第七章 非线性动力学及混沌 讲义
非线性动力学系统的混沌现象研究
非线性动力学系统的混沌现象研究在当代科学领域中，非线性动力学系统的混沌现象一直是比较热门的话题。
这个话题不仅影响了自然科学领域，也对社会科学领域有一定的影响。
本文将探讨非线性动力学系统的混沌现象研究，旨在深入了解这一重要科学问题。
非线性动力学系统是一类包括非线性微分方程、差分方程、递归方程等在内的系统。
这类系统具有多种复杂行为，其中混沌现象是最为突出的表现之一。
混沌是指系统表现出的随机、无规则的运动行为，具有高度的敏感性和极大的不确定性，它在科学、工程、生物学、社会科学等众多领域具有重要应用。
大约在20世纪60年代左右，混沌现象被科学家所发现和研究。
受到混沌这个词本身含义的影响，混沌似乎不是好事情，但是，非线性动力学系统的混沌现象却有着广泛的实际应用。
例如在工程控制中，混沌现象可以为自适应控制、噪声降低、各向异性滤波等提供有效手段。
在社会科学领域，混沌理论也被广泛应用于敌我互动、经济波动、政治变化等方面的研究。
混沌现象的研究不仅扩展了人类对自然、社会的认识，也在一定程度上对人类行为和社会发展提供了重要的理论支持。
非线性动力学系统的混沌现象与线性系统有所不同。
线性系统的稳定性只与系统的本征值有关，而非线性系统的本征值是不确定的，系统的稳定性因此也显得不稳定。
此外，非线性动力学系统还存在着吸引子、周期解等现象，在不同的初始条件下，系统表现出不同的稳定性和动力学特征。
由此引发了混沌现象的相关研究。
针对非线性动力学系统的混沌现象，科学家们提出了一些定量分析方法。
其中最为常见的方法是用分形维数和李雅普诺夫指数来描述混沌现象。
分形维数是描述复杂几何结构的量度，可以用来衡量混沌吸引子的几何质量。
李雅普诺夫指数则是描述混沌轨迹敏感性的指标，它可以反映系统状态随时间演变的速率。
除此之外，还有一些相应的图像处理和非线性数据分析方法，如小波分析、自回归模型和谱分析等，它们在非线性动力学系统的混沌现象研究中也发挥了重要作用。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
非线性动力学中的混沌理论
非线性动力学中的混沌理论在现代科学中，非线性动力学是一门重要的学科，它涵盖了物理、数学、化学、生物等多个领域。
而其中引人注目的一个分支便是混沌理论。
混沌现象最早在天文学中被发现，即在天体运动中，因初值微小差异所引起的不可预测的后果。
后来，这种现象在其他领域内得到了发现和研究。
以混沌现象为研究对象的混沌理论，是最早由美国数学家斯蒂芬·斯蒂格尔（Stephen Smale）提出的。
混沌理论被广泛应用于天文学、物理学、生物学、经济学等领域，可以帮助我们更好地理解和探究自然现象的规律性。
在混沌理论中，最基本的概念是“混沌”。
什么是混沌？通俗地讲，所谓混沌现象，就是初始条件的微小变化，会引起结果的不可预测性。
比如说，在地球上，初始状态的微小差异就会带来完全不同的天气变化。
这种微小的差异在时间演化的过程中会被放大，从而导致结果的巨大变化。
在混沌现象中，一个核心的概念是“吸引子”。
所谓吸引子，是指系统在长时间内演化出现的一种结构，它是初始状态的某种演化态势。
吸引子有两种类型：固定吸引子和奇异吸引子。
固定吸引子是指系统在演化过程中逐渐趋于一个不变的结构；奇异吸引子则是指系统在演化中陷入的周期性动态。
吸引子是非线性动力学重要的演化结构，它可以揭示一些自然现象的演化特征，比如说叶的形态、病毒的结构以及人类心脏的节律等等。
在混沌理论中，还有一个重要的概念——分岔理论。
分岔理论指的是当控制参数发生微小变化时，系统的状态会出现突变，导致系统演化的方向发生变化。
换句话说，分岔理论描述了系统向稳定状态从不稳定状态转化的过程。
非线性动力学和混沌理论的研究对于科学技术的发展具有重要的意义。
它们可以帮助我们更好地理解和掌握自然界的规律性，加速科技创新和进步。
例如，在气象学中，混沌理论可以用来研究和预测天气变化；在物理学中，非线性动力学和混沌理论可以用来研究分子的运动和粒子的演化；在生物学中，它们可以用来研究代谢、神经系统和生态系统等等。
非线性振动系统及混沌的基本概念概述：混沌的发现.pdf
θ
=
ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cos
Ωt
显含t ，在二维相空间中为非自治系统。
10
引入新变量φ = Ω t ，可将方程化为 ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cosφ
φ = Ω
θ
θ
O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
令β =0，退化为线性方程
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx
=
f
cos Ωt
三种情况： a. f=δ = β = 0；b. f = β =0；c. β =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停 止于中点---不动点吸引子--- 。
从周期运动到倍周期分岔
◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
17
◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，υ0=0； b. x0=1.001，υ0=0.001.
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏 离了上次的结果。
非线性动力学与混沌控制研究
非线性动力学与混沌控制研究随着科技的快速发展，我们逐渐意识到一些复杂系统的行为，是极其难以被精确的描述和预测的。
这些系统包括了地球的气候变化、心脏的跳动、金融市场的波动等等。
这些系统都是非线性系统，非线性动力学理论因此而应运而生。
非线性动力学是研究非线性系统的一门学科，主要涉及的领域包括力学、电子工程、流体力学、化学等等。
相对于线性系统，非线性系统的行为表现不规则，不稳定，甚至呈现出混沌现象。
之所以这些系统难以被描述和预测，是因为它们的运动方程是高度非线性的，因此没有简单的解析解。
而混沌现象就是非线性系统的一种特殊表现。
在混沌现象下，系统产生的结果似乎是随机的、无序的、不可预测的。
在1975年，美国数学家Edward Lorenz提出了著名的“蝴蝶效应”：在某个时间点，假如一只蝴蝶在巴西拍动了它的翅膀，它的小小的振动可能引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
这个看似不可能的怪现象就是因为在混沌系统中，一点很小的扰动可能引起系统的广泛影响。
混沌控制理论，就是围绕如何控制混沌系统的研究。
目前主要包括四种控制方法：1.状态观测控制在系统混沌的过程中，我们可以通过观察系统的特征，如李雅普诺夫指数来判断系统运动状态和其进入混沌状态的时间。
而当系统进入混沌状态时，我们就可以通过观测系统状态，来选择合适的时刻，对系统进行控制。
2.参数控制方法我们可以通过改变系统的运动方程、参数等等，来阻断系统进入混沌状态，或者调节系统的性态，从而使系统变得更加稳定。
但是在具体实施的过程中，这种方法还有许多问题需要解决。
3.反馈控制法这种方法是通过不断的反馈修正，来探索使系统从混沌状态中恢复到稳定状态的运动方程。
相对于其他方法，反馈控制法的优势在于不需要更改系统参数，而能够对混沌状态下的系统进行有效的控制。
4.滑模控制法这种方法相对于其他方法不需要太多的先验知识，在混沌状态下仍然能够保持较好的控制效果。
在实际应用中，滑模控制法可以更好地应对一些未知参数或干扰因素的情况。
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
二. 决定性系统与不可预测性
1. 力学决定论及其伟大成就
x m F (x, x, t ) x x 0 , x x 0
t t0
x(t ), x(t )
存在且唯一， 可预测性
1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 1846年，海王星在预言的位置被发现。 今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
ij (
f i )0 x j
11 12 0 21 22
T 11 22 系数矩阵的迹 11 22 12 21 系数行列式的值
A1 B 1 A2 B2
T 0
2
特征根
1, 2
T T 2 4 2
xi f i ( x1 , x2 ,, xn )
i 1,2,, n
优点：
四. 相空间（相图）的概念
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度） 张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。
弹簧振子 通解
x 0 x
2 0
x A cos( 0t ) x1 x A0 sin(0t ) x2
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体 的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最 庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物 是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。
——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）
2. 力学决定论不断受到挑战
x1 x, x2 x
x3 cos t , x4 x3
非线性动力学培训课件
粒子群优化算法具有简单、易于实现、全局搜索能力强等优点，但可能存在局部最优解的问题，且对于大规模问题的求解效率可能较低。
粒子群优化算法
03
非线性动力系统的混沌现象
混沌是一种具有高度不确定性、非周期性、非线性、非稳定性的自然现象。
混沌现象的定义
混沌具有敏感的初始条件、拓扑混沌、统计的均匀性、普适性等特征。
非线性动力学在物理、生…
研究非线性动力学在物理、化学、生物、工程等领域的应用，深入探索非线性科学在解决实际问题中的潜力。
高维非线性动力学的数值…
针对高维非线性动力学问题，研究高效的数值模拟方法和算法设计技巧，以提高计算效率和准确性。
非线性动力学的研究前沿和挑战
智能制造与机器人技术的非线性动…
非线性动力学在未来的应用前景和发展趋势
电力工程
研究飞行器的非线性动态行为，如航天器姿态动力学和控制、空间碎片的动力学行为等。
航天工程
社会动力学
研究社会系统的演化和行为，如人口动力学、社会网络分析和人类行为等。
经济动力学
探究经济系统的非线性动态演化，如经济周期、金融危机和国际经济等。
决策科学
探究决策过程中的非线性现象和规律，如群体决策、风险评估和非线性思维等。
非线性动力学涉及到许多基本概念，如平衡点、稳定性、分岔点、混沌等，这些概念在研究非线性系统时具有重要的意义。
基本概念
非线性动力学的定义和基本概念
研究内容
非线性动力学的研究内容包括研究非线性微分方程的定性理论、研究非线性系统的稳定性、分岔、混沌等动力学行为，以及研究非线性动力学的数值方法和计算技术。
非线性动力学方法和思想在其他领域的应用
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i (t ) fi ( x10 1, x20 2 x j 0 j ) x
n
f f i ( x10 , x20 , , xn 0 ) ( i ) 0 j j 1 x j (t ) i 0 (t ) x i
f i i ( )0 j j 1 x j
1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟） 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。
1 x2 x 2 x x1 2 0
2 x12 x2 1 2 2 A ( A0 )
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
阻尼弹簧振子
通解
2x x 0 x
2 0
x Aet
2 0
2 2 0
1 x2 x 2 x 0 x1 2 x2 2
第七章 非线性动力学与混沌 Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@ 吉林大学物理学院
参考书
刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994
林振山，《非线性力学与大气科学》，南 京大学出版社，1993 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
(2k ,0) (2k ,0)
1. 在奇点(0,0)处线性化方程组为
f1 f1 2 2 1 x1 0 x2 0 f 2 f 2 2 1 - 2 2 2 1 2 0 x x 1 0 2 0 1
临界情况 渐进稳定
T T 2 4 1, 2 2
1 c1 A1e c2 A2 e 1t 2 t c B e c B e 1 1 2 2 2
不稳定
1t
2 t
不稳定
T
不稳定
(1) 两特征根实部都是负的
lim i 0
t
原点 i 0 是渐进稳定的
x1 x, x2 x
3 x3 cost , x4 x
1 x2 x k 3 F x x x x x3 2 1 1 2 m m m m x 3 x4 2 x x3 4
一阶常微分方程组
数值计算 系统的状态 相空间
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体 的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最 庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物 是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。
——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）
2. 力学决定论不断受到挑战
1 f1 x1 , x2 x2 x 2 2 f 2 ( x1 , x2 ) 0 sin x1 2x2 x
0 x2 2 0 0 sin x1 2 x2
求定态解
1 0 x 2 0 x
(0,0) 两奇点 ( ,0)
11 12 0 21 22
T 11 22 系数矩阵的迹 11 22 12 21 系数行列式的值
特征矩阵
T 0
2
特征根
T T 2 4 1, 2 2
A1 B 1
A2 B2
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义 数学上：
f ( x) ax b 2 f ( x) ax bx c
线性
非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。 例：
kx 2x 2 m x k mx 2 x
f (x) x
(1)
x ( x1, x2 ,, xn ) f ( f1, f 2 ,, f n )
解t0时为 x(t0 ) ， t时为 x(t ) 。如果对于任意小的数 0 ，总有一小数 0
存在，使得当 x(t0 ) x0 (t0 ) 时，必有 x(t ) x0 (t ) , t0 t 则称解x 0 (t ) 是Lyapunov意义下稳定的，简称Lyapunov稳定的或稳 定的。
二. 决定性系统与不可预测性
1. 力学决定论及其伟大成就
F(x, x , t) x m x 0 x x 0 , x
t t0
(t ) x(t ), x
存在且唯一， 可预测性
1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 1846年，海王星在预言的位置被发现。 今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
f ( x, x ) x
2阶，1维
x1 x x 1 x2 x
1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x
1阶，2维
n+1维自治
（2）非自治的 n维非自治
i 1 xi t , x
Duffing方程
x kx x3 F cost m x
n
——非线性方程组在参考态 xi 0 (t ) 附近的线性化方程组
i (t ) x i 0 (t ) x
若线性化方程的原点 i 0 是不稳定的，
i 0
则原非线性方程的参考态xi 0 (t ) 是不稳定的。 ——Lyapunov间接法
若线性化方程的原点 i 0 是渐进稳定的，则原非线性方程的参考态 xi 0 (t )是渐进稳定的；
2. 线性化方程组的解及其稳定性
1 11 1 12 2 2 211 22 2
试探解：1 Aet , 2 Bet
f i ij ( ) 0 x j
12 A 11 0 22 B 21
参考态
xi 0 也是渐进稳定的。
(2) 两特征根中至少有一个实部为正 原点 i 0 是不稳定的 lim i
t
参考态
xi 0 也是不稳定的。
(3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负
原点 i 0 是Lyapunov稳定的 参考态 xi 0 处于临界情况。
T T 2 4 1, 2 2 3. 奇点的分类 （取非线性方程的奇点为参考态）
lim x(t ) x0 (t ) lim c 2 e t 0
t t
渐进稳定的
三. 线性稳定性分析
1. 线性稳定性定理
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
i 1,2,, n
设 xi 0 (t ) 为方程的一个解(参考解)， 为研究该解的稳定性， 令 xi (t ) xi 0 (t ) i (t ) 为此解附件另一解，称扰动解 。
代入方程
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时 0 0
i , 02 2
x1 x Ae t cos(t ) Ae t [ cos(t ) sin(t )] x2 x 2 2 Ae t sin(t 0 )
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
i 1,2,, n
优点：
四. 相空间（相图）的概念
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度） 张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。
弹簧振子 通解
x 0 x
2 0
x A cos(0t ) x1 A0 sin(0t ) x2 x
(1) 0
T 2 4 0 两根都是实的，且符号相同，此时奇点称为结点。
T 0 不稳定的结点
T 0 稳定的结点
(2) 0 , T 2 4 0, T 0
两根都是复的，此时奇点称为焦点。
T 0
不稳定的焦点
T 0 稳定的焦点
(3) 0, T 0 两根都是纯虚数，解是等幅振荡，此时奇点称为中心。
x y ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn )
2 2
设t=t0时方程的解为 x0 (t0 ) ，t时为 x 0 (t ) ，另一受扰动而偏离它的
2 12
的，且 lim x(t ) x 0 (t ) 0 则称此解
x0 (t ) 是Lyapunov稳定的
例2.
解：
tx x
x(t ) t 1 ce
t
x0 (0) 1
x0 (0) 1
c2
x0 (t ) t 1 2et
x(0) x0 (0) 1 c 1 2 c 2
x(t ) x0 (t ) t 1 ce t 1 2e t c 2 e t
洛仑兹方程
10x 10 y x 28x y xz y z xy 8 z / 3
初值敏感性
不可预测性，混沌
初值敏感演示
杜芬（Duffing）方程： （带阻尼弹性系统的强迫振动）