2013年高考理科数学模拟试题
2013年全国高考仿真模拟题(一)(全国新课标理科数学卷)参考答案
（ ２ ２） ＋（ ２
０ ． ４ ， ， Ｊ （ 一 ２ ） 一 音 ｏ ． ２ ， Ｐ （ ∈ 一 ３ ） ＝ ｏ ． ２ ， Ｐ （ ｓ 一 ４ ） 一 一
０ ． １ ，Ｐ （ 一５ ） ： ＝ｏ ． １ ．故 “ 购 买 该 品 牌 汽 车 的 ３位 顾 客 中
所 以 的 分 布 列 为
假 设 抛 物 线 Ｌ 上 存 在 点 ｃ （ ｆ ， 鲁 ） （ ｆ ≠ ｏ ， ￡ ≠ ４ ） ， 使 得 经 过
１ ｌ － ５ ｌ ２
ｏ ． Ｉ ｏ ． ２ Ｉ
ｌ
Ｉ
Ｐ
故 的 数 学 期 望
０ ． ４
设 该 圆 的 圆 心 为 Ｎ （ ｎ ， ６ ） ． 因 ｛ Ｉ Ｎ Ａ Ｉ ＝ Ｉ Ｎ Ｂ Ｉ ， 所 以
（ ３ ）叩的可 能 取 值 为 １ ， １ ． ５ ， ２ （ 单位 ： 万元 ） ， 易 得
Ｐ（ １ ） 一 Ｐ（ １ ） 一Ｏ ． ４ ，
｝ ＋ ； ＞ 兰
Ｐ（ ： １ ． ５ ） 一 Ｐ（ ＝２ ） ＋ Ｐ（ 搴 ＝３ ） 一０ ． ４，
Ｐ（ 一 ２ ） ＝ Ｐ（ ： ４ ） ＋ Ｐ（ 一 ５ ） Ｏ ． １ ＋０ ． １ —０ ． ２ ．
．
１ 一 ａ — － ｔ ） ２ ＋ （ ｂ －．
ＡＳ Ｂ Ｃ为 等 腰 三 角 形 ， ｓ ｏ＿ ｌ ＿ Ｂ ｃ， 且 Ｓ Ｏ＝ ｓ Ａ， 从而 Ｏ Ａｚ ＋
即 ｆ ｎ 十 ６ 一 ＋ 吉 解 。 得 ｔ ： 一 － 。 十 壑 ，
．
Ｓ Ｏ ＝Ｓ Ａ。 ． 所 以Ａ Ｓ Ｏ Ａ 为 直 角 三角 形 ， 且Ｓ Ｏ上Ａ Ｏ． 又Ａ ０ｎＢ Ｏ＝０， 所以 Ｓ Ｏ 上平面 Ａ ＢＣ ．
2013年高考数学模拟试题(理科)答案
2013年高考数学模拟试题（理科）答案命题人：卧龙寺中学 吴亮 李丰明一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分11.[1,3] 12. -8 13. 96 14.511[2,2],66k k k Z ++∈ 15. A. 8(,)(2,)3-∞-+∞ B.C. 4三．解答题:本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分)解:(1)---------------------6分(2)由(1)知bc=5,而c=1,所以b=5, -----------12分17.(本题满分12分)解:(1)当n=1时,a 1=S 1=k+1,当n≥2时,a n =S n -S n-1=kn 2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1(*),经检验,n=1,(*)式成立,∴a n =2kn-k+1(n∈N *). -----------------6分(2)∵a m ,a 2m ,a 4m 成等比数列,∴a 22m =a m ·a 4m ,即(4km-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),整理得mk(k-1)=0,对任意的m∈N *成立,∴k=0或k=1. ------------------12分18.(本题满分12分)223121,25453||||3,51:2145 2.2cosA 2cos A (0,),sinA ,bc 5,ABC bcs 5inA a A AB AC AB AC cosA bc π-=-=⎝⎭==⨯======∈==⨯⨯= 又所以而所以所以的面积为所以-------------12分19．(本小题满分12分)解：(1)设事件A 表示甲运动员射击一次，恰好击中9环以上(含9环)，则P (A )＝0.35＋0.45＝0.8. 甲运动员射击3次均击中9环以下的概率为P 0＝(1－0.8)3＝0.008.所以甲运动员射击3次，至少有1次击中9环以上的概率为P ＝1－0.008＝0.992.------------------6分(2)记乙运动员射击1次，击中9环以上为事件B ，则P (B )＝1－0.1－0.15＝0.75.由已知ξ的可能取值是0,1,2.P (ξ＝2)＝0.8×0.75＝0.6；P (ξ＝0)＝(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05；P (ξ＝1)＝1－0.05－0.6＝0.35.ξ的分布列为所以E ξ＝0×0.05＋1×0.35＋2×0.6故所求数学期望为1.55. --------------------12分20. (本小题满分13分)解：(1)设A (x 1，y 1)，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以y 1＝32，又因为点A (x 1，y 1)在椭圆C 上，所以x 21＋y 214＝1，即x 21＋916＝1，解得x 1＝±74，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，32， 所以直线l 的方程为67x －7y ＋21＝0或67x ＋7y －21＝0. ---------6分(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3或x ＝0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，当AB 的方程为x ＝0时，|AB |＝4>3，与题意不符． 当AB 的方程为y ＝kx ＋3时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 2＋y 24＝1的解， 消去y 得(4＋k 2)x 2＋6kx ＋5＝0，所以Δ＝(6k )2－20(4＋k 2)>0，即k 2>5，则x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2，x 1·x 2＝54＋k 2， y 1＋y 2＝(kx 1＋3)＋(kx 2,3)＝244＋k 2， 因为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2<3，所以1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 4＋k 22－204＋k2<3， -------------12分解得－163<k 2<8，所以5<k 2<8.因为OA →＋OB →＝λOP →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝λ(x 3，y 3)，所以当λ＝0时，由OA→＋OB →＝0， 得x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2＝0，y 1＋y 2＝244＋k 2＝0， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当λ≠0时，x 3＝x 1＋x 2λ＝－6k λ(4＋k 2)， y 3＝y 1＋y 2λ＝24λ(4＋k 2)， 因为点P (x 3，y 3)在椭圆上，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6k λ(4＋k 2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤24λ(4＋k 2)2＝1， 化简得λ2＝364＋k 2， 因为5<k 2<8，所以3<λ2<4，则λ∈(－2，－3)∪(3，2)．综上，实数λ的取值范围为(－2，－3)∪(3，2)． ---------------13分21．(本小题满分14分)解：(1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2. 因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． -------------2分当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. -------------4分(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点， 即方程f (x )＝a 有三个不同的解．--------------9分(3)f (x )≥k (x －1)，即(x －1)(x 2＋x －5)≥k (x －1)．因为x >1，所以k ≤x 2＋x －5在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x 2＋x －5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝－3.所以k 的取值范围是k ≤－3.---------------14分。
2013年高考模拟试卷1
2013年高考模拟试卷 数学（理科）卷本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么棱柱的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n )球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径第I 卷（共50分）一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．（1）（原创）已知集合}023|{2>-+=x x x M ，}1|{≥=x x N ，则=N M （A ）),3(+∞ （B ）)3,1[ （C ）)3,1( （D ）),1(+∞- （2）（原创）已知0>a 且1≠a ，则0log >b a 是0)1)(1(>--b a 的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）（原创）若复数i z +=1(i 是虚数单位)，则（ ） （A ）01222=--z z （B ）01222=+-z z （C ）0222=--z z （D ）0222=+-z z （4）（引用）在243)1(xx +的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（ ）（A ）3项 （B ）4项 （C ）5项 （D ）6项（5）（原创）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15（6）（根据宁波市2013届高三上期末测试4题改编）函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-0,13,0,31)(x x x f x x则该函数为（ ）（A ）单调递增函数，奇函数（B ）单调递增函数，偶函数 （C ）单调递减函数，奇函数 （D ）单调递减函数，偶函数（7）（根据2010浙江省高考参考试卷第7题改编）已知ABC ∆中，3==AC AB ，32cos =∠ABC ．若圆O 的圆心在边BC 上，且与AB 和AC 所在的直线都相切，则圆O 的半径为（ ） （A ）253 （B ）352 （C ）3 （D ）332 （8）（引用）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为a 2的等腰三角形俯视图是半径为a 的半圆，则该几何体的表面积是（ ）（A ）22325a a +π （B ）22323a a +π（C ）2233a a +π （D ）224325a a +π （9）（根据2013萧山中学3月月考10题改编）已知点)0)(0,(>-c c F 是双曲线12222=-by a x 的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222c y x =+交于点P ，且点P 在抛物线cx y 42=上，则该双曲线的离心率是（ ） （A ）253+ （B ）5 （C ）215- （D ）251+ （10）（根据2013届杭州一模17题改编）如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧AB 上且与BA ,不重合．．．的一个动点，y x +=，若)0(,>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为（ ）（A ）)1,21( （B ）)3,1( （C ）)2,21( （D ）)3,31(第II 卷(共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．（11）（引用）在平面直角坐标系中，不等式组)(,,04,0为常数a a x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为_______▲_____．（12）（引用）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(2-=n n a S ，则=2a _______▲______．俯视图侧视图正视图（第8题）（第10题）（14）（原创）已知A 为直线2:=+y x l 上一动点，若在1:22=+y x O 上存在一点B 使︒=∠30OAB 成立，则点A 的横坐标取值范围为_____▲____． （15）（原创）函数)2,0(),2cos(πϕϕ∈+=x y ，在区间)6,6(ππ-上单调递增，则实数ϕ的取值范围是_____▲____．（16）（根据09年全国数学联赛题改编）若方程)1ln(2ln +=x kx没有实数根，那么实数k 的取值范围是___▲___． （17）（根据2013浙江六校联盟10题改编）棱长为2的正四面体ABCD 在空间直角坐标系中移动，但保持点B A ,分别在x 轴、y 轴上移动，则原点O 到直线CD 的最近距离为____▲____ 三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．（18）（根据北京市东城区08届模拟考改编）（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c B a C b cos cos 4cos -=．（I ）求B cos 的值；（II ）若2=⋅，且32=b ，求a 和c 的值．（19）（原创）（本小题满分14分）袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球，1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13． （Ⅰ）求m 、n 的值；（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（20）（引用）（本小题满分14分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥11ACC A 底面ABC ，︒=∠601AC A ．（Ⅰ）求侧棱1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值的大小；（Ⅱ）已知点D 满足+=，在直线1AA 上是否存在点P ，使C AB DP 1//平面？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．（21）（根据09年清华大学自主招生试题改编）（本小题满分15分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点)0,2(-A ，过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点A 的直线l 与椭圆交于点Q ，与y 轴交于点R ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ，求证：2OPAR AQ ⋅为定值．（22）（原创）（本小题满分14分）已知函数x ea x f x+-=2)21()(.（R a ∈）（Ⅰ）若)(x f 在区间)0,(-∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若在区间),0(+∞上，函数)(x f 的图象恒在曲线x ae y 2=下方，求a 的取值范围．2013年高考模拟试卷数学（理科）答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2013届高考数学理科模拟卷
天利图书2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}023|{2>-+=x x x M ，}1|{≥=x x N ，则=⋂N MA ．),1(∞+-B ．)3,1[C ．)3,1(D ．),3(∞+ 2．若复数i z +=1(i 是虚数单位)，则A ．01222=--z z B ．01222=+-z z C ．0222=--z z D ．0222=+-z z 3．已知0>a 且1≠a ，则0log >b a 是0)1)(1(>--b a 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．155．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥+-x a y y x y x 013032表示一个锐角三角形所围成的平面区域，则实数a 的取值范围是A ．)3,(--∞B ．),21(∞+-C ．)21,3(-- D ．)2,31(6．设8822108)(x a x a x a a a x +⋯+++=-，若685-=+a a ， 则实数a 的值为A ．12B ．13C ． 2D ．37．如图，正方体D C B A ABCD ''''-中，M 为BC 边 的中点，点P 在底面D C B A ''''和侧面C D CD ''上 运动并且使C PA C MA '∠='∠，那么点P 的轨迹是 A ．两段圆弧 B ．两段椭圆弧 C ．两段双曲线弧 D ．两段抛物线弧8．如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧AB 上与B A ,不重合．．．的一个动点，y x +=，若)0(,>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为A ．)1,21(B ．)2,21(C ．)3,31( D ．)3,1(9．设椭圆)0(12222>>=+b a b ya x 的上顶点为A ，点C B , 在椭圆上，且左、右焦点21,F F 分别在等腰三角形ABC 两腰AB 和AC 上. 若椭圆的离心率33=e ,则原点O 是ABC ∆的 A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 10．设函数)10)(10)(10()(322212c x x c x x c x x x f +-+-+-=)10(42c x x +-B'D (第4题))10(52c x x +-，设集合*921},,,{}0)(|{N x x x x f x M ⊆⋯===，设 54321c c c c c ≥≥≥≥，则=-51c cA ．14B ．16C ．18D ． 20非选择题部分 (共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2013年高考模拟系列试卷(2)—数学(理)含答案
2013年高考模拟系列试卷(二)数学试题【新课标版】（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y xx ==-+≤≤,则()RM N ⋂等于 （ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅ 2、在复平面内,复数2013i i 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===,则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}na 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为nS ,且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41aa 等于( ）A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =,则点M 的轨迹方程是( )A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+= D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 6、命题“存在,αβ∈R ,使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否定为（ ） A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥- B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤-7、设a b <,函数()()2y x a x b =--的图象可能是( ）8、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大,那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ )A ．1533πB ．233πC ．33πD ．433π10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ )A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋（y－1)2＝1上，那么｜PQ ｜的最小值为（ ） A ．5－1B ．355C ．3515-D ．523－112、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A,并与椭圆C 交与不同的两点P,Q,如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 ( ）A ．23B ．33C ．53D ．73第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。
山东省2013届高三高考模拟卷(三)数学理(附答案)
山东省2013届高三高考模拟卷（三）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=，则Q P *的子集个数为A ．7B ．12C ．32D ．642．已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是 A ．(1，5) B ．(1，3) C ．)5,1( D ．)3,1( 3．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假4．已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211aa aa a aa a a中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若822=a ，则这9个数的和为A ．16B ．32C ．36D ．725．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为A ．63π B ．33π C ．23π D ．π3 6．执行如右图所示的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p的值是 A．8 B ．5 C ．3 D ．2 7．函数()cos(2)f x x x π=-的图象大致为8．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为72、34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1．其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．在直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≥1)1(,2,0x k y x y y 表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．),0(+∞C ．),2()2,0(+∞D ．),2()2,0()1,(+∞--∞ 10．将“你能HOlD 住吗”8个汉字及英文字母填人5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原语，如图所示为一种填法，则共有不同的填法种数是A.35B.15C.20D.7011．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，斜率为34的直线交抛物线于A ，B 两点，若)1(>=λλFB AF ，则λ的值为A ．5B ．4C ．34 D ．25 12．对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有x m x =*，则=mA ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．若非零向量,满足||||=，0)2(=⋅+，则a 与b 的夹角为______． 14．已知26()k x x+（k 是正整数）的展开式中，常数项小于120，则=k _______． 15．若关于x 的不等式3|||1|>++-m x x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______． 16．过双曲线的一个焦点的直线垂直于一条渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分)已知函数1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f ，R x ∈． (1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最小值与最大值．18．(本小题满分12分)某学校的一间功能室统一使用某种节能灯管，已知这种灯管的使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布),(2σμN ，且使用寿命不少于12个月的概率为0．8，使用寿命不少于24个月的概率为0．2．(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；(2)假设一间功能室一次性换上2支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，设需要更换的灯管数为η，求η的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 靠近B ，C 的三等分点，点G 为BC 边的中点，线段AG 交线段ED 于点F ．将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB ，AC ，AG ，形成如图乙所示的几何体．(1)求证：BC ⊥平面AFG ；(2)求二面角D AE B --的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知常数0>p 且1=/p ，数列}{n a 的前n 项和)1(1n n a ppS --=，数列}{n b 满足121l o g -+=-n p n n a b b 且11=b ．(1)求证：数列}{n a 是等比数列；(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k ，当k n ≥时，)23)(1(--≥n b n λ恒成立，求k 的最小值．21．（本小题满分13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4，离心率22=e(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：3=x 分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．22．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=)1(ln )1()(23x x a x c bx x x x f ，的图象过点)2,1(-，且在点))1(,1(--f 处的切线与直线-x 015=+y 垂直．(1)求实数c b ,的值；(2)求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数）上的最大值；(3)对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上？山东省2013届高三高考模拟卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 【解析】集合Q P *中的元素为(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)共6个，故Q P *的子集个数为6426=．2．C 【解析】由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且20<<a ，故由21||a z +=得5||1<<z ． 3．B 【解析】由题可知“非p ”是真命题，所以p 是假命题，又因为“p 或q ”是真命题，所以q 是真命题．故选B ．4．D 【解析】依题意得+++++++31232221131211a a a a a a a 3332a a +72933322322212==++=a a a a ．5．B 【解析】由三视图可知该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形（如图）．圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高=h 31222=-．易知该几何体的体积就是整个圆锥体的体积，即3331313122πππ=⨯⨯=h r ． 6．C 【解析】由题知，第一次进入循环，满足1<4，循环后1=p ，1=s ，1=t ，2=k ；第二次进入循环，满足2<4，循环后2=p ，=s 1，2=t ，3=k ；第三次进入循环，满足3<4，循环后3=p ，2=s ，3=t ，4=k ，因为4=4，不满足题意，所以循环结束．输出p 的值为3，选C ．7．A 【解析】因为()cos(2)cos f x x x x x π=-=，)(cos )cos()()(x f x x x x x f -=-=--=-，所以函数x x x f cos )(=为奇函数，排除B ，C ；又因为当20π<<x 时，=)(x f 0cos >x x ，故选择A ．8．C 【解析】设球的球心O 到直线AB 、CD 的距离分别为d d 、'，利用勾股定理可求出3='d ，2=d ，所以CD 可以经过M ，而AB 不会经过N ，所以①正确，②不正确；又5='+d d ，1=-'d d ，所以③④正确．故选C ．9．A 【解析】 由题意可知，直线1)1(--=x k y 过定点)1,1(-．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率)1,(--∞∈k ；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，1)1(--≤x k y 所表示的区域是直线1)1(--=x k y 及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k 的取值范围是)1,(--∞．10．A 【解析】要把6个汉字及英文字母依次填入6个方格中，按照规则分为两类：一类是4个字横向2个字纵向，有26C 种填法；另一类是3个字横向3个字纵向，有36C 种填法：所以共有3520153626=+=+C C 种填法．11．B 【解析】 根据题意设),(11y x A ，),(22y x B ．由FB AF λ=得),2(),2(2211y p x y x p -=--λ，故21y y λ=-，即=λ21y y -．设直线AB 的方程为)2(34p x y -=，联立直线与抛物线方程，消元得02322=--p py y ．故p y y 2321=+，=21y y 2p -，492)(122121221-=++=+y y y y y y y y ，即=+--21λλ49-．又1>λ，故4=λ．12．D 【解析】由定义可知，⎩⎨⎧=++==++=66323*24222*1c b a c b a ，解得⎩⎨⎧+=-=226c b ca ，又对任意实数x ，都有x m x =*，即++-=+++-=c x c cm cxm m c cx m x 2()6()22(6*x m =)2恒成立，则⎩⎨⎧=+=-0)22(16m c c cm ，解得⎩⎨⎧=-=51m c 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=061m c （舍）． 第Ⅱ卷13．︒120【解析】由题意得⋅=+⋅=⋅+22||22)2(a b b a b b a 0,cos 2=+><a b a ，所以21,cos ->=<b a ，所以,的夹角为︒120． 14．1【解析】二项展开式的通项为r rrr xk x C T )()(6261-+=rr r x k C 3126-=，令0312=-r ，得4=r ，故常数项为446k C ，由常数项小于120，即<446k C 120，得84<k ．又k 是正整数，故1=k ．15．),2()4,(+∞--∞ 【解析】由题意知，不等式+-|1|x 3||>+m x 恒成立，即函数|||1|)(m x x x f ++-=的最小值大于3，根据不等式的性质可得--≥++-)1(||||1|x m x x |1||)(+=+m m x ，故只要3|1|>+m 即可，所以31>+m 或31-<+m ，即得m 的取值范围是),2()4,(+∞--∞ ．16． ),2(+∞【解析】不妨设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，焦点,(c F 0)，渐近线x ab y =，则过点F 的直线方程为)(c x b ay --=，与双曲线联立，消去y 得02)(42244244=--+-b a c a a x a b α，由⎪⎩⎪⎨⎧<-->∆020444ab c a 得44a b >，即a b >，故2>e ． 三、17．【解析】(1)1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f 1sin cos 2cos 22+-=x x x)432sin(2222sin 2cos π++=+-=x x x ．（4分） 因此，函数)(x f 的最小正周期为π．（6分） (2)由题易知)432sin(22)(π++=x x f 在区间]83,8[ππ上是减函数， 在区间]43,83(ππ上是增函数，（8分） 又2)8(=πf ，22)83(-=πf ，3)43(=πf ，（10分）所以，函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最大值为3，最小值为22-．（12分） 18．【解析】(1)因为),(~2σμξN ，8.0)12(=≥ξP ，2.0)24(=≥ξP ， 所以2.0)12(=<ξP ，显然)24()12(≥=<ξξP P ．（3分） 由正态分布密度曲线的对称性可知，1822412=+=μ， 即这种灯管的平均使用寿命是18个月．（6分）(2)这种灯管的使用寿命少于12个月的概率为2.08.01=-． 由题意知，η的可能取值为0，1，2，（8分） 则64.08.02.0)0(22=⨯==C P η，⨯==1122.0)1(C P η32.08.01=，04.08.02.0)2(0222=⨯==C P η．（10分） 所以η的分布列为所以4.004.0232.0164.00=⨯+⨯+⨯=ηE ．（12分）19．【解析】(1)在图甲中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G为BC 边的中点，易知DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，DE//BC ．（2分）在图乙中，因为DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，AF FG=F ，所以DE ⊥平面AFG ． 又DE//BC ，所以BC ⊥平面AFG ．（4分）(2)因为平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED 平面BCDE=DE ，DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，所以FA ，FD ，FG 两两垂直．以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，FA 所在的直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz F -．则)32,0,0(A ，)0,3,3(-B ，)0,2,0(-E ，所以)32,3,3(--=AB ，,1,3(-=BE 0)．（6分） 设平面ABE 的一个法向量为),,(z y x n =．则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BE n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0303233y x z y x ，取1=x ，则3=y ，1-=z ，则)1,3,1(-=n ．（8分） 显然)0,0,1(=m 为平面ADE 的一个法向量， 所以55||||,cos =⋅>=<n m n m ．（10分） 又由图知二面角D AE B --为钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为55-．（12分） 20．【解析】(1)当2≥n 时，-----=-=-1(1)1(11ppa p p S S a n n n n )1-n a ，整理得1-=n n pa a ．（3分） 由)1(1111a p p S a --==，得=1a 0>p ，则恒有0>=n n p a ，从而p a an n =-1．所以数列}{n a 为等比数列．（6分）(2)由(1)知nn p a =，则12log 121-==--+n a b b n P n n ，所以=+-++-+-=---112211)()()(b b b b b b b b n n n n n 222+-n n ，（8分）所以)23)(1(222--≥+-n n n λ，则+-+-n n n 5)23(2λ04≥在]1,0[∈λ时恒成立．记45)23()(2+-+-=n n n f λλ，由题意知，⎩⎨⎧≥≥0)1(0)0(f f ，解得4≥n 或1≤n ．（11分）又2≥n ，所以4≥n ．综上可知，k 的最小值为4．（12分） 21．【解析】(1)由题意得42=a ，故2=a ，（1分） 因为22==a c e ，所以2=c ，2)2(2222=-=b ，（3分） 所以所求的椭圆方程为12422=+y x ．（4分） (2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，从而)5,3(k M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124)2(22y x x k y 得+1(0488)22222=-++k x k x k ．（6分）设),(11y x S ，则2212148)2(k k x +-=⨯-，得2212142k k x +-=，从而21214k ky +=， 即)214,2142(222k kk k S ++-，（8分）又由B(2，0)可得直线SB 的方程为22142202140222-+--=-+-k k x k k y ， 化简得)2(21--=x ky ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=3)2(21x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 213，所以)21,3(k N -， 故|215|||kk MN +=，（11分） 又因为0>k ，所以102152215||=∙≥+=kk k k MN ， 当且仅当k k 215=，即1010=k 时等号成立， 所以1010=k 时，线段MN 的长度取最小值10．（13分） 22．【解析】(1)当1<x 时，b x x x f ++-='23)(2，（2分）由题意，得⎩⎨⎧-=-'=-,5)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧-=+--=+-,523,22b c b 解得0==c b ．（4分）(2)由(1)，知⎩⎨⎧≥<+-=),1(ln ),1()(23x x a x x x x f （5分）①当11<≤-x 时，)23()(--='x x x f ，由0)(>'x f ，得320<<x ；由0)(<'x f ，得01<≤-x 或132<<x ．所以)(x f 在)0,1[-和)1,32(上单调递减，在)32,0(上单调递增． 因为2)1(=-f ，274)32(=f ，0)0(=f ，所以)(x f 在)1,1[-上的最大值为2．②当e x ≤≤1时，x a x f ln )(=，当0≤a 时，0)(≤x f ；当0>a 时，)(x f 在],1[e 上单调递增．（7分）所以)(x f 在],1[e 上的最大值为a ．所以当2≥a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为a ； 当2<a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为2．（8分）(3)假设曲线)(x f y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0=∙OQ OP ，不妨设)0))((,(>t t f t P ，则由△POQ 斜边的中点在y 轴上知,(t Q -)23t t +，且 1≠t ．所以0))((232=++-t t t f t ．（*） 是否存在两点P ，Q 满足题意等价于方程(*)是否有解．若10<<t ，则23)(t t t f +-=，代入方程(*)，得++-+-3232)((t t t t 0)2=t ， 即0124=+-t t ，而此方程无实数解；当1>t 时，则t a t f ln )(=，代入方程(*)，得0)(ln 232=+∙+-t t t a t ，即t t aln )1(1+=。
2013年高考理科数学模拟题
2013高考理科数学模拟 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1． 已知()()30,,cos 5a a ππ∈=+=，则sin a =A 、45-B 、45C 、35-D 、352． 已知集合{}{}1,0,1,|12M N x x =-=-<<，则M N =A 、{}1,0,1-B 、{}0,1C 、{}1,0-D 、{}13． “1a >且01b <<”是“log 0a b <”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4. 已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，则下列命题不正确．．．的是 A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥β，m ⊥α，则α∥βD ．若m ⊥α，β，则α⊥β5. 已知等差数列{}n a 的前13项之和为134π则678tan()a a a ++等于 （ ）A．3 BC ．—1D ．16. 要从10名女生和5名男生中选取6名学生组成课外兴趣小组，恰能按性别分层抽样组成课外兴趣小组的概率是（ ）A 、61525410C C CB 、61535310C C C C 、615615A C D 、61525410A C C 7. 已知20()OA x OB x OC x R ⋅+⋅-=∈ ，其中,,A B C 三点共线，O 是线外一点，则满足条件的x（ ）A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．以上情况均有可能8. 若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）（A ）(1,3) （B ）(1,3)- （C ）(1,0)- （D ）(1,0)9. 若抛物线上一点M 到该抛物线的焦点F 的距离||5MF = ，则点M 到x 轴的距离为A. 1 B ．2 C ．D . 410. 关于x 的函数)2(1012log )(a ax xx f +-=在),1[+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、]2,(-∞B 、（1-，2）C 、]2,0(D 、]2,1(-11. 将函数tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,112a π⎛⎫= ⎪⎝⎭平移，则平移后所得图象的解析式为A 、tan 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ B 、5tan 112y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ C 、5tan 112y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D 、tan 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 12. 将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中球数不能少于2个，则所有不同的放法的种数为（ ） A ．12 B ．3 C ．18 D ．6二、 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. ()622x -的二项展开式中6x 的系数是 。
2013届高三模拟试卷(01)数学(理)参考答案
2013届高三模拟试卷（01） 数学（理）试卷参考答案11、34π12、 13、[1,3] 14、①④ 15、A ：21-≤m ；B ：2或8- 三、解答题16．解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ………………………2分ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+Θ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴……………………………………6分 （Ⅱ）因为2bc a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅ …………8分435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=，……………10分 (0)θπ∈Q ，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为2+分17．解：（1）设四层下到三层有n 个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇。
9141)11)(311(=⨯--∴n ，解得3=n ………………………3分（2）ξ可能取值为0,1,2,3,4,5 9231)311()1(,31)0(=⨯-====ξξp p 9141)311)(311()2(=⨯--==ξp12141)411)(311)(311()3(=⨯---==ξp24161)411)(411)(311)(311()4(=⨯----==ξp 2452411219192311)5(=-----==ξp ………………………8分 所以，分布列为………………………………………………………………………………10分72137245524141213912921310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………12分18．解：（1）解法1：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥所以BC ⊥平面ABE ，则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角………2分 设BC=a ，则AB=2a则直角三角形CBE即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为………………………6分解法2：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥， 所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 )1,1,1(-=EC ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =u u u r．…………3分 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为…………………………6分 （2）存在点F ，且时，有EC // 平面FBD ． 证明如下：由设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rv v 所以 取1=a ，得)2,1,1(=v ．………………………………9分 因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足时，有EC // 平面FBD ．……………………………………12分 19．解：2)1(3n n d -+=Θ,∴1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+3232n n ⨯== …………………3分 又由题知：令1m = ，则22212b b ==,33312b b ==L 12n nn b b == ……………5分若2n n b =，则2m nm n b =，2n mn m b =，所以m nn m b b =恒成立若2n n b ≠,当1m =,m nn m b b =不成立,所以2n n b = …………………………………6分（Ⅱ）由题知将数列{}n b 中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{}n c 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是12b =，24b =公比均是,8 …………9分201313520132462012()()T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+1007100610062(18)4(18)208618187⨯-⨯-⨯-=+=--………………………………………12分20．解：(Ⅰ) 设F2(c ，0)，则1212c c -+＝13，所以c ＝1．因为离心率e2，所以a．所以椭圆C 的方程为2212x y +=． …………………………………………4分(Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，……………………6分 此时P(2-，0)、Q(2,0) ，221F P F Q ⋅=-u u u u r u u u u r．不合；当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点M(－12，m ) (m ≠0)，直线AB 的斜率为k ， ),(11y x A ， ),(22y x B ．由 221122221,21,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得12112212()2()0y y x y x y x x -+++⋅=-，则 －1＋4mk ＝0， 故k ＝14m．此时，直线PQ 斜率为m k 41-=，PQ 的直线方程为)21(4+-=-x m m y ．即 m mx y --=4．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12422y x mmx y 消去y ，整理得 2222(321)16220m x m x m +++-=． 所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -=+．………………………………8分由题意=⋅F F 220，于是=⋅Q F P F 22(x1－1)(x2－1)＋y1y2)4)(4(1)(212121m mx m mx x x x x +++++-=22122121))(14()161(m x x m x x m +++-++=2222222(116)(22)(41)(16)1321321m m m m m m m +---=+++++22191321m m -=+=0．1919±=∴m 因为M 在椭圆内，872<∴m 1919±=∴m 符合条件；……………………12分 综上，存在两点M 符合条件，坐标为)1919,21(±-M ．……………………13分 21．解：（Ⅰ）∵()ln()f x a x b =+，∴()af x x b'=+， 则()f x 在点(0,ln )A a b 处切线的斜率(0)ak f b'==，切点(0,ln )A a b ， 则()f x 在点(0,ln )A a b 处切线方程为ln ay x a b b=+，……………………2分 又()e 1x g x a =-，∴()e x g x a '=，则()g x 在点(0,1)B a -处切线的斜率(0)k g a '==，切点(0,1)B a -，则()g x 在点(0,1)B a -处切线方程为1y ax a =+-，…………………………4分 由,ln 1,a a b a b a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得1a =，1b =．…………………………………………6分（Ⅱ）由()1x m g x ->+得ex x m-e x m x <在[0,)+∞上有解，令()e x h x x =-，只需max ()m h x <．……………………………………8分 ①当0x =时，()e 0x h x x =-=，所以0m <；………………………………10分 ②当0x >时，∵()1e )1x x x h x '=-=-+，∵0x >，e 1x >，∴x >故()10x h x '=-<，即函数()e x h x x =在区间[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，此时0m <．…………………………………………13分 综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞．……………………………………14分。
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2013年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学（理工农医类）
注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
[来
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分
1、已知集合
2
=-+=∈
{|210,}
P x x x x R
，则集合
P
的子集个数是
二、 A．1 B．2 C．4 D．8
2、已知函数
，下面结论错误的是
A.函数
的最小正周期为
B.函数
在区间
上是增函数
C.函数
的图像关于直线
对称 D.函数
是奇函数
三、
3、已知函数
f x
()
的定义域为[0，1?，则函数
-
f x
(1)
的定义域为
A．
[0,1)
B．
(0,1]
C．
-
[1,1]
D．
-
[1,0)(0,1]
4、函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
5、在
ΔABC
中，
、、
a b c
分别是三内角
、、
A B C
所对边的长，若
b a C
sin A sin,
则
ΔABC
的形状
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6、将函数
的图像上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
w_w w. k#s5_u.c o*m
（A）
（B）
w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（C）
（D）
7、如图，在半径为3的球面上有
三点，
，球心
到平面
的距离是
，则
两点的球面距离是
A.
B.
C.
D.
8、已知直线
和直线
，抛物线
上一动点
到直线
和直线
的距离之和的最小值是
A.2
B.3
C.
D.
9、设定义在
上的函数
满足
，若
，则
( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
10、已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴的交点为
，点
在
上且
，则
的面积为( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
11、过双曲线
22
221(0)y x b a a b -=>>
的左焦点
(,0)(0)F c c ->
作圆
222
x y a +=
的切线，切点为 E ,延长
FE
交抛物线
24y cs =
于点 P ⋅
若
1
()
2OE OF OP =+
，则双曲线的离心率为
A ．
33+
B ．
15+
C ．
5
D ．
13+
12、设
，则
的最小值是
w_w w. k#s5_u.c o*m
（A）2 （B）4 （C）
（D）5
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．
展开式中
的系数为_____________。
14．已知直线
与圆
，
则
上各点到
的距离的最小值为_______。
15、若关于
x
的方程
232
-=-
x x m
在[0，2]上有两个不同
实数解，则实数
m
的取值范围是__________________.
16、已知空间向量
=∈≤=
OA(1,,0)(),|OA| 3.OB(3,1,0),
k k Z O 为坐标原点，给出以下结论：①以
、
OA OB
为邻边的平行四边形
OACB
中，当且仅当
k=
时，
||
OC
取得最小值；②当
k=
2
时，到
A
和点
B
等距离的动点
P x y z
(,,)
的轨迹方程为
--=
x y
4250
，其轨迹是一条直线；③若
(0,0,1),
OP=
则三棱锥
-
O ABP
体积的最大值为
7
6
；④若
OP
=（0，0，1），则三棱锥
-
O ABP
各个面都为直角三角形的概率为
2
5
.
其中，所有正确结论的番号应是_____________________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17
、
（Ⅰ）
证明两角和的余弦公式
；
由
推导两角和的正弦公式
（Ⅱ）已知△ABC的面积
，且
，求cosC. （本小题满分12分）
18、（本小题满分13分）已知
是函数
的一个极值点。
（本小题满分13分）
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求函数
的单调区间；
（Ⅲ）若直线
与函数
的图象有3个交点，求
的取值范围。
19、
在平面直角坐标系
xOy
中，
RtΔABC
的斜边
BC
恰在
x
轴上，点
(2,0),(2,0)
B C
，且
AD
为
BC
边上的高.
（本小题满分12分）
（I）求
AD
中点
G
的轨迹方程；
（Ⅱ）若一直线与（I）中
G
的轨迹交于两不同点
、
M N
，且线段
MN
恰以点
11,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 为中点，求直线 MN
的方程；
（Ⅲ）若过点（1，0）的直线
l
与（I ）中
G
的轨迹交于两不同点
,P Q 、
试问在
x
轴上是否存在定点
(.0)E m
，使
PE QE ⋅
恒为定值 λ ？若存在，求出点
E
的坐标及实数
λ
的值；若不存在，请说明理由.
20、（本小题满分13分）已知数列
{}
n a
中，
1228,39a a ==
，且当
2,n n N ≥∈
时，
1134,.
n n a a a +-=-
（I ）求数列
{}
n a
的通项公式；
（Ⅱ）记
123,n
n ai a a a a n N *
=⋅⋅⋅⋅∈i=1
Ⅱ…
（1）求极限
12lim (2)
i n
n a -→∞-i=1
Ⅱ
；
（2）对一切正整数 n
，若不等式
1()
n
i i a N λλ*>∈=1
Ⅱ
恒成立，求 λ
的最小值.
21、（本小题满分12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为
，购买乙种商品的概率为
，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记
表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求
的分布列及期望。
22、（本小题满分12分）
w_w w. k#s5_u.c o*m
已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.。