中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)几种常用的随机过程【圣才出品】
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中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(利率期限结构理论)【圣才出品】
可得 y3=6.33%。
8．第 3 年预计的远期利率是（ ）。 A．6% B．7% C．8% D．9% E．10% 【答案】C 【解析】解法①：设第 3 年预计的远期利率为 f3，则：
（1＋y3）3=（1＋y2）2×（1＋f3） （1.0633）3=（1.055）2×（1＋f3） 1＋f3=（1.0633）3／1.0552=1.08，f3=8.0％ 解法②：831.92（1＋y3）3=1000，898.47（1＋y2）2=1000，所以
4．一张 4 年期的面值是 1000 美元且息票率是年付 10％，并且在到期日按面值 1000 元兑付。则该债券的价格是（ ）美元。
A．1070.35
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B．1072.40
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C．1074.40
D．1079.35
E．1080.35
12．如果一只 3 年期的零息债券的收益率是 6.8％，第 1 年的远期利率是 5.9％，第 2 年的远期利率是 6.6％，那么第 3 年的远期利率是（ ）。
A．7.85％ B．7.87％ C．7.89％
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D．7.91％Байду номын сангаас
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E．7.93％
【答案】D
【解析】3 年期的远期利率为：
f3=（1.068）3／（1.059×1.066）-1=7.91％
13．1 年期债券的到期利率是 6.3％，2 年期零息债券的到期利率是 7.9％，第 2 年的 远期利率是（ ）。
【答案】B
【解析】计算 1 年期和 4 年期零息债券的到期收益率分别为：
中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)时间序列分析【圣才出品】
E．任意有限阶模型都是平稳的 【答案】C 【解析】ARMA（p,q）模型偏相关函数与自相关函数均拖尾
3．已知序列
，独立同分布服从 N（0,1）,观察到
,，若对
进行预测，其预测方差为（ ）。[2011 年真题]
A．0.4
B．0.46
C．1.16
D．32
E．32.5
【答案】C
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
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【解析】因为
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自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关；③常数方差。
8．下列关于自相关系数的说法中不正确的是（ ）。
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A．
B．
C．
D．一个自相关函数一定唯一对应着一个平稳时间序列
E．当
，说明相隔 k 期的两个序列值之间具有正相关关系
13．平稳 AR（1）模型的自协方差函数为（ ）。 A． B． C． D． E． 【答案】A 【解析】平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式为：
由
可得平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式如下：
14．平稳 AR（2）模型的自相关系数递推式为（ ）。
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A． B． C． D． E． 【答案】D 【解析】平稳 AR（2）模型的递推公式为：
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(年 金)【圣才出品】
，
。
5．已知 年秋季真题]
A．0.0506 B．0.0517 C．0.0526 D．0.0536 E．0.0552 【答案】A
【解析】由
，由此可计算 为（ ）。[2011
得 得
，解得 。
，又由 ，因此
6．现有两个期限均为 50 年的年金：
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春季真题]
A．4265972
B．4272801
C．4283263
D．4294427
E．4303612
【答案】D
【解析】设月实际利率为 i，则
。
第 10 年末，也即第 120 次支付后，累计值为：
10． （2008 年真题）某永久年金在第一年末支付 1，第二年末支付 3，第三年末支付 5，……， 则该年金的现值为（ ）。
B．0.0286
C．0.0333
D．0.0476
E．0.0571
【答案】E
【解析】由于
于是
8．某人在未来 15 年中每年年初向银行存入 5000 元，前五年的年利率为 5.6%，中间 五年的年利率下调为 3.7%，后五年由于通货膨胀影响，年利率上调至 8.9%，则第十五年 年未时，这笔款项的积累额为（ ）。[2011 年春季真题]
A．2379072 B．2380231 C．2381263
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D．2382009
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E．2383089
【答案】E
【解析】两个月的实际利率为：
，共支付
次，
因此该年金在第三末的积累值为
。
4．下列表达式正确的为（ ）。[2011 年秋季真题] A． B．
中国精算师《精算模型》过关必做1000题(含历年真题)第二篇 模型的估计和选择 【圣才出品】
o
【 解 析 】 由 Nelson A alen 估 计 知 H（t0） 的 线 性 置 信 区 间 为
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（Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）），
2
即 Hˆ （t0） u VarHˆ （t0） 1.63 ， Hˆ （t0） u VarHˆ （t0） 2.55 。
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第二篇 模型的估计和选择
第 8 章 经验模型
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．在实验室对 8 只注射了致癌物的小白鼠进行右截断数据的死亡率研究，假设除了死 亡外，所有小白鼠不会退出研究，则有如下数据：
2
2
所以[Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] [Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] 1.63 2.55 ，解得：
2
2
Hˆ （t0）=2.09 。
[Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] [Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] 1.63 2.55 ，
2
2
解得：Biblioteka VarHˆ （t0）0.46 u
0.46 1.96
0.2347
。H（t0）的
95%对数转换的置信区间的
2
下限为
Hˆ （t0）exp{u VarHˆ （t0）/Hˆ （t0）}
2
=2.09e1.960.2347/2.09
1.68
上限为
Hˆ （t0）exp{u VarHˆ （t0）/Hˆ （t0）}
2
=2.09e1.960.2347/2.09
【 解 析 】 由 Nelson A alen 估 计 知 H（t0） 的 线 性 置 信 区 间 为
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（Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）），
2
即 Hˆ （t0） u VarHˆ （t0） 1.63 ， Hˆ （t0） u VarHˆ （t0） 2.55 。
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第二篇 模型的估计和选择
第 8 章 经验模型
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．在实验室对 8 只注射了致癌物的小白鼠进行右截断数据的死亡率研究，假设除了死 亡外，所有小白鼠不会退出研究，则有如下数据：
2
2
所以[Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] [Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] 1.63 2.55 ，解得：
2
2
Hˆ （t0）=2.09 。
[Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] [Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] 1.63 2.55 ，
2
2
解得：Biblioteka VarHˆ （t0）0.46 u
0.46 1.96
0.2347
。H（t0）的
95%对数转换的置信区间的
2
下限为
Hˆ （t0）exp{u VarHˆ （t0）/Hˆ （t0）}
2
=2.09e1.960.2347/2.09
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上限为
Hˆ （t0）exp{u VarHˆ （t0）/Hˆ （t0）}
2
=2.09e1.960.2347/2.09
中国精算师《非寿险精算》过关必做500题(含历年真题)(第4章 非寿险费率校正)【圣才出品】
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第 4 章 非寿险费率校正
一、单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将
正确选项的代码填入括号内）
1．在已知θ的条件下，损失随机变量 X 的条件密度函数是
，x＞0，参
数θ的先验分布密度函数是
E（X 1 ）=1，Var（X1 ）=1，E（X 2 ）=2，Var（X 2 ）=2，E（X 3 ）=9，cov（X1 ， X 2 ）=1，cov（X 1 ，X 3 ）=4，cov（X 2 ，X 3 ）
该保单过去2年的总赔付额为10，则第3年的信度保费 Xˆ 3 为（ ）。[2008年真题]
3 / 88
A．1 B．2 C．3 D．4 E．5
【答案】D
【解析】由题给条件知该模型满足 Bulhmann 模型，且有 ( ) E(Xi∣ ) ,Var(Xi∣ )
4 / 88
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于是可以得到
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=E(( )) E( ) 2, v E(Var(Xi | )) E( ) 2 a Var(( )) 1
nv/a
1v / a
30
时。联立 2 个方程解得 v / a 1，u 1 。因此，如果前三个月没有赔案发生时，即 n 3 时，
5
5
未来一个月的预期赔案次数的参数估计为（1
3
3 v
/
a
）u
（1
3
3
1
）
1 5
1 80
。
5
5．设某保单过去2年的赔付额分别为X1，X2，现要估计第3年的赔付额X3。给定结构 参数，X1，X2，X3条件独立。已知：
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第 4 章 非寿险费率校正
一、单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将
正确选项的代码填入括号内）
1．在已知θ的条件下，损失随机变量 X 的条件密度函数是
，x＞0，参
数θ的先验分布密度函数是
E（X 1 ）=1，Var（X1 ）=1，E（X 2 ）=2，Var（X 2 ）=2，E（X 3 ）=9，cov（X1 ， X 2 ）=1，cov（X 1 ，X 3 ）=4，cov（X 2 ，X 3 ）
该保单过去2年的总赔付额为10，则第3年的信度保费 Xˆ 3 为（ ）。[2008年真题]
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A．1 B．2 C．3 D．4 E．5
【答案】D
【解析】由题给条件知该模型满足 Bulhmann 模型，且有 ( ) E(Xi∣ ) ,Var(Xi∣ )
4 / 88
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于是可以得到
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=E(( )) E( ) 2, v E(Var(Xi | )) E( ) 2 a Var(( )) 1
nv/a
1v / a
30
时。联立 2 个方程解得 v / a 1，u 1 。因此，如果前三个月没有赔案发生时，即 n 3 时，
5
5
未来一个月的预期赔案次数的参数估计为（1
3
3 v
/
a
）u
（1
3
3
1
）
1 5
1 80
。
5
5．设某保单过去2年的赔付额分别为X1，X2，现要估计第3年的赔付额X3。给定结构 参数，X1，X2，X3条件独立。已知：
中国精算师《精算模型》过关必做1000题(含历年真题)(生命表)【圣才出品】
的值为（ ）。
[2011 年秋季真题]
A．8.11
B．8.12
C．8.13
D．8.14
E．8.15
【答案】B
【解析】因为假设是建立在相邻两个整数乊间上的，故丌能直接计算 0.7 q[61]0.6 ，而应 分 [61] 0.6 到 [61]+1 和[61]+1 到 [61]+1+0.3 两段计算，且 0.7 p[61]0.6 0.4 p[61]0.6 0.3 p[61]1 。而根据
D．0.006887，0.99683 E．0.006887，0.99724 【答案】B 【解析】由表中数据可以得出：
F（3）=1－S（3）=1－0.994073=0.005927
3．如表 3-2 所示的生命表，计算在 2 岁不 4 岁乊间的死亡人数，及 1 岁的人生存到 4 岁的概率分别为（ ）。
【答案】B
【解析】由题意可得：
（1）
=
（2）
（4）由亍
，所以
5．已知生命表函数为 =
，x≥0，且随机变量 T 表示 x 岁人的剩余寿命，则
Var(T ) =（ ）。
A． x 1
B． x 1 2
C． 3 x 1
4
x 12
D．
2
3 x 12
E．
4
【答案】E
【解析】由亍
，其中
4 / 58
【解析】由亍
，
，所以由表 3-3 中已知数据可得：
l99=d99＋l100=40＋24=64
而 d100=q100·l100=0.667×24=16，故
l101=l100－d100=24－16=8
又 d101=q101·l101=（1－p101）·l101=（1－0.25）×8=6，所以
中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)随机事件与概率【圣才出品】
第1章随机事件与概率单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．已知，则等于（）。
[2011年真题] A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4E．0.5【答案】C【解析】由概率的加法公式，对于任意两事件A,B有P（A∪B）=P（A）＋P（B）－P（AB）=P（B）＋.则=P（A∪B）－P（B）=0.7－0.4=0.3。
2．设100件产品中有10件次品，若从中任取5件进行检验，则所取的5件产品中至多有1件次品的概率为（）。
[2011年真题]A．0.553B．0.653C．0.753D．0.887E．0.923【答案】E【解析】100件产品中任取5件进行检验的事件总数为,至多有1件次品的事件总数为,则要求的概率为（）/=0.923。
3．设某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.7，若该建筑物已使用了50年，则它在10年内坍塌的概率为（）。
[2011年真题] A．1/8B．1/7C．1/6D．1/5E．1/4【答案】A【解析】记使用寿命超过五十年为事件A，不超过六十年为事件B，则已使用了50年，在10年内坍塌的事件概率P（B|A）=P（AB）/P（A）=[P（A）－]/P（A）=1－/P（A）=1－0.7/0.8=1/8。
4．已知甲、乙袋中都有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋中，然后再从乙袋中任取2个球，则最后取出的这2个球都是红球的概率为（）。
[2011年真题]A．0.11B．0.33C．0.54D．0.67E．0.88【答案】B【解析】从甲袋中任取2个球放入乙袋中，然后再从乙袋中任取2个球，事件总数为，取出2个红球对应于三种情况：①甲袋中取出两个白球，对应从乙袋中取出2个红球的事件数为；②甲袋中取出一个白球一个红球，对应从乙袋中取出2个红球的事件数为;③甲袋中取出两个红球，对应从乙袋中取出2个红球的事件数为；则最后取出的这2个球都是红球的概率为（＋＋）/=0.33。
中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)-第9~10章【圣才出品】
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第 9 章 时间序列分析
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．已知时序模型
A．0 B．－1 C．－1/2 D．1 E．1/2 【答案】D
独立同分布服从 N（0,1），则 等于（ ）。[2011 年真题]
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
6 / 70
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【解析】因为
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从而得 。
7．如果时间序列{Xt}为平稳时间序列，则下列说法中正确的是（ ）。
A．{Xt}的均值和方差均与时间有关
B．{Xt}具有常数均值，但方差不一定存在
C．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
仅与时间间隔 t－s 有关
D．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
也为常数
E．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】对于平稳时间序列{Xt}，具有三个重要性质：①常数均值；②自协方差函数与
9．设时间序列 Xt 是由下面随机过程生成的：Xt=Zt＋ ，其中 为一均值为 0，方 差为 的白噪声序列，Zt 是一均值为 0，方差为 ，协方差恒为常数 a 的平稳时间序 列。 与 Zt 不相关。下列选项中不正确的是（ ）。
A．E（Xt）=0 B．Var（Xt）= C．Cov（Xt，Xt＋k）=a
所以{Xt，0≤t≤1}为平稳过程。
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第 9 章 时间序列分析
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．已知时序模型
A．0 B．－1 C．－1/2 D．1 E．1/2 【答案】D
独立同分布服从 N（0,1），则 等于（ ）。[2011 年真题]
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
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【解析】因为
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从而得 。
7．如果时间序列{Xt}为平稳时间序列，则下列说法中正确的是（ ）。
A．{Xt}的均值和方差均与时间有关
B．{Xt}具有常数均值，但方差不一定存在
C．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
仅与时间间隔 t－s 有关
D．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
也为常数
E．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】对于平稳时间序列{Xt}，具有三个重要性质：①常数均值；②自协方差函数与
9．设时间序列 Xt 是由下面随机过程生成的：Xt=Zt＋ ，其中 为一均值为 0，方 差为 的白噪声序列，Zt 是一均值为 0，方差为 ，协方差恒为常数 a 的平稳时间序 列。 与 Zt 不相关。下列选项中不正确的是（ ）。
A．E（Xt）=0 B．Var（Xt）= C．Cov（Xt，Xt＋k）=a
所以{Xt，0≤t≤1}为平稳过程。
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，其中 ，从而
因
记
，由
于是上式右边等于
，
，故
，即知
关于 是对称的，故不妨假定 ，
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由 的对称性，即知
进而可知， 是平稳过程。
11．设顾客以 2 人/min 的速率到达，顾客到达数为泊松过程，则在 2min 内到达的顾 客不超过 3 人的概率为（ ）。
有 1 人的概率是 1/6，则在五周内到该地定居的移民人数的方差为（ ）。[2011 年真题]
A．2.5
B．7.17
C．25
D．71.67
E．83.33
【答案】D
【解析】假设 X 为五周内到该地定居的移民人数；
表示移民到某地定居的户数，
其中
服从参数为 的泊松分布， =2； 表示每户的人口数，则
，由于
【答案】C
【解析】
的含义是 t 时刻之前更新次数不少于 n，
的含义是第 n
次更新的发生时刻在 t 之前，两个是等价的。A 中第一次更新发生在 t 之前并不影响第二次
发生的时间。B 中当 t 时刻之前发生的次数为 1 时，若发生时刻为 s,且 s<t，那么在（s,t]
时间段内没有事件发生，同样满足。D 有定义可知。E 在 t 时间段内发生的次数大于 n，只
【答案】B
【解析】若 是关于
的一个鞅，则满足
，
将各选项带入验证得 B 正确
8．设下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．泊松过程中第一个事件发生的时刻服从指数分布 B．泊松过程是一种特殊的更新过程 C．不可约有限状态马尔科夫链可能存在非常返态 D．布朗运动的增量服从正态分布 E．布朗运动是平稳增量过程
B．13/144
C．1/4
D．1/2
E．1
【答案】A
【解析】每月进入中国上空的流星个数是服从参数为
的泊松分布，那么
落入中国地面的陨石数的期望为
3．设某种设备的寿命是服从均匀分布 U（0,10）的随机变量，当设备损坏或用了 3 年 时，就以旧换新。假设一台新设备价格为 10 万元，用了 3 年的旧设备卖出的价格为 1 万元， 一台损坏的设备没有任何价值。若每当购置一台新设备时就说一个循环开始，则长时间后每 年的平均费用为（ ）万元。[2011 年真题]
6．设齐次马尔可夫链的状态空间为
，其一步转移概率矩阵为
则此马尔可夫链的极限分布为（ ）。[2011 年真题]
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【答案】C
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【解析】假设
，由
验证只有 C 满足
7．设
是独立同分布随机变量序列，且
，
，则下列说法正确的是（ ）。[2011 年真题]
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第 11 章 几种常用的随机过程
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．设移民到某地定居的户数是一个泊松过程，平均每周有 2 户定居。设每户的人口数
是一个随机变量，一户有 4 人的概率是 1/6，有 3 人的概率是 1/3，有 2 人的概率是 1/3，
，其中
表示一次更新的平均报酬， 表示一次更新所需的平均时间。由题：当设备在 3 年内损
坏时，则在损坏时更换的设备没有任何价值，当设备在 3 年内没损坏时，则在第 3 年末更
换设备，此时设备能卖到 1 万元。由此：
，
，故
。
4．设 N（t）是一个更新过程，Tn 是第 n 次更新发生的时刻，则下面事件的等价关系 成立的是（ ）。[2011 年真题]
A． B．
C．
D． E． 【答案】E 【解析】设
是顾客到达数的泊松过程，
，故
则
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能说明第 n齐次马尔可夫链的状态空间为
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，其一步转移概率矩阵为
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则下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．状态 1 是正常返状态 B．状态 2 与状态 3 不是互通的 C．状态 3 与状态 4 不是互通的 D．状态 4 是正常返状态 E．状态 2 的周期为 1 【答案】D 【解析】由转移矩阵知，没有任何一个状态到状态 4，因此 4 不是正常返的
那么
2．设进入中国上空的流星的个数是一个泊松过程，平均每年为 10000 个，且每个流星 能以陨石落入地面的概率为 0.0001，则一个月内落于中国地面的陨石数的期望为（ ）。
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[2011 年真题]
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A．1/12
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【答案】C
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【解析】有限状态不可约马尔科夫链的所有状态都是常返态
9．设 和
是两个相互独立，分别具有强度为 和 的泊松过程，定义随
机过程
。下列关于随机过程 的说法正确的是（ ）。
A． 不是泊松过程
B． 是强度为
也是相互独立的。所以有
综上可得， 是强度为
的泊松过程。
10．设
是强度为 的泊松过程，定义随机过程
常数
。则关于随机过程 的说法正确的有（ ）。
A． 是强度为 的泊松过程
B． 不是平稳过程
C． 的均值是
D． 的协方差函数为
E．以上都正确
【答案】C
【解析】因 是强度为 的泊松过程，所以
A．1.57 B．2.44 C．3.65 D．4.78 E．5.24 【答案】C 【解析】新设备的更换是一个更新过程，而到 t 时刻更换新设备所花费的费用 是一
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个更新回报过程。令长时间后每年的平均费用为 ，则
的泊松过程
C． 是强度为 的泊松过程
D． 是强度为 的泊松过程
E． 是强度为
的泊松过程
【答案】E
【解析】因
和
都是泊松过程，所以
和
，从而得
。在 上任取点
，做 的增量
，由于
记成
。此处
，
有
，
。对于任意实数
即知
相互独立，从而
因此 是独立增量过程。又因为
和 是相互独立的，所以
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相互独立， 和
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