不定积分方法总结 2

不定积分方法总结

一．一个重要思想

拆分：用各种变换将一个合式分解成多个分式，这些分式的积分往往是好求的，再对每个分式进行积分，从而达到运算的简化。常见方法是裂项。

二．需要牢记的东西

不定积分基本公式一共26个，牢记这些公式有助于提高运算速度1）∫cdx=cx

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4) ∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√(a^2-x^2)dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c

11）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13) ∫secx tanx dx=secx+C

14)∫cscxcotx dx=-cscx+C

15）∫0 dx=c

16) ∫1/(1+x^2) dx=arctanx+c

17) ∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c

18) ∫tanx dx=-In|cosx|+c

19) ∫cotx dx=In|sinx|+c

20) ∫secx dx=In|secx+tanx|+c

21) ∫cscx dx=In|cscx-cotx|+c

22) ∫1/√(x^2+a^2) dx=In(x+√(x^2+a^2))+c

23) ∫1/√(x^2-a^2) dx=|In(x+√(x^2-a^2))|+c

24)∫√(a^2-x^2)dx=x/2√(a^2-x^2)+a^2/2*arcsin(x/a)+c

25)∫√(x^2+a^2)dx=x/2√(x^2+a^2)+a^2/2*In(x+√(x^2+a^2))+c

26)∫√(x^2-a^2)dx=x/2√(x^2-a^2)-a^2/2*In(x+√(x^2-a^2))+c 三．常用方法总结

1.第一换元积分法

（1）第一换元积分法又叫凑微分

F'(x)=f(x),

∫f(ax+b)x=1/a∫f(ax+b)(ax+b)'dx=1/a∫f(ax+b)d(ax+b)=1/aF(ax+b)+C (2)显式第一换元积分形

F'(x)=f(x),则有如：

∫f(lnx)/xdx=∫f(lnx)dlnx=F(lnx)+C

∫f(arctanx)/(1+x²)dx=∫f(arctanx)darctanx=F(arctanx)+C

（3）常见三角函数积分

①∫（sinx）^n(cosx)^mdx.若m,n至少有一个奇数，不妨设m=2k+1,则=∫(sinx)^n(cosx)^2kcosxdx=∫(sinx)^n(1-sin²x)^kdsinx.若m,n均为偶数，则用倍角公式降幂成奇数，再求解。

②∫（tanx)^ndx,∫(cotx)^ndx(n>=2),利用1=

（1+tan²x)cos²x,1=(1+cot²x)sin²x降幂，凑微分

③∫1/（sinx）^n(cosx)^mdx，利用1=sin²x+cos²x来使分母降幂

④∫1/（a+bsin²x)dx，∫1/（a+bcos²x)dx，利用a=a(sin²x+cos²x),分母为acos²x+(a+b)sin²x(asin²x+(a+b)cos²x),提出cos²x（sin²x），再利用

1/cos²xdx=dtanx（-1/sin²xdx=dcotx）来凑微分

（4）第一换元积分法的通用技巧

①g（x)常在分母里，根号底下，或平方底下

②添项减项法：在分子上添项减项，从而可以和分母里的因子相约，并拆分成两个式子，达到简化运算的目的

③移项法：在等式右边出现待解式，移到等式左边，合并，再将右边的东西除以系数得到结果

④提公因式法:提出来一系数,使得剩下的式子是基本公式里的

2.第二换元积分法

(1)对于根号下是一次分式形式的,常令t=整个根号

(2)对于根号下是二次整式形式的,常先配方,再利用三角换元

(3)三角换元法

(4)倒代换法

3.分部积分法

基本思路:将被积函数分为两个因子之积,要求其中一个因子原函数好求,另一个因子导数相对简单

(1)典型分部积分形

①对于lnx及其n次幂的，取f'（x)=1

②对于反三角函数，取f'（x)=1

③对于x^n与反三角函数的乘积，取f'（x)=x^n

④对于x^n与(lnx)^n乘积，取f'（x)=x^n

⑤对于a^x与sinx或cosx的乘积，取f'（x)=a^x

⑥对于x^n与a^x的乘积，取f'（x)=a^x

⑦对于x^n与sinx或cosx的乘积，取f'（x)=sinx或cosx

⑧∫1/(sinx)^ndx，∫1/(cosx)^ndx（n>=3)，取f'（x)=1/sin²x或f'（x)=1/cos²x，经过分部积分，移项解之。当n为偶数时，用凑微分法。

⑨一个递推公式

∫dx/(x²+a²)^(n+1)=1/2na²*x/(x²+a²)^n+(2n-1)/2na²*∫dx/(x²+a²)^n(n=1,2,……）

⑩一个公式

∫P(x)e^axdx=(P(x)/a-P'(x)/a²+……+（-1）^nP(n)(x)/a^(n+1))e^ax+C

(2)一般分部积分形

①抽象函数的积分往往用分部积分（尤其是在罗尔定理中，用此法来构造辅助函数）