理论力学_动力学复习解析
复习要点二——理论力学
W (Q2 ) 3 4900 2 14700 2
由虚位移原理得:
W (P) W (Q1 ) W (Q2 ) W (M ) W (YA ) 0
4900 1 4900 1 14700 2 4900 2 2YA1 0 14700 2 4900 2 4YA2 0 YA 2450
XA 0
27
X Ar 0
例题.图示构架中C, D和E为铰链.A为铰链支座,B为链杆.绳 索的一端固定在F点 ,另一端绕过滑轮E并与重物W 连接.不 计各构件的重量.画出AB,CB,CE、滑轮E及整体的受力图.
C
A
D
B
F
E
W
28
解:滑轮可视为三点受力. C
T
O
E RE
A
D
B (滑轮E受力图)
F r 0
i 1 i i
n
X x Y y 0
i 1 i i i i
32
n
虚位移原理的应用 (1)求解复杂系统的平衡条件. 1)画虚位移图. 2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系. 3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解平衡条件.
33
(2)求约束反力
2、CD作定轴转动，转动轴：C vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB 3、DE作平面运动
（ DE vE DE vD） vE cos 30 vD vD vE 0.8 m s cos 30
11
例题.匀质杆OA长l重W,其一端O用理想铰链固定 如图所示.设开始时杆在水平位置,初速为零.求转 过角时的角速度,角加速度以及铰链O处的约束 反力.
注册工程师基础《理论力学》-动力学
x
a
P1 M
W
ma = P1 − W
P1
=W
+W g
a
答案：B
一、质点动力学
[例 题]
G F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
G = −k v
，则对图示坐标轴Ox，小球的运动微
分方程为：
（A） mx = mg− kx
（B） mx = −mg− kx （C） mx = −mg+ kx （D） mx = mg+ kx
J OO
=
J CC
+
m( l )22 2
=
1 3
ml 22
O
zC
z1
C
d
C
m
l
二、动力学普遍定理
1、物理量
（5）力的功 ● 常力的功
M1
F M2
θv
W = F cosθ S
S
● 变力的功
G MM22
G MM22
∫ ∫ W1122 = F ⋅ dr = F cosθ ds
MM11
MM11
● 重力的功
二、动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
T +V = E = 常数
2．定理
二、动力学普遍定理
2．定理
质量相同的两均质圆盘，放在光滑水平面 上，在圆盘的不同位置上，各作用一水平力F 和F′，使圆盘由静止开始运动，设F = F′， 试判断那个圆盘动能大？
A F′ B F
三、达朗贝尔原理
x B
maCx = Fx = 0
答案：C
二、动力学普遍定理
2．定理
（4）动量矩定理
理论力学中的动力学分析与运动方程的推导
理论力学中的动力学分析与运动方程的推导动力学是研究物体运动的学科，它通过分析力的作用和物体的运动状态，来推导出运动方程。
在理论力学中，动力学是一个重要的分支，它描述了力对物体运动的影响。
本文将从牛顿力学的角度，展示动力学分析和运动方程的推导过程。
一、牛顿第二定律的提出牛顿第二定律是描述力对物体运动的影响的基本定律。
它的数学表达式为：F=ma，其中F代表力的大小和方向，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
根据这个定律，我们可以得到运动方程。
二、运动方程的推导为了推导运动方程，我们需要首先建立坐标系。
假设一个物体在一维空间中运动，我们可以选取一个直角坐标系，将物体的位置用一个坐标x来表示。
接下来，我们需要考虑力对物体的作用情况。
1. 力的分析在动力学中，物体受到的力可以分为两类：约束力和非约束力。
约束力是由物体与其他物体之间的相互作用引起的，比如弹簧的张力、绳子的拉力等。
非约束力则是物体受到的其他力，如重力、摩擦力等。
根据牛顿第二定律，非约束力的合力乘以物体的质量就等于物体的加速度。
2. 运动方程的推导假设物体受到一个非约束力F，根据牛顿第二定律可以得到：F=ma。
将加速度a用速度v的导数表示，即a=dv/dt。
将速度v用位置x的导数表示，即v=dx/dt。
将以上三个式子代入F=ma中，可以得到F=m(dv/dt)=md^2x/dt^2。
这个方程就是物体在非约束力作用下的运动方程。
三、应用举例通过上述的运动方程推导，我们可以解决许多与动力学相关的问题，下面通过一个简单的应用举例来说明。
假设有一个质量为m的物体在水平面上运动，受到一个恒定的非约束力F。
根据上面推导的运动方程F=md^2x/dt^2，我们可以解得物体的运动方程为d^2x/dt^2 = F/m。
如果我们知道物体初始位置x0和初始速度v0，以及非约束力F的具体数值，那么我们可以通过求解运动方程来确定物体的运动轨迹。
首先对方程两边进行积分，得到dx/dt = v = (F/m)t + C1，其中C1为积分常数。
理力复习(题解)解析
《理论力学》复习一、填空1、理论力学中，我们把实际物体抽象为刚体、质点和质点系三种模型。
2、我们学过的静力学公理有5个，根据第三加减平衡力系原理又可推论出以下了两个刚体平衡原理：力的可传递原理、三力平衡汇交原理。
3、力系按力作用线位置之间的相互关系一般可分为汇交力系和平行力系、力偶系、一般力系共四种类型。
4、多个力称之为力系，如果某个力与一个力系等效，则此力称为该力系的合力系，力系中的各个力称之为分力，分力不是唯一的。
5、空间一般力系向任一点简化可得主矢和主矩矢，而最终简化结果可以为合力、合力偶、力螺旋以及平衡等共四种结果。
6、空间平行力系有 3个独立的平衡方程，平面一般力系则有2个独立的平衡方程，空间汇交力系各有3个独立的平衡方程。
7、刚体基本运动形式有平动和定轴转动两种。
8、合成运动中，动点相对于定系的运动称之为绝对运动，动系相对于定系的运动称之为牵连运动，牵连速度是指牵连点的绝对速度。
9、平面内，活动铰支座有 1 个约束力（未知量）、，固定端约束有3个约束力（未知量）、11、理论力学三大部分内容为静力学、运动学、动力学。
12、我们学过的静力学公理有二力平衡、力的平行四边形法则、加减平衡力系原理、作用力与反作用力原理和刚化原理等共5个公理。
13、力系按力作用线位置之间的相互关系一般可分为汇交力系和平行力系、力偶系、一般力系共四种类型。
14、平面一般力系向任一点简化可得主失和主距，前者与简化中心位置无关。
而最终简化结果可以为合力、合力偶以及平衡力系等共三种结果。
15、平面平行力系有2个独立的平衡方程，平面一般力系则有 3 个独立的平衡方程，空间平行力系有3个独立的平衡方程。
空间汇交力系有 3个独立的平衡方程。
16、外力合力落于摩擦锥以内时不能使物体运动的现象称之为自锁，其特点是与外合力的大小无关（有否关系）。
17、点的合成运动中，动点相对于动系的运动称为相对运动，动点相对于定系的运动称为绝对运动，动系相对于定系的运动称为牵连运动。
理论力学(附答案)-谢传峰、王琪-动力学部分
m 2R4 x2
(x2
R
2
)
5 2
,
FN
mg
m 2R5x
(x2
R
2
)
5 2
1－13 解：动点：套筒 A；
动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理
va ve vr
va
ve
vr
有： va cos ve ，因为 AB 杆平动，所以 va v ，
2014-北航考研-永爱渣渣
《动力学 I》第一章 运动学部分习题参考解答
1－3 解：
运动方程： y l tan ，其中 kt 。
将运动方程对时间求导并将 300 代入得 v y l lk 4lk
cos2 cos2 3
a y 2lk 2 sin 8 3lk 2
ve
va
R
， va
vr
R
，1
ve O1 A
R 2R
0.5
根据加速度合成定理有
aa aet aen ar aC
（b）
将（b）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得
v02l 2 x3
（负号说明滑块 A 的加速度向上）
取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程： mx mg F cos my F sin FN
x
(
x2
理论力学复习详解
《理论力学》复习指南第一部分静力学第1章．静力学基本概念和物体的受力分析1．静力学基本概念力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体运动状态发生变化或使物体产生变形。
前者称为力的运动效应，后者称为力的变形效应。
力对物体的作用决定力的三要素：大小、方向、作用点。
力是一定位矢量。
刚体是在力作用下不变形的物体，它是实际物体抽象化的力学模型。
等效若两力系对物体的作用效应相同，称两力系等效。
用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成。
2．静力学基本公理力的平行四边形法则给出了力系简化的一个基本方法，是力的合成法则,也是一个力分解成两个力的分解法则。
二力平衡公理是最简单的力系平衡条件。
加减平衡力系公理是研究力系等效变换的主要依据。
作用与反作用定律概括了物体间相互作用的关系。
刚化公理给出了变形体可看作刚体的条件。
3. 约束类型及其约束力限制非自由体位移的周围物体称为约束。
工程中常见的几种约束类型及其约束力4. 受力分析对研究对象进行受力分析、画受力图时，应先解除约束、取分离体，并画出分离体所受的全部已知载荷及约束力。
画受力图的要点第2章．平面力系[例]桁架结构0力杆（习题2-55）第3章．空间任意力系1. 物体的重心重心是物体重力的合力作用点。
均质物体的重心与几何中心――形心重合。
重心坐标的一般公式是⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆=∆=∆=∑∑∑P z P z P y P y P x P x i i C i i C ii C ; 对于均质物体⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰V dV z z V dV y y V dV x x VC V C V C第4章摩擦1.基本概念动滑动摩擦、静滑动摩擦 自锁当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力的大小F 与相互接触物体之间的正压力大小与正比。
2.基本计算动滑动摩擦、静滑动摩擦的计算【例】物A 重100KN ，物B 重25KN ，A 物与地面 的摩擦系数为0.2，滑轮处摩擦不计。
注电考试最新版教材-第102讲 理论力学：运动学(五)动力学(一)
六）例题[例4—2—6] 在图4—2—16所示曲柄连杆机构中，曲柄OA以角速度ω和角加速度ε绕O轴转动,并通过连杆带动滑块B在圆形槽内滑动。
如OA=R,AB=23R,且图示瞬时，α=30º，φ=60°，求在该瞬时，滑块B的切向和法向加速度。
[解] 杆AB作平面运动，其图示位置的速度瞬心为点C，故由速度瞬心法得B点的速度大小为方向如图。
杆AB的角速度大小为转向为逆时针向。
于是，B点的法向加速度大小为方向如图。
a，现根据加速度合成法列出aB的表达式为求 B将上式投影到x轴上，得式中代入上式，并经整理后得B点的切向加速度大小为3ω)>o，则图示τB a的指向是正确的，否则反之。
若(2ε—2注意，B点绕O1点作圆周运动的角速度ωl和角加速度ε1与杆AB的ωAB和εAB是不同的。
[例4—2—7] 图示机构由曲柄连杆机构使齿条I作往复直线运动。
曲柄OA绕轴O顺时针向转动，其转速为n=60r／min，OA=10cm，AB=20cm齿轮O1、O2上下均与齿条啮合。
求当φ=90°时，齿条I的速度和加速度。
[解] 图示为一多构件组成的平面机构。
由题意知，曲柄OA以匀角速度绕O轴转动；杆O1O2和齿条I均作平动；齿轮O1、O2和连杆AB均作平面运动。
在图示位置，杆AB作瞬时平动，齿条I的运动可取与齿轮啮合的一点M代之。
在具体解算时，一般可依照运动传递的顺序，从已知构件即曲柄的运动着手，通过连接点A、B和O2的运动分析，求得齿条上M点的速度和加速度。
因曲柄OA作匀速转动，所以有由于图示位置杆AB作瞬时平动，故该瞬时杆AB的角速度B点的速度大小为方向与vA相同。
B点的加速度aB，由加速度合成法得将上式投影到x轴上，并注意到故有即方向如图4—2—17所示。
由此可算得平动杆件为O1O2上一点O2的速度、加速度为因轮O2与上下两齿条均无相对滑动，故C2为轮O2的速度瞬心，并由速度瞬心法求得M点的速度为方向如图。
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结理论力学是一门研究物体机械运动一般规律的学科，它是许多工程技术领域的基础。
以下是对理论力学一些重要知识点的总结。
一、静力学静力学主要研究物体在力系作用下的平衡问题。
1、力的基本概念力是物体之间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
力的表示方法包括矢量表示和解析表示。
2、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力则是约束对物体的作用力。
常见的约束类型有柔索约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束等，每种约束对应的约束力具有特定的方向和特点。
3、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。
要明确研究对象，画出其隔离体，逐个分析作用在物体上的力，包括主动力和约束力，并画出受力图。
4、力系的简化力系可以通过平移和合成等方法进行简化，得到一个合力或合力偶。
力的平移定理指出，力可以平移到另一点，但必须附加一个力偶。
5、平面力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程有三个：∑Fx ＝ 0，∑Fy ＝ 0，∑Mo(F) ＝0。
对于平面汇交力系和平面力偶系，平衡方程分别有所简化。
6、空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程数量增多，需要考虑三个方向的力平衡和三个方向的力矩平衡。
二、运动学运动学研究物体的运动而不考虑引起运动的力。
1、点的运动学描述点的运动可以使用矢量法、直角坐标法和自然法。
在自然法中，引入了弧坐标、切向加速度和法向加速度的概念。
2、刚体的基本运动刚体的基本运动包括平动和定轴转动。
平动时，刚体上各点的运动轨迹相同、速度和加速度相同；定轴转动时，刚体上各点的角速度和角加速度相同。
3、点的合成运动点的合成运动是指一个动点相对于两个不同参考系的运动。
通过选取合适的动点、动系和定系，运用速度合成定理和加速度合成定理来求解问题。
4、刚体的平面运动刚体平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
平面运动刚体上各点的速度可以用基点法、速度投影定理和瞬心法求解，加速度则可以用基点法求解。
三、动力学动力学研究物体的运动与作用力之间的关系。
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p mv
t
I 0 F dt
p
mi vi
mvC
i
（3）动量矩 LO MO (mivi ) ri mivi
LOz J z
动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量
z
① 定义
J z ri2mi
i
Jz
m
2 z
回转半径
ri
vi
mi
mO
y
x
动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
所以
p
px
5 2
ml1
A
方向水平向左
B
O
动力学普遍定理
[例 题]
图示均质细直杆OA长为l，质量为m，质心C处连接一刚度系数
为k 的弹簧，若杆运动到水平位置时角速度为零，则初始铅垂位置
（此时弹簧为原长）时，杆端A的速度vA为 多少？
T2－T1＝W12
T1
1 2
J O 2
1 2
1 3
ml2 (vA l
【思考题】
1．选择题
（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平
面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？
a.m
dv dt
F
, b.m
dv dt
F
( A)
v
M
F
A、a、b都正确； B、a、b都不正确。
C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。
n
(2)重量为G的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路 面最低点时，对路面的压力如何 ? （ B ）
动力学普遍定理
（4）动量矩定理
dLO dt
M
e O
2．定理
（LOz J z）
（5）定轴转动微分方程
J z
M
e z
（6）平面运动微分方程
mxC Fx
i
myC Fy
i
JC M C (Fie )
i
动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
T V E 常数
2．定理
JC
3 2
mR2
T
1 2
JO 2
1 mL2 2
18
T
1 2
JO 2
3 4
mR2 2
T 1 mv2 1 mR2 2
2
4
A
O
图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为2r，
质量为m，行星齿轮可视为均质轮，质量
为m，半径为r，系杆绕轴O转动的角速度
为。则该系统动量主矢的大小为（ 3mr
），对轴O的动量矩大小为（13 mr 2）
为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面
作纯滚动。在图示瞬时，OA 的角速度为，则整个系统的动量为多少
？
【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。
首先需找出每个刚块的质心速度：
（1）OA作定轴转动，其质心速度在图示
瞬时只有水平分量v1cx 1 2 l1，方向水
平向左。
A
（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速
度也只有水平分量 v2cx vA l1，方向水
平向左。
B
O
（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速
度方向恒为水平，在图示瞬时
vB ，v方A 向水l1平向左。
所以
px
mv1x
py 0
mv2x mv3x
5 2
ml1()
（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ C）
A、无变化；
B、动量大小有变化，但方向不变 C、动量大小无变化，但方向有变化 D、动量大小、方向都有变化
（3）一均质杆长为 l，重为P，以角速度 绕O轴转动。试确
定在图示位置时杆的动量。（ ）C
A、杆的动量大小 p Pl ，方向朝左
2g
B、杆的动量大小 p Pl ，方向朝右
动力学的主要内容
研究物体的机械运动 与作用力之间的关系
动力学所涉及的研究内容包括：
1. 动力学第一类问题 —— 已知系统的运动，求作用 在系统上的力。
2. 动力学第二类问题 —— 已知作用在系统上的力， 求系统的运动。
动力学普遍定理
动量定理 动量矩定理 动能定理
动力学普遍定理
1、物理量
（1）动量
B
3g
C、杆的动量大小 p Pl ，方向朝左
6g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D、杆的动量等于零
lO
3
A
[例] 基本量计算 (动量，动量矩，动能)
p
mvC
1 6
mL
LO
J O
[ 1 12
mL2
m( L )2 ]
6
p mR
LO
J O
3 2
mR2
p mv
LC
JC
1 2
mR2
1 mL2
9
LO rC mvC LCr
LO
mv R
T
1 2
mvC2
●
平面运动刚体
T
1 2
m
vC2
1 2
JC2
（7）势能
M0
V F dr
T
1 2
J P 2
M
M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。
动力学普遍定理
2．定理
（1）动量定理
（2）质心运动定理
dp dt
FRe
m aC
（p
FRe
mvC）
（3若）若动量F定FReR理e＝＝、00质心运则则动定vpC理＝＝守CC恒
M1
F M2
v
W F cos S
S
M2
M2
● 变力的功 W12 F dr F cos ds
M1
M1
● 重力的功
W12 mg(z1 z2 )
● 弹性力的功
W12
k 2
(12
2 2
)
动力学普遍定理
1、物理量
（6）动能
● 质点 T 1 mv2 2
● 定轴转动刚体
T
1 2
J z 2
●
平移刚体
)2
T2 0
W12
mg
l 2
k 2
(l
2 l)2 2
vA
3kl 2 (2
4m
2)2 3gl
vA
A
C k
O 450
例11-5 如图所示，质量为m，半径为r的均质圆盘，可绕通过O 点且垂
直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴转
，
3
系统动能为（ 11 mr2 2）。
3
质量为m长为l的均质细长杆，杆端B端
置于水平面，A端铰接于质量为m，半径
为r的轮O边缘点A,已知轮沿水平面以大
小为的角速度作纯滚动，系统的动量
大小为（ 3mr）0 ，对点P的动量矩大小
为（ ）。
7 2
mr
2）0，系统动能为（141
mr
20
2
例
如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均
A、压力大小等于G； B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G； D、已知条件没给够，无法判断。
【思考题】
1.选择题
（1）设刚体的动量为 P ，其质心的速度为vc，质量为M，
则式 P Mvc 。（ ）D A、只有在刚体作平动时才成立； B、只有在刚体作直线运动时才成立； C、只有在刚体作圆周运动时才成立； D、刚体作任意运动时均成立；
● 均质细圆环 JC mr2
m Cr
● 均质薄圆盘
JC
1 mr2 2
● 均质细长杆
JC
1 12
ml 2
C rm
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理量
③ 平行移轴定理
m
J z1 J zC md 2
JO
JC
m( l )2 2
1 3
ml 2
O
zC
z1
C
d
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理量
（5）力的功 ● 常力的功