不定积分的代数解法_郑华盛

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不定积分的解法汇总

不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的一个重要概念。

它是对函数的原函数进行求解的过程，也可以看作是对函数的不定积分运算。

不定积分的解法有多种，下面我们来汇总一些常见的解法方法。

1. 基本积分法。

基本积分法是一种最基本的解法方法，它是根据一些基本积分公式和常用的求导公式进行的。

2. 分部积分法。

分部积分法是一个将一个复杂的积分转化为一个简单积分的方法。

它是利用乘积的求导法则，将原积分转化为两个因子的积的积分。

4. 弧长参数化法。

在计算弧长或者曲面面积的问题中，可以使用参数的方法将弧长或者曲面面积表示为参数的函数。

然后就可以利用不定积分的方法进行求解。

5. 三角代换法。

三角代换法是一种将含有三角函数的积分转化为含有代数函数的积分的方法。

它通过选取适当的三角函数代换，将原积分转化为新的代数函数积分。

6. 偏微分方程法。

对于一些特定的函数形式，可以利用对应的偏微分方程进行求解。

这种方法主要用于求解一些特定形式的函数的原函数。

7. 凑微分法。

凑微分法是一种将原积分化为微分形式的方法。

它通过添加或者减去一个补充项，使得原积分可以表示为一个微分形式。

8. 特殊函数法。

特殊函数法是一种利用特殊函数的性质进行求解的方法。

对于含有指数函数、对数函数、反三角函数等特殊函数的积分，可以通过特殊函数的性质进行求解。

9. 极坐标变换法。

对于某些具有极坐标对称性的函数，可以利用极坐标变换进行求解。

这种方法主要用于求解平面曲线的面积或者弧长。

需要注意的是，不定积分的求解并不是一种机械性的运算，而是需要灵活运用不同的解法方法，并根据具体问题进行选择。

对于一些复杂的不定积分，可能需要结合使用多种解法方法，或者利用一些数值方法进行求解。

在实际应用中，可以根据具体情况进行选择。

以上就是关于不定积分的解法的汇总，希望能对您的学习和理解有所帮助。

一道不定积分的几种解法

一道不定积分的几种解法不定积分是微积分中的重要概念之一，求解不定积分可以通过多种方法进行，本文将介绍几种常见的不定积分解法。

一、直接求导法：这是求解不定积分最常用的方法之一，即利用导数的基本性质逆向求解原函数。

如果原函数的导数形式比较容易求解，那么通过对导数进行逆运算可以求得原函数。

求解∫(3x²+4x-5)dx，可以使用直接求导法求解。

对3x²+4x-5进行逐项求导，得到导数为6x+4。

然后，逆向进行求解，得到∫(6x+4)dx = 3x²+4x+C，其中C为常数。

二、换元法：换元法是一种常用的不定积分求解方法，通过适当的变量替换，将原函数化为容易求解的形式。

令u=2x+1，那么du/dx=2，即du=2dx。

然后，将原函数中的x用u替代，得到∫u²(1/2)du。

再然后，将原函数化为简单的形式进行求解，得到(1/2)u³/3 + C，其中C为常数。

将u替换回x，得到(1/6)(2x+1)³ + C。

根据分部积分法的公式∫u⋅vdx = uv - ∫vdu，选择x和sin(x)进行分解。

令u=x，dv=sin(x)dx，则du=dx，v=-cos(x)。

代入公式，得到∫x⋅sin(x)dx = -x⋅cos(x) - ∫(-cos(x))dx。

进一步化简，得到∫x⋅sin(x)dx = -x⋅cos(x) + ∫cos(x)dx。

对于∫cos(x)dx，直接求解得到sin(x)。

所以，最终结果为∫x⋅sin(x)dx = -x⋅cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数。

分部积分法适用于原函数可以分为两部分的情况，通过运用公式将原函数进行分解，并利用简单的积分结果进行计算，得到最后的结果。

令x=tanθ，那么dx=sec²θdθ，以及1+tan²θ=sec²θ。

然后，将原函数进行代换，得到∫sec⁴θdθ。

浅谈不定积分的解法

vdu vdu 较容易求
在使用第二类换元积分法时，应满足的条件是（ 1） x= (t ) 可导，， ( t) 连续且， (t ) 0 （2） x= ( t ) 存在反函数 1 t= ( x) 第二类换元积分法的关键是寻找一个恰当的变量代换，以达到积分的目的，此法没有一般的规律可循，但被 2010 2
EXPLORATION
探索
浅谈不定积分的解法
■
中图分类号：O175
王晗宁
南京晓庄学院数学与信息技术学院
文献标识：A 文章编号：1006-7833( 2010) 02-341-02
积函数中含有根式时，而通过代换可以消除根式的情况下，可采用第二类换元积分法常用的有以下几种代换： n （ 1 ）简单的根式变换例如 R( x, ax b )dx, 可令 n x x 6dx = ax b =t ；求 x x 6 dx ，可令 x 6 =t
f [ ( t)] ， ( t) dt ，且容易套用公式积分出 F（x）+C，最后用
(t 2 1) t 2 1 tdt t t2 1
2) 1 x2ຫໍສະໝຸດ 解法 5.用双曲代换令 x=sht dx=chtdt
x3 1 x
2
dx
sh3t cht
chtdt
sh3tdt
1 3
ch3t cht
c
1 3
cht(ch2t 3) c
x3 1 x
2
x2 1 x2 dx x2 ( x2 1)
[
x2 1 x (x2 1)
2
x2 ]dx x ( x2 1)
2
(
1 x2

不定积分的解法汇总

不定积分的解法汇总不定积分是微积分的重要概念之一，也是求解函数的反导函数的方法。

不定积分有许多不同的解法，下面将对一些常见的方法进行汇总和介绍。

一、幂函数的不定积分法：幂函数是指形如x^a的函数，其中a为常数。

对于幂函数的不定积分，可以根据幂函数的形式和大小分为以下几种情况：1. 如果a不等于-1，则不定积分为x^(a+1)/(a+1) + C，其中C为常数。

2. 如果a等于-1，则不定积分为ln|x| + C，其中C为常数。

此时，需要注意被积函数在x=0处不可导。

四、代换法：代换法也是求解不定积分的常用方法之一。

代换法的基本思路是通过进行变量代换，将原有的被积函数转化为一个容易求解的形式。

常用的代换方法有：1. 反三角函数代换法：当被积函数中含有三角函数的平方和根号时，可以尝试进行反三角函数代换。

当被积函数中含有根号(1-x^2)时，可以尝试进行代换x=sin(t)。

通过对x和t进行代换和变换，将原有的积分转化为一个更简单的形式进行求解。

2. 指函数代换法：当被积函数中含有指数函数的形式时，可以尝试进行指函数代换。

当被积函数中含有e^(x^2)时，可以进行代换x=t^2，从而将原有的积分转化为一个更容易求解的形式。

3. 三角函数代换法：当被积函数中含有三角函数的乘积或和差时，可以尝试进行三角函数代换。

当被积函数中含有sin(x)cos(x)时，可以进行代换t=sin(x)或t=cos(x)，从而将原有的积分转化为一个更简单的形式进行求解。

五、分部积分法：分部积分法是求解不定积分的常用方法之一。

分部积分法的基本思路是通过对积分中的一个函数进行求导，而对另一个函数进行积分，从而将原有的积分转化为两个函数的乘积形式进行求解。

分部积分法的公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)是可导函数。

分部积分法常用于求解含有指数函数、对数函数、三角函数等的积分。

不定积分解法总结

不定积分解法总结不定积分（即原函数）是微积分中的一个重要概念，它用于求函数的积分。

与定积分不同，不定积分不需要明确的区间范围，因此结果是一个常数加上一个关于变量的函数。

不定积分的解法非常多样化，下面我将总结一些常用的不定积分解法。

1.代数法则代数法则是解决不定积分的最基本的方法之一、根据代数法则，我们可以将一个复杂的函数分解成几个简单的函数的和或者乘积，然后分别对这些简单函数求不定积分。

常用的代数法则包括：- 常数法则：∫c dx = cx + C (其中c是常数，C是任意常数)- 基本运算法则：∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx2.数量积分法对于形如f(g(x))g'(x)的积分，可以使用数量积分法进行求解。

该方法的基本思想是将f(g(x))g'(x)中的g'(x)看作f(g(x))的导数，然后根据不定积分的定义找到f(g(x))的原函数。

3.换元积分法换元积分法是解决不定积分的重要方法之一，它通过引入一个新的变量来简化积分。

换元积分法的基本思想是将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，然后根据链式法则进行求解。

4.分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法，它将被积函数进行分解，然后将积分号移至其中一个分解函数上。

该方法的基本思想是利用乘积的导数公式来简化积分。

5.偏导数积分法偏导数积分法是解决不定积分的一种特殊方法，适用于一些特殊的函数形式。

该方法的基本思想是将一个多元函数对一个变量的偏导数看作另一个变量的导数，并进行相应的求导运算。

6.牛顿-莱布尼茨公式7.三角换元法三角换元法是解决含有三角函数的不定积分的一种方法。

该方法的基本思想是将三角函数用三角恒等式表示成另一个三角函数，然后利用换元积分法进行求解。

8.分式分解法分式分解法适用于含有分式的不定积分，它将分式分解成几个简单的分式的和或者乘积，然后分别对这些简单的分式进行不定积分求解。

高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法

还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a

不定积分求解方法及技巧

不定积分求解⽅法及技巧不定积分求解⽅法及技巧⼩汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的⼏种基本⽅法和技巧，列举个别典型例⼦，运⽤技巧解题。

⼀．不定积分的概念与性质定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的⼀个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上⼀定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）简单的说就是，连续函数⼀定有原函数定理2设F（x）是f(x)在区间I上的⼀个原函数，则（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差⼀个常数。

定义2设F（x）是f(x)在区间I上的⼀个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为?f(x)d(x),即?f(x)d(x)=F(x)+C其中记号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则?[f(x)±g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为⾮零常数，则?kf(x)dx=k?f(x)dx.⼆．换元积分法的定理如果不定积分?g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[?(x)] ?’(x).做变量代换u=?(x),并注意到?‘（x）dx=d?(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有?g(x)dx=?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du.如果?f(u)du可以积出，则不定积分?g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第⼀类换元法。

第⼀类换元法就是将复合函数的微分法反过来⽤来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的⼀个原函数，u=?(x)可导，则有换元公式f[(x)] ’(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.第⼀类换元法是通过变量代换u=?(x),将积分?f[?(x) ?’(x)dx化为?f(u)du.但有些积分需要⽤到形如x=?(t)的变量代换，将积分?f(x)dx化为?f[?(t)] ?’(t).在求出后⼀积分之后，再以x=?(t)的反函数t=?1-(X)带回去，这就是第⼆类换元法。

不定积分的计算方法

不定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来求函数的原函数。

在求不定积分时，我们主要使用的是一些基本的计算方法，如换元法、分部积分法和常数因子法等。

接下来，我们将逐一介绍这些方法。

首先是换元法。

它是利用导数和基本积分公式的逆运算，将积分转化为“求导”的逆运算。

具体步骤为：先选择一个合适的变量代换，使被积函数简化或形式明显，然后求出变量代换的导数，带入积分式中进行计算，最后用原变量表示出结果。

其次是分部积分法。

该方法适用于一些具有乘积形式的被积函数。

分部积分法的基本思想是将被积函数中的乘积分解成两个函数的乘积，然后通过部分积分公式将积分转化成一个普通的不定积分。

具体步骤为：选择一个作为“u”的函数，找到它的导函数“du”，同时选择另一个作为“dv”的函数，“v”为“dv”的不定积分。

然后，利用分部积分公式进行计算，得出最终结果。

分部积分法常被用于求含有幂函数、指数函数、三角函数和对数函数等的不定积分。

最后是常数因子法。

该方法适用于一些被积函数中存在常数因子的情况。

常数因子法的基本思想是将常数提取到积分外面，然后对去除了常数因子的函数进行不定积分。

具体步骤为：先提取出常数因子，“a”，然后将被积函数中除去常数因子的部分进行不定积分，最后将结果与常数因子相乘得到最终的结果。

除了上述方法，我们还可以利用一些基本的不定积分公式进行计算，如幂函数的不定积分公式、指数函数的不定积分公式、三角函数的不定积分公式等。

掌握这些公式，能够大大简化我们的计算过程。

在进行不定积分计算时，我们还需要注意一些特殊的情况。

例如，被积函数出现无界函数时，我们需要分段计算不定积分；当被积函数存在一些不连续点时，我们需要将积分区间分为多个相互不重叠的区间，并对每个区间进行计算；对于有理函数的不定积分，我们还需要进行分式分解，化简后再进行计算。

综上所述，求解不定积分的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。

在实际应用中，往往需要运用多种方法相结合，以便更好地完成计算工作。

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ｘ α
（
）
（
）
∫ ∫ 本文方法可同时求出ｅｃ避免两次使用分部积分公式．类似地，求ｄｘ及ｅｓｄｘ的值，ｘｘｓｎ β β ∫ｏ ∫ｉ（（只需作变换ｌ即可化为ｅ按上述方ｓｘ）ｘ和ｃｘ）ｘ，ｘ＝ｔ，ｔｔ和ｅｔｔ型积分，ｄｄｄｄｉｎｌｎｏｓｌｎｎｉｎｏｓ ∫ ∫ ∫ｓ ∫ｃ
２２
α ｓ
烎
ｘｘｓｄｘ＝ｏｓｉｎ α ｃ β
＝
∫
α （ｘ）＋β ＋Ｃｐ３ｘ）ｐ４（ｓｓ
１（ｘ＋β ｘ）ｓｓｃｃｘｘｉｎｉｎｏｓｏｓ α α ＋Ｃ．２２ α β β α －β
虽然略有本文解法还可以同时求出不定积分ｓｘｘｘｃｄｘ，ｓｓｄｘ及ｃｃｄｘ，ｘｘｘｉｎｏｓｉｎｉｎｏｓｏｓ α α α β β β
１主要结论
先给出有关分块矩阵逆的一个结论：
［］３－４引理１设Ａ＝
ＢＯＯＢ，Ｇ＝［］］，其中Ｂ，Ｄ皆为可逆方阵，则［ＣＤＤＯＢＯＯＤ，Ａ＝［Ｇ＝［］］．－ＤＣＤＢＯＢ
－１－１－１－１－１－１－１－１
第３０卷第１期２０１４年２月
大学数学
ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏｌ．３０， №．１Ｆｅｂ．２０１４
不定积分的代数解法
郑华盛
（）南昌航空大学数学与信息科学学院，江西南昌３３００６３摘要］基于积分运算是微分运算的逆运算，利用线性代数方法，提出了一种求解几类特殊函数不定积［分的新方法，并结合实例验证了方法的有效性．［关键词］不定积分；线性空间；线性变换；基函数；矩阵（）［中图分类号］Ｏ文献标识码］Ｃ［文章编号］１１５１．２６；Ｏ１３［６７２４５４２０１４０１０７８６１００－－－
∫
∫
∫
计算量，但思路清晰，不难计算，而且无需应用积化和差公式．
第１期郑华盛：不定积３求ｘｅｄ ∫ ｘ．
２３ｘ
ｘ α 类型三Ｐｍ（其中Ｐｍ（ｘ）ｄｘ型积分（ｘ）为ｘ的ｍ次多项式）ｅ．
２应用实例
为了验证本文方法的有效性，我们计算以下五种类型的不定积分．
２２ｘｘ α α ）其中α 类型一ｅｘｘｃｄｘ与ｅｓｄｘ型积分（＋．ｏｓｉｎ β β β ≠０
∫ ∫ 其中α ＋例１求ｅｃｘｄｘ，ｓ β β ≠０． ∫ｏ
ｘ α
ｘ，ｘ，ｘ）ｘ）＝ｅｃ＝ｅｓｏｓｉｎｐｐ１（２（ β β
则有，），），） ′ ′ Ｄ（ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）Ａ，＝（＝（ｐｐｐｐｐｐ１（２（１（２（１（２（ α β １ α － β ，其中Ａ＝故由定理１得．而Ａ－１＝２２＋ α － α α β β β １ｘｘ α α （ｘｘ＋β ｘ）ｅｃｄｘ＝２ｅｃｓｏｓｏｓｉｎ＋Ｃ， α ２ β β β α ＋β １ｘｘ α α （ｅｓｄｘ＝２ｅｃｓｘｘ＋α ｘ）ｉｎｏｓｉｎ－β ＋Ｃ．２ β β β α ＋β
Ｄ－１满足
，， …，），， …，）Ｄ－１（ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）Ａ－１＋Ｃ，＝（ｐｐｐｐｐｐ１（２（ｎ（１（２（ｎ（即
ｂ１ｊ烄烌ｂ２ｊ，， …，）＝ｐｄＤ－１ｘ）ｘ）ｘ＝（ｘ）ｘ）ｘ）＋Ｃ，ｎ．２，…，ｐｐｐｐｊ＝１，１（２（ｎ（ｊ（ｊ（
众所周知，微积分学是高等数学的主要内容，积分运算与微分运算二者互为逆运算．但积分的计算］要比微分的计算更为复杂，更为灵活，更具有技巧性．文献［对不定积分的一些基本计算方法作了较为１］详细地介绍．文献［从微分的角度研究了不定积分的解法．本文主要从线性代数的角度研究如何求解２不定积分，进而探索新的积分方法，提出一种计算不定积分的代数方法，并成功地应用于求解高等数学中几类特殊函数的不定积分．
ｎ×ｎ（）；，， …，），， …，）其中Ａ∈ＲｉＤ（ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）Ａ，＝（ｐｐｐｐｐｐ１（２（ｎ（１（２（ｎ（（）若Ｄ，， …，则Ａ可逆；ｉｘ）Ｄｘ）Ｄｘ）线性无关，ｉｐ１（ｐ２（ｐｎ（－１）若Ａ可逆，（则不妨设Ａ＝（ｂｉｉｉｉｎ×ｎ，ｊ）
∫
ｘ）＝ｃｓｘ）＝ｓｃｘｘｘ，ｘ，ｏｓｉｎｉｎｏｓ α ｐ α ｐ１（２（ β β ｘ，ｐｘ，ｘ）＝ｓｓｘ）＝ｃｃｘｘｉｎｉｎｏｓｏｓ α α ｐ３（４（ β β
则有，，，）＝（，，，） ′ ′ ′ ′ Ｄ（ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｐｐｐｐｐｐｐｐ１（２（３（４（１（２（３（４（，，，）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）Ａ，＝（ｐｐｐｐ１（２（３（４（其中
２３解设ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ，则３ｘ２３ ′（ｘ）＝２ｘｅｘｅｘ，＋３ｆ３ｘ３ｘ且由ｘ及ｘ２求导后的表达式，可知选取基函数ｅｅ２３ｘ３ｘ３ｘ（），，ｘ）＝ｘｅｘ）＝ｅｐｐｐ１ｘ＝ｘｅ，２（３（
∫
ｂｎ烆ｊ烎
ｎ
因为ｆ（于是有ｆ（ｘ）ｘ）＝ ∈Ｗ，
ｊ＝１
从而得ｘ）， ∑ ｋｐ（
ｊｊ
ｂ１ｊ烄烌
ｎｎｊｊｊ
１２
∫
ｘ）ｘ＝ｄｆ（
ｊ＝１
，， …，）ｘ）ｘ＝ ∑ ｋ（ｘ）ｘ）ｘ）ｄｐ（ｐ（ｐ（ｐ（ ∑ｋ ∫
ｎｊ＝１
ｂ２ｊ
＋Ｃ．
第１期郑华盛：不定积分的代数解法其中Ｃ为任意常数．）证（由已知，有ｉ，＝ｐ＝＋＋…＋Ｄｘ）ｘ）ａｘ）ａｘ）ａｘ） ′ ｐ１（ｐｐｐ１（１１（２２（ｎ１ｎ（１１， ′ Ｄｘ）ｘ）ａｘ）ａｘ）ａｘ）＝ｐ＝＋＋…＋ｐｐｐｐ２（２（１１（２２（ｎ２ｎ（２２ …… ＝ｐ＝＋＋…＋． ′ Ｄｘ）ｘ）ａｘ）ａｘ）ａｘ）ｐ１（ｐ２（ｐｎ（ｐｎ（ｎ（１ｎ２ｎｎｎ即，， …，），， …，）Ｄ（ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）Ａ，＝（ｐｐｐｐｐｐ１（２（ｎ（１（２（ｎ（其中Ａ＝（ａｉｎ×ｎ．ｊ）（）若Ｄ，， …，则由ｘ）Ｄｘ）Ｄｘ）线性无关，ｉｉｐ１（ｐ２（ｐｎ（
α －β 烌ＯＢ β －α Ａ＝．＝ＤＯ－α －β ００烆β α ００烎
０
烄００
０
（）
－
而由引理１，得烄００１－烄ＯＤ烌＝＝Ｂ－１Ｏ烎 α 烆ｓ００－β ｓ－
α ｓ
－ β烌ｓ
Ａ－１
β ｓ
００
α ｓ
００
，
β 烆ｓ
其中ｓ＝α －β ，故由定理１得
２２
ｘｘｘｘｘ α α α α α 且由ｅ解设ｆ（＝ｅ＝ ′（ｘ，则ｆｘ－ｘ，ｘ及ｅｘ求导后的表达ｘ）ｃｘ）ｃｃｓｏｓｏｓｉｎｏｓｉｎ αｅ β β βｅｓ β β β
式，可知选取基函数
８０
ｘ α
大学数学第３０卷
７９
ｘ）ｘ）ｘ）＋＋…＋＝０， λ λ λ ｐ１（ｐ２（ｐｎ（１ ·Ｄ２ ·Ｄｎ ·Ｄ得λ 即 λ λ １＝２＝ … ＝ｎ＝０，，ａａａ λ λ λ １１＋１２＋ … ＋１ｎｎ＝０１２烄
，ａａａ λ λ λ ２１＋２２＋ … ＋２ｎｎ＝０１２烅 …… ａａａ λ λ λ ｎ１１＋ｎ２２＋ … ＋ｎｎ＝０ｎ烆即Ａ可逆．只有零解，从而得Ａ ≠０，）（，则在相差任意常数的情况下，微分变换Ｄ可逆，且其逆变换ｂｉｉ若Ａ可逆不妨设Ａ－１＝（ｉｉｎ×ｎ，ｊ）
ｂｎ烆ｊ烎
定理１给出了计算不定积分的一种代数解法，它可以同时方便地求出ｐｘ）ｘ（ｎ）ｄ．２，…，ｊ＝１，ｊ（
∫
则只需求Ａ－１的第ｊ列即可．及其分项的导数形若仅需计算某个ｐ具体计算时，应根据ｆｄ ′（ｘ）ｘ，ｘ）ｊ（
∫
…，式选取基函数ｐｘ），ｘ），ｘ）．ｐｐ１（２（ｎ（
下面利用线性代数中线性空间与线性变换的概念，给出计算不定积分ｆ（主ｘ）ｘ的一种新方法．ｄ要结论如下：