初中一对一精品辅导讲义：正弦定理与余弦定理
正弦定理、余弦定理讲义
此为三角函数最为基础的知识，在以后的多学科学习中都能用到，需要学生熟练掌握，并灵活运用。
解三角形【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理； 2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题． 【基础知识】在C B A c b a ABC ∠∠∠∆、、分别是、、中，所对的边，ABC R ∆为的外接圆半径,则有，1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin =∠=∠=∠； 2.余弦定理：bca cb A 2cos 222-+=A bc c b a cos 2222-+=⇔ ac b c aB 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=⇔ abc b a C 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ 3.常用公式：（1）π=++C B A ；（2）B ac A bc C ab S sin 21cos 21sin 21===知识点一：解直角三角形【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．【变式训练】 1.在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.知识点二：正、余弦定理的运用【典例精析】 例1、（2010辽宁文数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.例2、（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a =42bc . (Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小； （2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA+-cos2C=27.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.【变式训练】1.（2010天津文数）在∆ABC中，coscosAC B AB C=。
正弦定理与余弦定理一对一辅导讲义
第一课时 正弦定理与余弦定理知识点梳理1、ABC ∆中，45,60,10,A B a === 则b 等于（ ）A 52B 102 C1063D 56 2、在△ABC 中，已知8=a ，B=060，C=075，则b 等于A.64B.54C.34D.322 3、已知ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边， 60,3,2===B b a ，则A = A. 135 B. 45 C. 135或 45 D.904、在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（ ）A ．46 B ．322 C ．362 D ． 425、在中，B=，C=，c=1，则最短边长为（ ） A ．B ．C ．D ．ABC ∆30︒45︒63221232课前检测正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin a b A B =sin cC=（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
例题 .在ABC ∆中,已知3=a , 2=b , B=450.求A 、C 和c. 解:004590B =< 且 ,b a <∴A 有两解.由正弦定理,得23245sin 3sin sin 0=∙==b B a A 0012060==∴A A 或 1) 当A=600时,C=1800-A-B=75, 00sin 2sin 7562sin 2sin 45b Cc B+===2) 当A=1200时,C=1800-A-B=150, 0sin 2sin1562sin 2sin 45b C c B -===（1）定理的表示形式：sin sin abAB=sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
正弦定理、余弦定理(同步辅导教案)
难
点
一、 课前检测 1．在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等于( A．30° C．60° B．45° D．75°
b2＋c2－a2 1＋4－3 1 解析：选 C ∵cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2×1×2 2 又∵0° <A<180° ，∴A＝60° . 2．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45° ，则此三角形有( A．无解 C．一解 B．两解 D．解的个数不确定 b 24 2 2 ∴sin B＝ sin A＝ sin 45° ，∴sin B＝ . a 18 3 )
【证明】由余弦定理知 。所以
，两式相减得 ，所以
。
由正弦定理， 立。
四、变式练习
，所以
=
。故等式成
好方法事半功倍，好习惯受益终身
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天元地元
★ 学好数学“三步曲” ：概念---做题---反思
1. △ABC 中 a=6,b=6 3 A=30°则边 C=（ C ） A、6 B、 、12 C、6 或 12 D、6 3
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即 2. 直角三角形 （1） （2） ， 中 ，
（3）
，
，
；
，
，
知识点二：正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明
（
为
的外接圆半径） ；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 、变形： （1） a 2 R sin A ， b 2 R sin B ， c 2 R sin C （2） sin A
6
20 ;
4.△ABC 中已知∠A=60°，AB =AC=8：5，面积为 10 3 ，则其周长为 5.△ABC 中 A：B：C=1：2：3 则 a：b：c= 1: 3 :2 .
正弦定理和余弦定理-【名师经典教学资料】
第一课时 1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =ca sin B =cb sin C =1 即c =sin sin sin a b cA B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a bA B=. 同理，sin sin a cA C=（思考如何作高？），从而sin sin sin a b cA B C==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin bB =sin c C.证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D===， 同理sin bB=2R ，sin c C ＝2R .证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角③练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？ 3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b cA B C++++.2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题. 第二课时 1.1.2 余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+，∴()()AC AC AB BC AB BC •=+•+222AB AB BC BC =+•+222||||cos(180)AB AB BC B BC =+•-+222cos c ac B a =-+.即2222cos b c a ac B =+-，→② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角④ 讨论：已知三边，如何求三角？ →余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=，…等.⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b→ 讨论：如何求A ？（两种方法） （答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边 3. 练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.第三课时 1.1 正弦定理和余弦定理（练习）教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程：一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.(i ) A ＝6π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝6π，a ＝，b ＝； (iii ) A ＝6π，ab ＝； (iiii ) A ＝6π，a ＝50，b ＝.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？ ② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinAa<CH=bsinA② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i ) A ＝23π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝23π，a ＝25，b ＝2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC③ 出示例4：已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，求a bb+的值2. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos A :cos B :cos C ＝ .3. 作业：教材P11 B 组1、2题.教学设计（首页）学科：历史 教师：教学难点交通工具发展的对社会生活的影响教学用具文字、图片资料、多媒体课件教学方法讲述法、讨论法归纳法、小组讨论课时安排1板书设计教学反思2016 年 4 月30 日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日中国的铁路营运总里程已跃居亚洲第一位，世界第四位机车制造取得很大进展，1997年以来全国铁路实现了六次大提速教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（首页）学科：历史教师：教学用具文字、图片资料、多媒体课件教学方法讲述法、讨论法归纳法、小组讨论课时安排1板书设计教学反思2016 年 4 月30 日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日中国的铁路营运总里程已跃居亚洲第一位，世界第四位机车制造取得很大进展，1997年以来全国铁路实现了六次大提速教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日。
正弦定理余弦定理教学课件
∴ A 为锐角
A 30
5.9 正弦定理、余弦定理
例题讲解
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
2 h2
)
4
三角形面积公式
sin A B 6 2
5.9 正弦定理、余弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a2 b2 c2 a tan A A B 90
b
A
c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？ Ba C
a b c sin A sin B
sinC 1
abc sin A sin B sinC
即正弦定理，定理对任意三角形均成立． 利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？
sin B sinC
b c sin B 10 sin105 19
sinC
sin 30
5.9 正弦定理、余弦定理
例题讲解
例2 在 AB中C ，已知 a 4,b 4 2, B 45， 求 。A
解：由 a b sin A sin B
得 sin A a sin B 1 b2
∵ 在 ABC 中 a b
C
j AC cos90 j CB cos(90 C) j AB cos(90 A)
a sinC csin A
即 ac sin A sinC
同理，过C作单位向量j
垂直于CB
，可得
b sin
B
c sinC
5.9 正弦定理、余弦定理
a b c sin A sin B sinC
正弦定理和余弦定理复习课件ppt课件PPT课件
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
a2＋c2－b2
cos B＝ 2ac ； a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
[知识能否忆起]——上节课知识回 忆
一、正、余弦定理
定理
正弦定理
内
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
容 =2R
a2＝ b2＝ c2＝
余弦定理
b2＋c2－2bccos A ；
a2＋c2－2accos B ；
a2＋b2－2abcosC
.
定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
答案：A
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋ c)sin B＋(2c＋b)sin C.
①求A的大小； ②假设sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
(2)① 正弦定理、条件 → cos A＝－12 → A的大小 ； ② ①中a2＝b2＋c2＋bc → sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C ―条―件→ sin B、sin C的值 → 判断△ABC的形状
【典例剖析】 (1)(2013·厦门模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对
边分别是 a，b，c，若 b2＋c2＝a2＋bc，且A→C·A→B＝4，则△ABC 的面积等于________．
正弦定理和余弦定理ppt课件
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理讲义
正弦定理和余弦定理讲义课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA= ==2R (其中R 是△ABC 的外接圆的半径)a 2= ,b 2= , c 2=定理的变形 a=2RsinA ,b= ,c=,a∶b∶c=cos A= , cos B= , cos C=2.在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin A<a<b a ≥ba>b解的个数3.三角形面积公式(1)S=12ah (h 表示边a 上的高);(2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C ; (3)S=12r (a+b+c )(r 为三角形的内切圆半径). 常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=π;变形:A+B 2=π2-C 2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sinA+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2.3.三角形中的射影定理在△ABC 中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一 常识题1.[教材改编] 在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于 .2.[教材改编] 在△ABC 中,已知a=5,b=2√3,C=30°,则c= .3.[教材改编] 在△ABC 中,已知a 2-c 2+b 2=ab ,则C 等于 .4.[教材改编] 在△ABC 中,已知a=3√2,b=2√3,cos C=13,则△ABC 的面积为 . 题组二 常错题◆索引:在△ABC 中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC 中,若sin A=sin B ,则A ,B 的关系为 ;若sin A>sin B ,则A ,B 的关系为 .6.在△ABC 中,若A=60°,a=4√3,b=4√2,则B 等于 .7.在△ABC 中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC 的面积等于 .8.在△ABC 中,角A ,B ,C 满足sin Acos C-sin Bcos C=0,则三角形的形状为 .课堂考点探究探究点一 利用正弦﹑余弦定理解三角形1 △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c-a=2bcos A. (1)求角B 的大小;(2)若b=2√3,求a+c的最大值.[总结反思](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题(1)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=√3,则b2+c2的取值范围是( )A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)如图3-22-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=√3BD,BC=2BD,则sin C的值为.图3-22-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2如图3-22-2所示,图3-22-2在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.[总结反思]判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题在△ABC中,若sin A=2cos Bsin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=√2,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.[总结反思](1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入,一般表示为一个内角的三角函数,,或结合基本不等式求解.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√3,求△ABC的周长.2课时作业一、 填空题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于________.2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝________.3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于________.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC ＋ccosB ＝asinA ，则△ABC 的形状为________.5．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为________.6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________. 7．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.9．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________.10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c＝________.11．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.二、解答题12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．13．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．。
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8、如图，在△ABC中，已知 ， ，B=45求A、C及c.
（ I）求△ABC的面积；
（ II）若a=7，求角C。
例4.在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
（I）求 的值；
（II）若cosB= ，
解：（I）由正弦定理，设
则
所以
即 ，
化简可得
又 ，
所以
因此
（II）由 得
由余弦定得及 得
所以
又
从而
因此b=2。
变4.在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
2)当A=1200时,C=1800-A-B=150,
（1）定理的表示形式： ；
或 ， ，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
3、 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b= , A+C=2B,则sinC=.
4、如图，在△ABC中，若b = 1，c = ， ，则a=。
5、在 中，角 所对的边分别为a，b，c，若 ， ， ，则角 的大小为．
6、在中， 分别为角 的对边，且
（1）求 的度数
（2）若 ， ，求 和 的值
,
或 或
故 是直角三角形或等腰三角形
解法二(化角)由 可得
即 或 即 或A+B=900
故 是直角三角形或等腰三角形
3）解：(化角)解法一: 由正弦定理得 ,
代入已知等式得 ,
即
故 是等边三角形
(化边)解法二:由已知等式得
即
故 是等边三角形
变2.在 中， 分别为内角 的对边，且 .
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 ，试判断 的形状.
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
例题 .在 中,已知 , , B=450.求A、C和c.
解: 且 A有两解.
由正弦定理,得
1)当A=600时,C=1800-A-B=750,
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
变1.在△ABC中，已知a= ,b= ,B=45°,求A、C和c.
题型二：正、余弦定理的边角转化
例2．根据所给条件,判断 的形状.
1）在 ABC中，已知 ， ， 。2） 3）
分析：由余弦定理可知
（注意： ）
1）解： ，即 ，∴ 。
2）解:解法一(化边)
由余弦定理得
A． B． C． D．
5、在 中，B= ，C= ，c=1，则最短边长为（ ）
A． B． C． D．
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使 ， ， ；
（2） 等价于 ， ，
从而知正弦定理的基本作用为：
教学目标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索
2、掌握正弦定理的内容及其证明方法；
3、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
重点、难点
1、正弦定理的探索和证明及其基本应用。
2、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
考点及考试要求
1、正弦定理
2、余弦定理
3、正弦定理、余弦定理的应用
教 学 内 容
第一课时 正弦定理与余弦定理知识点梳理
1、 中， 则 等于（ ）
A B C D
2、在△ABC中，已知 ，B= ，C= ，则 等于
A. B. C. D.
3、已知 中，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分别是角 的对边， ，则 =
A. B. C. 或 D.
4、在△ABC中， 分别是三内角 的对边, , ,则此三角形的最小边长为（ ）
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
第二课时正弦定理与余弦定理典型例题
题型一：解三角形
例1．在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A
⑴解：∵ = cos
= = ∴
求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin
又∵ ＞ ＜
∴ ＜ ，即 ＜ ＜ ∴
， ，
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若 ABC中，C= ，则 ，这时
（I）求 的值；
（II）若cosB= ，b=2， 的面积S。
第三课时正弦定理与余弦定理课堂检测
1．在 是 的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、已知关于 的方程 的两根之和等于两根之积的一半，则 一定是 （ ）
（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.
题型三：正、余弦定理的应用
例3.在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ．（I）若 的面积等于 ，求 ；（II）若 ，求 的面积.
解：（Ⅰ）由题意，得 即
因为 所以
由 得
（Ⅱ）由 得， .
由余弦定理得， ，
∴ .
∴
变3.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cosB= ，且 =—21．