2013年重庆高考数学文科试卷带详解

2013年重庆高考数学文科试卷带详解2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()UA B =U ð （ ）A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】集合的表达（列举法），求集合的并集与补集.【参考答案】D【试题分析】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解.{}{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,()4U A B A B A B ==∴=∴=Q U U ð2．命题“对任意x ∈R ，都有2x …”的否定为（ ）A.对任意x ∈R ，都有2x< B.不存在x ∈R，都有2x<C.存在0x ∈R ，使得2x… D.存在0x ∈R，使得20x<【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】含有量词的命题否定，直接求该命题的否定.【参考答案】D【试题分析】根据含有一个量词的命题进行否定的方法直接写出",()"",()",x M p x x M p x ∀∈∃∈⌝Q 的否定是故“对任意x ∈R，都有20x ≥”的否定是“存在0x ∈R ，使得200x <”3．函数21log (2)y x =-的定义域为（ ）A.(,2)-∞ B.(2,)+∞C.(2,3)(3,)+∞UD.(2,4)(4,)+∞U【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给定函数式，使每个部分有意义，求其定义域.【参考答案】C【试题分析】利用函数有意义的条件直接运算求解.2log (2)0,20,x x -≠⎧⎨->⎩23,x x >≠得且故选C4．设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ的最小值为（ ）A.6B.4C.3D.2【测量目标】直线与圆的位置关系、动点间距离最值问题.【考查方式】给出圆与直线的方程，利用数形结合求两图形上动点的最短距离.【参考答案】B【试题解析】圆心(3,1)M-与定直线3x=-的最短距离为3(3)6MQ=--=，又圆的半径为2，故所求最短距离为6-2=4.5．执行如题5图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A.3B.4C.5D.6【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环k 的值，输出k .【参考答案】C【试题解析】利用循环结构相关知识直接运算求解.第5题图222221,101;2,112;3,2264,6315;5,1543115,5k s k s k s k s k s k ==+===+===+===+===+=>=故输出6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的概率为（ ）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6【测试目标】茎叶图.【考查方式】题给出茎叶图，直接求解. 【参考答案】B【试题分析】利用频率及茎叶图的知识直接求解，由题意知，这10个数据落在区间[)22,30内的有22,22,27,29四个，所以频率为0.4 7．关于x 的不等式22280xax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，A.52 B.72C.154D.152【测量目标】解含参的一元二次不等式. 【考查方式】给出不等式，给出两解集的范围差，利用因式分解求不等式中的未知数.【参考答案】利用因式分解法解一元二次不等式寻求a 的关系式后，带入求解.22280(0)(2)(4)0(0),x ax a a x a x a a --<>∴+-<>即24a x a-<<，故原不等式的解集为(2,4)a a -，215154(2)15,615,2x x a a a a -=∴--=∴=∴=Q （步骤2）8．某几何体的三视图如题8所示，则该几何体的表面积为 （ ）A.180B.200C.220D.240【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出几何体的三视图，直接求几何体的表面积.【参考答案】D【试题分析】利用三试图还原几何体，结合直观图直接运算求解.由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以1=82)42402S ⨯+⨯⨯=底（，=108+102+2105=200=40+200=240S S ⨯⨯⨯⨯侧表，9．已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b =++∈R ，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f = （ ）A.5- B.1-C.3D.4【测量目标】对数函数性质、函数的奇偶性综合运用.【考查方式】给定函数式，给定某个函数值，用函数的奇偶性与对数的性质去求另一个函数值.【参考答案】C【试题分析】运用奇函数的性质，整体换元求解.因为210log 10lg 2(log2)与即互为倒数，2lg(log 10)∴lg(lg 2)与互为相反数，（步骤1）不妨令332lg(log 10),lg(lg 2),()()(sin 4)()sin()48x x f x f x ax b x a x b x ⎡⎤=∴=-+-=+++-+-+=⎣⎦Q 故()8()853f x f x -=-=-=（步骤2）10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为60o的直线11A B 和22A B ，使1122A BA B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.3(2]3B.3[2)3C.23()3+∞D.23)+∞【测量目标】双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系.【考查方式】通过“有且只有一对”限定双曲线渐近线倾斜角的范围，求取离心率.【参考答案】A【试题分析】由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴（或y 轴）对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30o且小于等于60o，即221tan 30tan 60, 3.3b b a a<∴<oo剟22222423()1,4, 2.33c b e e ea a ==+∴<∴<又剟二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知复数12iz =+（i 是虚数单位），则z =．【测量目标】复数的模.【考查方式】给出复数的方程式，直接求解复数的模.5【试题分析】利用求模公式直接求解. 2212i,125z z =+∴=+=Q12．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -=．【测量目标】等差数列的通项公式.【考查方式】题给此数列为等差数列，求出公差，再进行求解数列中两项的差值. 【参考答案】72【试题分析】利用等差数列的有关知识先求出公差在运算求解.由题意得该等差数列的公差927514d -==-， 所以722c ad -== 13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ． 【测量目标】古典概型.【考查方式】三个人随机站一排，把两人放在一起去求概率. 【参考答案】23【试题分析】首先写出甲，乙，丙三人站成一排的所有结果及甲乙相邻而站的所有结果，然后将两结果数相除可得.甲乙丙三人随机的站成一排有（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种排法，甲乙相邻而站有（甲乙丙）、（乙甲丙）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共4种排法，由概率计算公式得甲乙两人相邻而站的概率为4263= 14．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)OA =-u u u r，(2,)OB k =-u u u r，则实数k = ．【测量目标】向量坐标形式的加减运算及数量积运算.【考查方式】平面向量的坐标运算，其未知数k . 【参考答案】4【试题分析】画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解. 如图所示，由于(3,1),(2,),OA OB k =-=-u u u r u u u r所以(1,1),AB OB OA k =-=-u u u r u u u r u u u r（步骤1）在矩形中，由0,OA AB OA AB ⊥=u u u r u u u r u u u r u u u rg 得所以(3,1)(1,1)0,311(1)0k k --=-⨯+⨯-=g 即 解得4k =（步骤2）15．设0πα剟，不等式28(8sin )cos 20xx αα-+…对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ． 【测量目标】一元二次不等式.【考查方式】限定α的大范围，带入不等式中求解出α的范围.【参考答案】π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U【试题分析】根据开口向上的二次函数定义域为R时函数值非负的条件(0)∆„列式直接运算求解由题意，要使28(8sin )cos 20x x αα-+…对x ∈R 恒成立需2=64sin32cos 0αα∆-，„化简得1cos 2.2α…，（步骤1）0πα又剟 π023α∴剟或5π22π,3α剟解得π06α剟或5ππ6α剟（步骤2）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）设数列{}n a 满足：11a=，13n naa +=，n +∈N ．（1）求{}na 的通项公式及前n 项和nS ； （2）已知{}nb 是等差数列，nT 为前n 项和，且12b a =，3123ba a a =++，求20T ．【测量目标】等比数列、等差数列的通项公式及前n 项和公式.【考查方式】给定1a ，n a 与1n a +的关系，去求{}na 的通项公式及前n 项和nS ，再根据{}n b 与na 的关系，求nT .【试题分析】根据等比，等差数列的通项公式及前n 项和公式直接求解.解：（1）由题设知{}na 是首项为1，公比为3的等比数列， 11313,(31)132n n nn n a S --∴===--.（步骤1）12331(2)3,13913,102,b a b b b d ===++=-==5,d ∴=故202019203510102T⨯=⨯+⨯=（步骤2）17．（本小题满分13分，（1）小问9分，（2）、（3）小问各2分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入ix （单位：千元）与月储蓄iy （单位：千元）的数据资料，算得10180i i x ==∑，10120ii y==∑，101184i ii x y==∑，1021720ii x==∑．（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+；（2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx=-，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为$$y bxa =+$． 【测量目标】线性回归方程，利用线性回归方程解决实际应用问题.【考查方式】给出月收入与月储蓄，求解其线性回归方程，并判断两者之间的相关性，给定数据代入线性回归方程求解.【试题分析】根据线性回归方程相关知识直接运算求解.解：（1）由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑（步骤1）2221172010880,184108224,nxx i i nxy i i i l x nx l x y nx y ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑又（步骤2）240.3,20.380.4,80xyxxl b a y bx l====-=-⨯=-由此得故所求线性回归方程为0.30.4.y x =-（步骤3） （2）由于变量y 的值随x 值的增加而增加(0.30)b =>，故x 与y 之间是正相关.（步骤4）（3）将7x =带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）（步骤5） 18．（本小题满分13分，（1）小问4分，（2）小问9分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且2223ab c bc=+．（1）求A ；（2）设3a =S 为ABC △的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值．【测量目标】利用正余弦定理解决有关角度问题.【考查方式】给出三角形三边的数量关系，求其中一角;再给出其中一边具体数值情况下，计算所给函数式的值，并求其中角的数值.【试题分析】利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答. 解（1）由余弦定理得22233cos 222b c a bc A bc bc +-===-.步骤1）又因为5π0π,6A A <<∴=（步骤2）（2）由（1）得1sin .2A =又由正弦定理及3a =11sin sin sin 3sin sin ,22sin a BS ab C a C B C A===g g （步骤3）3cos cos 3(sin sin cos cos )3cos()S B C B C B C B C ∴+=+=-，当ππ,,3cos cos 212A B C B S B C -===+取最大值3（步骤4）19．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如题（19）图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD，23PA =2BC CD ==，π3ACB ACD ∠=∠=．（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC=，求三棱锥P BDF -的体积．【测量目标】线线-线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解.【考查方式】（1）给出四棱锥的图形，给出其中部分直线的位置与代数关系及部分角，线线垂直推出线面垂直（2）再给出一条棱上的比例关系，求三棱锥体积.【试题分析】运用线面垂直的性质和判定证明BD ⊥平面,PAC 利用割补法求三棱锥体积. （1） 证明：因为,BC CD =所以BCD △为等腰三角形.（步骤1）又,ACB ACD BD AC ∠=∠∴⊥.（步骤2）因为PA ⊥底面,ABCD PA BD ∴⊥.（步骤3） 从而BD 与平面PAC 内两条相交直线,PA AC 都垂直,BD ∴⊥平面PAC （步骤4）（2）解三棱锥-P BCD 的底面BCD 的面积 112πsin 22sin 3.223BCD S BC CD BCD =∠=⨯⨯⨯=g g △（步骤5）PA ⊥平面ABCD-11323233P BCD BCD V S PA ===g g △（步骤6）由7PF FC =，得三棱锥-F BCD 的高为18PA ，故 -11111323,38384F BCD BCD V S PA ==⨯=g g △（步骤7）所以---172.44P BDFP BCD F BCD VV V =-=-=（步骤8）20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；（2）讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．【测量目标】函数的实际运用，函数的定义域，导数在实际问题中的应用.【考查方式】根据题意列出函数方程式，求其定义域；结合导数研究函数的单调性及最值问题。