理论力学7_非线性动力学与混沌 讲义..
现代物理概论-第四章-非线性力学和混沌
（1）一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线 性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现 了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝 克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
（2）另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态 学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都 发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。 促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。 科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解 析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并 打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线 性系统的行为。
对混沌的研究是从对微分方程求解开始的。二十世纪初， 著名的法国数学家和理论天文学家庞加莱发现某些特殊的微 分方程的可解性与解值对其初始条件极为敏感，初始条件的 细微差别可导致其解值的巨大偏差，甚至产生无解现象。但 他的发现没有引起数学家和物理学家的重视。1963年，美国 气象学家洛仑兹在计算机上用他建立的微分方程模拟气象变 化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以 引起模拟结果的巨大变化。洛仑兹打了个比喻说，在南半球 某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流几星期后 可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风，这就是天气的“蝴 蝶效应”。它的本质仍然是非现性耦合。洛仑兹的发现意味 着混沌理论的诞生。
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
第四章 非线性力学和混沌简介
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。 它是自本世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分 支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为本世 纪自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自 然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世 界的传统看法。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有 重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境 的利用也具有实际意义。由非线性科学所引起的对确定论 和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的 重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的 思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
数学的非线性动力学
数学的非线性动力学数学的非线性动力学是一个引人入胜且具有重要意义的领域。
它研究的是非线性系统在时间上的演化规律和行为，涉及到动力学系统、混沌理论、分岔理论等方面，深刻揭示了自然界中普遍存在的复杂性和随机性现象。
本文将介绍非线性动力学的基本概念、研究方法和应用领域。
1. 动力学系统动力学系统是研究对象在时间上演化的数学模型。
非线性动力学研究的系统一般都是非线性的，即其演化规律不满足线性叠加原理。
这种非线性特性使得动力学系统的行为变得复杂多样，涌现出了许多有趣而深奥的现象。
2. 混沌理论混沌理论是非线性动力学的重要组成部分。
混沌现象指的是看似随机但又具有确定性的动力学系统行为。
非线性系统中的微小扰动可能导致系统演化出完全不同的轨迹，表现出非常敏感的依赖初始条件的特点。
混沌理论对于解释自然界中的复杂现象，如气象学中的天气预报、生物学中的人口动态等具有重要的应用价值。
3. 分岔理论分岔理论是非线性动力学研究的另一个重要方向。
它研究的是系统参数变化过程中出现的稳定点突变的现象。
通过调整系统的参数，非线性动力学系统可以从一个稳定状态转变为另一个稳定状态，这种相变行为称为分岔。
分岔理论帮助我们理解自然界中一些重要的现象，如物理学中的相变、力学中的杆的失稳等。
4. 应用领域非线性动力学在许多学科领域都有着广泛的应用。
例如，在经济学中，非线性动力学模型常常用于分析市场波动和经济周期；在生物学中，非线性动力学模型可以用于研究罕见疾病的发展机理和生物钟的调节机制；在物理学中，非线性动力学模型被广泛应用于描述粒子间的相互作用和地震的发生机制等。
5. 研究方法非线性动力学的研究方法主要包括数值模拟、解析方法和实验观测。
数值模拟方法通过计算机模拟系统的演化过程，可以得到系统的定性和定量的特征；解析方法则通过数学分析推导系统的解析解，揭示系统的特性和演化规律；实验观测方法通过实际观测系统的演化行为，验证理论模型的正确性。
总结：非线性动力学作为数学的一个重要分支，对于揭示复杂系统的行为规律和演化机制具有重要意义。
动力系统理论与混沌现象研究
动力系统理论与混沌现象研究混沌，这个词在我们的日常生活中并不陌生。
当我们听到“混沌”时，脑海中浮现出的是一种无序、不可预测的状态。
然而，混沌并不仅仅是一种表象，它是动力系统理论中一个重要的研究领域。
动力系统理论是数学中的一个分支，研究的是描述物体运动规律的数学模型。
它的基本假设是，物体的运动是由一组微分方程描述的。
通过解析这些微分方程，我们可以了解物体在不同条件下的运动轨迹和变化规律。
混沌现象是动力系统理论中的一个重要分支，它研究的是一类特殊的非线性动力系统，这些系统的特点是具有极其敏感的初始条件。
换句话说，微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的结果。
混沌现象最早在20世纪60年代被发现，并在此后的几十年中得到了广泛的研究。
研究者们发现，混沌现象存在于许多自然界和人工系统中，如天气系统、金融市场、生物系统等。
这些系统的运动规律并不是简单的线性关系，而是呈现出复杂、非周期性的行为。
混沌现象的研究对于我们理解自然界的复杂性和不确定性具有重要意义。
通过研究混沌现象，我们可以揭示系统内部的隐藏规律和结构，为科学家们提供了一种新的思考方式。
在混沌现象的研究中，一个重要的概念是“吸引子”。
吸引子是描述系统演化过程中的稳定状态的数学概念。
简单来说，吸引子可以看作是系统在长时间演化后的稳定轨迹。
不同的吸引子代表了系统在不同条件下的演化结果。
混沌现象的研究方法主要包括数值模拟和实验观测两种。
数值模拟是通过计算机模拟系统的运动规律，得到系统的演化轨迹和吸引子。
实验观测则是通过实际观测系统的运动行为，如测量物体的位置、速度等参数，来研究系统的演化规律。
混沌现象的研究不仅仅是一种理论探索，它还具有实际应用的价值。
例如，在金融市场中，混沌现象的研究可以帮助我们理解市场的波动和变化规律，从而制定更有效的投资策略。
在天气预报中，混沌现象的研究可以提高预报的准确性，帮助我们更好地应对自然灾害。
总之，动力系统理论与混沌现象的研究为我们揭示了自然界的复杂性和不确定性。
非线性振动系统及混沌的基本概念概述：混沌的发现.pdf
θ
=
ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cos
Ωt
显含t ，在二维相空间中为非自治系统。
10
引入新变量φ = Ω t ，可将方程化为 ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cosφ
φ = Ω
θ
θ
O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
令β =0，退化为线性方程
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx
=
f
cos Ωt
三种情况： a. f=δ = β = 0；b. f = β =0；c. β =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停 止于中点---不动点吸引子--- 。
从周期运动到倍周期分岔
◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
17
◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，υ0=0； b. x0=1.001，υ0=0.001.
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏 离了上次的结果。
非线性动力学混沌理论方法及其意义
非线性动力学混沌理论方法及其意义吴 彤(清华大学 科学技术与社会研究所,北京 100084) 摘 要:本文考察了非线性混沌的各类描述定义,研究了混沌的细致分类,讨论和研究了混沌特性以及判别混沌、寻找混沌征兆的方法,区别了混沌与噪声;对混沌理论的认识论和方法论意义进行了四方面的研究:混沌研究对复杂性研究的非线性方法论的意义,混沌和决定论与可预测性的关系,混沌边缘研究意义,建设和避免混沌的关系。
关键词:非线性;混沌;方法;可预测性中图分类号:F22410 文献标识码:A 文章编号:1000-0062(2000)03—0072-08 如果仔细考察人类在自己的生命演化过程中的关注,似乎有两个问题最重要,第一,如何预测未来,第二,是否能够预测未来,因果关系等问题均在此列。
第一个问题是实用性的,而第二个问题则是理论性的,它关系到一种原则和生活的意义。
20世纪中叶以后,当气象学家洛伦兹提出“蝴蝶效应”时,人们了解到,就是完全确定性的动力学方程,也仍然会出现随机性演化。
那么,如何预测未来呢?预测还可能吗?人们现在更害怕混沌理论打破他们对未来可预测性的幻想。
但是这种幻想实在是一种幻象。
其实,从休谟起,科学哲学对归纳问题本质的揭示已经对单一的决定论因果观念给出了不可能的回答。
有哪一个人知道自己的生命和生命之途将如何走向呢?哪一个生命的道路不是在生命演化过程中逐渐完成的呢?其实,宿命论与线性决定论的联系比与随机论的联系更强。
另一方面,也出现了相反的误读和误解。
人们以为,混沌理论如果正确,那么世界将完全不可预测。
似乎混沌理论助长了悲观主义。
其实,混沌理论的出现,一方面揭示了自然界和社会客观存在混沌,谁都无法避免;另一方面,混沌理论对混沌动力学系统的研究,恰恰帮助人们了解混沌现象,对“混沌”不混沌,才能处事(处世)不惊、不乱。
混沌理论在一定意上更支持了决定论,因为它把原来属于随机性的、偶然性的领域,也纳入到决定论的管辖范围内。
生物学中的混沌与非线性动力学研究
生物学中的混沌与非线性动力学研究生物学中的混沌现象，指生物体内的系统呈现出的不规则、无序、不可预测的动态行为，这种行为远非简单的线性或周期性的运动可以描述。
混沌理论揭示了非线性系统内在的动态行为，尤其在自然界中的复杂系统中应用广泛，如气候、地震、心电图、神经系统、生态学等。
在生物系统中，混沌现象的研究对于理解机体内部的信息传递、信号调控、生命活动的协调等方面有着重要的作用。
混沌现象最早是由埃德华·洛伦兹在1963年提出的。
他研究了黄石国家公园热泉中的对流现象，发现该系统表现出了不确定、无序以及无周期的动态行为。
在此基础上，洛伦兹建立了混沌理论，揭示了非线性系统中动态行为的本质。
混沌理论对于物理学、数学、生物学等学科都产生了重要的影响。
非线性动力学则是研究复杂系统运动行为的数学理论。
这种系统一般是由多个相互作用的元件构成，其行为与系统各个元件间的剧烈耦合效应密切相关。
这种理论揭示了复杂系统的统计规律性，如复杂系统内部的同步现象、周期运动、混沌现象等。
在生物系统中，混沌与非线性动力学的研究是相对新近的。
最初，拜诊断技术的发展，科学家们才发现在生命体内存在着不规则、无序的动态行为。
例如，心脏的电生理活动中，可发现一些明显不规则的动态行为。
后来，随着计算机技术的进展，人们逐渐意识到混沌现象与非线性动力学的重要性，开始将这些理论应用到生物学中。
一方面，混沌理论可以用于生物体内的信号处理。
大多数生物体内的信号并不是单一、确定的信号，而是由众多分量构成的复杂信号，难以精确地进行分析和处理。
但是，混沌理论可以通过相空间、吸引子等技术对这些信号进行有效处理，从而揭示信号的本质和规律。
另一方面，非线性动力学在生物学中也有着广泛的应用。
比如，在神经生物学中，人们使用非线性动力学对神经元的单电脉冲行为、节律强制振荡等进行研究，建立了一些实际应用价值的模型。
此外，在生态学中，非线性动力学也被广泛应用，用于模拟和预测生态系统内物种种群相互作用的规律性，对于生态环境的制定和调控具有一定的参考意义。
[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解
![[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解](https://img.taocdn.com/s3/m/fc77ec380812a21614791711cc7931b765ce7b48.png)
朱照宣,1987年,牛顿《原理》三百年祭
• “《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两 个阶段。前280年是一阶段。那时认为由运动微 分方程所确定的动态总是确定性的。……后20年 则是另一个阶段。以卡姆定理(KAM)为代表的浑 沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和 统计力学之间没有不可逾越的界线。 ……不仅大 量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守 系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是 决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学 摘除了‘机械论’的帽子。”(朱照宣 1987, 第12页)
费格尔
（Herbert Feigl,1902-1988）说
“A causes B” or “A is the cause of B” means that wherever and whenever A occurs it is followed (or attended) by B. Since a precise repetition of A may not be feasible (or discoverable), a less stringent formulation would use something like a mathematical limit process: The more the actual condition A' approximates the conceived (ideal) condition A, the more actual effect B' will approximate the (ideal) effect B.
• There are systems whose trajectories do not monotonically approximate any ideal state. They are sensitive dependence to initial conditions.
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x A cos(0t ) x1
A0 sin(0t ) x2 x
x2
2 x12 x2 1 2 2 A ( A0 )
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
• 1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。
• 1846年，海王星在预言的位置被发现。 • 日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
• 广义相对论，量子力学也是决定论的。
2. 力学决定论不断受到挑战
• 1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)，湍流实验。 （烟） • 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）， 三体问题，不存在统一的第一积分，混沌。 • 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz），天气预报， “蝴蝶效应” ：巴西热带雨林中一只蝴蝶扇一下翅膀， 两个星期后，就可能在美国得克萨斯州引起一场龙卷风。
x1
时空轨迹 相图
阻尼弹簧振子 通解
2x x x
2 0
x Aet
2
1 x2 x 0 x 2 0 x1 2 x2 2
代入方程
2 0
2 0
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时
0 0
第七章. 非线性动力学与混沌 Chapter 7. Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@
吉林大学物理学院
参考书
• 刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994 • 林振山，《非线性力学与大气科学》，南京 大学出版社，1993 • 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂现 象》，气象出版社，1989
2阶，1维
1阶，2维
（2）非自治的 n维非自治
i 1 xi t , x
n+1维自治
例1：Duffing方程
x kx x3 F cost m x
x1 x, x2 x
x3 cost 3 x4 x
1 x2 x k 3 F 2 x1 x1 x2 x3 x m m m m x 3 x4 2 x4 x3 •
i , 02 2
阻尼弹簧振子
x1 x Ae
2
t t 2
cos(t )
t
Ae [ cos(t ) sin(t )] x2 x Ae
1
0.8
sin(t 0 )
• 混沌现象是矛盾的结合体
决定性与随机性 稳定与不稳定 有序和无序
三. 常微分方程的一般形式
1. 自治方程与非自治方程
F(x, x ) m x F(x, x , t) m x
2. 常微分方程一般形式
不显含时间，自治的 显含时间，非自治的
1 x2 x x1 x f ( x, x ) （1）自治的 x 2 f ( x1 , x2 ) x 1 x x2 x
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
定义：运动微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
kx m x kx 2 x 2 m x k 2 m x x
线性 非线性
非线性
二. 决定性系统与不可预测性
1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
-0.4
相图
时空轨迹
0.6 0.4 0.2 0 -0.2
-0.6
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-0.8 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
§7.2 运动稳定性分析
一. 非线性方程解的各种形式
0.235268 0.235
洛仑兹方程
10x 10 y x 28x y xz y z xy 8 z / 3
初值敏感演示
Duffing方程： （带阻尼弹性系统的强迫振动）
x kx x F cost m x
3
x10 1,
优点： 数值计算
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
i 1,2,, n
• 系统的状态
一阶常微分方程组
• 相空间
四. 相空间（相图）
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动 量（速度）张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态 的变化轨迹称为相图。 1 x2 x 2 2 弹簧振子 0 x x0 x 0 x1 2
1. 力学决定论及其伟大成就
F( x , x , t) x m x 0, x x 0 , x t t0
(t ) x(t ), x
存在且唯一， 可预测性
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组 成它的物体的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据 进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动 凝聚在一个公式中，没有什么事物是不确定的，将来就像 过去一样清晰地展现在眼前。 ——Laplace，法国数学家，（1749-1827）
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
1. 定态解
i 1,2,, n
x2
i 0 x
i 1,2,, n
初值敏感性
10 0 x 20 0 x20 1.000001 , x
不可预测性，混沌
不可预测性 = 客观世界的非决定论 ？
• 线性系统是特殊的、近似的 • 非线性系统是普遍的、本质的（ex:弹簧、单摆）
振动、流体力学、声学、光学、气象学、天文学 化学、生命学、生态学 经济学、金融学、社会学