矢量计算题
电流密度矢量,电场强度+习题解答
3. 已知 J ，求穿过 x 3m 处， 2m y 3m ， 3.8m z 5.2m 面积上在ex 方向的总电流 I，
其中， J 10y2 zex 2x2 yey 2x2zez A / m2 。
A. 198A
B. 98A C. 399A D. 299A
Hale Waihona Puke 解： C按体密度分布的电荷，以速度作匀速运动时，形成电流面密度，用电流面密度矢量 J
I
S 10 y2zexdS 10
3 y2dy
2
5.2
zdz
3.8
计算结果为 399A。
因此，正确选项为 C 399A。
1. 体密度分布为 的电荷，以速度v 作匀速运动，并通过某一面积 S ，则形成的电流 流过面积 S 的电流 I 。
A. 1 v dS 2S
C.
12
v
S
dS
解：B
B. v dS S
D. v dS S
单位时间内通过任意曲面的电量值为电流密度矢量 J 的面积分，其中 J 可表示为按体
密度 分布的电荷，以速度v 作匀速运动时，形成电流面密度。
因此，正确答案为选项 B S v dS
2. 导电媒质中通入电流，必有功率损耗，其功率体密度的表达式可写作
，该表
达式也被称为焦耳定律的微分形式。
A. p J E
B. p dP dV
C. p dA /dt dV
D. p dA E dV
e
解：A
焦耳定律描述的是功率密度的表达式，功率密度 p 为单位体积上的电功率，为 J 与 E 两者的乘积。 因此，正确选项为A p J E 。
来表示，对于穿过某一个面的电流 I，可以使用 I J dS 来计算。 S
位矢
(1)质点运动的二维坐标表示
r
r(t )
x(t)i
y(t) j
Δ r r2-r1 i yj
v
dr
dx
i
dy
j
dt dt dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
d2x dt 2
i
d2 y dt 2
j
(2)质点运动的自然坐标表示
刻的速度和加速度。求解这类问题的基本方法是微分
法。 第二类问题：已知质点的加速度（或速度）随时间的
变化规律和初始条件，求质点在任意时刻的速度和运
动方程，求解这类问题的基本方法是积分法。
5 .牛顿运动定律
第一定律可认为是惯性参考系的定义,掌握要点: 惯性、运动状态改变的原因--力。 第二定律是在惯性参考系中力的瞬时作用规律,掌握 要点:质量是F惯 m性a定 d量P表述,力P是产m生v 加速度的原因。
F=F0+k x 的作用,其中F0、k均为常量，且B在x=0处的速度为v0, 求B的速度与坐标间的关系。
思路： 加速度是位置的函数a=a(x):
即a=(F0 / m) +(k/m)x,
a dv dv dx v dv , dt dx dt dx
0x
adx
v
v0
vdv
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之
an at , t 1s
（2）
s
0tvdt
1
0
3tdt
1.5
m
课后练习题
1 .一电子在电场中运动,其运动方程为:
矢量及运动学习题解答
三、计算题
6、一个物体悬挂在弹簧上作竖直运动，其加速度为a= ky，式中 k为常数，y是以平衡位置为原点所测得的坐标。假定振动物体在 坐标y0处的速度为v0，求速度v与坐标y的函数关系式。
解 本题中要求由加速度求速度。这类问题要注意初始条件。另
外，本题中需作变量代换，因为a的表达式中不显含时间变量t。
解
由条件 当t=2s时的速度值可求出k值 v=r, 32=k22 2 k=4
P
O
R
当t=1s时的质点的速度、切向法向加速度分别为： v=r=412 2=8 m/s
at
dv d( R) Rk 2t 16 m/s 2 dt dt 2 an=v2/R=32m/s2 a at2 an 162 322 35.8 m/s 2
C ]
解
由运动规律求出函数关系，本题中要用积分， 注意初始条件。
dv kv 2t dt dv ktdt 2 v
dv ktdt 2 v
dv 1 1 2 v0 v 2 0 ktdt v v 2 kt 0
v t
v
t
0
第5页
一、选择题 5、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为
第2页
一、选择题 2．质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为（v表示任 意时刻质点的速率）[ D ] (A)
dv dt
(B) v
2
R
dv v 2 (C) dt R
dv 2 v 4 (D) ( ) 2 dt R
解
(A)对速率的时间导数是切向加速度 (B)v2/R是圆周运动质点的法向加速度 (C)切向、法向加速度不能直接相加 (D)切向、法向加速度的合成为总加速度的大小。
(完整版)常用矢量公式
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
场论典型例题汇编
场论典型例题第一章 矢量分析 例题1、（基本矢量计算）已知两个矢量j i 2+=A ，j i 34+=B ，求（1）B A + （2）B A - （3）B A •（4）B A ⨯ （5）若A 和B 两矢量夹角为α，求αcos 。
解：（1）B A +=)34()2(j i j i +++=j i )32()41(+++=j i 55+ （2）B A -=)34()2(j i j i +-+=j i )32()41(-+-=j i --3 （3）B A •=)34()2(j i j i +•+=)32()41(⨯+⨯=64+=10（4）B A ⨯=)34()2(j i j i +⨯+=0 3 4 0 21 kj i =k 5- （5）根据内积的定义有：B A •=αcos B A ，其中A ，B 为矢量的模。
所以：BΑBA •=αcos 其中B A •在（2）中已经得到B A •=10，而A =5021222=++，B =5034222=++ 因此B ΑB A •=αcos =5510=52说明：此题可以用于掌握矢量运算法则。
例题2、（矢性函数的极限）设t t t cos sin )(B A F += )20(π<≤t ，式中A ，B 为矢量，分别为j i -=A ，j i +=B 。
求下列极限。
（1）)(lim 3/t F t π→ （2）|)(|lim 3/t F t π→解：（1）整理)(t F 。
t j i t j i t t t F cos )(sin )(cos sin )(++-=+=B A=j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++而 3/|)sin (cos π→+t t t =231+ 3/|)sin (cos π→-t t t =231- 所以)(lim 3/t F t π→=i 231++j 231- （2）|)(|t F =|j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++| =22)sin (cos )sin (cos t t t t -++ =2=→|)(|lim 3/t F t π2说明：对矢性函数的极限，归结为对各坐标分量求极限，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数极限”的内容，特别是一些常用极限的求法。
大学物理中矢量微积分的计算
0前言大学物理与中学物理相比,最显著的区别就应用矢量、导数和微积分来分析和求解生活实践中更一般的实际问题,微积分思想和方法的运用,使大学物理相比于中学物理有质的飞跃。
相对于高等数学只注重代数形式的导数和微积分性质和计算,大学物理中几乎全是矢量的导数和微积分模型的建立和求解[1],如果没有掌握矢量的导数和微积分的处理方法,对于解物理问题,往往会觉得无从下手。
本文就大学物理中矢量的导数和微积分的求解问题提出自己的一点见解,以期对初学者有所帮助。
1矢量和微积分思想矢量是既有大小又有方向的量。
大学物理中很多物理量都是用矢量的乘法来表示,这就涉及矢量的点积与叉积,如功W =F →·r →=Fr cosθ结果为标量,力矩M →=r →×F →结果为矢量,其中θ为两矢量之间的夹角。
与中学物理研究的大都是“常量”、“标量”,用代数和平面几何去解决生活实践中某个特殊类型的问题不同,大学物理中的研究的大都是“变量”、矢量”,用矢量和微积分来解决生活实践中更一般的实际问题。
对于一般物理实际问题,常常需要应用微积分来解决,其基本思想是先“微”后“积”。
由于物理量对时间或者空间分布不均,因而需要把研究物理量在时间或者空间范围内进行无限次分割,分割后的物理量在这些足够小的时空区域(即微元区域)就变成了均匀分布,这时恰当的选取微元,写出元过程或者元贡献的表达式,然后把所有有限小的过程累加求和[2],再应用定积分,确定积分上、下限,然后求得计算结果。
大学物理中的矢量求解,不管是微分还是积分,首先要将矢量标量化运算,也就是说先要把矢量向某一方向或者坐标系进行投影,然后再进行微积分运算。
大体可以归纳为两类,一类是矢量的微分或求导问题,一类是矢量的积分问题。
2矢量的求导问题这类问题在大学物理中比较简单,一般就是先把矢量在坐标系进行投影,然后再在各个分量方向上求导。
例如由位矢r →(t )求速度v →(t )和加速度a →(t ),则先对r →(t )“矢量标量化运算”,即把r →(t )向直接坐标系进行x ,y ,z 方向进行投影,即有r →(t )=x (t )i ^+y (t )j ^+z (t )k ^,然后在个方向上进行求导,如v →(t )=dr →dt =dx dt i ^+dy dt j ^+dz dt k^,同样的,求加速度也是先投影后求导,a →(t )=dv →dt =dvx dt i ^+dv y dt j ^+dv z dt k ^=d 2x dt 2i ^+d 2y dt 2j ^+d 2z dt2k ^。
物理矢量练习题
物理矢量练习题一、简答题1. 什么是物理矢量？物理矢量是在物理学中用来描述物理量的有大小和方向的量。
矢量可以表示位移、速度、加速度、力等物理量。
2. 什么是标量？标量是只有大小没有方向的物理量，如质量、时间、温度等。
3. 如何表示矢量？矢量可以使用箭头符号在物理图中表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
4. 矢量之间有什么运算？矢量之间有加法和减法运算。
矢量相加时，将各个矢量的起点和终点相连，最终的结果是由起点到终点的矢量。
5. 矢量如何分解？矢量可以通过分解成两个或多个分量，表示为它们的合成或分解。
分解成两个分量时，可以使用垂直分解和平行分解的方法。
二、计算题1. 一个行人以速度5 m/s向东行走100 m，然后以速度3 m/s向北行走80 m。
求该行人的位移和总路程。
解：首先，我们将行人的位移分解成东西方向和南北方向的分量。
东方向分量的位移：100 m南方向分量的位移：80 m位移的大小：sqrt(100^2 + 80^2) ≈ 128.062 m位移的方向：arctan(80/100) ≈ 38.66°所以行人的位移是128.062 m，方向为东北方。
总路程：100 m + 80 m = 180 m2. 一个力F1 = 10 N向东，另一个力F2 = 8 N向北，求合力的大小和方向。
解：首先，我们将这两个力分解成东西方向和南北方向的分量。
F1的东方向分量：10 NF1的南方向分量：0 NF2的东方向分量：0 NF2的南方向分量：8 N合力的东方向分量：10 N + 0 N = 10 N合力的南方向分量：0 N + 8 N = 8 N合力的大小：sqrt(10^2 + 8^2) ≈ 12.806 N合力的方向：arctan(8/10) ≈ 38.66°所以合力的大小约为12.806 N，方向为东北方。
三、应用题1. 一个小汽车以速度20 m/s向东行驶10 s，然后以速度15 m/s向北行驶5 s，最后以速度10 m/s向西行驶8 s。
第1章 矢量分析(3)
v v v v v v v rotF = rot x F ex + rot y F ey + rot z F ez
v ∂Fz ∂Fy v ∂Fx ∂Fz v ∂Fy ∂Fx = ex − − − + ey + ez ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x
第1章 矢量分析
3
1.5 矢量场的环流与旋度
1.5.1 环流 1、线元矢量 、
在矢量场中，从一点沿着某一指定的曲线 到另一点的 在矢量场中，从一点沿着某一指定的曲线C到另一点的 v 路径上，每一线元都是一个矢量，称之为“ 路径上，每一线元都是一个矢量，称之为“线元矢量 ”， dl 其方向就是曲线C在该点处的切线方向 在该点处的切线方向， 其方向就是曲线 在该点处的切线方向，大小为 dl。
磁感应线要 么穿过曲面
磁感应线 磁感应线要么同时 穿入和穿出曲面
说明： 说明： ⅰ与矢量穿过闭合面的通量一样，矢量的环流也是 与矢量穿过闭合面的通量一样， 描述矢量场性质的重要参量。 描述矢量场性质的重要参量。 ⅱ如果矢量沿闭合曲线的环量不为零，则矢量场存 如果矢量沿闭合曲线的环量不为零， 在“旋涡源”。 旋涡源” ⅲ旋涡源与通量源不同，它既不发出矢量线，也不 旋涡源与通量源不同，它既不发出矢量线， 汇集矢量线。 汇集矢量线。 这种源所产生的矢量场的矢量线是闭合的曲 线，因此称为旋涡源。 因此称为旋涡源。
1.6 无旋场与无散场
1.6.1 无旋场
v v 若一矢量场 F 中，其旋度处处为零，即 ∇ × F ≡ 0 其旋度处处为零， v v 则该场称为无旋场， 则该场称为无旋场，有 ∫ F ⋅ dl = 0
c
标量场梯度重要性质：标量场梯度的旋度恒等于零。 标量场梯度重要性质：标量场梯度的旋度恒等于零。 旋度恒等于零
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矢量的基本知识和运算法则
1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A
矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。
两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。
如图5－2所示。
两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。
在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。
2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。
对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。
3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。
所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反
如动量()mV 、冲量()F t ⋅∆都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。
动量的变化量()m V ∆也是矢量，其方向与V ∆相同。
矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量
1K ，如加速度1F a F m m ==⋅，方向与F
相同。
4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB
⋅表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。
即：c o s A B A B θ⋅=。
如：功是力F
与位移S 的数量积，是标量。
c o s W F S F
S θ=⋅= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ⨯表示，矢量积A B C ⨯=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。
sin C A B θ=⋅，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。
A B B A ⨯≠⨯，A
B ⨯与B A ⨯大小相等，方向相反。
如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =⨯，大小为sin M Fr θ=。
带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =⨯，大小为sin F q vB θ=⋅（若是负电荷受力方向与此相反）
例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？
解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。
由功的定义得：c o s W F S F S θ=⋅=，因为作用于匀速园周运动的物体上的合外力F 始
终沿着半径指向圆心，与位移S 的方向垂直。
故cos
02W FS π==，所以物体在做匀速园周运动的过程中，合外力（即向心力不做功）
例5－2判断图5－7所示的带电粒子受力的方向。
解：根据F qv B =⨯，用右手螺旋法则得出带电粒子的受力方向竖直向上（如图5－8） 例5－3空间某处O ，有互相垂直的两个水平磁场1B 和2B ，55121.7310, 1.0010B T B T --=⨯=⨯，现在该处有一段载流直导线，问导线应如何放置，才能使两磁场作用在它上面的合力为零。
解：以O 为坐标原点，建立直角坐标系oxyz ，令2B 沿x 轴方向，1B 沿y 轴方向（如图5－9）
根据安培定律：F I l B =⨯
磁场作用于载流导线上的力F 垂直于l 和B 所决定的平面，并依右手螺旋定则规定其方向。
为使两磁场作用于载流导线的合力为零，则导线l 必须置于oxy 平面内，设它与y 轴的夹角为θ，则有：
11sin F B Il θ=方向沿z 轴向上。
()0222sin 90cos F B Il B Il θθ=-=，方向沿z 轴向下。
平衡时：12sin cos 0B Il B Il θθ-= 012
cot 1.73,30B B θθ==∴= 即导线与1B 所成的角度为300，与2B
所成的角度为600。
例5－4图5－10是一张斜碰的闪光照片。
大球的质量m 1=201.1g 小球的质量m 2=85.4g 。
两球都是从下向上运动，碰撞后左、右分开，闪光的快慢是每秒30次，照片和实物的线度比例大约是1：10，试作出它们的动量分析图，并求出两球的动量的改变量12P P ∆∆和，由此可得出什么结论？ 解：由照片所示的两球位置和线段的比例，分别量出两球碰撞前后。
在
130秒内所通过的距离。
大球：/1110 6.0 6.010 5.0 5.0S mm cm
S mm cm =⨯==⨯= 小球：/22107.07.0,
109.09.0S mm cm S mm cm =⨯==⨯= 由此计算出两球碰撞前后的速度：
大球：()()21/
21 6.030 1.810(/) 1.8(/)
5.0 1.5/ 1.5/v cm s m s v cm s m s =⨯=⨯==⨯=
小球：()()
()()22/
22730 2.110/ 2.1/930 2.710/ 2.7/v cm s m s v cm s m s =⨯=⨯==⨯=⨯=
根据动量P m
v =算出两球碰撞前后的动量： 大球：碰撞前：1110.2011 1.80.36(/)P m v kg m s ==⨯=⋅，方向与V 1相同。
碰撞后：//1110.2011 1.50.30(/)P m v kg m s ==⨯=⋅，方向与/1V 相同。
小球：碰撞前：22228.54 2.1100.18(/)P m v kg m s -==⨯⨯=⋅，方向与2V 相同。
碰撞后：//22228.54 2.7100.23(/)P m v kg m s -==⨯⨯=⋅，方向与/
2V 相同。
两球碰撞前后动量的变化量：
大球：()//11111P P P P P ∆=-=+-
小球：()//22222
P P P P P ∆=-=+- 选取比例线段，根据平行四边形法则，作动量分析图（图5－11），从图中可以量得：
10.13(/)P kg m s ∆=⋅ 20.13(/)
P k g m s ∆=⋅两者方向相反。
所以：12P P ∆=-∆
即两球碰撞前后动量的改变量是大小相等，方向相反的。