理论力学(矢量运算基本知识)
《理论力学》精品课件_TM.7-5以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的..
7-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度一、角速度矢绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示。
1．角速度矢的大小角速度矢ω的大小等于角速度的绝对值，即td d ϕω==ω （7-16） 2．角速度矢的指向角速度矢ω沿轴线，它的指向表示刚体转动的方向；如果从角速度矢的末端向始端看，则所观察到的刚体作逆时针向转动，如图7-10a 所示；或按照右手螺旋规则确定：右手的四指代表转动的方向，姆指代表角速度矢ω的指向，如图7-10b 所示。
(a ) (b )图7-10至于角速度矢的起点，可在轴线上任意选取，也就是说，角速度矢是滑动矢。
如取转轴为z 轴，它的正方向用单位矢k 的方向表示（图7-11）。
于是刚体绕定轴转动的角速度矢可写成k ω=ω （7-17）式中ω是角速度的代数值，它等于ϕ。
(a ) (b )图7-11二、角加速度矢同样，刚体绕定轴转动的角加速度可以用一个沿坐标轴线的滑动矢量表示：k ε=ε （7-18）式中ε是角加速度的代数值，它等于ω或ϕ 。
于是 )(d dd d k k ωωtt ==ε （7-19）即角加速度ε是角速度矢ω对时间的一阶导数。
根据上述角速度和角加速度的矢量表示法，刚体内任一点的速度可以用矢积 表示。
三、速度的矢量积表示如在轴线上任选一点O 为原点，点M 的矢径以r 表示，如图7-12所示。
图7-12那么，点M 的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积来表示，即r v ⨯=ω （7-20）为了证明这一点，需证明矢积r ⨯ω确实表示点M 的大小和方向。
根据矢积的定义知，r ⨯ω仍是一个矢量，它的大小是v r r =⋅=⋅=⨯R ωωωθsin式中θ是角速度矢ω与矢径r 的夹角。
于是证明了矢积r ⨯ω的大小等于速度的大小。
矢积r ⨯ω的方向垂直于ω和r 所组成的平面（即图7-12中三角形OMO 1平面），从矢量v 的末端向始端看，则见ω按逆时针转向转过角θ与r 重合，由图容易看出，矢积r ⨯ω的方向正好与点M 的方向相同。
大学物理矢量运算
chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。
表示：数字（可带正负号）。
加法：代数和。
二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。
表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段 矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。
0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。
1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。
学习大学物理必备数学知识
r
r
r
自矢矢 量量的BAr 的 末端末画端出画矢出量矢量 ，CBr，则再从就Cr矢是量 和A的Ar 始端的Br到合
矢量。
4
利用矢量平移不变性： r
d
A r
c
r
C
r
B a
r
B b
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
r
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
r B
•
r dA
dt
dt
dt
(4)
d
rr A B
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
26
2、矢量的积分：
设
r A
和
r B
均在同一平面直角坐标系内，且
r dB
Ar，
则有：dBr
r Adt
dt
r B
r Adt
r Axi
Ay
r j
dt
r
r
Axdt i Aydt j
r
的模，用符号 A 表示。
A
图1 矢量的图像表示
2
2、矢量平移的不变性：
r
r
把矢量 A在空间平移，则矢量 A的大小和方向都不
会因平移而改变。
r
r
A
A
r A
图2 矢量平移
3
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
r
c
最新大学物理-矢量和矢量运算
A x 2A 01y 2单A 击z 2此
处
添
加
文
本
具
体内 A
ห้องสมุดไป่ตู้
容
X
Y cos Ax A
02
单
击
此
处
添
加
文
本O具
体
内
容
AX
Z
Az
夹 角
cos A y
A
cos Az A
若
A
AA x 2A y 2A z 2
则 称为 方向A上的单1位矢量。
1. 矢量的模和单位矢量
○ 矢 量 的 大 小称为矢量 的模，记做 A
A B ( A x i A y j A z k ) (Bxi ByjBzk)
AxBx AyBy AzBz
矢量的矢积（叉乘）
CA B
01
CA 注意s顺B 序i：n
02 03
方向：右手定则
A 其大B 小为 (B A )
当两个矢量平行时
0s i 0 n A B 0
矢量函数的积分
A(t)Ax(t)i Ay(t)jAz(t)k
t
t
t
0
A(t)dt( 0 t
Ax(t)dt)i
(
0
Ay(t)dt)j
( 0 Az(t)dt)k
1
3
0c o 1s A B A
B 输 入 标 题 当两个矢量垂
（点乘）
B 直时
当两个矢量平
行时
4
输入标题
A
c os 0
A B 0
2
由于直角坐标系的单位
A
矢量具有正交性，即：
iij jkk1 i jjkki 0
所有矢量计算公式解析
所有矢量计算公式解析矢量计算公式解析。
矢量是物理学和工程学中经常出现的概念，它们可以用来描述物体的运动、力和速度等。
在矢量计算中，有一些常见的公式和运算规则，下面我们来逐个解析这些公式。
1. 矢量的加法和减法。
矢量的加法和减法是矢量计算中最基本的运算之一。
假设有两个矢量A和B，它们的加法和减法运算分别如下：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)。
A B = (Ax Bx, Ay By)。
其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量，Bx和By表示矢量B 在x和y方向上的分量。
通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的和或差。
2. 矢量的数量积。
矢量的数量积又称为点积，它是矢量计算中另一个重要的运算。
假设有两个矢量A和B，它们的数量积运算如下：A·B = |A| |B| cosθ。
其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角。
通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的数量积，从而得到它们之间的关系。
3. 矢量的叉积。
矢量的叉积又称为向量积，它是矢量计算中另一个重要的运算。
假设有两个矢量A和B，它们的叉积运算如下：A×B = |A| |B| sinθ n。
其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角，n表示一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。
通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的叉积，从而得到它们之间的关系。
4. 矢量的分解。
在实际问题中，我们经常需要将一个矢量分解成两个分量矢量，以便进行更方便的计算。
假设有一个矢量A，它可以被分解成在x和y方向上的两个分量矢量Ax和Ay，分解公式如下：A = Ax + Ay。
其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量。
通过这个公式，我们可以将一个矢量分解成两个分量矢量，从而方便进行计算。
5. 矢量的单位化。
在矢量计算中，有时我们需要将一个矢量转化为单位矢量，以便进行更方便的计算。
理论力学向量
矢量的数乘满足分配律
(a ± b) =a±b
• 任意矢量可表示为其模与同方向单位矢 量的乘积：
A = A (A / A) = AeA
式中eA为A方向的单位矢量：eA = A / A .
3. 矢量的分解
• 平面矢量的分解
设 A1 和 A2 是 平 面 内 任 意 两 个 线 性 无 关 （不共线）的矢量，则平面上任意矢量 可表示为：
理论力学
第1讲
理论力学
矢量代数基础
1. 矢量的概念
标量：量度单位确定之后，仅用数的大小就可以 完全表示的量称为标量。
矢量：具有大小和方向，并遵从一定运算规则的 量称为矢量。
矢量和标量是性质不同的两类量，它们之间不能进行 量度的比较，因此也不可能彼此相等。
•矢量用粗斜体字母a、F、v…表示，在图中表 示为一有向线段。
矢积的几何意义
C = A×B
A
|A| sin
|B| B
（180）
• 关于叉乘的运算规律
• A×A = 0 • A×(B + C) = A×B + A×C • (A×B) =(A)×B = A×(B) • A×B = －B×A • 设A和B是两个非零矢量，则
A与B 共线 A×B = 0
1.2 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋j－2k，计算 (A＋B)·(A－B)。 1.3 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋yj－2k，试求使A⊥B的y。 1.4 若A=2i＋j＋k，B=i－2j＋2k，C=3i－4j＋2k，求
A＋C 在B 方向的投影。 1.5 一个三角形的三个顶点在 A (2,3,1)，B (－1,1,2)，C
矢量运算法则ppt课件
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 散度：
a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式： divF lim S F dS
c.散度的计算：
V 0 V
在直角坐标系中，如图做一封闭
z
S6
S1
S3
S4
S2
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
S5
y
Az
A
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2.减法：换成加法运算
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
B
A B | A | | B | sin aˆc
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
大学物理矢量运算
chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。
表示：数字（可带正负号）。
加法：代数和。
二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。
表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段 矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。
0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。
1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ai = i aix+ jaiy + kaiz 则有: Rx= aix
4.矢量的矢积 (1)定义: c = a × b
R = ai Rz= aiz
Ry= aiy
c
c a b sin a b
b a
6
(2)直角坐标中的解析表示
i a b ax bx
j ay by
k az bz
y
xE+2xA= c1
xB+(xB - xA) = c2
xC+(xC - xB) = c3
C
E
xD - xC =c4
D
x
18
对上述各式微分得:
2 dxB - dxA = 0 dxD - dxC = 0
dxE + 2 dxA = 0
2 dxC - dxB = 0
8dxD = -d xE
8vD= - vE 8aD= - aE aE = 2 vE =10 aE = 2
18 5
14
二.绪论
1.理论力学的研究对象
(1)机械运动
(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统
(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的 3.理论力学的研究方法 4.理论力学的学习方法
15
例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块A的加速度. 解:
理 论 力一.矢量运算的基本知识 1.单位矢量 2.矢量的加法 3.矢量的标积 4.矢量的矢积 5.矢量的导数
2
二.绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
一.矢量运算的基本知识
r 1.单位矢量: r r
2 x A xE c 2 x A xE 0 2A E 0 x x
即: 2a A aE
A O
y
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为
xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度. 解:利用绳长不变的约 束条件得:
O A B
a b ab a b b 3 1 4 2 5 5 36 30 1 2 2 52
13
(5) a
0
3i 4 j 5k 3 4 5
2 2 2
3i 4 j 5k 2 5
ba ba b a a
0
1 3 2 4 5 5 32 42 52
d 同理: dt
(5)
(6)
10
(2)旋转矢量的导数
dR d r r dt dt
o
r
R
d r d r dt dt
r´
r r (r r)
R
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
12
i j k ab 3 4 5 1 2 5
4 5 5 2i 5 1 3 5 j 3 2 4 1k
= 10i -10j +2k
(4) b 0 i 2 j 5k 1 2 2
1 2 5
0
i 2 j 5k 30
计算速度和加速度得:
vE = 2 + 2t 当t = 4s时
代入上述结果得: vD= - 1.25
aD= - 0.25
19
阅读材料和作业
一.阅读材料
(1)P1---P4 (2)P1---P7 ; P491---P497
二.预习材料
(1)P5---P53 ; P144---P150 (2)P1---P17
20
再
见
21
x
8
r i cos j sin
0
y
i sin j cos
0
r
(1)
d k dt
0 j ro o i
x
k r 0 k i cos k j sin
j cos i sin
k k i sin k j cos
k×i = j
7
5.矢量的导数
A A A0
d A d 0 dA 0 d A0 AA A A dt dt dt dt
y r
(1)旋转单位矢量的导数 矢量r 绕垂直于x y平面 过o点的z 轴以角速度逆 时针旋转,单位矢量ro和o 亦同样旋转.
0 o j ro i
解:(1) a+b = (3+1)i + (4+2) j + (5+5) k = 4i + 6j + 10k (2) ab = 3×1 + 4×2 + 5×5 = 36 (3) a×b = 3i ×(i + 2j +5k)+ 4j ×(i + 2j +5k) + 5k ×(i + 2j +5k) = (6k-15j) + (-4k + 20i) + (5j -10i) = 10i -10j +2k
0
(2)
r 0 j sin i cos
(3)
9
dr d i sin j cos dt dt d d 0 k r0 dt dt
0
d 0 0 k r r dt
(2)直角坐标中的解析表示 a = i ax + j ay + k az b = i bx + j by + k bz
a· = ax bx + ay by + az bz b (3)矢量的投影
Al A l 0 矢量A在直线 l 上的投影
5
(4)合矢量投影定理 若R = i Rx+ j Ry+k Rz
m2 m1 aA g m1 m2
O
y
aA aB
xA xB c A B 0 x x xA xB 0
即: a A aB
A
B
x
16
例题3.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块D和E
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块E的加速度. 解:
x
z k
O
j y
i
ia y bx axby j az bx axbz k axby a y bx
(3)直角坐标系中单位矢量的标积和矢积
i·= j·= k· = 1 i j k
i·= i· = j· = 0 j k k i×i = j×j = k×k = 0 i×j = k j×k = i
o
r
(r>0)
r
z
0
直角坐标系中的
单位矢量:
i , j , k
x
k
O
j
y
i
3
2.矢量的加法 (1)平行四边形法
R=a+b
b
R
c
a
R b
o
R=b+a
R a o b
a
(2)三角形法 a
o
(3)多边形法 R=c+a+b R=a+b+c R=b+c+a
c
b R
b a
a
b c
4
3.矢量的标积
(1)定义: a b a b cos a b c