矩阵论知识要点

主要参考书
• 矩阵论 中国矿业大学出版社 程林凤等 • 矩阵论 清华大学出版社 方保熔等 •矩阵理论与代数基础 电子科技出版社 李正良 • 矩阵论 西北工业大学出版社 程云鹏 学习本课程所需掌握的基础知识：
线性代数有关知识与微积分初步
课程教学要求
• 理解矩阵论的基本概念 • 掌握矩阵论的基本计算方法
如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方
(1)
( A B) A B ;
H H H
(2) (A)
H
A ;
H
(3)
(4)
( AB) B A ;
H H H
(A ) A
H H
3)设 A (aij ) Cnn ，如果 AH A ，则称 是Hermite矩阵，如果 A 是反Hermite矩阵。
H
A
A ，则称 A
T 1 T 2
T 1 1 T 2 1
T 1 2 T 2 2
T 1 n T 2 n
= ( cij )m n ，
cij b aik bkj .
T i j k 1
s
以对角矩阵 m 左乘矩阵 Am n 时，把 A 按行 分块，有
m Amn
1 1T 1 1T T T 2 2 2 2 , T T m m m m
•常见形式有：Jordan标准形、行最简标准形、 Hermite标准形；矩阵的UR（酉矩阵U与正线上三 角矩阵R）分解、QR（正交矩阵Q与三角矩阵R ） 分解、谱分解、满秩分解、奇异值分解等。

课程教学主要内容
• • • • • • • • 一 线性代数的有关知识 二线性空间与线性变换 三 内积空间 四 范数理论 五 矩阵分析 六 矩阵分解 七 广义逆矩阵 八 Kronecker积
0 A 0
但
0 AB 0
1 0 O, B 0 0 0 . 0
0 O , 1
0 0 0 1 2 又如 A O, 但 A A A 0 0 . 0 0
6. 设 A 与 B 为 n 阶方阵, 问等式
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
成立的充要条件是什么？
答 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 成立的充要条件
是AB = BA . 事实上，由于
(A + B)(A - B) = A2 + BA - AB - B2,
故 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 当且仅当 BA - AB = 0，
• 给定一个m个方程n个变量的线性方程组
记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未 知向量， 则线性方程组可表示为
其中
解的形式：
（1）当m=n，且 A可逆时，线性方程组AX=B 的解可表示为 •当m=n，且 A不可逆时，或者当 时，线 性方程组的解又如何表示呢？
•特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定 义线性方程组的解。 广义逆矩阵问题
记
x1 b1 a11 x2 b2 a21 A (aij ) , x , b , B x b a n m m1
a12 a22
a1n a2 n
(iii) (A-1)-1 = A; (A)-1 = 1/ A-1 ( 0 );
(AT)-1 = (A-1)T .
(iv) 若同阶方阵 A 与 B 都可逆, 那么 AB 也
可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1 .
5. 矩阵的分块运算
矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论
证, 其运算法则同普通矩阵类似.
答 AB 不一定等于 BA .若要 AB = BA , 首
先要使 AB 和 BA 都存在,此时A、Ｂ应为同阶方
阵. 其次矩阵的乘法不满足交换律. 在一般情况
下, AB BA . 但对同阶方阵 A、B , |AB| = |BA| 是一定成立的. 因为对于数的运算, 交换律 是成立的, 即 |AB| = |A| |B | = |B| |A| = |BA| .
两种常用的分块法
1). 按行分块
对于 m n 矩阵 A 可以进行如下分块：
a11 a12 a1n 1T T a21 a22 a2 n 2 A . a T am1 amn m m1
思考、回答两个问题: 1、矩阵的数值特征及它们的应用 2、矩阵的初等变换及应用
附录
3.
知 识 要 点
一些特殊的矩阵
1) 设 A 为 m×n 阶矩阵,把它的行换成同序
号的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵, 记作 A
或 AT 矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有
(AT)T = A ; (A + B)T = AT + BT ;
即 AB = BA.
4. 逆阵的概念
1) 设 A 为 n 阶方阵,如果存在矩阵 B , 使 AB = BA = E, 则称矩阵 A 是可逆的(或非奇异的、 非退化的、满秩的），且矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 若有逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的,记作 A-1 .
2) 相关定理及性质
(i) 方阵 A 可逆的充分必要条件是: |A| 0 . (ii) 若矩阵 A 可逆, 则 A-1 = A*/ |A|.
思考
1. 任何两个矩阵 A、B 都能进行加(减), 相乘
运算吗?
答 不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能 进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与 第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这 时 AB 才存在.
3. 两个矩阵 A、B 相乘时, AB = BA 吗? |AB| = |BA| ?
阵 ATA = O .
证明 必要性显然，下面证明充分性.
设 A = ( aij )m n ，把 A 用列向量表示为
A ( a1 , a 2 , , a n ) ,
a1T a1Ta1 a1Ta2 a1Tan T T T T a2 a2 a1 a2 a2 a2 an T A A (a1, a2 ,, an ) , aT a T a aT a a T a n n n n 1 n 2
2). 按列分块
对于 m n 矩阵 A 可以进行如下分块：
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a m1 am1 amn
(a1 , a2 ,, an ).
对于矩阵 A = ( aij )m s 与矩阵 B = ( bij )s n的
4) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 2n 1n
叫做方阵 A 的伴随矩阵.
An1 An 2 , Ann
伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
以对角矩阵 m 左乘 A 的结果是 A 的每一行乘以 中与该行对应的对角元.
以对角矩阵 n 左乘矩阵 Am n 时，把 A 按列 分块，有
1 2 An (a1 , a2 ,, an ) m (11 , 2 2 ,, n n ) ,
4. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗?
答 不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律.
例如
1 0 0 0 0 0 A 0 0 , B 0 1 , C 0 0 ,
则 AB = AC , 但 B C.
5. 非零矩阵相乘时, 结果一定不是零矩 阵吗? 答 非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵. 例如
(A)T = AT ; (AB)T = BTAT .
2)、共轭转置矩阵
当 A = (aij) 为复矩阵时, 用
复数, 记
a ij 表示 aij 的共轭
A
H
(a ij ) .
T
AH 称为 A 的共轭转置矩阵 .
共轭转置矩阵有以下运算规律(设 A ,B 为复矩阵,
为复数, 且运算都是可行的):
A Rnn ，如果 AT A ，则称 A 设
是（实）对称矩阵，如果 AT A ，则称 A 是（实）反对称矩阵。
4) 设 A 为 n 阶方阵,若满足 A2 = A, 则称 A 为幂等矩阵. 若满足 A2 = E, 则称 A 为对合矩阵. 若满足 AAT = ATA = E, 则称 A为正交矩阵.
序言 • 矩阵论是一门经典的数学学科，也是一门繁 琐的、但有广泛应用价值的数学课程。 • 矩阵理论和方法是现代科技领域中处理有限 维空间形式与数量关系的强有力的不可缺少 的工具。 • 尤其是计算机的普及，更为矩阵论的应用提 供了广阔的应用舞台，如系统工程、控制工 程、最优化方法、管理工程等。
问题一 线性方程组的求解
以对角矩阵 n 右乘 A 的结果是 A 的每一列乘以
中与该列对应的对角元.
思考
设 e i 是标准单位坐标向量，则 （1） Ae j 表示什么？ （2）eiT A 表示什么？
e （3）iT Ae j 表示什么？
例 1 证明矩阵 AA = O 的充分必要条件是方 17 证明矩阵 = O 的充分必要条件是方
问题三 矩阵的分析运算
• 在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算， 能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、 矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。
•分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称 为矩阵范数。