线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数． （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解． （2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解 由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可． 由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证 （１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。
自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ,B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ）A ．若(I ）线性无关，则(Ⅱ）线性无关B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关D ．若(Ⅱ）线性无关,则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4。
设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1,α2，α3线性无关,则（ )A 。
α1,α3线性无关B 。
α1，α2，α3，α4线性无关C 。
α1，α2，α3,α4线性相关D 。
α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6。
设α1，α2，α3,α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）。
如果｜A |=2，则|-2A ｜=（ ）A 。
—32B 。
—4C.4D.327.设α1，α2,α3,α4 是三维实向量,则（ ）A 。
α1，α2,α3，α4一定线性无关B 。
α1一定可由α2，α3，α4线性表出C 。
α1,α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=(1，0,0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1)的秩为( ）A.1 B 。
线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题
1.设α1=(1 2−1 0)，α2=(1312)，α3=(24−2)，α4=(1135)，α5=(223)，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。
2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0.3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0.4. 设α1=(1003)，α2=(11−12)，α3=(12−2a )，β=(01b −1)问a,b 为何值时， （1） β不能由α1，α2，α3线性表出（2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式5. 设A=(λ+312λλ−113λ+3λλ+3)，讨论AX=0的解的情况。
6. 设A=(111a b c a 2b 2c 2)，讨论AX=0的解的情况。
7. 设A=(1 10 1 1 12 20−132a −3−21a )，β=(01b −1)，讨论方程组AX=β的解的情况。
8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1λλ2)，讨论方程组AX=b 的解的情况。
9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(12324636k)(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。
10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2−x 3=0x 1+2x 2+x 3−x 4=0，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2−1a +21)，α2=(−124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。
(2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。
11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a −51−1−1)，α2=(−6a +3−12)求（I ）与（II ）的所有非零公共解。
线性代数 第三章 线性方程组与向量的线性相关性
例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求
出全部解.
x1 3 x 2 3 x 3 2 （） 3 x1 x 2 2 x 3 3 1 4x 2x x 2 2 3 1 x1 x 2 x 3 3 x 4 2 （ ） x1 x 2 x 3 5 x4 4 2 4 x 4 x x 1 1 2 3
（c1 、c 2 为 任 意 常 数 ）
例2 解线性方程组
解：
1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 6 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 3 x1 x2 6 x3 3 2 x 2 x 3x 0 1 2 3
行 有解 B ( A b ) 行 阶 梯 形 矩 阵 行 最 简 形 矩 阵 行
行最简形矩阵非零行（r 行）的第一非零元取为固定未知量，剩余的未知量 取为自由未知量，令为 c1 , c 2 , c n r ，代回行最简形矩阵所表示的方程组 求出固定未知量，从而得到通解）
R ( 1 , 2 , n ) ( ) R ( 1 , 2 , n , )
例7
判 断 能 否 由 余 下 向 量 线 性 表 ？ 若 能 ， 给 出 表 示 式 出 .
T T T T
(1) (1,1,1) , 1 (0,1,1) , 2 (1,1,0) , 3 (1,0,2) ( 2) ( 2,2,0) , 1 ( 1,1,1) , 2 (1,1,2)
x1 1 1 x2 1 0 c1 c2 c11 c2 2 x 0 4 3 0 1 x 4 （c1 、c2为任意常数）
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
2014考研提高班线性代数例题-3向量
C2: (00 二) 已知向量组
0 a b
β1
=
−11,
β2
=
12,
β3
=
10
及向量组
1 3 9
α1
=
−23,
α2
=
10,
α3
=
−67Leabharlann 有相同的秩，且β3 可由α1,α2,α3 线性表示,求 a,b 的值.
(1) 记 P =(x, Ax, A2x) ， 求 3 阶 方 阵 B 使
A = PBP −1;
(2)计算行列式 A + E . [放在 chap.5 E″11]
16
三、关于向量组的秩与极大无关组
C12:设
1 0 3 1 2
α1
=
−1 2
,
α2
=
（C）α1,α3,α4； （D）α2,α3,α4。
14
C″′10: (06 一~四)设α1,α2,…,αs 均为 n 维列向 量，A 为 m×n 矩阵，下列选项正确的是[ ].
(A)若α1,α2,…,αs 线性相关， 则 Aα1,Aα2,…,Aαs 线性相关；
(B)若α1,α2,…,αs 线性相关， 则 Aα1,Aα2,…,Aαs 线性无关；
α3
到基
α1+α2, α2+α3, α3+α1
的过
渡矩阵为[ ].
1 0 1
(A)
2 0
2 3
0 3
;
1 2 0
(B)
0 1
2 0
3 3
，
20
线性代数复习题带参考答案(一)
线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。
个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。
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线性代数第三章向量与线性方程组例题
13 ． 设 ������1 ， ������2 ， ������3 为 AX=0 的 一 个 基 础 解 系 ， ������1 = ������1 + ������2 + ������3 ， ������2 = ������1 + 2������2 + 3������3 ，������3 = ������1 + 6������2 − ������3 ，证明������1 ，������2 ，������3 也是 AX=0 的一个基础解系。
线性代数第三章向量与线性方程组例题
0 1 1 1 0 1 2 4. 设������1 = ，������2 = ，������3 = ，β= 1 问 a,b 为何值时， 0 −1 −2 ������ ������ 3 2 −1 （1） β不能由������1 ，������2 ，������3 线性表出 （2） β可以由������1 ，������2 ，������3 线性表出，并且写出表达式
������1 ������2 ������2 ������2 ⋮ ������������ ������2
⋯ ������1 ������������ ⋯ ������2 ������������ ≠0。 ⋱ ⋮ ⋯ ������������ ������������
20.设������������ = （������������1 ，������������2 ，…，������������������ ） (i=1,2,3…r,r<n)是 n 维实向量，且������1 ，������2 ，…，������������ 线性无关， ������11 ������1 + ������12 ������2 + ⋯ + ������1������ ������������ = 0 ������21 ������1 + ������22 ������2 + ⋯ + ������2������ ������������ = 0 已知 β=(������1 ，������2 ， … ，������������������ )������ 是齐次线性方程组(i) 的一个非 : : ������������ 1 ������1 + ������������ 2 ������2 + ⋯ + ������������������ ������������ = 0 零解，证明 β，������1 ，������2 ， … ，������������ 线性无关。
2������1 + 3������2 − ������3 = 0 ，且已知另一个四元齐次线性方程 ������1 + 2������2 + ������3 − ������4 = 0
−1 2 2 − 1 组（II）的一个基础解系为������1 = ，������2 = ，(1)求（I）的一个基础解系。 4 a+2 a+8 1 (2)a 为何值时（I）与（II）有非零公共解，并求所有非零公共解。
5. 设 A=
������ + 3 1 2 ������ ������ − 1 1 ，讨论 AX=0 的解的情况。 3������ + 3 ������ ������ + 3
1 6. 设 A= ������ ������2
1 ������ ������2
1 ������ ，讨论 AX=0 的解的情况。 ������ 2
−6 ������ − 5 ������ 1 11. 在上例中将������1 ，������2 改为������1 = ，������2 = + 3 求（I）与（II）的所有非零公共解。 −1 −1 −1 2
−2������1 + ������2 + ������������3 − 5������4 = 1 ������1 + ������4 = 1 12.已知非齐次线性方程组（I） ������1 + 2������2 − ������3 + 6������4 = 4 与(II) ������2 − 2������4 = 2为通解方程组 ������3 + ������4 = 1 3������1 + 2������2 + ������3 + 2������4 = c 求 a,b,c 的值。
15.设 α 可以由������1 ，������2 ，…，������������ 线性表出，但不能由������1 ，������2 ，…，������������−1 线性表出，证明������������ 可 由������1 ，������2 ，…，����
16.设������1 ， ������2 ， ������3 ， ������4 线性相关， 其中任意三个线性无关， 证明存在全不为 0 的数������1 ， ������2 ， ������3 ， ������4 使 ������1 ������1 +������2 ������2 +������3 ������3 +������4 ������4 =0。
2. 设 A 为 mxn 阶矩阵，B 为 nxp 阶矩阵，C 为 pxs 阶矩阵，R(C)=p，且 ABC=0，证明 B=0.
3. 设 A 为 mxn 阶矩阵，X 与 b 为 m 维列向量，Y 为 n 维列向量，证明 AY=b 有解的充要条 件是满足A������ X=0 的所有 X 均满足b������ =0.
14.
设 ������1 ， ������2 ， … ， ������������ 为 AX=0 的 一 个 基 础 解 系 ， ������1 = ������1 ������1 + ������2 ������2 ， ������2 = ������1 ������2 +
������2 ������3 ， … ，������������ = ������1 ������������ + ������2 ������1 ， (������1 ， ������2 为实数)问������1 ， ������2 满足什么条件时， ������1 ， ������2 ， … ，������������ 也 是 AX=0 的一个基础解系。
线性代数第三章向量与线性方程组例题
1 1 2 1 2 2 3 4 1 1. 设������1 = ， ������2 = ， ������3 = ， ������4 = ， ������5 = 2 ， 求向量组������1 ， ������2 ， ������3 ， ������4 ， ������5 的一个极 −1 1 −2 3 0 0 0 5 3 2 大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。
线性代数第三章向量与线性方程组例题
0 1 1 1 1 0 1 2 2 7. 设 A= ，β= 1 ，讨论方程组 AX=β的解的情况。 0 −1 ������ − 3 −2 ������ 3 2 1 ������ −1
1 ������ 1 1 8. 设 A= 1 ������ 1 ，b= ������ ，讨论方程组 AX=b的解的情况。 ������2 1 1 ������
23.设 A 为（n-1）x n 矩阵，|Aj|表示 A 中划去第 j 列所构成的行列式，证明： （1）ξ=（|A1|-|A2|） ，…，(−1)������−1 |������������|������ 为 AX=0 的解 （2）当 R(A)=n-1 时(1)中的解 ξ 为 AX=0 的一个基础解系。
24.设 A 为 n 阶矩阵，证明 AX=b 对对任意 b 有解的充分条件为|A|≠0。
线性代数第三章向量与线性方程组例题
25.已知向量组������1 ，������2 ， … ，������������ 中每一个向量均可由向量组β1 ，β2 ， … ，β������ 线性表出，且向 量组������1 ，������2 ， … ，������������ 线性无关,证明: (1)r≤s (2)存在β������ （1≤k≤s）使β������ ，������1 ，������2 ， … ，������������ 线性无关
9. 已 知 三 阶 矩 阵 A 的 第 一 行 为 a,b,c ， 且 a,b,c 不 全 为 0 ， 矩 阵 1 2 3 B= 2 4 6 3 6 ������ ������为常数 满足 AB = 0，求 AX = 0 的通解。
线性代数第三章向量与线性方程组例题
10. 设 4 元齐次线性方程组（I）
17.已知������1 ，������2 ，������3 线性相关,������2 ，������3 ，������4 线性无关，问： （1）������1 可否由������2 ，������3 ，������4 线性表出， （2）������4 可否由������1 ，������2 ，������3 线性表出，并说明理由。
26 设β1 =������2 + ������3 + ⋯ + ������������ ，β2 =������1 + ������3 + ⋯ + ������������ ，…，β1 =������1 + ������2 + ⋯ + ������������−1 ， （n≥2） ， 证明������1 ，������2 ， … ，������������ 与向量组β1 ，β2 ， … ，β������ 等价。
������
21.设 n 阶矩阵 A,B 满足 R(A)+R(B)<n，证明齐次线性方程组 AX=0 与 BX=0 存在非零公共解。
线性代数第三章向量与线性方程组例题
22.设 X1，X2，…,Xn-r 为 AX=0 的一个基础解系 X0，为 AX=b（b≠0）的一个特解，证明： （1）X0,X1，X2，…,Xn-r 线性无关 （2）X0,X0+X1，X0+X2，…,X0+Xn-r 线性无关