高中数学必修4例题电子版
高中数学必修4试题含答案
11．设α角属于第二象限，且2cos 2cosαα-=，则2α角属于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（）A ．①B ．②C ．③D ．④3．02120sin 等于（）A ．23±B ．23C ．23-D ．214．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（）A 43-B 34-C 43D .345．若α是第四象限的角，则πα-是（）A .第一象限的角 B.第二象限的角C.第三象限的角 D.第四象限的角6．4tan 3cos 2sin 的值（）A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在二、填空题1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．2．设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<；③0<<MP OM ；④OM MP <<0，其中正确的是_____________________________。
3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________。
4．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是。
5．与02002-终边相同的最小正角是_______________。
三、解答题1．已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos+的值．2．已知2tan =x ，求xx x x sin cos sin cos -+的值。
3．化简：)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --⋅--⋅--4．已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且，求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值。
高中数学人教A版_必修4_各章节同步练习+章节测试汇编300页含答案
A. 420o B. 860o
【答案】B
C. 1060o
D. 1260o
【解析】 4200 3600 600 终边位于第一象限， 8600 23600 1400 终边位于第二象限，选 B.
4 ．已知圆的半径为 ，则 600 圆心角所对的弧长为（ ）
A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3
【答案】B
【解析】由扇形面积公式 S 1 lr ，则 l 4 ，又 l 4 2 ．故本题答案选 B ．
2
r2
8．已知 A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于 90°的角}，那么 A、B、C 关系是（ ）
A.
B.
C.
D. A=B=C
【答案】B
【解析】 锐角必小于
,故选 B.
9．已知 是锐角，则 2 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 小于180o的正角 D. 第一或第二象限角
【答案】C
【解析】 是锐角,∴ 2 0， ，∴ 2 是小于180o的正角.
A. 3
B. 2 3
【答案】C
C. 2 3
D. 2 2 3
【解析】 60o 化为弧度制为 ，由弧长公式有 l r 2 ，选 C.
3
3
3
5．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A. { | 900 1800}
B. { | 2700 k 3600 1800 k 3600, k Z}
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专题一任意 角和弧度制
测试卷（A 卷）
（测试时间：120 分钟 满分：150 分）
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、33AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD同向的共有3对，与AD 反向的也有6对；模的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g . 练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km； （3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =， 34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2AC AB ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP =（2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-=，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=- 2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==()cos a b a b λλθ⋅=()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =.2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d v θ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-ODFEABC（第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,22)AB =-.将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =；（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=.（第4题）6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b+=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-. 再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所（第3题）（第6题）示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =P 2（第5题）第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-+=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3（4）2 2、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sintan (2)cos ααα==-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1）； （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5）2； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sinα== ∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=.于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。
高中数学习题必修4及答案.docx
目录：数学4 （必修）第一章：解三角形 ［基础训练A 组］一、选择题1. 在AABC 中，若C=90°,a = 6,B = 30°,则c-b 等于（ ）A. 1B. -1C. 2羽D. -2A /32. 若4为AABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A. sin A B ・ cos A4 1C ・ tan AD ・ -------tan A 3. 在2XABC 中，角均为锐角，且cos4〉sin则Z\ABC 的形状是（ ） A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4. 等腰三角形一腰上的高是舲，这条高与底边的夹角为60°,则底边长为（）数学4 （必修）第一章: 数学4 （必修）第一章: 数学4 （必修）第一章: 数学4 （必修）第二章: 数学4 （必修）第二章: 数学4 （必修）第二章: 数学4 （必修）第三章: 数学4 （必修）第三章: 数学4 （必修）第三章: 解三角形［基础训练A组］解三角形 ［综合训练B 组］解三角形 ［提高训练C 组］数列［基础训练A 组］数列［综合训练B 组］数列［提高训练C 组］不等式 ［基础训练A 组］不等式 ［综合训练B 组］不等式 ［提高训练C组］A. 2B. —C. 3D. 2A/325.在△ABC 中，若b = 2asinB,则4 等于（）A. 30°或60°B. 45°或60°C. 120°或60°D. 30°或150°6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°二、填空题1.在Rt AABC 中，C = 90°,贝Osin A sin 5的最大值是 _____________ 。
2.在AABC 中，^a2 =b~ +bc + c~,贝= _____________ 。
【人教A版】2020学年高中数学必修四全册习题(17份,含答案)
分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC= ( B )A.150°B.-150°C.390°D.-390°2.经过一小时,时针转过了 ( B )A. radB.- radC. radD.- rad3.下列说法正确的个数是( A )①小于90°的角是锐角②钝角一定大于第一象限的角③第二象限的角一定大于第一象限的角④始边与终边重合的角为0°A.0B.1C.2D.34.下列各角中,与60°角终边相同的角是( A )A.-300°B.-60°C.600°D.1 380°5.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( C )A.1B.4C.1或4D.2或46.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( C )A.2B.sin 2C.D.2sin 17.已知两角的和是1弧度,两角的差是1°,则这两个角为8.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是9.已知α是第二象限角,且|α+2|≤4,则α的集合是(-1.5π,-π)∪(0.5π,2].10.已知集合A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},集合B={x|-4≤x≤4},则A∩B=[-4,-π]∪[0,π].11.已知α=1,β=60°,γ=,δ=-,试比较这四个角的大小.【解析】因为β=60°=>1>-,所以β=γ>α>δ.12.在坐标系中画出下列各角:(1)-180°.(2)1070°.【解析】在坐标系中画出各角如图所示.B组提升练(建议用时20分钟)13.若角α和角β的终边关于x轴对称,则角α可以用角β表示为( B )A.k·360°+β(k∈Z)B.k·360°-β(k∈Z)C.k·180°+β(k∈Z)D.k·180°-β(k∈Z)14.如果角α与x+45°具有同一条终边,角β与x-45°具有同一条终边,则α与β的关系是( D )A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=k·360°(k∈Z)D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)15.如果一扇形的弧长变为原来的倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的.16.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β= k·360°+60°,k∈Z.17.在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最大的负角.(2)最小的正角.(3)在360°～720°中的角.【解析】(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+10 030°(k∈Z),由-360°<k·360°+10 030°<0°,得-10 390°<k·360°<-10 030°,解得k=-28,故所求的最大负角为β=-50°.(2)由0°<k·360°+10 030°<360°,得-10 030°<k·360°<-9 670°,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°.(3)由360°≤k·360°+10 030°<720°,得-9 670°≤k·360°<-9 310°,解得k=-26,故所求的角为β=670°.18.在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中.(1)有几种终边不相同的角?(2)有几个落在-360°～360°之间的角?(3)写出其中是第二象限角的一般表示方法.【解析】(1)当k=4n(n∈Z)时,α=n·360°+45°与45°角终边相同.当k=4n+1(n∈Z)时,α=n·360°+135°与135°的终边相同.当k=4n+2(n∈Z)时,α=n·360°+225°与225°的终边相同.当k=4n+3(n∈Z)时,α=n·360°+315°与315°的终边相同.所以,在给定的角的集合中共有4种终边不相同的角.(2)由-360°≤k·90°+45°<360°,得-≤k<.又k∈Z.故k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以,在给定的角的集合中落在-360°～360°之间的角共有8个. (3)其中,第二象限的角可表示为α=k·360°+135°,k∈Z.C组培优练(建议用时15分钟)19.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于( C )A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}20.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,按逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为θ(0<θ<π),经过2 s达到第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ.【解析】因为0<θ<π,且2kπ+π<2θ<2kπ+(k∈Z),则必有k=0,于是<θ<.又14θ=2nπ(n∈Z),所以θ=.从而<<,即<n<.所以n=4或5,故θ=或.分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.如果α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值等于( C )A. B.- C.- D.-2.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边( B )A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x或y=-x上3.若sin θ<cos θ,且sin θ·cos θ<0,则θ在( D )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.化简的结果是( C )A.sin 4+cos 4B.sin 4-cos 4C.cos 4-sin 4D.-sin 4-cos 45.已知cos θ=,且<θ<2π,则的值为 ( D )A. B.- C. D.-6.已知θ∈,在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a,b,c,则它们的大小关系是( B )A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a7.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则sin α的值为( A )A. B. C. D.-8.sin 1,cos 1,tan 1的大小关系为( C )A.sin 1>cos 1>tan 1B.sin 1>tan 1>cos 1C.tan 1>sin 1>cos 1D.tan 1>cos 1>sin 19.已知α终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则a的取值范围为-2<a≤3.10.已知=2,则tan α= 1.11.求函数y=+的定义域.【解析】要使函数有意义,则需即所以2kπ+≤x≤2kπ+π(k∈Z),所以函数的定义域为.12.求下列各式的值.(1)cos+tanπ .(2)sin 630° +tan 1 125° +tan 765° +cos 540° .【解析】(1)原式=cos+tan=cos+tan=+1=.(2)原式=sin (360°+270°)+tan(3×360°+45°)+tan (2×360°+45°)+cos(360°+180°)=sin 270°+tan 45°+tan 45°+cos 180°=-1+1+1-1=0.B组提升练(建议用时20分钟)13.函数y=++的值域是( C )A.{-1,1,3}B.{1,3}C.{-1,3}D.R14.已知sin α,cos α是方程3x2-2x+a=0的两根,则实数a的值为( B )A. B.- C. D.15.已知sin θ-cos θ=,则sin 3θ-cos 3θ=.16.若α∈[0,2π),且cos α≥,则α的取值范围是17.求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2.【证明】右边=[(1-sin α)+cos α]2=(1-sin α)2+cos 2α+2cos α(1-sin α)=1-2sin α+sin 2α+cos 2α+2cos α(1-sin α)=2-2sin α+2cos α(1-sin α)=2(1-sin α)(1+cos α)=左边,所以原式成立.18.利用单位圆解不等式(组):(1)3tan α+>0. (2)【解析】(1)3tan α+>0,即tan α>-,如图(1),由正切线知kπ-<α<kπ+,k∈Z.故不等式的解集为.(2)不等式组即为如图(2),区域(横线)为sin α>,区域(斜线)为cos α≤.两区域的公共部分为不等式组的解,即不等式组的解集为.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( D )A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos βB.若α,β是第二象限角,则tan α>tan βC.若α,β是第三象限角,则cos α>cos βD.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β20.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦,求实数m的值.【解析】设直角三角形的一个锐角为β,因为方程4x2-2(m+1)x+m=0中,Δ=4(m+1)2-4×4m=4(m-1)2≥0,所以当m∈R时,方程恒有两实根.又因为sin β+cos β=,sin βcos β=,所以由以上两式及sin 2β+cos 2β=1,得1+2×=,解得m=±.当m=时,sin β+cos β=>0,sin β·cos β=>0,满足题意,当m=-时,sin β+cos β=<0,这与β是锐角矛盾,舍去.综上,m=.关闭Word文档返回原板块分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π+α)等于( D )A. B.± C. D.-2.已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为( A )A.-B.C.-D.3.若sin(3π+α)=-,则cos等于( A )A.-B.C.D.-4.已知sin=,则cos的值等于( A )A.-B.C.-D.5.已知tan 5° =t,则tan (-365° )= ( C )A.tB.360° +tC.-tD.与t无关6.若tan(5π+α)=m,则的值为( A )A. B. C.-1 D.17.记cos(-80°)=k,那么tan 100°等于 ( B )A. B.-C. D.-8.已知cos=,则cos= -.9.若cos α=,且α是第四象限角,则cos= .10.计算sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°=.11.已知sin(π+α)=-.计算:(1)cos.(2)sin.(3)tan(5π-α).【解析】(1)因为sin(π+α)=-sin α=-,所以sin α=.cos=cos=-sin α=-.(2)sin=cos α,cos2α=1-sin2α=1-=.因为sin α=,所以α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时,sin=cos α=.②当α为第二象限角时,sin=cos α=-.(3)tan(5π-α)=tan(π-α)=-tan α,因为sin α=,所以α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时,cos α=,所以tan α=,所以tan(5π-α)=-tan α=-.②当α为第二象限角时,cos α=-,tan α=-,所以tan(5π-α)=-tan α=.12.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.【证明】因为sin(α+β)=1,所以α+β=2kπ+(k∈Z),所以α=2kπ+-β(k∈Z).故tan(2α+β)+tan β=tan+tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(4kπ+π-β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0,所以原式成立.B组提升练(建议用时20分钟)13.若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(π+α)的值为( B )A. B.- C.± D.以上都不对14.已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是( D )A. B. C.- D.-15.已知tan(3π+α)=2,则= 2.16.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中a,b,α,β为非零常数.若f(2 013)=1,则f(2 014)= 3.17.若cos(α-π)=-,求的值.【解析】原式====-tan α.因为cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-,所以cos α=.所以α为第一象限角或第四象限角.当α为第一象限角时,cos α=,sin α==,所以tan α==,所以原式=-.当α为第四象限角时,cos α=,sin α=-=-,所以tan α==-,所以原式=.综上,原式=±.18.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2对应三个内角的正弦值,那么(1)试判断△A1B1C1是锐角三角形吗?(2)试借助诱导公式证明△A2B2C2中必有一个角为钝角.【解析】(1)由已知条件△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,即cos A1>0,cos B1>0,cos C1>0,从而△A1B1C1一定是锐角三角形.(2)由题意可知若A2,B2,C2全为锐角,则A2+B2+C2=++=-(A1+B1+C1)=,不合题意.又A2,B2,C2不可能为直角,且满足A2+B2+C2=π,故必有一个角为钝角.C组培优练(建议用时15分钟)19.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.【解析】由条件得sin A=sin B,cos A=cos B,平方相加得2cos2A=1,cos A=±,又因为A∈(0,π),所以A=或π.当A=π时,cos B=-<0,所以B∈,所以A,B均为钝角,不合题意,舍去.所以A=,cos B=,所以B=,所以C=π.20.是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.【解析】由条件,得由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2, ③又因为sin2α+cos2α=1, ④由③④得sin2α=,即sin α=±,因为α∈,所以α=或α=-.当α=时,代入②得cos β=,又β∈(0,π),所以β=,代入①可知符合.当α=-时,代入②得cos β=,又β∈(0,π),所以β=,代入①可知不符合.综上所述,存在α=,β=满足条件.关闭Word文档返回原板块分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.函数y=sin的最小正周期为( C )A.πB.2πC.4πD.2.函数y=-cos x(x>0)的图象中距离y轴最近的最高点的坐标为( B )A. B.(π,1) C.(0,1) D.(2π,1)3.函数f(x)=的定义域为( A )A.B.C.D.4.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于( A )A.0B.1C.-1D.±15.下列函数中,同时满足:①在上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是 ( A )A.y=tan xB.y=cos xC.y=tanD.y=|sin x|6.下列关系式中正确的是( C )A.sin 11°<cos10°<sin168°B.sin 168°<sin11°<cos10°C.sin 11°<sin168°<cos10°D.sin 168°<cos10°<sin 11°7.函数y=3tan的对称中心的坐标为8.下列各组函数中,图象相同的是(4).(1)y=cos x与y=cos(π+x);(2)y=sin与y=sin;(3)y=sin x与y=sin(-x);(4)y=sin(2π+x)与y=sin x.9.函数y=cos的单调增区间是10.若函数y=2sin ωx(ω>0)的图象与直线y+2=0的两个相邻公共点之间的距离为,则ω的值为3.11.在[0,2π]内用五点法作出y=-sin x-1的简图.【解析】(1)按五个关键点列表(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象,如图所示.12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1,且对∀x∈R,f(x)≠0,求证:f(x)是周期函数.【证明】因为f(x+2)f(x)=1且f(x)≠0,所以f(x+2)=,所以f(x+4)=f[(x+2)+2]===f(x).所以函数f(x)是周期函数,4是一个周期.B组提升练(建议用时20分钟)13.如图所示,函数y=cos x|tan x|的图象是( C )14.在(0,2π)上使cos x>sin x成立的x的取值范围是( A )A.∪B.∪C. D.15.若tan≤1,则x的取值范围是16.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是.17.已知函数f(x)=试画出f(x)的图象.【解析】在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线,再比较两个函数的图象,上方的画成实线,下方的画成虚线,则实线部分即为f(x)的图象.18.已知函数f(x)=2asin+a+b的定义域为,值域是[-5,1],求a,b的值.【解析】因为0≤x≤,所以≤2x+≤.所以-≤sin≤1.所以a>0时,解得a<0时,解得综上,a=2,b=-5或a=-2,b=1.C组培优练(建议用时15分钟)19.函数f(x)=-cos xln x2的部分图象大致是图中的( A )20.设函数y=-2cos,x∈,若该函数是单调函数,求实数a的最大值.【解析】由2kπ≤x+≤2kπ+π(k∈Z),得4kπ-π≤x≤4kπ+π(k∈Z).所以函数的单调递增区间是(k∈Z),同理函数的单调递减区间是(k∈Z).令π∈,即≤k≤,又k∈Z,所以k不存在.令π∈,得k=1.所以π∈,这表明y=-2cos在上是减函数,所以a的最大值是.关闭Word文档返回原板块分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点( A )A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动π个单位长度D.向右平行移动π个单位长度2.已知ω>0,函数f(x)=cos的一条对称轴为x=,一个对称中心为,则ω有( A )A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值13.函数y=sin在区间上的简图是( A )4.若函数f(x)=sin的图象向右平移个单位后与原图象关于x轴对称,则ω的最小正值是( D )A. B.1 C.2 D.35.已知f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( A )A.T=6,φ=B.T=6,φ=C.T=6π,φ=D.T=6π,φ=6.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是( D )A. B.1 C. D.27.利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象时,其五点的坐标分别为,,,,,则A= ,周期T= π.8.函数y=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到的图象恰好关于x=对称,则φ的最小值是π.9.将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin(4x+φ)(0<φ<π)的图象,则φ的值为.10.在函数y=-2sin的图象与x轴的交点中,离原点最近的交点坐标是.11.用“五点法”画函数y=3sin,x∈的图象.【解析】①列表:2x+-y=3sin②描点:在坐标系中描出下列各点:,,,,.③连线:用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来,得函数y=3sin,x∈的简图,如图所示.12.已知曲线y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,若φ∈.(1)试求这条曲线的函数表达式.(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π ]上的图象.【解析】(1)由题意知A=,T=4×=π,则ω==2. 所以y=sin (2x+φ).又因为sin=1,所以+φ=2kπ+,k∈Z.所以φ=2kπ+,k∈Z.又因为φ∈,所以φ=.所以y=sin.(2)列出x、y的对应值表:πππ2x+π-描点,连线,如图所示:B组提升练(建议用时20分钟)13.要得到函数f(x)=cos的图象,只需将函数g(x)=sin的图象( C )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度14.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各解析式符合条件的是( D )A.y=4sin+2B.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+215.将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=.16.关于函数f(x)=2sin,以下说法:①其最小正周期为;②图象关于点对称;③直线x=-是其一条对称轴.其中正确的序号是①②③.17.已知函数f(x)=sin.(1)求函数f(x)的单调增区间.(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值. 【解析】(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调增区间是,k∈Z.(2)因为x∈,所以2x-∈,所以sin∈,所以f(x)min=-,此时x=0;f(x)max=1,此时x=π.18.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一段图象如图所示.(1)求f(x)的解析式.(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?【解析】(1)由题意知A=3,T===5π,所以ω=.由f(x)=3sin的图象过点,得sin=0,又|φ|<,所以φ=-.所以f(x)=3sin.(2)由f(x+m)=3sin=3sin为偶函数(m>0),知-=kπ+(k∈Z),即m=kπ+(k∈Z).因为m>0,所以m min=.故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围.(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.【解析】(1)因为ω>0,根据题意有⇒0<ω≤.所以ω的取值范围是.(2)由f(x)=2sin 2x可得,g(x)=2sin+1=2sin+1,令g(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,即g(x)的零点相离间隔依次为和,故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.20.已知函数f(x)=asin+1(a>0)的定义域为R,若当-≤x≤-时,f(x)的最大值为2.(1)求a的值.(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象.(3)写出该函数的对称中心的坐标.【解析】(1)当-≤x≤-时,则-≤2x+≤,所以当2x+=时,f(x)有最大值为+1.又因为f(x)的最大值为2,所以+1=2,解得a=2.(2)由(1)知f(x)=2sin+1.令2x+分别取0,,π,,2π,则求出对应的x与y的值,如表所示.2x+-1画出函数在区间上的图象如图.(3)f(x)=2sin+1,令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以函数f(x)=2sin+1的对称中心的横坐标为-,k∈Z.又因为函数f(x)=2sin+1的图象是函数f(x)=2sin的图象向上平移一个单位长度得到的,所以函数f(x)=2sin+1的对称中心的纵坐标为1,所以对称中心坐标为,k∈Z.关闭Word文档返回原板块分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是( A )A. B.50 C. D.1002.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,劳动节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( C )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]3.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( C )A.5B.6C.7D.84.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是( C )5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( A )A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)6.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( C )7.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为y=-6sin x.8.某摩天轮建筑,其旋转半径50米,最高点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他距地面大约为85米.9.一根长a cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cos,t∈[0,+∞),则小球摆动的周期为.10. (2018·福州高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P出发,绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圈周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N 运动的时间为37.5分钟.11.已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ).(1)如图是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式.(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωT+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?【解析】(1)由图知,A=300,=-=,所以T=,所以ω=,由·+φ=0,得φ=.所以I=300sin;(2)因为t在任意一段秒内I都能取到最大值和最小值,所以T≤,ω≥300π>942,所以ω最小取值为943.12.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差.(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?【解析】(1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,此时最高温度为30 ℃,当x=6时函数取最小值,此时最低温度为10 ℃,所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃.(2)令10sin+20=15,得sin=-,而x∈[4,16],所以x=.令10sin+20=25,得sin=,而x∈[4,16],所以x=.故该细菌能存活的最长时间为-=(小时).B组提升练(建议用时20分钟)13.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( C )A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元14.(2018·沈阳高一检测)有一块半径为R(R是正常数)的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中O为圆心,A,B在圆的直径上,C,D,E在半圆周上,如图.设∠BOC=θ,征地面积为f(θ),当θ满足g(θ)=f(θ)+R2sin θ取得最大值时,开发效果最佳,开发效果最佳的角θ和g(θ)的最大值分别为( B )A.,R2B.,R2C.,R2(1+)D.,R2(1+)15.如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是y=2sin.16.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,若将A,B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数,则d= 10sin ,其中t∈[0,60].17.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.求A,ω的值和M,P两点间的距离.【解析】依题意,有A=2,=3,即T=12.又T=,所以ω=.所以y=2sin x,x∈[0,4].所以当x=4时,y=2sin=3.所以M(4,3).又P(8,0),所以MP===5(km).即M,P两点间的距离为5 km.18.如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示建立直角坐标系,设角φ是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=.OP在时间t(s)内所转过的角为t=t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+2.当t=0时,z=0,得sin φ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin+2.(2)令z=4sin+2=6,得sin=1,令t-=,得t=4,故点P第一次到达最高点大约需要4 s.C组培优练(建议用时15分钟)19.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为20.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,=12,故ω=,且解得根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,故sin=-1,且sin=1.又因为0<|φ|<π,故φ=-.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.(2)由条件可知,200sin+300≥400,化简,得sin≥⇒2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.因为x∈N*,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.关闭Word文档返回原板块单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.扇形的周长是4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是( C )A. B.1 C.2 D.42.若120°角的终边上有一点(-4,a),则a的值为 ( C )A.-4B.±4C.4D.23.下列三角函数值的符号判断正确的是 ( C )A.sin 156°<0B.cos>0C.tan<0D.tan 556°<04.sin 300°+tan600°的值等于 ( B )A.-B.C.-+D.+5.已知函数f(x)=3sin x-4cos x(x∈R)的一个对称中心是(x0,0),则tan x0的值为 ( D )A.-B.C.-D.6.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=对称的是( B )A.y=sinB.y=sinC.y=cosD.y=cos7.函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示,P,Q分别为图象的最高点和最低点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则A= ( B )A.3B.C.D.18.函数y=sin的图象可由函数y=cos x的图象至少向右平移m(m>0)个单位长度得到,则m= ( A )A.1B.C.D.9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是 ( B )A.2,-B.2,-C.4,D.4,10.函数y=cos2x+sin x-1的值域为 ( C )A. B.C. D.[-2,0]11.已知函数f(x)=tan ωx在内是减函数,则实数ω的取值范围是 ( B )A.(0,1]B.[-1,0)C.[-2,0)D.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点, x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为 ( B )A.11B.9C.7D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.若2sin α-cos α=0,则=-.14.函数f(x)=sin+cos的最大值为.15.设函数f(x)=cos x,先将f(x)纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将图象向右平移个单位长度后得g(x),则函数g(x)到原点距离最近的对称中心为.16.给出下列命题:①存在实数x,使sin x+cos x=;②函数y=sin是偶函数;③若α,β是第一象限角,且α>β,则cos α<cos β;④函数y=sin 2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.其中结论正确的序号是②.(把正确的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知tan α+=,求2sin2(3π-α)-3cos·sin+2的值.【解析】因为tan α+=,所以2tan2α-5tan α+2=0.解得tan α=或tan α=2.2sin2(3π-α)-3cos sin+2=2sin2α-3sin αcos α+2=+2=+2.当tan α=时,原式=+2=-+2=;当tan α=2时,原式=+2=+2=.18.(本小题满分12分)已知f(α)=. (1)化简f(α).(2)当α=-时,求f(α)的值.【解析】(1)f(α)===-cos α.(2)当α=-时,f(α)=-cos=-cos=-.。
人教版高一数学A必修4全册例题讲解及练习题(71页)
（2）设人在距离标语 xm 处，则 x = l » 5 » 3439 (m) ，故视力正常的人，能在约 3439m 远处
a 0.001454 看清长宽均为 5m 的大字标语.
【例 4】已知扇形的面积为 S ，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值.
解法 1：设扇形的半径为 R ，弧长为 l ，由 S = 1 lR ，得 l = 2S ，
8 §1.5 函数 y = Asin (w x + j ) 的图像……………（15）
9 §1.6 三角函数模型的简单运用………………（17） 10 第一章 三角函数 复习………………………（19）
11 §2.1 向量的物理背景与概念、几何表示……（21） 12 §2.1.3 相等向量与共线向量…………………（23） 13 §2.2 向量的加减法运算及其几何意义………（25） 14 §2.2.3 向量数乘运算及几何意义………………（27） 15 §2.3 平面向量基本定理及坐标表示…………（29） 16 §2.3.3 平面向量的坐标运算……………………（31）
{ } 引申： 终边在坐标轴上的角的集合 a a = k × 90o , k Î Z ；终边在 y = x 上的角的集合
{ } { } a a = 45o + k ×180o ,k Î Z
；终边在 y = ± x 上的角的集合
a
a
= 45o
o
+ k × 90 , k Î Z
.
【例 3】如果角a 与角q + 45o 具有同一条终边，角 b 与角q - 45o 具有同一条终边，那么a 与 b 的关
23 §3.1.1 两角差的余弦公式……………………（45） 24 §3.1.2 两角和与差的正弦,余弦,正切公式(1)…（47） 25 §3.1.2 两角和与差的正弦,余弦,正切公式(2)…（49） 26 §3.1.3 二倍角的正弦,余弦,正切公式(1)………（51） 27 §3.1.3 二倍角的正弦,余弦,正切公式(2)………（53） 28 §3.1.3 简单的三角恒等变换…………………（55） 29 第三章 三角恒等变换 复习…………………（57）
高一数学必修4全册习题(答案详解)
高一三角同步练习1（角的概念的推广）一．选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 5、下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角 8、若α是第四象限的角，则α- 180是 ．(89上海)A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角二．填空题1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．2、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．3、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．4、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．三．解答题1、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）210-； （2）731484'-．2、求θ，使θ与900-角的终边相同，且[]1260180，-∈θ．3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|, {}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360|,求B A ,B A .4、已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
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第一章 三角函数
例1 判断下列各角是第几象限角： ○
1-600
○
26060
○3-9500
12/
例2、在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用00-3600的角表示） 3、把450化成弧度；把
5
3rad 化成度。
例4如图，利用弧度制证明扇形面积公式 ○
1S=2 1 αr 2 ○2 S=2
1
lr 例5 在直角坐标系的单位圆中，α=—4
π
, ○1画出角α
○
2求出角α的终边与单位圆的交点坐标 ○3 求出角α的正弦函数值和 余弦函数值 例6、已知角α终边上一点P(-
2
3,2)，求角α的正弦函数值和 余弦函数值。
例1 求下列各角的三角函数值：
○
1sin(-4 7) = ○2 cos(3
2)= ○3 cos(-6
31)=求下列函数值
例9 用五点法画出下列函数的简图,并根据图像讨论他的性质。
（定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值）
○
1y=sinx
○2 y=-sinx ○3 y= sinx ○4 y= sin x
○5 y=1+sinx ○6 y=sinx-1例10、 若tan α= ， 借助三角函数定义求角α的正弦函数值和 余弦函数值。
例12、用五点法画出下列函数的简图,并根据图像讨论它们与函数y=sinx 的关系。
（指出定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值） ○
1y=2sinx 与y=2
1sinx ○2y=sin （x+4π）与y=sin （x-6π
） ○
3y=sin2x 与y=sin 2
1 x 例13画出函数y=3sin （2x+
6
π
）+1的简图。
例14、求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x 值的集合。
○
1 y=sin x-
2 ○
2 y= 34sin 2 1x ○
3 y=2
1 cos （3x+ 4
π） 例15、○1求函数y=2sin(2 1x-3
π
)的递增区间。
○2求函数y=31cos(4x+6
5π
)的递减区间。
第一章 三角恒等变形
例1、 已知sin α=-5
3,且α在第三象限，求cos α和
tan α.
例2、 已知cos α=
13
12,求sin α和tan α. 例3、 已知tan α=m(m ≠0),求cos α和sin α. 例4、 已知tan α=2,1800＜α＜2700,求 例6 化简： 例7 求证
例8 不查表，求cos750,cos150的 值。
例9 已知sin α=5 4，α∈（2
π,π）,cos β=-13 5,
β∈（π，
2
3π
），求,cos （α-β）,cos(α+β)的值。
例10求f(x)=sinx+e cosx 的最大值和周期。
例11、已知tan α=2,，tan β=-3 1,其中α∈（0，2
π）,β∈（
2
π
，π）， ○
1求tan （α-β）； ○2求α+β的值。
例13若tan （α+β）=52 ,tan （β- 4
π ）= 41
,求tan （α+
4
π
）的值。
例14、已知tan α=2
1，求tan2α的值。
例15、设α是第二象限角，已知cos α=-
5
3, 求sin2α,cos2α和tan2α的值。
例16、在△ABC 中，已知AB=AC=2BC （如图），求角A 的正弦值。
例17、要把半径为R 的半圆形木料截成长方形（如图），应怎样截取，才能使长方形的面积最大？ 例18、利用二倍角公式证明： 例19、已知cos α=
25 7, α ,例20、sin2α=-13
12,
2
πξκαβχθθ≠≈≤≥＜＞∫±∈√∥·…≠⊙≌㏒／∝∵∴∪∩↑↓△ABC ※︿τλη㏒±¼½¾α÷⊆∠A ⊥
求证：π是函数f(x)=sin(2x+
4
π
)的一个周期。
例2 （韦达定理）已知X 1和X 2是一元二次方程
ax 2+bx+c (a ≠0,b 2—4ac ≥0)的两个根，求证：
X 1+X 2=- a b ，X 1X 2=a
c。
例3 已知：x,y,z 为互不相等的实数，且
x+y
1
=y+z 1=z+x 1,求证：x 2y 2z 2=1.
例4 已知：a,b 是互不相等的正数，求证：a 3+b 3＞
a 2b+a
b 2 例5 求证：
8+7＞5+10.
求证:函数f(x)=2x 2-12x+16在区间（3，+∞）上是增加
的。
例7如图已知BE,CF 分别为△ABC 的边AC,AB 上的高,G 为EF 的中点,H 为BC 的中点,求证：HG1EF. 例8 已知;a,b,c 都是正整数，且ab+bc+ca=1.求证：a+b+c ≥3.
例9求证：1,2，5不可能是一个等差数列中的三项 例10证明：首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前
n 项和公式为S n =na 1+
2
1)d
-n(n 。
例11已知数列{a n }满足a n+1=a
-21
,a 1=0,试猜想{a n }的通
项公式并用数学归纳法证明。
例12用数学归纳法证明：（1+α）n ≥1+n α(其中α＞-1，n 是正整数)。
第四次月考数学试卷
一、单项选择题（每题5分，共10题）。
1.若双曲线22
a
x —32y =1(a ＞0)的离心率为2，则a 等
于
A 、2
B 、3.
C 、
2
3
D 、1 2、设A={X/2≤X ≤6},B={X/2a ≤X ≤a+3},若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 A 、【1,3】 B 、【3，+∞） C 、【1，+∞）D 、
（1,3）
3、有下述命题
○1若f(a)*f(b) ＜0，则函数f(x)在(a,b)内必有零点。
○
2当a ＞1时，总存在x 0
∈R, 当x ＞x 0时，总有a x ＞x n ＞log a x
○
3函数y=1(x ∈R)是幂函数。
○
4若A B 则Card(A) ＜Card(B) (Card(A)表示集合A 中元素的个数)其中真命题的个数是
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 4、 x ＞1,y ＞1,且
41lnx, 41， 4
1
lny 成等比数列，则,xy 有
A 、最小值e
B 、最小值e
C 、最大值e
D 、最大值e 5、已知
a 、
b 为非零向量，则“a1b ”
是函数f(x)=(xa+b)*(xb-a)为一次函数”的
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 6、如图，偶函数f(x)的图像如字母M , f(x) f(x)
f(x)
A 、
B 、
C 、
D 、
A 、
B 、
C 、
D 、。