椭圆及其实用标准方程(教学设计课题)
椭圆及其标准方程教学设计
课题：椭圆的标准方程
崇明中学吴昶剑
一．教学目标
1．初步掌握椭圆定义及其标准方程的概念，理解椭圆标准方程的推导，掌握标准方程的形式。
2．巩固求曲线方程的步骤与方法，进一步熟练用代数方法讨论几何图形的性质，学会用运动变化的观点研究问题，培养学生化归的意识和转化的能力；体会数学知识的和谐美和几何图形的对称美。
3．通过对推导思路的探索，优化学生的思维品质，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神。
二．教学重点、难点
椭圆的定义的理解及其标准方程的推导。
三．教材分析
本节课教学内容是上海教育出版社二期课改新教材高二第二学期12.3节第一课时：椭圆的标准方程。
在此之前，学生已经学习了直线和圆的方程，对曲线与方程的概念有所了解，同时学习了求简单曲线的方程和利用曲线方程的理论研究曲线集合性质的初步知识，由于圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，因此本节教材具有基础而又重要的地位，学好本节内容对进一步理解曲线和方程的概念，深化数形结合、类比的数学思想以及将来研究双曲线和抛物线都有着重要的指导作用。
四．学情分析
经过直线和圆的学习后，高二学生已经具有一定的创造思维能力，在新疆内高班这个特殊的班级当中，学生水平层次差异较大，如果易于理解和连贯的给出椭圆的定义及标准方程的推导过程，还要立足于充分调动学生的主观能动性，创造便于观察和思考的几何环境，给学生发表见解和表现才华的机会，在新课的讲解过程中能充分满足学优生的创造愿望，又要充分吸引学困生加入到新知识的探究过程中来。
【提出问题】。
椭圆及其标准方程 (优质课说课稿)
《椭圆及其标准方程》说课稿尊敬的各位评委:大家好！我说课的内容是《椭圆及其标准方程》, 下面, 我将从教材分析, 学情分析, 教学目标, 教学方法, 教学过程设计, 教学设计说明几个方面来进行阐述.一、教材分析1.课标要求:《椭圆及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第二节内容.课程标准对这部分内容的要求是：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程, 掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质”.2.教材地位“椭圆及其标准方程”是《圆锥曲线》第一节的内容；在前面学生已经学习了运用坐标法研究了直线和圆的性质,及曲线与方程的关系,对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入,为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础,因此, “椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用.二、学情分析(1)在学习本课之前学生已学习了直线和圆的方程及其性质, 曲线与方程的关系, 对解析几何有一定的了解, 已有一定的观察、分析、解决问题的能力.这为本节课的学习奠定了必要的知识基础.(2)在日常生活中, 学生对椭圆有了一定的认识, 但仍没有上升到成为“概念”的水平, 将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战.含有两个根式的方程的化简也会使学生的探究受阻, 教师要适时加以点拨.三、教学目标分析根据教学内容的地位和作用, 结合学生的实际, 确定了以下教学目标:1.掌握椭圆的定义及其标准方程；通过对椭圆标准方程的探求, 熟悉求曲线方程的一般方法.2.在椭圆概念的形成过程及其标准方程的推导过程中,培养学生的归纳概括能力、动手实践能力、分析问题、解决问题的能力及运算能力.3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系, 体会数形美的统一, 激发学生学习数学的兴趣, 培养学生敢于探索, 勇于创新的精神.教学重点和难点:1.重点: 感受建立曲线方程的基本过程, 掌握椭圆的标准方程及其推导方法.为了突出重点, 让学生动手实践, 自主探索, 通过画图揭示椭圆上的点所要满足的条件, 由此得出定义, 推出方程.2.难点: 椭圆标准方程的推导.为了突破难点, 关键是抓住“怎样建立坐标系”和“怎样简化方程”两个环节来进行方程的推导.四、教学方法及准备(一)教学方法本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法, 并以多媒体手段辅助教学, 使学生经历实践、观察、交流、分析、概括等理性思维的基本过程, 切实改进学生的学习方式, 使学生真正成为学习的主人.（二）教学准备教师准备:多媒体课件学生准备: 一支铅笔、两个图钉(或胶带)、一根细绳、一张硬纸板.五、教学过程设计按照“引入课题——形成概念——推导方程——对比分析——例题讲解——归纳小结——作业布置”这七个环节来组织教学, 层层推进, 实现教学目标.(一)创设情境, 引入课题本节课的开始由多媒体演示“神舟八号”无人飞船与“天宫一号”目标飞行器进行了空间交会对接, 绕地球旋转运行的画面.提出问题: “神州八号”的轨道是什么形状？待学生回答后,请学生叙述生活中见到的椭圆形象, 并用课件展示我所搜集的椭圆形象, 让学生形成椭圆的感性认识, 引入课题.[设计意图] 这一过程充分调动学生的学习兴趣, 激发学生的探究心理,为引出新知做铺垫.通过举例和展示生活中椭圆形的图片, 让学生认识到椭圆和日常生活关系密切.使他们感受数学的应用价值, 同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力.(二)实验探索, 形成概念有了对椭圆的感性认识,如何来研究椭圆呢?提出问题: 曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹.椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？这时借助于多媒体演示椭圆的画法, 请学生拿出准备的学具动手画图, 并思考问题.在学生思考的过程中我继续用问题引导: 圆是如何定义的,圆是满足什么条件的点的轨迹呢?学生回答后我继续追问: 在画图的过程中, 哪些量在变, 哪些量保持不变？学生根据自己的实验, 观察回答: “两定点间的距离没变, 绳子的长度没变, 点在运动.”我继续提问：你们能根据刚才画椭圆的过程, 类比圆的定义, 归纳概括出椭圆的定义吗？先让学生独立思考,尝试归纳,然后进行小组合作交流,教师重点关注学困生,适时给予点拨指导.几分钟后,大部分学生都能得到椭圆的定义:“平面内与两个定点的距离之和为常数的点的轨迹叫椭圆.”接着对得到的概念进行剖析, 提出问题: 这个常数是任意的吗？给学生两分钟时间进行思考、讨论、交流, 尝试找出答案, 若有困难, 教师借助于演示实验再次探索观察, 学生不难发现, 这个常数必须大于两定点间的距离.这样, 就得到了完整的椭圆定义：平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于|F F |）的点的轨迹叫做椭圆。
椭圆及其标准方程教学设计
椭圆及其标准方程教学设计椭圆及其标准方程教学设计1前言：新课程改革实施以来，教学模式发生了重大的改变，由以往的“一言堂”形式向多种“开放式”教学模式进行转变，在教育观念的不断转变下，对于我们的一线老师也提出了更高的要求，新形势下，要想成为一名合格的老师，就需要不断的加强自己的业务能力，使自己能够变成一名受学生尊重和喜爱的老师，从而更好的提高学生的教学成绩。
基于以上原因，本人尝试制定出椭圆及其标准方程第一课时的教学设计如下：一，教材分析本节课是《全日制普通高中课程标准实验教科书》（选修１－１）（人民教育出版社课程教材研究所中学数学教材实验研究组编著）第二章《圆锥曲线与方程》第一节《椭圆》的第一课时。
在学习本课之前，我们已经学习了直接和圆的相关内容，使学生对于曲线和方程的概念有了一定的了解，同时，对于利用坐标法来研究几何也有了一定的认识，对于数形结合思想也有了一定的了解，从根本上来讲，本节课也属于曲线方程的一个延伸，也是利用坐标法来研究几何图形的进一步加强，本节课的掌握情况的好坏，将直接影响后面双曲线和抛物线的学习。
对于学好圆锥曲线也有重要的意义。
椭圆这一节课体现出来的一些学习方法对于后面双曲线和抛物线的学习有一个重要的引导作用，但是本节课也难度较大，对于缺乏数形结合能力，不爱作图的学生来廛，学习起来是非常困难的，尤其是我所要教授的是一群普通高中的学生，更是难上加难的。
二，学习对象分析１.学习对象本节课重点讲解内容是椭圆，经过上一节课的学习，学生有了一些求点的轨迹问题的知识基础和能力，但是由于我们的学生作为普通高中的一名学生，在高中招走７００名学生后，才进入到我们学校的学生来讲，他们的起点低，学习习惯不好，导致了我们的教学难度的加大，所以，从研究圆，跨越到椭圆，学生会存在一定学习上的障碍，教学过程中更要注意这方面的教学。
对于学生的抽象思维，分析能力都是一个较大的考验。
２.知识基础上课前，要对学生对于直线和圆的方程，以及曲线和方程部分知识点进行适当的回顾，将学生拉到利用坐标法来解决实际问题的过程中来。
《椭圆及其标准方程》教案
《椭圆及其标准方程》教案一、教学目标1、知识与技能目标理解椭圆的定义。
掌握椭圆的标准方程及其推导过程。
能根据给定条件，求出椭圆的标准方程。
2、过程与方法目标通过动手操作，经历椭圆的形成过程，培养学生的观察、分析和归纳能力。
通过椭圆标准方程的推导，培养学生的逻辑推理和数学运算能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的对称美、简洁美，激发学生学习数学的兴趣。
通过小组合作探究，培养学生的合作精神和创新意识。
二、教学重难点1、教学重点椭圆的定义和标准方程。
2、教学难点椭圆标准方程的推导。
三、教学方法讲授法、直观演示法、探究法四、教学过程1、导入新课展示生活中常见的椭圆形状的物体，如椭圆形的镜子、椭圆形的跑道等，让学生观察并思考这些物体的形状特点。
提问：如何精确地描述椭圆的形状？从而引出本节课的主题——椭圆及其标准方程。
2、椭圆的定义准备一根绳子，将两端固定在黑板上，用粉笔将绳子拉紧并移动粉笔，画出一个椭圆。
引导学生观察并思考：在这个过程中，粉笔运动的轨迹有什么特点？给出椭圆的定义：平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之和等于常数（大于\（｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，记为\（2c\）。
3、椭圆标准方程的推导以经过椭圆两焦点\（F_1\）、＼（F_2\）的直线为\（x\）轴，线段\（F_1F_2\）的垂直平分线为\（y\）轴，建立直角坐标系。
设椭圆的焦距为\（2c(c ＞ 0)＼），椭圆上任意一点\（M\）的坐标为\（（x,y)＼），焦点\（F_1\）、＼（F_2\）的坐标分别为\（（c,0)＼）、＼（（c,0)＼）。
根据椭圆的定义，＼（｜MF_1| ＋｜MF_2| ＝ 2a\）（＼（2a ＞2c\））。
由两点间的距离公式可得：＼＼begin{align}＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＋＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＆＝ 2a\＼＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＆＝ 2a ＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2}＼＼（x ＋ c)＾2 ＋ y^2 ＆＝ 4a^2 4a\sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＋（x c)＾2 ＋ y^2\＼x^2 ＋ 2cx ＋ c^2 ＋ y^2 ＆＝ 4a^2 4a\sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＋ x^2 2cx ＋ c^2 ＋ y^2\＼4cx 4a^2 ＋ 4a\sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＆＝ 0\＼a\sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＆＝ a^2 cx\＼a^2(（x c)＾2 ＋ y^2) ＆＝（a^2 cx)＾2\＼a^2(x^2 2cx ＋ c^2 ＋ y^2) ＆＝ a^4 2a^2cx ＋ c^2x^2\＼（a^2 c^2)x^2 ＋ a^2y^2 ＆＝ a^2(a^2 c^2)＼end{align}＼令\（b^2 ＝ a^2 c^2\）（＼（b ＞ 0\）），则可得椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b＞ 0\））。
椭圆及其标准方程》教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计一、学习对象分析本节课是高二数学课程内容，经过前期学习，学生已具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。
这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但仍需要依赖一定具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
本节内容对学生的分析能力要求较高。
二、教学目标1知识与技能目标1 掌握椭圆的定义（理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义）及其标准方程；2 通过对椭圆标准方程的探求，进一步感受曲线方程的概念，增强运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力，体会数形结合的数学思想；3 会根据条件写出椭圆的标准方程。
2过程与方法目标1 学生通过动手画椭圆、讨论探究椭圆定义、自主推导椭圆标准方程的过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力；2 通过对实际问题分析，培养学生利用数形结合思想解决问题、将抽象转化为具体、归纳知识、逻辑思维以及建模方面的能力；3情感态度与价值观目标1 在引入椭圆概念的过程中，让学生亲自动手画图，让学生体会知识产生的全过程，帮助学生树立运动、变化的辩证唯物主义思想。
2 在椭圆定义的分析中，还可借助计算机实践操作，拓展知识面，激发学生学习数学的兴趣，通过小组积分的方式贯穿课堂，增强学生的竞争意识和合作意识。
3 通过椭圆方程的建模过程，体会数学的简洁美、对称美及其理性和严谨，帮助学生形成严谨的科学态度。
三、学习重、难点1重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的定义及标准方程。
突破重点关键：运用道具演示椭圆的形成，使学生从感性认识上升到理性认识。
2难点：椭圆标准方程的建立和应用。
突破难点关键：掌握建立坐标系与应用的方法。
四、教法、学法设计1教法新课标的理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”。
由于高三1班的重点班学生思维比较活跃，又有相应的知识基础，所以本节课主要采用探究式、启发式相结合的教学方法，并充分利用多媒体、计算机软件和自制教具辅助教学，体现多媒体快捷、形象、大容量的优势与自制教具直观、实用优势的结合。
《椭圆及其标准方程》教学设计
3.1.1《椭圆及其标准方程》一、教学内容分析本节课是高中新课程人教A版数学选择性必修第一册第三章3.1《椭圆》的第一节《椭圆及其标准方程》.继学习圆之后，继续采用坐标法，在探究圆锥曲线集合特征的基础上，建立它们的坐标，得到方程。
从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础. 因此，这节课有承前启后的作用，是本节乃至本章的重点. 课标要求：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.”二、三维目标（1）知识与技能：①了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；②理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程.（2）过程与方法：①亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；②会用运动变化的观点研究问题，提高坐标法解决几何问题的能力.（3）情感态度与价值观：①通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.②通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美；提高学生的审美情趣.三、学习者特征分析从生活经验储备来看：高二学生对椭圆实物实例有所了解，但只限于感性认识，缺少理性分析；从知识储备来看：已经掌握曲线和方程的关系，求曲线方程的方法和步骤，具备一定的观察能力和分析问题的能力. 学生认识了椭圆的实物，却无法像“圆”一样，定性、定量分析，产生概念；从学习心理方面来看：已具备了对几何图形的一定水平层次的想象能力，已具备一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。
这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
从年龄特征上来看：高二学生身体和心理正趋于成熟，骨子里有一种敢创敢拼的冲劲，对新生事物敢于发表自己的见解和观点。
椭圆及其标准方程讲课教案
椭圆及其标准方程讲课教案一、教学目标：1. 让学生理解椭圆的定义及其性质。
2. 引导学生掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用椭圆知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的定义与性质2. 椭圆的标准方程3. 椭圆方程的求法4. 椭圆的应用三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 难点：椭圆方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究椭圆的定义与性质。
2. 利用图形演示法，让学生直观理解椭圆的标准方程。
3. 运用案例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
4. 采用小组讨论法，促进学生合作学习。
五、教学过程：1. 导入：通过展示生活中的椭圆实例，引导学生思考椭圆的定义。
2. 新课讲解：(1) 讲解椭圆的定义，引导学生理解椭圆的基本性质。
(2) 讲解椭圆的标准方程，让学生掌握椭圆方程的表示方法。
(3) 讲解椭圆方程的求法，引导学生学会运用数学方法解决问题。
3. 案例分析：分析实际问题，运用椭圆知识解决问题。
4. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调重点与难点。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固椭圆知识。
六、教学目标：1. 让学生掌握椭圆的焦点和准线的概念。
2. 引导学生了解椭圆的离心率及其求法。
3. 培养学生运用椭圆的性质解决几何问题的能力。
七、教学内容：1. 椭圆的焦点和准线2. 椭圆的离心率3. 椭圆的参数方程4. 椭圆的图像特点5. 椭圆的应用八、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的焦点、准线、离心率的概念及其应用。
2. 难点：椭圆的参数方程及其图像特点。
九、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究椭圆的焦点和准线。
2. 利用几何画图软件，演示椭圆的焦点和准线。
3. 运用案例分析法，让学生运用椭圆性质解决几何问题。
4. 采用小组讨论法，促进学生合作学习。
十、教学过程：1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生思考椭圆的焦点和准线。
高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
课题：椭圆及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析：《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。
从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。
因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。
二、教学目标分析：（一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.（二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.（三）情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.三、教学重点、难点：（一）．重点：椭圆定义及其标准方程（二）．难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法与教学手段采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。
教学手段：计算机课件辅助教学。
五、教学过程：（一）认识椭圆，探求规律:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图片，让学生从感性上认识椭圆.2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.（二）动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征.请两名同学上黑板画（三）归纳定义，完善定义我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。
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《椭圆及其标准方程》的教学设计市民勤县第一中学秀梅一、教学目标：1．知识与技能目标：（1）掌握椭圆定义和标准方程.（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题.2．过程与方法目标：（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.二、教学重点、难点：1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导.2．难点：椭圆标准方程的推导.三、教材与教法分析（一）、教材分析、学情分析：本节课是圆锥曲线的第一课时.它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线.椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，学生初次遇到，难度较大.（二）、教学方法和教学策略分析：探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围.以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习.充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点.让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题.四、教具：多媒体直尺、细绳、钉子、笔、小木黑板第一课时五、教学过程设计：新课引入2010年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘.这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰.“嫦娥二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆.在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。
由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究.今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程.那么什么是椭圆呢？（一）认识椭圆，问题引出:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. （演示：天体运行轨道；生活实例：平面截圆锥等图片）2．对比圆的定义：平面与定点的距离等于定长的点的集合.如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？（二）动手实验，亲身体验指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征.请三名同学上台画在黑板上.注：在本环节中不急于向学生交待椭圆的定义，而是先设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备.先在画板上点两点F1、F2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 、F2 两点处.【演示一】当绳长等于| F1 F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动.（1）、观察：笔尖的轨迹是一个什么图形？明确: 一条线段（2）、这条线段上的每一个点到F1 、F2两点的距离和都相等吗？明确:相等，而且都等于这条绳长【演示二】当绳子长大于| F 1 F 2|时，用笔尖把绳子拉紧，绳子尽量贴紧画板，使笔尖在画板上慢慢移动（学生亲手画），就可以在平面画出一个椭圆（动画演示）（三）归纳定义【引导】根据画图的过程，请同学们思考椭圆上的点有什么共同特征？ 提问：（1）在画图的过程中，绳长变了吗？ 明确: 没有（2）在画图过程中，绳子始终是紧绷的，那么我们画出的曲线上的点到F 1 、F 2两点的距离之和始终满足什么关系？明确:与绳长相等.对，绳长没有发生变化，这说明椭圆上每一点到F 1 、F 2两点的距离的和都相等，且都是绳长这一定值。
这就说明，椭圆上的点除了要满足到两定点F 1 、F 2的距离和相等之外，这个距离和还要比| F 1 F 2|大。
请大家回想刚才的画图过程，使笔尖贴紧绳子且贴紧黑板（表明在同一平面），又保证绳长大于| F 1 F 2|，这样就在平面画出了椭圆，所有具有这些特征的点集在一起就形成了椭圆.再次（运用几何画板的度量工具）演示椭圆上任意一点到两焦点的距离的和都相等（为定值）. 那么请同学们给椭圆下个定义吧. 引导学生归纳出椭圆的定义.椭圆定义：平面与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.巩固练习：平面有两定点A 、B ，它们之间的距离为6 cm .（1）若动点P 与A 、B 两点的距离和是定值，且 大于 （填大于、等于或小于）6 cm ，则它的轨迹是椭圆，定点A 和B 是椭圆的焦点。
它们之间的距离就是椭圆的焦距. （2）若动点P 与A 、B 两点的距离的和等于6cm,则它的轨迹是 线段AB . （3）若动点P 与A 、B 两点的距离的和小于6cm ，则动点轨迹 不存在 .（四）合理建系，推导方程为了进一步研究椭圆的特征，现在我们一起来推导椭圆的曲线方程:上一节我们知道了求曲线方程第一步，建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标.在这儿“适当”二字应如何体现？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比较简洁优美的形式确定为标准方程.已知椭圆的焦距)0(,2||21>=c c F F ，椭圆上的动点M 到两定点1F ,2F 的距离之和为a 2，求椭圆的方程.如图1，以两个定点1F ,2F 所在直线为x 轴，线段1F 2F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点，则{}a MF MF M P 221=+= （称此式为几何条件） 所以，得()()a y c x y c x 22222=++++- （实现集合条件代数化）为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得()()，22222y c x a y c x +--=++ 将这个方程两边平方，得（x+c ）2+y 2 = 4a 2 －4a()2222)(y c x y c x +-++-，整理得222)(y c x a cx a +-=-上式两边再平方，得2222222222422y a c a cx a x a x c cx a a ++-=+-,整理得)()(22222222c a a y a x c a -=+-注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点： 1. 化简含有根号的式子时，我们通常用什么方法？ 2. 对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算.为此，我首先启发学生图1如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力.方程 )()(22222222c a a y a x c a -=+- 结构较复杂，不便记忆，还可以继续化简吗？由椭圆的定义可知，2a ＞2c,即a ＞c,所以22c a -＞0两边同除以)(222c a a -，得122222=-+ca y a x . 因为22c a -＞0不妨令222bc a =-，那么所得的椭圆方程可化为：12222=+by a x ，)0(>>b a （1） 我们称方程（1）为椭圆的标准方程.它的焦点在x 轴上.注：这里引入正数b （令b 2=a 2-c 2）,其目的是使方程形式简单、和谐，讲究对称美，便于记忆.同时b 具有特定的几何意义，我们将在下一小节继续学习.对标准方程的理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点.问题：如果焦点1F ,2F 在y 轴上，且1F ,2F 的坐标分别为：（0，-c ）,(0,c), a ,b 意义同上，那么椭圆的方程是什么呢？可让学生先猜想结论：22221y x a b+=（a ＞b ＞0），并说明理由。
让学生通过对 ()()a x c y x c y 22222=++++-进行观察，与前面对比。
实际上只要将前面的x 轴与y 轴互换，就可得到焦点在y 轴的椭圆的标准方程：12222=+b x a y ，)0(>>b a （2） 两种标准方程特点的比较：1. 两个方程中都有：a 2＝b 2+c 2，a>b>0, a>c>0,b 与c 大小不定.2. 两个方程焦点位置的确定：哪个分式的分母大，焦点就在哪个轴上.（五）应用举例，小结升华例.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点)23,25(- ，求它的标准方程.分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程.法二：由焦点坐标知道a , b 的关系，再将已知点)23,25(-代入椭圆方程。
解法一、椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y （a ＞b ＞0）. 由椭圆的定义知2a =102)23(22523)225(2222=-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++, 所以a = 10又因为c = 2 ，所以b 2 = a 2 – c 2 = 10 – 4 = 6 . 因此，所求椭圆的标准方程为161022=+y x 解法二：因为c = 2 ,所以 a 2 = b 2 + 4所以可设椭圆方程为：142222=++by b x 把点（），2325-代入，可解得b 2 = 6 .所以a 2 = 10. 因此，所求标准方程为161022=+y x . 巩固练习：1．如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是 14 .2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a = 4 ,b = 1 ,焦点在x 轴上； 明确： 11622=+y x （2）a = 4 ,c = 15 ,焦点在y 轴上； 明确： 11622=+x y (3) a + b = 10 , c = 25 . 明确：1163622=+y x 或1361622=+y x 课堂小结：由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法，教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评：1．知识总结：椭圆的定义，椭圆的标准方程 . 2．思想方法总结：分类讨论，待定系数法，数形结合. 课外作业：习题2.2 第1、2题板书设计：课后反思：。