矢量知识
矢量知识
⇒
v −B
v B
v B
v C
v B
v A
v v v A+ B +C = 0
推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。 在直角坐标系中两矢量的减法运算：
v v v v v A − B = ( Ax − Bx ) i + ( Ay − By ) j + ( Az − Bz ) k
3.乘法： 3.乘法： 乘法
v Ax
γ
o
α
β
v Ay
y
x
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 加法: 加法
v B
v C
v v v C = A+ B
v C
v B
v A
⇒
v A
v v v v a.满足交换律： A + B = B + A v v v v v v v v b.满足结合律： ( A + B) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
→ →
A⋅ B = 0.
功W
= F ⋅ ∆r
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
大小 矢量的数乘： 矢量的数乘： B = m A矢量 mA
r r 方向 m > 0, B与 A的 方 向 一 致 ； 反 之 相 反 。
： （2）矢量的矢积（叉乘） 两矢量相乘得到新矢量的乘法 矢量的矢积（叉乘） r
v v v v A = Ax i + Ay j + Az k
v 模的计算： | A |= A2 + A2 + A2 x y z
大学物理简明教程矢量基础知识
引言概述：在研究物理学时，矢量是一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将以大学物理为基础，介绍矢量的基础知识，包括矢量的定义、性质以及运算法则等。
通过学习这些知识，读者将能够更好地理解和应用矢量概念。
正文内容：1.矢量的定义和性质1.1定义：矢量是具有大小和方向的量，用箭头表示，并且满足平行四边形法则。
1.2强调大小和方向：矢量的大小由模和单位来表示，方向由箭头指向表示。
1.3矢量的分类：自由矢量和定向矢量。
1.4坐标系：在空间中表示矢量，一般采用直角坐标系、极坐标系等。
1.5矢量的性质：平移性、相等性、零矢量等。
2.矢量的运算法则2.1矢量的加法法则：满足三角形法则和平行四边形法则。
2.2矢量的减法法则：将减法转化为加法，即AB=A+(B)。
2.3矢量与标量的乘法：数乘，即矢量的模与数的乘积。
2.4矢量的数量积：点乘，模乘以夹角的余弦值。
2.5矢量的向量积：叉乘，模乘以夹角的正弦值。
3.极坐标表示下的矢量3.1极坐标系：用极径和极角来表示矢量。
3.2极坐标系下的加法法则：将加法转化为直角坐标系下的加法。
3.3极坐标系下的减法法则：将减法转化为直角坐标系下的减法。
3.4极坐标系下的数量积和向量积：类似于直角坐标系下的计算方法。
4.平面矢量的应用4.1矢量和标量的关系：矢量可以表示位移、速度、加速度等。
4.2位移矢量：表示物体从一个位置到另一个位置的矢量。
4.3速度矢量：表示物体在单位时间内位移的矢量。
4.4加速度矢量：表示物体在单位时间内速度的变化率的矢量。
4.5矢量和矢量的关系：矢量可以相加、相减、求量积和向量积等。
5.矢量的应用实例5.1力的分解与合成：将力分解为两个矩形方向上的力，合成为一个合力。
5.2刚体平衡问题：通过矢量的平衡条件，求解物体的平衡问题。
5.3物体运动问题：通过矢量的运算法则，分析物体在平面运动中的速度、加速度等。
5.4牛顿定律问题：利用矢量的知识，解决物体的牛顿定律问题。
矢量基础知识
7
7.矢量对 t 的导数
对矢量函数（简称矢函数）f(t )，如果极限：
lim f (t t ) f (t )
t 0
t
存在，就称它为矢函数
f (t)
的导数，记作
• f (t)
df (t
)
的导数仍为矢函数，从而还可像标量函数一样求其二阶导数、
高阶导数。
对矢量函数求导数，一般是对它的各个分量分别求导，这时矢 量导数就变成了标量函数的求导，但是如果坐标也在变，也必须对 单位矢量求导，如自然坐标系中的切向单位矢量和法向单位矢量。
3）且可得
1 v v v v v v
i gi j gj k gk ?
0 v v v v v v v v v v v v
i gj j gi j gk k gj k gi i gk ?
6
（2）矢量的矢积（又称：叉乘、叉积、外积）：
i jk
A B Ax Ay Az ( Ay Bz Az By )i ( Az Bx AxBz ) j ( AxBy Ay Bx )k Bx By Bz
10
量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。
y
矢量在直角坐标中的分矢量
Ay g
i , j , k 为三坐标轴的单位矢量
A j
A Axi Ay j Azk
g z Az
ko i
gx
Ax Cx
矢量与三个轴的夹角为 , ,
cos Ax , cos Ay , cos Az
A
A
A
3
4.矢量的加法、减法：
4
5.矢量的数乘
以实数
乘以矢量
A
称为矢量的数乘，记作
A，显然有：
主矢知识点总结
主矢知识点总结矢量是一个重要的概念，在物理学、数学、工程学等各个领域都有广泛的应用。
矢量是一个同时包含大小和方向信息的量，它可以用来描述物理量的运动、力的方向和大小、电场的方向和强度等。
本文将从数学、物理和工程角度总结矢量的基本概念和相关知识点。
一、矢量的基本概念1.1 矢量的定义矢量是指具有大小和方向的物理量。
在数学上，矢量通常用箭头表示，并且箭头所指方向表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，最常见的表示方法有点表示、分量表示和矩阵表示。
点表示是将矢量的起点和终点坐标表示出来；分量表示是将矢量在坐标轴上的投影表示出来；矩阵表示是将矢量表示为一个列向量。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积等。
矢量的加法是将两个矢量的对应分量相加；减法是将一个矢量减去另一个矢量；数量乘法是将一个矢量的每个分量都乘以一个实数；点积是将两个矢量的对应分量相乘再相加。
1.4 矢量的性质矢量具有平行四边形法则、共线性、可加性等性质。
平行四边形法则指出两个矢量的和等于构成这两个矢量的两条边的平行四边形的对角线。
二、矢量的物理应用2.1 力的矢量表示在物理学中，力是一个矢量量，它包含有大小和方向的信息。
力的方向对物体的运动方向和速度有重要的影响。
2.2 运动的矢量表示在描述物体的运动时，使用矢量来表示物体的位移、速度和加速度。
位移的方向和大小都可以用矢量来表示，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
2.3 矢量叠加原理矢量叠加原理是指当一个物体同时受到多个力的作用时，可以将这些力的矢量相加得到合力的矢量。
2.4 矢量的分解矢量的分解是指将一个矢量分解为相互垂直的两个分量的过程。
这个过程在解析力学和物体的平衡问题中经常用到。
三、工程中的矢量应用3.1 电场的矢量表示在电学中，电场是一个矢量量，它包含有方向和大小的信息。
电场矢量可以用来描述电荷粒子受到的力和电场的分布情况。
矢量知识简介
B0
∫
∫
∫
∫
∫
B
∫ Adt
t0
t
B0 : t = t 0时的位置矢量。
矢量知识简介
矢量的矢积（或称叉积 、叉乘）
C = A× B
大小：C = AB sin α
方向：右手螺旋
C
B A
矢积性质：A × B = B × A C × ( A + B) = C × A + C × B
可以得到： i × j = k , j × k = i , k × i = j . i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0
k
i
j
矢量知识简介
矢量的导数与积分
dAy dAx dAz dA d = ( Ax i + Ay j + Az k ) = i+ j+ k dt dt dt dt dt
d dA dB ( A + B) = + dt dt dt d (cA) dA =c (c为常数） dt dt
dB 设 = A,有dB = Adt = ( Ax i + Ay j + Az k )dt ,有 dt 用不定积分则有：B = Adt + C = ( Ax dt )i + ( Ay dt ) j + ( Az dt )k + C
矢量知识简介 矢量相加（ 矢量相加（减）
C = A+ B
平行四边形法则 三角形法则
B A
C
B
C
B A
C ′ = A B = A + ( B)
B B A
或者A = B + C ′
矢量分析的知识点总结
矢量分析的知识点总结一、矢量的定义和表示1.1 矢量的定义矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速度等。
矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。
坐标表示是指用矢量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一个标量。
二、矢量的微积分2.1 矢量的导数矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。
矢量的导数在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。
2.2 矢量场矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。
矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。
2.3 曲线积分曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。
曲线积分在物理学中有着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。
2.4 曲面积分曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。
曲面积分在物理学中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。
三、矢量分析的应用3.1 物理学中的应用矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。
3.2 工程学中的应用矢量分析在工程学中也有很多应用，如在流体力学中用于描述流体的速度场、压力场等；在航空航天工程中用于描述飞行器的运动状态、姿态等。
3.3 计算机科学中的应用矢量分析在计算机科学中也有着重要的应用，如在图形学中用于描述图像的旋转、平移等运动；在机器学习中用于描述数据的特征、相似度等。
矢量基本知识-2022年学习资料
二、矢量的运算法则-1加法-R-平行四边形法则和三角形法则-A-多边形法则-C=A2+B2+2ABcosa Bsina-o arctan-A+Bcosa-4
矢量加法满足：-交换律：公+B=B+X-结合律：尽+B+8=尽+B+-式中各个矢量均相对同一个参照系-2数 -大小C=2A-AR=2-∫九>0&平行于8-<0平行于-&-5
3、正交坐标系中的矢量表示法-正交坐标系由相互正交的坐标组成，各个-坐标上的单位矢量的集构成正交坐标系的基 -直角坐标系是正交坐标系，它的基为：-,5,-I.-k,ixk=-12
练习-1-i.jxk+k-ixj+j-kxi-=1+1+1-=3-2-ix++x心+6+x位+芳+-txt 时ix+x+x+x发-k-j-k+i+j-i+0-14
五、矢量的导数和积分-1、矢量的导数-di。-}+A9+R-dt-_dt-"d导法则-设A与B均为t的函数-dt-24B-Barf-层8=月-+8-品局-出，月-，R+-dr
2、矢量的积分-U-设AB在同一平面直角坐标系内-dB-可--A:-→dB=Adt-∫B=∫i=∫A"+A dh-→8Aay"+Adj-17
三、矢量的分解-任一个矢量都可以分解为任意多个分矢-量如：-6
三维空间中应有3个不共面的矢量-若按直角坐标正交分解-X=A+A,5+A花-A的模：-A=图=+A+-7
A.=Acosa-B.Bcosa-Ay =Asin a-By Bsin a-Cx=Ax+B-C,=A,+B -C-CC-X-8
矢量基础知识
AAy
y
cos2 cos2 cos2 1 x
2、矢量的运算法则：
B
C
（1）矢量的加法运算
矢量的加法运算实际上是矢量 的叠加，用的是平行四边形法则或 三角形法则。
A
C
B
A
2
（2）矢量的减法运算
矢量的减法运算是加法运算的逆运算。
（3）矢量的乘法运算
矢量 A 、B 形成右手螺旋关系：
伸出右手，使手平面垂直 A 、B所构成的平 面，然后四指沿着矢量 A 的方向，经过小 A B 于180的角转到矢量 B 的 方向 ，此时姆指 指示的方向，就是矢量 A B 的方向。
B
A
强调：矢量点乘与矢量叉乘是不同的概念，
大家一定要把符 号搞清 楚， 不 要混淆。
Ay
y
i , j, k表示沿x，y，z轴的单位矢量。 x
矢量的模 A | A | Ax2 Ay2 Az2
1
矢量方向：可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。
设矢量与x，y，z三轴的夹角为
z
、、。
cos x ,
r
cos y ,
r
此三个角满足关系：
cos z
r
Az
x，y，z轴，对各分量分别进行积分，再对得到的各
分量值进行矢量合成。
Ax dAx , Ay dAy , Az dAz
A Axi Ay j Azk
☜☞5
一、矢量代数的基本知识
标量只有大小，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r i r j r k
矢量的有向线段表示方法： 矢量的有向线段表示方法： 作图时，用有方向的线段表示矢量。 作图时，用有方向的线段表示矢量。 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的方向表示矢量的方向。 线段的方向表示矢量的方向。
r A r B
矢量的一个重要性质－ 矢量的一个重要性质－矢量平移的不变性 把矢量在空间平移， 把矢量在空间平移，矢量的大小和方向 都不会因平移而改变。 都不会因平移而改变。
r r r B C 的方向垂直于A、 两矢量所决定的平
面，其指向由右手螺旋法则确定。 其指向由右手螺旋法则确定。
矢 量 矢 积 图 示 法
r C r C
r B
r C
θ
r A
v Ax、Ay、Az 表示矢量 A在直角坐标系三
个坐标轴的投影(坐标分量 ，可正可负。 个坐标轴的投影 坐标分量)，可正可负。 坐标分量 矢量大小与三个坐标分量的关系： 矢量大小与三个坐标分量的关系：
A= A + A + A
2 x 2 y
2 z
பைடு நூலகம்
r A方向由该矢量与三个坐标轴的夹角
(方向角 确定 方向角)确定 方向角
Cx = Ax + Bx
2 2 2 Cy = Ay + By C = Cx +Cy +Cz Cz = A + Bz z
r C
方向由三个方向角确定
( ) ( ) r r cosγ = cos( C • k) = C
r r cosα = cos C • i = Cx C r r cosβ = cos C • j = Cy C
z
C
六、矢量的乘积
1．矢量的标积(点积、点乘 ．矢量的标积 点积 点乘)——是标量 点积、 是标量 标积乘号
r r A•B = ABcosα
2．矢量的矢积(叉积、叉乘 ．矢量的矢积 叉积 叉乘)——是矢量 叉积、 是矢量
r r r C = A× B
矢积乘号
r r C = A× B = ABsinα
数学知识
一、矢量的定义
矢 量 知 识
二、矢量的表示方法 三、矢量的合成 四、矢量的分解 五、矢量合成的解析法 六、矢量的乘法
一、矢量的定义
矢量：既有大小又有方向， 矢量：既有大小又有方向，并满足 平行四边形相加法则的量。 平行四边形相加法则的量。
矢量的大小。 矢量的大小。 矢量的模： 矢量的模：
二、矢量的表示方法
印刷品上的表示方法： 印刷品上的表示方法：
用加黑粗斜体字母表示矢量；A 加黑粗斜体字母表示矢量； 斜体字母表示矢量
r r A = AA A= AA 0 0
用不加黑斜体字母表示矢量的大小(模)；A 不加黑斜体字母表示矢量的大小( 斜体字母表示矢量的大小 用带下标0的加黑粗斜体字母表示单位矢量：A0 带下标0的加黑粗斜体字母表示单位矢量： 斜体字母表示单位矢量
常用方向单位矢量的表示方法： 常用方向单位矢量的表示方法： x轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量 y轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量 z轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量
r 径矢方向单位矢量 方向单位矢量： 径矢方向单位矢量： r 0 r 切线方向单位矢量 方向单位矢量： 切线方向单位矢量：τ r 法线方向单位矢量 方向单位矢量： 法线方向单位矢量： n
r r cosα = cos A•i = A A x r r cos β = cos A• j = Ay A r r cosγ = cos A• k = Az A
( ( (
) ) )
五、矢量合成的解析法 r r r C = A+ B r r r r r r = Axi + Ay j + Azk + Bxi + By j + Bzk r r r = ( Ax + Bx ) i + (Ay + By ) j +( Az + Bz ) k
r A r A
r A
三、矢量的合成
r r r 1．矢量相加： C = A+ B ．矢量相加：
C = A + B + 2ABcosα
2 2
C A
β α
C B
同向时， 当A、B同向时， α=0° 、 同向时 °
C = A+ B
反向时， 当A、B反向时， α=180° 、 反向时 °
A
C = A− B
B
手写习惯表示方法： 手写习惯表示方法：
r 用带箭头斜体字母表示矢量； A 带箭头斜体字母表示矢量； 斜体字母表示矢量
r r A×B
用不带箭头斜体字母表示矢量的大小(模)；A 不带箭头斜体字母表示矢量的大小( 斜体字母表示矢量的大小
r 带下标和箭头斜体字母 表示单位矢量： 斜体字母e 用带下标和箭头斜体字母e表示单位矢量： A 0
2．矢量相减： ．矢量相减：
A D
r r r D = A− B
r r = A+ − B
( )
β －B
α
B
B与－B大小相等，方向相反。 与 大小相等， 大小相等 方向相反。
四、矢量的分解
1．直角坐标系分量： ．直角坐标系分量：
r r r r r r r A= Ax + Ay + A = Axi + Ay j + Azk z