She feels tired.4．（1分）What does the man think of the woman？A．She is outgoingB．She is impoliteC．She is shy．5．（1分）What did the man do to the old windows？A．He had them replacedB．He had them repairedC．He had them cleaned．第二节（共3小题，每小题1.5分，满分15）听下面3段材料，每段材料后有几个小题。
从题中所给的ABC三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置，听每段材料前，你将有时间阅读各个小题。
每小题5秒钟。
听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间，每段材料读两遍。
6．（4.5分）（1）What are the speakers talking about？A. A new study of eyes.B. An article in a magazine.C. The woman's best friend.（2）Why does the man ask the woman to recall her best friend's face？A. To know something about her best friend.B. To get information for an article.C. To examine the truth of a study（3）What do people do when remembering an image according to the study？A. They look up and to the right.B. They look up and to the left.C. They look directly to the left.7．（4.5分）（1）What do we know about the woman？A. She has got a good job.B. She has got some interview opportunities.C. She hasn't received any replies to the job applications.（2）Which field does the man want to work in？A. Marketing.B. Banking industry.C. Travel industry.（3）What will the man do next？A. Take some examinations.B. Go the banks for interviews.C. Send application e﹣mails to banks.8．（6分）（1）What are the speakers talking about？A. The weather forecast.B. The woman's work.C. The woman's study.（2）Where did the woman get her first job？A. In the BBC.B. In a radio station.C. At a local weather center.（3）What makes the weather forecast more accurate？A. The modern technology.B. The rich work experience.C. The weather training course.（4）What does the woman think of her job？A. Easy.B. Boring.C. Time﹣consuming.第二部分：英语知识运用（共两节，满分15分）第一节、单项填空（共15小题，每小题1分）从A、B、C、D四个选项中，选出适合空白处的最佳选项。
考点40 空间几何体的三视图(解析版)
考点40 空间几何体的三视图1．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：BC BCD ACD为直角三角形，ABD为正三角形由正方体的性质得A,,故选：C2．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A ．5πB ．6πC ．62π+D ．52π+【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D.3．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷理）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．22【答案】C 【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图：由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得；224sin30r ==︒，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径225R d r +=，故选C.4．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（ ）A ．3πB ．2πC ．3π D ．22π 【答案】A 【解析】根据三视图，圆锥内部挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则323h r-=，∴332h r =-.故232233(2)3(1)132rh r r r r r S πππππ⎛⎫⎡⎤=-=-=--+ ⎪⎣=⎦ ⎪⎭侧，当1r =，S 侧的最大值为3π.5．（江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试理）如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体；如图所示：所以其体积为11118044444423223V ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选D6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A ．23B 3C ．3πD ．3π 【答案】B 【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径222111322r ++==，则：3433322V ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B ．7．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试理）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则r =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和14圆锥组成的几何体，设组合体的体积为V , 所以21111943342448,24332V r r r r r r ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⇒+=，故本题选B.8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．163πB ．283πC ．11πD ．323π【答案】B 【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体， 故：下底面的中心到底面顶点的长为：233， 所以：外接球的半径为：22232171393R ⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=． 故选：B ．9．（广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试）一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π【答案】A【解析】由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π. 故答案为：A.10．（北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学理）已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为( )A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】由三视图可知该几何体如下图所示，CB⊥AB，CB⊥DA，DA∩AB＝A，所以，CB⊥平面DAB，所以，CB⊥BD，即△DBC是直角三角形，因此，△ABC，△DAB，△DAC，△DBC都是直角三角形，所以，选A．11．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。
2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )A. B. C. D.2.设，且则( )A. B. C. D.3.若集合，，则的充要条件是( )A. B. C. D.4.设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.不等式中等号成立的条件是 ( )A. B. C. D.6.已知集合，，若，则a的取值范围为( )A. B.C. D.7.正实数a，b满足，，则的最小值为( )A. B. C. D.8.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.9.已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是.( )A. B.C.或 D.10.若关于x的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.设a，，若集合，则__________.12.试用列举法表示集合：__________；13.不等式的解集为__________.14.已知实数，当取得最小值时，则的值为__________.15.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是__________.16.若函数的最小值为0，则m的取值范围为__________.三、解答题：本题共3小题，共36分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分设全集为，集合，，求，，；若，求实数a的取值范围.18.本小题12分解关于x的不等式：19.本小题14分已知且，记m为的最大值，记n为ab的最大值.求的值;若，且对任意，恒成立，求的最大值.答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.根据交集的定义求解即可.【解答】解：因为 ，，所以.故选：2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题.运用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.【解答】解：A ：当 时，显然不成立，因此本选项不正确；B ：当 时， 没有意义，因此本选项不正确；C ：若 ，显然，但是不成立，因此本选项不正确；D ：由 ，因此本选项正确，故选：D 3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查充要条件及含参数的集合关系问题，属于基础题.利用充要条件及两个集合的关系即可得出答案.【解答】解：因为集合 ，，且，所以，故选：4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案.【解答】解：命题p：，，则为， .故选：5.【答案】C【解析】【分析】本题考察基本不等式，属于基础题.易知取等时解出x即可.【解答】解：故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集及集合包含关系的判断，分类讨论含参数的集合包含关系，属于中档题.由可以得到，从而对集合B分类讨论即可求解参数a的范围.【解答】解：已知，又因为，，即，①当时，满足，此时，解得；②当时，由，得，解得；综上所述， .故选：7.【答案】A【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于基础题.由题意可得，，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：，，且，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为 .故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题.求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案.【解答】解：由可得，当时，，所以，所以命题“任意，”为真命题的充要条件是，所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是C，故选：C9.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决恒成立及一元二次方程问题，属于中档题.若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可.【解答】解：命题p：为真命题，对任意恒成立，又，，当且仅当，即时，等号成立，，命题，，为真命题，，或，命题p，q都是真命题，或 .故选：C10.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，涉及集合的混合运算，属于中档题.根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，讨论两根大小，然后根据集合的运算即可求解.【解答】解：当，则的解集为或，，，，，所以或 .当，则的解集为或，，，，，所以或，综上，故选：11.【答案】0【解析】【分析】本题考查集合相等，属于中档题.利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．【解答】解：由题意可知：，因为，则，可得，则，可得，且满足，所以 .故答案为：12.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，属于基础题.求解x 的范围，然后表示成描述法即可.【解答】解：由题意可得： .故答案为： .13.【答案】【解析】【分析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.根据分式不等式求解方法进行求解即可．【解答】解：不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为 .故答案为： .14.【答案】4 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.先利用配凑法根据基本不等式求最值，根据取等条件得 ，即 即得.【解答】解：根据题意可得，，因 ，所以，，所以即，当且仅当时等号成立，此时，解得，则 .故答案为： 415.【答案】【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决有解问题，属于中档题.由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可.【解答】解：因为两个正实数x，y满足，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.因为有解，所以，即，解得或，即实数m的取值范围是 .故答案为： .16.【答案】【解析】【分析】本题考查由函数的最值求参，属于较难题.根据题意，讨论，求得时，取得最小值 0 ，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围.【解答】解：当时，，当时，取得最小值 0 ，满足条件；当时，，当时，可得，当时，，，当时，，当时，取得最小值0，此时；当时，，由题意可得恒成立，不满足.则m的取值范围为 .故答案为：17.【答案】解：因为，，根据并集、补集的概念可得，或，或，所以，或 .若，则，解得，若，则，且或，解得，所以实数a的取值范围是 .【解析】本题考查集合的运算，属于中档题.根据集合A、B利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果.分集合C为空集和C不为空集两种情况分类讨论，利用交集运算的概念得到a的范围.18.【答案】解：，时，，解集为时，不等式无解；时，，解集为时，不等式为，解集为；时，不等式的解集为或，综上，时，不等式的解集是；时，不等式的解集是或；时，不等式的解集是；时，不等式无解；时，不等式的解集是【解析】本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，解题关键在于对参数的分类讨论，注意参数的正负情况对于解集的影响，属于中档题.分类讨论，进行求解即可.19.【答案】解：因为，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，得，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为1，即，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，即，由题可得，令，则，故 .对任意，，则恒成立，因为a为正数，所以所以，此时，所以，当时，等号成立，此时成立，所以的最大值为第11页，共11页【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式恒成立问题，属于难题.利用基本不等式结合已知可求得，则 ，从而可求出 n 的值，再结合完全平方公式可求出 m ；令，则 ，得 ，根据 时， ，求得 的关系，从而可得 的取值范围，根据 取最大值的的值检验不等式 恒成立，即可求得结果.。
天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试卷
答案第31 页，共22 页
【详解】设{an
-
n}
的公比为
q
，则
q
=
a2 a1
-2 -1
=
11- 2 4 -1
=
3
，
所以 an - n = (a1 -1) × qn-1 = (4 -1) ×3n-1 = 3n ，则 an = n + 3n ，
所以 a4 = 4 + 34 = 85 ，
所以落在区间[4,85] 内的偶数共有 41 个，故t (a4 ) = 41 .
11．在
æ çè
3x2
-
2 x
ö5 ÷ø
的展开式中，
x
的系数是
．
三、双空题
12．已知直线 l : y = kx - 2(k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 相切，且被圆 x2 + ( y + a)2 = 4(a > 0) 截
得的弦长为 2 3 ，则 k = ； a = ．
四、填空题
13．锐角a
(2)求数列{anbn} 的前 n 项和 Sn ；
å (3)若数列{dn} 满足 d1 = 1 ， dn + dn+1 = bn ，记Tn =
n
dk
m ．是否存在整数 ，使得对
b k =1 2k
任意的 n Î N * 都有1 £
mTn
-
dn b2n
<
m 2 成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
故选：C. 9．B
【分析】根据三角函数的变换规则求出 g ( x) 的解析式，再根据正弦函数的性质判断
A、C、D，利用诱导公式判断 B.
天津市南开区南开中学20192020学年高三下学期第五次月考数学试题
绝密★启用前天津市南开区南开中学2019-2020学年高三下学期第五次月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}11A x x =-<，{}1B x x =<，则() RB A 等于（ ）A ．{}1x x ≥ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤< D ．{}12x x <≤2．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线l m 、，平面αβ、，且,l m αβ⊥⊂，给出下列四个命题： （1）若//αβ，则l m ⊥ （2）若l m ⊥，则//αβ （3）若αβ⊥，则//l m （4）若//l m ，则αβ⊥ 其中正确命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知圆222220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，则实数a 的值是（ ) A ．－3B ．－2C ．－1D ．－4…………○…………装…………※※请※※不※※要※※在※※装…………○…………装…………5．已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()()4f x f x x R =-∈，且当2x >时()f x 为增函数，记()0.51.1a f =，()1.10.5b f =，0.51log 16c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<6．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()f x 的图象向左平移12π个单位以后得到一个偶函数，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 7．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()3,,16OP OA OB R λμλμλμ=+∈=，则该双曲线的离心率为( )○…………___○…………A ．2B C D ．989．如图，在等腰梯形ABCD 中，3BC =，45C ∠=︒，高为a ，E 为AD 的中点，P 为折线段C D A --上的动点，设BE BP ⋅的最小值为()f a ，若关于a 的方程()1f a ka =-有两不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．711,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．)+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题10．已知i 为虚数单位，若复数21m ii+-为纯虚数，则实数m =______. 11．设二项式()60x a ⎛> ⎝的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是______.12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________． 13．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，a n >0，若6325S S －＝，则96S S －的最小值为________. 三、双空题14．若正实数,a b 满足()2216a b ab +=+，则21aba b ++的最大值为______，此时a b +=______.15．6名同学报考A 、B 、C 三所大学，每人只能从这三所大学中选一所大学作为第一志愿学校.假设每位同学选择哪所大学是等可能的.若每所院校至少有一人报名，则共有______种不同的报名方法；若六名同学完全根据个人兴趣自由报考，则每所大学恰好均有两人报考的概率为______. 四、解答题16．冠状病毒是目前已知RNA 病毒中基因组最大的一个病毒家族，可引起人和动物的呼吸系统、消化系统、神经系统等方面的严重疾病.自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID -19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.筛查时可先通过血常规和肺部CT 进行初步判断，若血液中白细胞、淋巴细胞有明显减少或肺部CT 有可见明显磨玻璃影等病毒性肺炎感染症状则为疑似病例，可再通过核酸检测做最终判断，现A 、B 、C 、D 、E 五人均出现了发热咳嗽等症状，且五人发病前14天因求学、出差、旅行、探亲等原因均有疫区旅居史.经过初次血液化验已确定其中有且仅有一人罹患新冠肺炎，其余四人只是普通流感，但因化验报告不慎遗失，现需要再次化验以确定五人中唯一患者的姓名，下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患者为止；方案乙：混合检验，先任取三人血样混合在一起化验，若混合血液化验结果呈阳性则表明患者在这3人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若混合血液化验结果呈阴性，则在另外2人中任选一人进行化验.假设在接受检验的血液样本中每份样本是阳性结果是等可能的，且每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的. （1）求依方案甲所需化验次数X 不少于依方案乙所需化验次数Y 的概率； （2）求Y 的期望.17．如图：在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11CA CB CC ===，D 是棱1BB 上一点，P 是1C D 的延长线与CB 的延长线的交点，且//AP 平面1A CD .………线…………○……………线…………○……（1）求证：1BD B D =；（2）求二面角11C A D C --的正弦值；（3）若点E 在线段AP 上，且直线1A E 与平面1A CD 所成的角的正弦值为7，求线段AE 的长.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，以椭圆的顶点为顶点的四边形的面积为. （1）求椭圆的方程；（2）设AB 是过椭圆中心的任意一条弦，直线l 是线段AB 的垂直平分线，若M 是直线l 与椭圆的一个交点，求ABM 面积的最小值. 19．已知数列{}n a 满足：13a =，()*132n n na a n N a +-=∈. （1）设12n n n a b a -=-，求证数列{}n b 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()12n n n c a a +=-，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求证：2n S <； （3）设()22n n x na =-，求1n n x x +的最大值.20．已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=1x xe ．- （a ∈R ，e 为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值；f（x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案1．C 【解析】 【分析】解出集合A ，B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}02A x x =<<，{}1B x x =<； {|1}R B x x ∴=≥；(){} 12RB A x x ∴⋂=≤<．故选：C ． 【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，以及绝对值不等式的解法，属基础题. 2．B 【解析】 【分析】先由两直线垂直求出m 的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直， 则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ，即(2)(42)0+-=m m ，解得2m =-或12m =； 因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”，反之不能推出， 所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型. 3．B【解析】 【分析】根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于命题（1），由于,//l ααβ⊥，所以l β⊥，进而l m ⊥，故（1）正确.对于命题（2），如图所示，,l m αβ⊥⊂，l m ⊥，但α与β相交，故（2）错误.对于（3），如图所示，,l m αβ⊥⊂，αβ⊥但l 与m 不平行，故（3）错误.对于（4），如图所示，由于,l m αβ⊥⊂，//l m ，故m α⊥，根据面面垂直的判定定理可知αβ⊥，故（4）正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】 【详解】圆心为()1,1-==2a ==-，故选B .5．D 【解析】 【分析】先比较0.51.1, 1.10.5,0的大小，然后由函数的单调性得出结论． 【详解】∵数()y f x =满足()()()4f x f x x R =-∈，∴()f x 的图象关于直线2x =对称，又2x >时，()f x 递增，所以2x <时，()f x 递减，0.51(log )(4)(0)16f f f ==， 由指数函数性质得0.5 1.12 1.110.50>>>>，所以0.51.1(1.1)(0.5)(0)f f f <<，即a b c <<． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的对称性、单调性，考查指数函数的性质与对数的运算．掌握指数函数的性质与函数的对称性是解题关键． 6．B 【解析】 【分析】根据已知求出函数解析式，然后判断各选项是否正确． 【详解】 由已知22T π=，T π=，22T πω==，()sin(2)f x x ϕ=+，向左平移12π个单位后得()sin 2()sin 2126g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 它为偶函数，则,62k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，117352,[,]36322x πππππ⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎣⎦，B 正确； 77()sin 2112123f πππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，因此712x π=是对称轴， 7,012π⎛⎫⎪⎝⎭不是对称中心，C 错； 771()sin 2121232f πππ⎛⎫-=-⨯+=- ⎪⎝⎭， 712x π∴=-不是对称轴，D 错． 故选：B ． 【点睛】本题考查由三角函数的图象与性质得函数解析式，考查正弦型函数的周期性、单调性、对称性，掌握正弦函数的性质是解题关键． 7．D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4xy x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D. 8．C 【解析】由方程得渐近线，可得A ，B ，P 的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=b c，解之可得λμ的值，由λμ=316，可得a ，c 的关系，从而可得离心率． 【详解】双曲线的渐近线为：y=±ba x ，设焦点F （c ，0），则A （c ，bc a ），B （c ，﹣bc a），P （c ，2b a）， ∵(),OP OA OB R λμλμ=+∈，∴（c ，2b a）=（（λ+μ）c ，（λ﹣μ）bc a ）， ∴λ+μ=1，λ﹣μ=b c，解得λ=2c bc+，μ=2c b c -，又由λμ=316，得2c b c +×2c b c -=316，解得2234a c =,∴e=c a 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈得到λ=2c bc+，μ=2c b c -.9．A 【解析】 【分析】先以B 为坐标原点，BC 为x 轴，建立直角坐标系，设P 的横坐标为x ，将BE BP ⋅用x 表示分段表示出来，再求最小值()f a ，再对()1f a ka =-有两不等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求出a 的取值范围. 【详解】解：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，建立直角坐标系如图所示:则3(,)2E a ，BM QC a ==，32MQ a =-，302a <<， 设P 的横坐标为x ，则3a x ≤≤当3a x a ≤<-时，P 在AD 上动，(,)P x a ，则BE BP ⋅232x a =+ 当x a =时，BE BP ⋅的最小值()232f a a a =+； 当33a x -≤≤，时，P 在CD 上动，则(,3)P x x -，则BE BP ⋅3(3)2x x a =+-3232a x a -=+， 当3x a =-时，BE BP ⋅的最小值()23922f a a a =-+又23()2a a +-239()22a a -+9302a =-<，故()232f a a a =+，3(0,)2a ∈，又()1f a ka =-有两不等实根，则2312a a ka +=-在3(0,)2a ∈有两不等实根，则132k a a =++在3(0,)2有两不等实根，则y k =与y =132a a ++，3(0,)2a ∈有两个交点.当1a =时，y =132a a ++有最小值为72，当0a →时，y →+∞，当32a →时，113y →，则y =132a a ++，3(0,)2a ∈的图象如图所示，即方程()1f a ka =-有两不等实根有：71123k <<. 故选：A 【点睛】本题考查了平面向量及应用，方程根的存在性及个数判断，是方程、向量、不等式的综合应用，还考查了分析推理能力，运算能力，分类讨论思想，数形结合思想，难度较大. 10．2 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解． 【详解】 解：2(2)(1)221(1)(1)22m i m i i m mi i i i +++-+==+--+是纯虚数， ∴2020m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =．故答案为：2． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 11．2 【解析】 【分析】先求二项展开式的通项公式，求出,A B ，再由4B A =，求出a . 【详解】二项式()60x a⎛> ⎝展开式的通项公式为616r rr r T x C -+=⋅， 化简得()36216,r rrr T a C x-+=-⋅令2r，得展开式中3x 的系数为222615;A C a a ==令4r =，得展开式中常数项为444615,B C a a ==由4B A = 可得2415415a a =⨯.又0a >，所以2a =. 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二项展开式，利用通项公式求出指项项的系数是解决此类问题的关键，属于基础题. 12．8 【解析】 试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.13．20 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则由a n >0得q >0，S n >0. 又S 6－2S 3＝(a 4＋a 5＋a 6)－(a 1＋a 2＋a 3)＝S 3q 3－S 3＝5，则S 3＝351q -， 由S 3>0，得q 3>1，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝S 3q 6＝633655111q q q q=--， 令31q ＝t ，t ∈(0，1)，则3611q q -＝t －t 2＝－2111(t )0,244⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦， 所以当t ＝12，即q 3＝2时，3611q q -取得最大值14，此时S 9－S 6取得最小值20.故答案为20.点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法： （1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用11{n n n n a a a a +-≥≥或11{n n n n a a a a +-≤≤；（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解. 14．1632【解析】 【分析】应用基本不等式化ab 为2a b +的形式，然后可得2a b +的最大值，21aba b ++用已知条件代入化简后可得最大值．利用取最大值的条件可得+a b ． 【详解】22(2)(2)16134a b a b ab ++=+≤+⨯，解得2(2)4a b +≤，即22a b +≤，当且仅当2a b =时等号成立，2a b +最大值为2，所以21(2)116(21)21216a b ab a b a b a b ⎡⎤+-⎣⎦==+-++++的最大值为11(21)66⨯-=． 由2b a =代入已知得22(4)112a a =+，12a =（∵0a >），从而21b a ==，32a b +=．故答案为：13;62．【点睛】本题考查用基本不等式求最值．本题中不是直接应用基本不等式求得最值，而是应用基本不等式把已知等式转化为不等式，然后解不等式得出最值． 15．540 16【解析】 【分析】按照各大学报名人数分三类：114,123,222，然后用大学选人的方法求解．按照各大学报名人数分三类．一所大学报4人，其余各1人，有方法数14236290C C A =种，一所大学报3人，一所2人一所1人，有方法数123653360C C A =种，三所学校各2人，222364233390C C C A A ⨯=种，共有90＋360＋90＝540种，每所大学恰好均有两人报考的概率为9015406P ==． 故答案为：540；16． 【点睛】本题考查排列组合的应用，解题中涉及到分组分配问题，其中人数为321的分组是组间有区别的分组，人数为222的分组是组间无区别的分组，解题时要注意区别． 16．（1）1825；（2）125.【解析】 【分析】（1）先分析得到X 所有可能的值为1,2,3,4，Y 所有可能的值为2,3，并求X ，Y 分别取每个值时概率，再求()P X Y ≥；（2）列出随机变量Y 的分布列，求出Y 的期望. 【详解】（1）X 所有可能的值为1,2,3,4，Y 所有可能的值为2,3,14115411(1),(2)55C P X P X C C =====⋅114311154312(3),(4)55C C P X P X C C C ⋅=====⋅⋅，若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：234331531661134535C A A A ⨯⨯=⨯=⨯⨯ ②先验三只结果为阴性,再从其它两只中验出阳性(无论第二次试验中有没有,均可以在第二314232522425345A A A A ==⨯⨯ ∴乙只用两次的概率为123555+=. 若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好二次验中概率为在三次验出时概率为25(2)P Y =35=，()235P Y == ()P X Y ≥()()()()2,3,423,43P X P Y P X P Y ==⋅=+=⋅= 433218555525=⋅+⋅= （2）()325P Y ==，()235P Y ==，所以Y 的分布列为∴()321223555E Y =⋅+⋅= 【点睛】本题考查了随机事件的概念计算，独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列与期望，还考查了学生的阅读理解能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2；（3【解析】 【分析】（1）连结1AC ，设11AC A C O ⋂=，连结OD ，由//AP 平面1A CD ，利用线面平行的性质，可得//AP OD ，由O 是1AC 的中点，证得D 为1BB 的中点；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求二面角11C A D C --的正弦值；（3）在第二问的基础上，设AE AP λ=，根据直线1A E 与平面1A CD 所成的角的正弦值，求出λ，求出线段AE 的长 【详解】（1）连结1AC ，设11AC A C O ⋂=，连结OD ∵//AP 平面1A CD ，AP ⊂平面1APC ，平面1APC 平面1A CD OD =，∴//AP OD .∵O 为正方形11A ACC 的中心，∴1C O OA =.∴1C D DP =. ∵11//C B CP ，∴1B D BD =.（2）以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，如图建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,2,0P ，()11,0,1A ，()10,0,1C ，10,1,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭设平面1A CD 的法向量为()1,,n x y z =，又11(1,0,1),(0,1,)2CA CD ==则111012n CA x z n CD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，得()12,1,2n =-， 设平面11AC D 的法向量为()2,,n x y z =，又1111(1,0,0),(0,1,)2A C C D =-=-则则21121012n AC x n C D y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，得()20,1,2n =， ∴121212cos ,5n n n n n n ⋅==⋅.∴21212sin ,1cos ,5nn n n =-==. ∴二面角11C A D C --.（3）设()()1,2,0,2,0AE AP λλλλ==-=-，其中01λ≤≤ ∴()()()110,0,1,2,0,2,1A E A A AE λλλλ=+=-+-=--∵11111114cos ,A E n AE n A E n ⋅==⋅=∴13λ=，13AE AP ==. 【点睛】本题考查了线面平行的性质，利用空间向量坐标运算解决二面角，线面角问题，还考查了学生空间想象能力，运算能力，属于中档题. 18．（1）22:18x C y +=；（2）169. 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出,a b 的方程组，解得,a b 后得椭圆方程；（2）当AB 不在坐标轴上时，设直线AB 的方程为：ykx =，设()11,A x y ，()22,M x y 代入椭圆方程求出交点坐标，得弦长，同理得M 点坐标得OM ，然后计算三角形面积，利用基本不等式得最小值．再求出直线l 与坐标轴重合时，三角形的面积，比较后可得最小值．【详解】（1）12221a b a b ab ⎧⋅⋅=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩∴椭圆的标准方程为22:18x C y +=（2）当AB 不在坐标轴上时，设直线AB 的方程为：y kx =，设()11,A x y ，()22,M x y2122288881y kx x x y k =⎧⇒=⎨+=+⎩，12AB x == 同理：222288k x k =+，OM =∴21122ABMS AB OM =⋅⋅=⋅=△()()()2228189122k k k +++≤=+ （当且仅当22818k k +=+，即1k =±进“=”成立）∴()()2281169912ABMk S k +≥=+△，当直线l 与坐标轴生重合时，易得ABM S=△ ∵169>∴当且仅当1k =±时，AMB 面积的最小值为169. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中三角形面积问题，本题中由于直线是过原点的，因此可设出直线方程后代入椭圆方程求出交点坐标，得出弦长．否则一般用设而不求的思想方法求解．19．（1）证明见解析；12121n n n a +-=-；（2）证明见解析；（3）127.【解析】 【分析】（1）把已知递推关系132n n na a a +-=代入11112n n n a b a +++-=-得{}n b 的递推关系，同时说明10b ≠即证，求出n b 后可得n a ； （2）由（1）得121n nc =-，用放缩法111(2)212n n n c n -=<≥-，然后可求得和n S ，证明出结论；（3）求出n x ，设1n n n y x x +=，作商1n n y y +，再对化简后的1n ny y +的分子分母作差，可知12y y <，当2n ≥时，{}n y 单调递减，从而得最大值． 【详解】（1）()111321211232222n n n nn n nn n na a a ab b a a a a +++----====---- ∵1111202a b a -==≠- ∴{}n b 为等比数列，且2q，则122n n n n a b a -==- ∴12121n n n a +-=-（2）()12111121212111222121212121n n n n n n n n n n nc a a ++++++⎛⎫---=-=⋅-=⋅= ⎪-----⎝⎭∵111111212212n n n n n c ---==≤-+-（当且仅当1n =时“=”成立）∴111121221212n n n S -⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≤=-<- （3）()122221222121n n n n n n x n a n +⎛⎫-=-=-= ⎪--⎝⎭，设1n n n y x x += ()()()()()22112222221221221*2121nn n n n n n n n n n nn n y x x x y x x x n n ++++++++-+-===⋅=-- ()()()()()()22221221322241n n n n n n n n +--+-=+-++()**当1n =时，21917y y =>，21y y > 当2n ≥时，()**0>，∴101n ny y +<<，{}n y 单调递减， ∴*n N ∀∈，()223max 4912377n y y x x ===⋅=，即1n n x x +的最大值为127.【点睛】本题考查由数列的递推关系证明等比数列，考查用放缩法估计数列的和证明数列不等式，考查用数列的单调性求数列的最大项．在证明与和n S 有关的不等式时，一般先求出和n S ，如果不能直接求和，那么可以采取用放缩法后能够求和，从而证明结论．求数列的最大或最小项，可以先研究数列的单调性，数列单调性的判断可用作差法或作商法．20．(1) f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；(2) 函数f （x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是3(,2]1e -∞--. 【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f′（x ），令f′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增区间，令f′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间；（Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，12）上无零点，只需要对x ∈（0，12）时f （x ）＞0恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；（Ⅲ）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．试题解析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2．故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2）因为f（x）＜0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f（x）＞0恒成立，即对恒成立．令，则，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l（x）＞0，于是l（x）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（3）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]当x=时，f′（x）=0．由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故，即①此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：（0，）（，e]又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞，，所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即令h（a）=，则h，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．所以，对任意，有h（a）≤h（0）=0，即②对任意恒成立．由③式解得：．④综合①④可知，当a的范围是3,21e⎛⎤-∞-⎥-⎝⎦时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使f（x i）=g（x0）成立．。
2020年高考数学【真题母题解密】比较大小（天津卷）（解析版）
『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题06比较大小【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设，则的大小关系为（）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c <<b c a <<c a b<<【答案】D【试题解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.,,a b c 【详解】因为，，，0.731a =>0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.故选：D.1c a b <<<【命题意图】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点．考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幂函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.1．【2020·天津九校高三下学期4月联考】设，，则（）．0.5log 0.8a = 1.10.8b log =0.81.1c =A. B. b a c <<b c a <<C. D. a b c <<a c b<<【答案】A 【解析】【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较，易得，，，所以.0a 1<<b 0<c 1>b<a<c 【详解】解：因为0.50.50.50log 1a log 0.8log 0.51=<=<=所以 故选A1.1 1.1b log 0.8log 10=<=0.80c 1.1 1.11=>=b<a<c 【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.2．【2020·天津市北辰区高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.3．【2020·天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试】已知函数的定义域为，且函数()y f x =(),ππ-的图象关于直线对称，当时，（其中是()2y f x =+2x =-()0,x π∈()ln 'sin 2f x x f xππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'f x 的导函数），若,,，则的大小关系是（ ）()f x ()log 3a f π=13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c A B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>b c a>>【答案】D 【解析】【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在()'f x '2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x ()'f x ()f x 上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇()0,π13log 32ππ、、()f x 偶性与单调性可得结果.【详解】，，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()''cos 2f x f xx ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2cos f x xx π=-当时，；当时，，2x π≤<π()2cos 0,'0x f x ≤>02x π<<()2,2cos 2,'0x f x x π><∴>即在上递增，的图象关于对称，()f x ()0,π()2y f x =+ 2x =-向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，()2y f x ∴=+()y f x =y 即为偶函数，，，()y f x =()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0log 1log 3log 1ππππ=<<=，即，，1103212πππ=<<<130log 32πππ<<<<()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭即.故选D.b c a >>【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，()1f x ()2f x ()n f x ()f x ()1f x ，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．()2f x ()n f x 4．【2020·天津市滨海新区三校2020届高三高考数学5月份模拟】已知奇函数f （x ）在R 上是减函数，若a ＝﹣f （1og 3），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】B【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．解：奇函数f （x ）在R 上是减函数，∵log 34∈（1，2），0，2﹣0.8∈（0，1），∵a ＝﹣f （1og 3）＝f （log 34），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8）＝f （），则a ＜c ＜b ，故选：B ．5．【2020·天津市部分区2020届高考二模】已知，，，则，，的大小3log 0.3a =0.3log 2b =0.23c =a b c 关系是（ ）A B. C. D. a b c >>b c a>>c b a >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得解.10a b c <-<<<【详解】由题意，，，331log 0.3log 13<=-0.30.30.3log log 2lo 1013g 10=<<-=0.20331>=所以.10a b c <-<<<故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.6．【2020·天津市第一百中学2020届高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在()f x R 上单调递增，则三个数，，的大小关系为[)0,∞+()3log 13a f =-121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.62c f =A. B. a b c >>a c b >>C. D. b a c >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调()3log 13a f =性得到的大小关系.,,a b c 【详解】；，3332log 9log 13log 273=<<=1221log log 838==0.610222<<=即：为偶函数 0.6312102log 13log 8<<<()f x ()()33log 13log 13a f f ∴=-=又在上单调递增，即()f x [)0,+∞()()0.61321log log 1328f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭b a c>>本题正确选项：C【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.7．【2020·天津市第一中学2020届高三下学期第四次月考】已知奇函数，且在()f x ()()g x xf x =上是增函数.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为[0,)+∞2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =A. B. C. D. a b c <<c b a<<b a c<<b c a<<【答案】C【解析】【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，()f x ()()g x xf x =R [0,)+∞，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又，则，所以即，0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<所以，故选C ．b ac <<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．【2020·天津市东丽区耀华滨海学校高三年级上期第二次统练】已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c a b<<b c a<<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较0,a c 1,b c【详解】则．故选B ．22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.9．【2020·天津市和平区2020届高三高考二模】已知：，，，则a ，b ，c 的11ln 4a =113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭11log 3e c =大小关系为（ ）A. B. C. D. c a b >>c b a>>b a c>>a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的性质求解.【详解】因为，，11111ln ln log ln 343e e a c =<=<==1111033eb ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=所以a ，b ，c 的大小关系为.c a b >>故选：A【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题.10．【2020·天津市河北区高三高考数学一模】已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【答案】C 【解析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1log 3log 37，结合函数的单调性分析可得答案．根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1log 3log 37，则有c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．11．【2020·天津市河北省区2019届高三总复习质量检测】.已知，则13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，的大小关系为（ ）,,a b c A. B. C. D. a c b <<b a c<<c a b<<a b c<<【答案】A 【解析】【分析】容易得出，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大01,a <<12,12b c <<<<小.【详解】解：，，，所以.故选A.1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 01a ∴<<244log 3log 9log 71b c ==>=>b c a >>【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.12．【2020·天津市红桥区2020届高三高考二模】已知，，，则（ ）131log 2a =121log 3b =32log 3c =A. B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>a c b>>【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数单调性得到，，，得到答案.01a <<l b >0c <【详解】，，，111333110log 1log log 123a =<=<=112211log log 132b =>=332log log 310c =<=故.b a c >>故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.13．【2020·天津高三一模】已知函数．若，，()25x f x x =+131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3log b f =．则a ，b ，c 的大小关系为（）()0.26c f =A. B. C. D. a b c >>a c b>>c a b>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判13310log log 12<<<0.261>断出结果.【详解】因为，，113333310log 1log log log lo 2g 312=<=<<=0.261>函数与都是增函数，所以也是增函数，2xy =5y x =()25x f x x =+因此，即.故选：D.(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭c b a >>【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.14．【2020·天津市六校高三上学期期初检测】已知，，，则，，的大ln a π=lg125b =0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c 小关系是（ ）A. B. a b c >>b a c >>C. D. 以上选项都不对c a b >>【答案】B 【解析】【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.,,a b c 【详解】由题得，2ln ln ln 2e a e π<=<=所以.12a <<,2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭所以.b a c >>故选：B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【2020·天津市南开区南开中学高三下学期第一次月考】设，则0.231012143a b og c lg =-==，，a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. a c b<<b c a<<c a b<<c b a<<【答案】A 【解析】【分析】判断每个数的大致范围再分析即可.【详解】,,0.2221,0a >=∴< 331031,13log log b >=∴> ,,故选：A ．1410,01lg lg lg c <<∴<< a c b ∴<<【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.16．【2020·天津高三一模】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．17．【2020·天津南开中学高三月考】已知奇函数在上是增函数，若，()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，则的大小关系为()()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c<<c b a<<c a b<<【答案】C 【解析】由题意：，且：，()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<据此：，结合函数的单调性有：，0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>即.本题选择C 选项.,a b c c b a >><<【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.18．【2020·天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试（】已知定义在R 上的奇函数满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则(2)()f x f x +=-ln 2a =121(4b -=12log 2c =的大小关系为（ ）(),(),()f a f b f c A. B. ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C. D. ()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数()f x (2)()f x f x +=-()f x [1,0]-性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小．()f x [0,1][1,1]-[1,1]-【详解】设，则，又在上递减，1210x x -≤<≤121222x x ≤+<+≤()f x [1,2]∴，而，，∴，即12(2)(2)f x f x +>+11(2)()f x f x +=-22(2)()f x f x +=-12()()f x f x ->-，∴在是递增，12()()f x f x <()f x [1,0]-∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，()f x ()f x [0,1][1,1]-(0)0f =，，，，ln 2(0,1)a =∈121()24b -==12log 21c ==-()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==∴由得，即．10ln 2-<<(1)(0)(ln 2)f f f -<<()()()f c f b f a <<故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常(2)()f x f x +=-()f x [1,0]-规解法，确定出上单调性，转化比较大小[1,1]-19．【2020·天津和平区高三第三次质检】设正实数分别满足，则,,a b c 2321,log 1,log 1a a b b c c ⋅===的大小关系为( ),,a b c A. B. C. D. a b c >>b a c>>c b a>>a c b>>【答案】C 【解析】【分析】把看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比,,a b c 较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c ab c ===作出函数的图象，它们与函数图象的交点的横坐标分别为，232,log ,log xy y x y x ===1y x =,,a b c 如图所示，易得.故选C.c b a >>【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.20．【2020·天津市芦台一中2020届高三年级第二次模拟】已知定义在R 上的函数的图象关于()f x 1-对称，且当时，单调递减，若，，，则x 1=x 0>()f x ()0.5a f log 3=()1.3b f 0.5-=()6c f 0.7=a ，b ，c 的大小关系是 ()A. B. C. D. c a b >>b a c>>a c b>>c b a>>【答案】A 【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.0x >0x >()f x 【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，R ()1f x -1x =()f x ∵，∴，∴，，0.50.5log 3log 10<=()()0.52log 3log 3f f =2221log 2log 3log 42=<<= 1.31.30.522-=>．∵当时，单调递减，∴，故选A ．600.71<<0x >()f x c a b >>【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小。
2019-2020学年天津市南开中学高三第二学期第四次月考数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期第四次月考数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B＝{x∈Z|x2≤4x}，则∁R A∩B＝（）A．{x|0≤x≤3}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2}2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，若，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b4．函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．5．数列{a n}满足：a n+1＝λa n﹣1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{a n﹣1}是等比数列，则λ的值等于（）A．1B．﹣1C．D．26．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A，B两点，且△OAB的面积为6（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．设e1．e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•＝0，则+的值为（）A．B．1C．2D．48．已知函数的图象过点，且在上单调，把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．﹣1D．19．已知函数f（x）＝|x3+a|，a∈R在[﹣1，1]上的最大值为M（a），若函数g（x）＝M（x）﹣|x2+t|有4个零点，则实数t的取值范围为．（）A．（1，）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）二、填空题（共6小题）10．若z是复数，z＝，则z•＝．11．二项式（）n的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．则展开式中项的系数是．12．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为．13．在平行四边形ABCD中，||＝2，||＝4，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于H，则•的值是．14．已知实数x，y满足x2+y2＝3，则+的最小值为．15．已知函数，函数g（x）＝f（x）﹣kx+1有四个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题（共5小题；共75分）16．某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．（Ⅰ）求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；（Ⅱ）求“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的分布列及其数学期望．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，PA＝AB，AB ＝2，AD＝，CD＝1．（1）证明：BD⊥PC；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求|OA|cos ∠OAB+的最大值．19．已知数列{a n}满足．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）记，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）＝lnx﹣mx，m∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）证明：m＝0时，e x＞f（x+2）（Ⅲ）若函数g（x）＝（x﹣e）f（x）有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3且的最大值是e2，证明：x1x3．参考答案一、选择题（共9小题；共45分）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B＝{x∈Z|x2≤4x}，则∁R A∩B＝（）A．{x|0≤x≤3}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2}【分析】根据题意，解x2﹣2x﹣3＞0可得集合A，由补集的意义可得∁R A＝{x|﹣1≤x≤3}，解x2≤4x可得集合B，由交集的意义计算∁R A∩B即可得答案．解：根据题意，x2﹣2x﹣3＞0⇒x＜﹣1或x＞3，则A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，则∁R A＝{x|﹣1≤x≤3}，x2≤4x⇒0≤x≤4，B＝{x∈Z|x2≤4x}＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0，1，2，3，4}，则∁R A∩B＝{0，1，2，3}；故选：C．2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q⇒p，反之不成立．即可得出．解：由q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，若，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】根据题意，由偶函数的定义可得函数f（x）为偶函数，结合偶函数的性质可得a＝f（2cos）＝f（2cos）＝f（1），b＝f（）＝f（log24.1），进而分析可得f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由1＜20.8＜2＜log24.1，据此分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，a＝f（2cos）＝f（2cos）＝f（1），b＝f（）＝f（log24.1）c＝f（20.8），又由函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，且1＜20.8＜2＜log24.1，则a＜c＜b；故选：A．4．函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得f（x）的一个增区间．解：对于函数＝3cos（﹣2x）＝3cos（2x﹣），令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，令k＝1，可得选项A正确，故选：A．5．数列{a n}满足：a n+1＝λa n﹣1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{a n﹣1}是等比数列，则λ的值等于（）A．1B．﹣1C．D．2【分析】把已知数列递推式变形，由数列{a n﹣1}是等比数列求得λ的值．解：由a n+1＝λa n﹣1，得．由于数列{a n﹣1}是等比数列，∴，得λ＝2，故选：D．6．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A，B两点，且△OAB的面积为6（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得双曲线的c，由三角形的面积公式可得A 的坐标，由双曲线的定义可得a，进而得到b，可得双曲线的方程．解：抛物线y2＝8x的焦点F为（2，0），可得双曲线的焦点分别为）﹣2，0），（2，0），抛物线的准线为x＝﹣2，由△OAB的面积为6，可得•2|AB|＝6，即|AB|＝6，可设A（2，3），可得A到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为|﹣3|＝2，即2a＝2，可得a＝1，由b＝＝＝，可得双曲线的方程为x2﹣＝1．故选：D．7．设e1．e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•＝0，则+的值为（）A．B．1C．2D．4【分析】椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设PF1＝m，PF2＝n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，写出两个曲线的离心率，代入要求的式子得到结果．解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设PF1＝m，PF2＝n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n＝2a1m﹣n＝2a2解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2又⊥，由勾股定理得PF12+PF22＝F1F22（a1+a2）2+（a1﹣a2）2＝（2c）2化简可得a12+a22＝2c2+＝2故选：C．8．已知函数的图象过点，且在上单调，把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．﹣1D．1【分析】利用正弦函数的周期性和单调性，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得x1+x2的值，可得f（x1+x2）的值．解：∵函数的图象过点，∴2sinφ＝，∴φ＝．f（x）在上单调，∴•≥﹣，∴0＜ω≤3．把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k•＝π，k∈Z，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+）．当且x1≠x2时，2x+∈（，3π），若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝2•＝5π，f（x1+x2）＝2sin（10π+）＝2sin＝，故选：B．9．已知函数f（x）＝|x3+a|，a∈R在[﹣1，1]上的最大值为M（a），若函数g（x）＝M（x）﹣|x2+t|有4个零点，则实数t的取值范围为．（）A．（1，）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）【分析】根据条件求出函数M（a）的表达式，然后由g（x）＝0得M（x）＝|x2+t|，利用函数g（x）＝M（x）﹣|x2+t|有4个零点，建立条件关系即可求出t的取值范围．解：当a＝0时，f（x）＝|x3+a|＝|x3|为偶函数，此时最大值为M（a）＝M（﹣1）＝M （1），当a＞0时，函数在[﹣1，1]上的最大值为M（a）＝f（1）＝|1+a|＝a+1，当a＜0时，函数在[﹣1，1]上的最大值为M（a）＝f（﹣1）＝|﹣1+a|＝1﹣a，即M（a）＝．∴M（x）＝．由g（x）＝M（x）﹣|x2+t|＝0得M（x）＝|x2+t|，设函数M（x），m（x）＝|x2+t|，作出两个函数的图象如图：①若t≤0，要使g（x）＝M（x）﹣|x2+t|有4个零点，则两个图象的交点个数有4个，此时满足m（0）＞M（0），即|t|＞1，解得t＜﹣1．②若t＞0，则m（x）＝|x2+t|＝x2+t，当抛物线过点（0，1）时，t＝1．当抛物线与直线相切时，当x＞0时，由，此时x2﹣x+（t﹣1）＝0，由判别式△＝1﹣4（t﹣1）＝5﹣4t＝0，解得t＝．要使g（x）＝M（x）﹣|x2+t|有4个零点，则两个图象的交点个数有4个，此时满足1．综上t＜﹣1或1．故选：C．二、填空题（共6小题；共30分）10．若z是复数，z＝，则z•＝．【分析】由商的模等于模的商，结合求解．解：∵z＝，∴z•＝|z|2＝＝．故答案为：．11．二项式（）n的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．则展开式中项的系数是．【分析】由二项式定理及展开式的通项公式得：T r+1＝（）10﹣r（﹣）r＝（﹣1）r22r﹣10x，令＝得：r＝3，即展开式中项的系数是（﹣1）32﹣4＝﹣，得解．解：因为二项式（）n的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．所以展开式共有11项，则n+1＝11，即n＝10，则二项式（）10的展开式的通项为T r+1＝（）10﹣r（﹣）r＝（﹣1）r22r ﹣10x，令＝得：r＝3，即展开式中项的系数是（﹣1）32﹣4＝﹣，故答案为：﹣．12．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为．【分析】根据中位数的公式代入即可．解：设中位数为a，则0.02×4+0.08×4+（a﹣10）×0.09＝0.5，解之得a＝，故答案为为：．13．在平行四边形ABCD中，||＝2，||＝4，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于H，则•的值是．【分析】过点F作BC的平行线交DE于G，计算出GF＝AD，求出和的向量，利用向量数量积的定义和公式计算•即可．解：过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且GF＝EC＝BC∴GF＝AD，则△AHD∽△GHF从而FH＝AH，∴＝，＝+＝＝﹣，则＝＝﹣，＝＝﹣﹣，则•＝（﹣）•（﹣﹣）＝﹣﹣•＝×16﹣×2×4×﹣×4＝﹣﹣＝，故答案为：．14．已知实数x，y满足x2+y2＝3，则+的最小值为．【分析】设（2x+y）2＝m．（x﹣2y）2＝n，可知n+m＝（2x+y）2+（x﹣2y）2＝5（x2+y2）＝15是定值，即可利用基本不等式的性质求解．解：设（2x+y）2＝m，（x﹣2y）2＝n，可知n+m＝（2x+y）2+（x﹣2y）2＝5（x2+y2）＝15，则+＝＝（5+）＝．当且仅当，即n＝2m，也即n＝10，m＝5时取等号．故答案为：15．已知函数，函数g（x）＝f（x）﹣kx+1有四个零点，则实数k的取值范围是．【分析】根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：由g（x）＝f（x）﹣kx+1＝0得kx＝f（x）+1，当x＝0时，0＝f（0）+1＝0+1不成立，即x≠0，则k＝，若g（x）有四个零点，则等价为k＝有四个不同的根，设h（x）＝，则当x＞0时，h（x）＝＝lnx+﹣2，h′（x）＝﹣＝，则当x＞1时，h′（x）＞0，函数为增函数，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，函数为减函数，即此时当x＝1时，h（x）取得极小值，极小值为h（1）＝﹣1，当x→+∞，f（x）→+∞，当x≤0时，h（x）＝＝x++，h′（x）＝1﹣＝，由h′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜﹣1，此时函数为增函数，由h′（x）＜0得﹣1＜x＜0，此时h（x）为减函数，即当x＝﹣1时，h（x）取得极大值，极大值为h（﹣1）＝﹣1﹣1+＝﹣，作出函数h（x）的图象如图：要使k＝有四个根，则满足﹣1＜k＜，即实数k的取值范围是（﹣1，），故答案为：（﹣1，）三、解答题（共5小题；共75分）16．某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．（Ⅰ）求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；（Ⅱ）求“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的分布列及其数学期望．【分析】（Ⅰ）基本事件总数n＝44＝256，恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数m＝＝84，由此能求出恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率．（Ⅱ）“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．解：（Ⅰ）某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．基本事件总数n＝44＝256，恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数m＝＝84，∴恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率p＝＝＝．（Ⅱ）“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ01234PE（ξ）＝+4×＝1．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，PA＝AB，AB ＝2，AD＝，CD＝1．（1）证明：BD⊥PC；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD⊥PC．（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC ﹣D的余弦值．（3）设Q为线段PD上的点，Q（a，b，c），＝λ，0≤λ≤1，求出＝（0，），由平面PAC的法向量＝（，﹣1，0），且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果．解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，PA＝AB，AB＝2，AD＝，CD＝1．∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），D（0，，0），P（0，0，2），C（1，，0），＝（﹣2，，0），＝（1，，0），∴＝0，∴BD⊥PC．（2）解：A（0，0，0），＝（0，0，2），＝（1，，0），设平面APC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，0），平面PCD的法向量＝（1，0，0），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．（3）解：设Q为线段PD上的点，Q（a，b，c），＝λ，0≤λ≤1，则（a，b，c﹣2）＝（0，，﹣2λ），解得，c＝2﹣2λ，∴Q（0，，2﹣2λ），＝（0，），∵平面PAC的法向量＝（，﹣1，0），且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，∴＝＝，解得或λ＝2（舍），∴＝．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求|OA|cos ∠OAB+的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知可得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意可知，k存在，设直线为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y ＝kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得m与k 的关系，结合基本不等式即可得到|OA|cos∠OAB+的最大值．解：（Ⅰ）由题意可得，e＝，a2﹣b2＝c2，bc＝，解得a＝，b＝1，c＝，即有椭圆的方程为+y2＝1；（Ⅱ）由题意可知，k存在，设直线为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），|OA|cos∠OAB+＝|AT|+．将直线y＝kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，由直线l与圆O：x2+y2＝相切，可得，即有4m2＝3（1+k2），|AB|＝•＝•＝•＝•＝•≤•，当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．∴|OA|cos∠OAB+的最大值为2．19．已知数列{a n}满足．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）记，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用已知条件两边同除2n+1，推出数列{b n}是等差数列，然后求解的通项公式．（2）利用数列{b n}的通项公式，求解数列{a n}的通项公式，然后通过错位相减法求和即可．（3）化简通项公式，利用裂项求和求解即可．解：（1）数列{a n}满足，可得：，设，数列{b n}是等差数列，公差为1，首项为1，所以b n＝n；（2）易得，其前n项和：S n＝1•21+2•22+3•23+…+n•2n…①，2S n＝1•22+2•23+…+n•2n+1…②，②﹣①可得：S n＝﹣1﹣22﹣23﹣…﹣2n+n•2n+1∴；（3）＝，＝或写成．20．已知函数f（x）＝lnx﹣mx，m∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）证明：m＝0时，e x＞f（x+2）（Ⅲ）若函数g（x）＝（x﹣e）f（x）有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3且的最大值是e2，证明：x1x3．【分析】（Ⅰ）求导，讨论得出函数的单调性情况，进而求得极值；（Ⅱ）将m＝0代入，构造函数F（x），只需函数F（x）的最小值大于0即可得证；（Ⅲ）显然，x2＝e，且分析可知0＜x1＜e，x3＞e，通过换元，降元可得，进而构造函数得证．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．由已知可得，当m≤0 时，f′（x）≥0，故f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值；当m＞0 时，由f′（x）＞0，解得；由f′（x）＜0，解得，所以函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，f（x）的极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明：令F（x）＝e x﹣f（x+2）＝e x﹣ln（x+2）（x＞﹣2），故只需证明F（x）＞0，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且F′（﹣1）＜0，F′（0）＞0．，故F′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0），，则ln（x0+2）＝﹣x0，当x∈（﹣2，x0）时，F′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＞0，从而当x＝x0时，F（x）取得最小值，故，综上，m＝0时，e x＞f（x+2）；（Ⅲ）证明：∵函数g（x）＝（x﹣e）（lnx﹣mx）有且只有三个不同的零点，显然x＝e是其零点，∴函数f（x）＝lnx﹣mx存在两个零点，即lnx﹣mx＝0有两个不等的实数根，可转化为方程在区间（0，+∞）上有两个不等的实数根，即函数y＝m的图象与函数的图象有两个交点，∵，∴由h′（x0）＞0，解得0＜x＜e，故h（x）在（0，e）上单调递增；由h′（x0）＜0，解得x＞e，故h（x）在（e，+∞）上单调递减；故函数y＝m的图象与的图象的交点分别在（0，e），（e，+∞）上，即lnx﹣mx＝0 的两个根分别在区间（0，e），（e，+∞）上，∴g（x）的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0＜x1＜e，x3＞e，令，则t∈（1，e2]，由，解得，故，令，则，令，则，∴q（t）在区间（1，e2]上单调递增，即q（t）＞q（1）＝0，∴p′（t）＞0，即p（t）在区间（1，e2]上单调递增，即，∴，即x1x3．。
天津市南开中学2024-2025学年高三上学期第二次月考物理试题(含解析)
天津市南开中学高三物理学科第二次月考考试时间：60分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。
考试结束后，将答题卡交回。
Ⅰ卷（选择题共40分）一、单项选择题（共5题，每题5分，共25分）1．用a 、b 两种可见光照射同一光电效应装置，测得光电流与电压的关系图像如图甲所示，图乙为氢原子的能级图。
下列说法正确的是（ ）A ．a 光的频率比b 光的大B ．用a 光照射时，获得的光电子最大初动能较大C ．用大量的光子去照射基态的氢原子可得到6种不同频率的光D ．若a 光是氢原子从跃迁到时发出的，则b 光可能是从跃迁到时发出的2．如图，某办公室有一竖直铁质的公告栏，通知纸用磁吸块压在公告栏上面，下列说法正确的是（ ）A ．通知纸受到4个力作用B ．磁吸块受到的摩擦力方向竖直向下C ．通知纸受到公告栏的摩擦力大小大于其自身重力大小D ．磁吸块对通知纸的压力和公告栏对通知纸的压力是一对相互作用力3．如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率运行，初速度大小为的小物块从与传送带等高的光滑水平地面，沿传送带运动的反方向滑上传送带，选的方向为正方向，从物块滑上传送带开始计时，其运动的图像不可能是下图中的（）12.7eV E =3n =2n =4n =2n =1v 221()v v v >2v v t -A ．B ．C ．D ．4．如图所示，一个电子仅在电场力作用下由A 点运动到B 点，运动轨迹为实线，可以判定下列说法正确的是（ ）A ．若O 、P 、Q 三条线是等势面，O 等势面的电势最高B ．若O 、P 、Q 三条线是电场线，A 点的电势比B 点低C ．若O 、P 、Q 三条线是等势面，电子在A 点的动能比B 点大/D ．若O 、P 、Q 三条线是电场线，电子在A 点的动能比B 点大．5．如图所示，质量均为m 的A 、B 两物块用轻弹簧连接，放在光滑的水平面上，A 与竖直墙面接触，弹簧处于原长，现用向左的推力缓慢推物块B ，当B 处于图示位置时静止，整个过程推力做功为W ，瞬间撤去推力，撤去推力后（ ）A ．当A 对墙的压力刚好为零时，物块B 的动能等于WB ．当A 对墙的压力刚好为零时，墙对AC ．当B 向右运动的速度为零时，弹簧的弹性势能不为零D ．弹簧第一次伸长后具有的最大弹性势能为13W二、多项选择题（共3题，每题5分，共15分）6．如图所示，电路中均为定值电阻，电源的内阻不能忽略，平行板电容器C 的极板水平放置，闭合开关，带电油滴刚好悬浮在两板之间静止不动。
天津市南开中学2019届高三数学下学期第四次月考试卷 理(含解析)
天津市南开中学2018—2019学年高三（下）第四次月考数学试卷（理科)（2月份）一、选择题（本大题共8小题，共40。
0分）1。
已知全集,，，则集合等于A. B。
C. D。
【答案】D【解析】【分析】求出A与B的并集,根据全集U＝R，求出并集的补集即可．【详解】全集，,,或，则，故选：D．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 2B. 3C. 4 D。
5【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式对应的平面区域，由，得,平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z 最小．此时z的最小值为，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,准确画图熟练计算是关键。
3。
设，则“”是“”的A。
充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当时，由得，得，此时，若，由得，此时,若,由得，得，此时,综上，由得，即“”是“”的充分不必要条件，故选:A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4。
关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是A. B. C。
D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得,t＝x2﹣ax+2a在[1，+∞）上为增函数，且在［1,+∞）上大于0恒成立，得到关于a的不等式组求解．【详解】函数在上为减函数，则在上为增函数,且在上大于0恒成立．则,解得．实数a的取值范围是．故选：C．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断,判断的依据是“同增异减”，是中档题．5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且,则此双曲线的离心率为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线，圆心到渐近线的距离为,即，解得,,此双曲线的离心率为,故选D。