混沌动力学导论第3章
混沌理论 综述 很全ppt课件
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1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 混沌的研究方法 7. 分岔的研究方法 8. 混沌在现代科技领域的应用
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混沌与分岔的起源与发展
❖ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
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分岔的概念
❖ 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
❖ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
❖ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
❖ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
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混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解： 1. 取λ：0—1迭代 ❖ 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1—Xn)迭代
归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。 2. 取λ：1—3迭代 ❖ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周
混沌的特点
2. 内在随机性
❖ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
混沌动力学
3.2.1 贝诺勒变换模型
对初始条件的敏感依赖性，是混沌现象的一 大特征，也是造成混沌的原因。 讨论一-1
1/2
1
xn-1
从表面上看，序
列 形态：
似乎有三种
（1）当 是有理数，且用分数表示时,其分母为2的
幂数 （k是正整数）时，此时
。
例如：
（2）当
是有理数，且用分数表示。其分母
不是2的幂数时，则序列为周期解。
例如：
… 即 大于一定的数后将在三个数
之间循环
（3）当 是无理数时，则序列既不趋向于零，也不 趋向于周期解，而是一个貌似无规则的解。
但实际情况并非如此，其实序列只能有一种形态， 即混沌。
以
为例，迭代下去有
，但若一个
初值 和 前900多位小数都相同，后面只差
一点，如：
ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径
三、Benard对流实验
3.1.3 混沌的定义
混沌是一个相当难以精确定义的概念。 ① 对初值的敏感依赖性 ② 确定的随机性，由确定性规律决定的系统
可以有效地表现出随机行为。
确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的 噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。 随机性：指不规则的，不能预测的行为。
其实，李—约克关于有3周期点则有 一切周期点的定理只是苏联一位不知名 学者的沙可夫斯基定理的一个特例。
沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间 自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序 中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点 的话，则它一定也有n周期点。
3.1.2 “混沌”现象
一、气候中的“蝴蝶效应”
为了深入研究这种现象，Lorenz把12个大 气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分 方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样 的结论。这三个方程也便成了经典的混沌的例 子——Lorenz模型。
量子混沌现象的研究与动力学机制
量子混沌现象的研究与动力学机制引言：量子力学是描述微观世界的基本理论，而混沌理论则是描述复杂系统中的不可预测性。
量子混沌现象将这两个领域结合起来，研究了量子系统中的混沌行为。
本文将探讨量子混沌现象的研究进展以及其动力学机制。
第一部分：量子混沌现象的实验观测量子混沌现象最早是通过实验观测得到的。
在实验室中，研究者通过操纵量子系统的参数，如外加磁场或电场，观察到了量子系统中的混沌行为。
例如，通过调节微波场的频率和强度，可以观察到量子系统中的混沌现象。
这些实验结果表明，量子系统在一定条件下会表现出与经典混沌系统相似的行为。
第二部分：量子混沌现象的数学描述为了更好地理解量子混沌现象，研究者们提出了一系列的数学模型来描述其动力学行为。
其中一个重要的模型是量子映射模型，它描述了量子系统在时间演化中的离散性。
通过对量子映射模型的研究，研究者们发现了一些重要的动力学特征，如分岔现象和周期倍增等。
这些数学模型为我们理解量子混沌现象的本质提供了重要的线索。
第三部分：量子混沌现象的动力学机制量子混沌现象的动力学机制是一个复杂而有待深入研究的问题。
目前，研究者们提出了一些可能的动力学机制来解释量子混沌现象。
其中一个重要的机制是量子混沌的经典极限。
在这个极限下，量子系统的行为可以通过经典力学来描述。
另一个机制是量子系统的局域化现象。
在局域化现象下，量子系统的能量分布会逐渐趋于均匀，从而导致混沌行为的出现。
这些动力学机制的研究为我们深入理解量子混沌现象的本质提供了重要的线索。
结论：量子混沌现象是量子力学和混沌理论的交叉领域，研究者们通过实验观测和数学模型的研究，揭示了量子系统中的混沌行为。
虽然量子混沌现象的动力学机制尚未完全解决，但已经取得了一些重要的进展。
未来的研究将进一步探索量子混沌现象的本质，为我们对量子世界的理解提供更深入的认识。
fxd3-1洛伦茨方程和混沌
2.洛伦兹方程
洛伦兹方程
洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程 和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名 的洛伦兹方程。
dx
d
dy
d
-s (x - y)
rx - y - xz
dz
d
-bz
当上下温差加大时，为什么 对流不积微渐著，而是突然从 无到有地产生?
1.流体中的不稳定性
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
奇怪吸引子
李雅普诺夫指数公式
在相空间里混沌系统的两个轨道相邻点之间的距离是随时间分离的，而分 离程度是按指数增加的。
两个轨道： xn1 f ( xn ),
yn1 f ( yn )
设其初始值微小误差 x0 - y0 ，经过一次迭代以后有：
x1 - y1
f (x0 ) - f (y0 )
r rc 时共轭复根的实部为正值， C1与C2成了不稳定的焦点。定态对流失
稳，是不稳定的。这时将出现一次新分岔－霍普夫分岔，平衡点C1与C2失稳 发展成为奇怪吸引子。
洛伦兹吸引子
rc
s(s b 3) s - (b 1)
24.7368 ,(s
混沌动力学学习
(2) 当流速增加到超过某个值时，有色液体丝将 发生规则地振荡→湍流（紊流）。
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ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径
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三、Benard对流实验
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混沌的定义
混沌是一个相当难以精确定义的概念。 ① 对初值的敏感依赖性 ② 确定的随机性，由确定性规律决定的系统
可以有效地表现出随机行为。 确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的 噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。 随机性：指不规则的，不能预测的行为。
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混沌提供了把复杂的行为理解为是有目的和 有结构的某种行为，而不是理解为外来的和偶然 的行为的方法。
过了一年(1974)，约克教授在一次会议 上了解到物理学界正在为混沌现象感到头痛， 他立即想到这个区间迭代问题。
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其实，李—约克关于有3周期点则有 一切周期点的定理只是苏联一位不知名 学者的沙可夫斯基定理的一个特例。
沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间 自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序 中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点 的话，则它一定也有n周期点。
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“混沌”现象
一、气候中的“蝴蝶效应”
混沌现象首先是1963年被美国气象学家 Lorenz发现的。他为了预报天气变化，把大气动 力学方程组简化为12个方程组（用牛顿定律建立 了温度和压强、压强与风速等之间关系），并在 计算机上进行模拟实验，因嫌参数小数点后面的 位数太多，输入时很麻烦，便舍去几位，尽管舍 去部分看来微不足道，可结果却大大出乎Lorenz 的意料：舍去与没有舍去的模型的结果竞然大相 径庭，几乎变得完全认不出来了。
动力系统微分方程 混沌
动力系统微分方程混沌《动力系统微分方程和混沌》动力系统微分方程是描述流体动力系统的非线性微分方程，其中，包含物理性质和几何性质，它可以用来描述物理过程耗散在动能和受力，以及动能和力之间的相互作用。
微分方程描述了一个系统的状态，并且是推导动力系统未来发展方向的基础。
微分方程包括空气动力学中的压力，对流和物质输送方程，流动中的动量方程，非稳态稳定性中的能量方程，位移转移系数，结构系数等等。
混沌又称为“混沌现象”，指的是在极限现象中不可以预测的动力系统的复杂性。
这种复杂性可能是刚开始系统的某些特殊状态，如初始条件的建立，或者，AMD系统振子的参数状态等，造成了输入相同的情况下输出不一样的结果，或者一个简单的微分方程却出现复杂的现象，也就是不断变化的混乱行为。
比如，在奇异力学中，即使初始条件和振子的空间状态完全相同，输出的动力系统的行为也会发生变化。
大多数的动力系统都存在混沌现象，如火力发电厂，汽车发动机，空气动力学，流动中的动量方程，水文学中的洪水模型，科学问题中的非线性动力系统，等等，这些混沌现象被认为是未来研究方向。
混沌现象可以用悬挂系统，李雅普诺夫振子，超螺线，螺旋结构等实物模型来模拟，而动力系统微分方程则可以用来描述这种混沌现象发展的数学模型。
混沌这一新的科学领域有一些共同的抽象特征，主要是在许多不同系统中可以观察到的相似性。
混沌研究最重要的是研究系统初始条件下的影响！因此，如何准确地描述和实现不同系统中关于这些条件的影响是理解混沌的核心，这就要求我们了解系统的特性并加以分析处理。
以上就是关于动力系统微分方程和混沌的简单阐述。
混沌是一个可以从非线性特性和动力系统微分方程总结出来的新兴的科学学科，它有可能带来新的未来，引发新的研究领域。
走向混沌的道路
1. 倍周期分岔道路
临界点以上的迭代计算
对平方映射的计算表明，随着 参数μ的增长，平方映射发生一 系列的倍周期分岔。但倍周期分 岔在一临界点 μc =3.5699…时终 止。此后，每次迭代得到的值是 随机地出现的。
μ=3.7时，每次迭代计算得到的 xn 值既不趋向于零或稳定值，也不是重 复，而是随机地出现。随迭代计算将无限地延续下去，迭代值偶尔出现先前 得到过某个迭代值点附近，但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很 快地分离开来了，说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。
周期 3 轨道
µ稍许增大一点， µ t − µ < 0 f 3(x)将越过切点与迭代线相交为两个交点， , 产生出六个交点。相切点斜率为+1，每对相交的两个交点处斜率一个大于1， 另一个小于1。
2. 阵发性混沌机理
不动点稳定性分析
根据稳定性 稳定性条件，斜率大于1的轨 稳定性 道是不稳定的，小于1的是稳定的， 即f 3(x)有三个稳定不动点与三个不稳 定的不动点。它们分别给出一条稳定 的周期3轨道，和一条不稳定的周期3 轨道。不稳定的周期3轨道已经退化。
d 2x dx +γ + κ ⋅ x − ζ ⋅ x 3 = F cosν t dt dt 2
倾倒的 幅频特性
3．杜芬方程的倍周期分岔
杜芬方程的倍周期分岔
杜芬方程：
d 2x dx +γ + κ ⋅ x − ζ ⋅ x 3 = F cosν t 2 dt dt 设γ=0.4,κ=1,ζ=4, F=0.115，从小到大改变驱动频率ν。
由每个切点产生出一对稳定的与不 稳定的轨道是切分岔的特征。说明在 µ=3.83附近，平方映射中周期3轨道与 切分岔紧密地联系着。
[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解
![[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解](https://img.taocdn.com/s3/m/fc77ec380812a21614791711cc7931b765ce7b48.png)
朱照宣,1987年,牛顿《原理》三百年祭
• “《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两 个阶段。前280年是一阶段。那时认为由运动微 分方程所确定的动态总是确定性的。……后20年 则是另一个阶段。以卡姆定理(KAM)为代表的浑 沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和 统计力学之间没有不可逾越的界线。 ……不仅大 量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守 系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是 决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学 摘除了‘机械论’的帽子。”(朱照宣 1987, 第12页)
费格尔
（Herbert Feigl,1902-1988）说
“A causes B” or “A is the cause of B” means that wherever and whenever A occurs it is followed (or attended) by B. Since a precise repetition of A may not be feasible (or discoverable), a less stringent formulation would use something like a mathematical limit process: The more the actual condition A' approximates the conceived (ideal) condition A, the more actual effect B' will approximate the (ideal) effect B.
• There are systems whose trajectories do not monotonically approximate any ideal state. They are sensitive dependence to initial conditions.
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第三章摆动力学的可视化描述VISUALIZATION OF THEPENDULUMˊS DYNAMICS3-0 摆的数学描述和计算机仿真：3-1对初始条件的敏感性：3-2 摆的相图和蓬加莱截面：3-4 时间序列和功率谱3-5 吸引盆:3-6分岔图(Bifurcation diagrams)3-0摆的数学描述和计算机仿真：在这一节我们将讨论下面4个问题：1、驱动摆（driven pendulum）的运动方程：2、产生混沌运动条件。
3、参数改变对驱动摆运动发生的影响。
4、一个有趣的问题。
1、驱动摆的运动方程：摆的运动是一个十分古老的问题。
物理学、数学都作了大量的研究，但它仍然是最具魅力的研究课题。
首先我们写出驱动摆（driven pendulum ，也叫做“强迫振动摆”）的运动方程：//sin cos d dt q g ωωθφ=--+/d dt θω= （3-1） /D d dt φω=方程组（3-1）中有3个状态变量：θ—摆的角位移（angular displacement ）; ω—摆的角速度（angular velocity ）; φ—驱动力的相位角（drive phase angle ）。
因此它的轨线在3维相空间描绘。
方程（3-1）中也有3个参数：q —阻尼系数（damping factor ）；g —驱动力幅值（driving force amplitude ）； D ω—驱动力角频率（angular drivefrequency）。
同时考虑3个参数来研究驱动摆的性态，也就是说，在3维相空间和3维参数空间内考察摆的形态，将是一个十分困难、实际上不可能完成的任务。
我们把ωD固定，选择少数几个q值，让g 值在一定的区间充分变化，以观察系统的性态。
（在Appendix B（Page 207， Listing 4）中有描述摆运动的计算机程序（Title: Motion），可供参考。
）2、产生混沌运动的条件：产生混沌的必要条件有2条（See: Page 2）：（1）系统至少要有3个独立的动力学变量；（2）系统至少要有1项包含了几个动力学变量的非线性项。
第（2）个条件是显而易见的，混沌系统是非线性系统，没有非线性项，就不成其为非线性系统。
那么，第（1）个条件为什么要求至少要有3个独力的动力学变量？（请思考。
See:Page3“We shall see that three-dimension phase space is sufficient to allow for （a） divergence of trajectories, （b） confinement of the motion to a finite region of the phase space ofthe dynamical variables, and （c） uniqueness of the trajectory.”)方程（3-1）满足产生混沌的条件。
3、参数改变对驱动摆运动发生的影响。
我们已经说过，把角频率ωD固定，选取少数几个阻尼系数q值，然后让驱动力幅值g充分地变化，来考察系统的动力学性态。
通过在计算机上的仿真，用下面的一组参数构成的摆可以产生混沌性态：ωD=2/3，q=2，0.5≤g≤1.5。
前面提到Appendix B里的程序是用TrueBASIC语言编写的驱动摆的运动仿真程序，你能将其改写为C语言程序吗？(try please)。
4、一个有趣的问题。
对初始条件的敏感性是混沌的主要特性之一。
而用计算机对混沌系统进行仿真（simulation），不可避免的从两方面引入误差：（1）用数值积分法求解微分方程产生的微小不精确性；（2）计算机的有效数字的有限长度引起的误差。
由于混沌系统对初始条件的敏感性，这两方面的误差应该很快被放大，从而导致每次计算结果应该完全不同。
事实上，同一个人用不同的计算机，或者不同的人用不同的计算机，或者在不同的地方用不同的计算机，求解同一个混沌系统，得到了十分类似的几何图形。
对这个有趣的问题如何自圆其说？3-0摆的数学描述和计算机仿真：3-1 对初始条件的敏感性（Sensitivity to initial conditions）在这一节里，我们将讨论以下3个问题：1、对初始条件敏感性的含义。
2、对初始条件敏感性的另一种描述方法。
3、发散与折叠。
1、对初始条件敏感性的含义：我们已经多次提到混沌系统的基本特征就是它对初始条件的敏感性。
这一敏感性的含义是：如果两个一样的力学系统分别从初始条件x和x+ε出发，尽管ε是一个微小量，在相空间里，两个系统的动力学演化将很快地相互发散（diverge），且发散速度的平均值是按指数规律增长。
（see: Page 42,Fig.3.2(a)）。
Fig.3.2图中（a）在1个驱动力周期内发散的情形；（b）在半个驱动力周期内发散的情形。
2、对初始条件敏感性的另一种描述方法：观察相空间中混沌摆（chaotic pendulum）的一个状态块（a block of pendulumstates）。
Page 42, Fig.3.2(b)显示了“一块”初始相点的演化。
在半个强迫摆动周期后，初始的“矩形块”演变成一个细长而弯曲的面目全非的形状。
由于是耗散系统（dissipative system），块的面积随着时间在收缩。
而且，这个块状的相点集合沿着一个方向拉伸（stretch），沿着另一个方向收缩（contract）。
在相空间的不同点，其发散方向和收缩方向是不同的，其净结果是两个相距并不远的点变得相去甚远。
3、发散与折叠。
对混沌吸引子来说，相空间中相邻两点按指数速率发散有着更深刻的意义。
两相邻相点的轨线为了保持接近而不相交，它们必须自身来回折叠，形成一个具有无限薄层的3维混沌吸引子。
我们可以想象：在一个有限空间内，轨线又要无限地伸展、发散；又要不能相交，唯一的办法就是拉伸和折叠。
在自然界里，蚕吐丝结茧就是在实现一个混沌吸引子过程。
3-0 摆的数学描述和计算机仿真： 3-1对初始条件的敏感性：3-2 摆的相图和蓬加莱截面：Fig.3.31、摆的相图：我们在3维相空间（θ、ω、φ）中考察驱动摆的轨线。
让ωD =2/3和q=2固定不变，ωθ/D φω使g取不同的值。
如Fig.3.3所示。
当g=0.9时（图a），系统表现出周期性态。
当g=1.07和g=1.47时，出现了比较复杂的性态（图b，c）。
但是，还是有某些简单性（规律性）。
当g=1.5时（Page45, Fig.3.3(d)），轨线极为复杂，简直可以说到了对描述系统特征没有用处的地步。
驱动摆系统进入了“混沌”状态。
显然，用“轨线”方法来描述摆的动力学行为已经很不合适。
得想另外的办法。
2、蓬加莱截面：1）我们可以采用投影的方法或蓬加莱截面的方法来描述摆的动力学行为。
如Fig.3.4所示。
在Fig. 3.4（Page46--52）的上半部分显示了摆的轨线在（θ、ω）相平面（Phase plane）上的投影。
周期运动的轨线变成了一条“闭合轨道”（a closed orbit），似乎发生了轨线相交，这是由于从3维相空间（θ、ω、φ）“压缩”到2维相空间（θ、ω）的结果，实际上轨线并没有相交。
在相空间中，动力学系统的运动轨线绝不可能相交。
Fig.3.4的下半部分显示了蓬加莱截面（PoincaréSection）。
它们是一些垂直于3维相空间φ轴的“切片”（slices）。
动力学系统的轨线与这些“切片”的交点同样“刻画”了动力学系统的特征。
简洁明了，这是蓬加莱截面（Poincaré Section）的优点。
图中的（a）、（b）、（d）、（e）和（f）显示出有限个点，刻画了运动轨线的“周期特征”；而图（c）和（g）则是一个无数点的“复杂集合”，它刻画出运动轨线的“混沌学特征”。
下面，我们分别讨论这些情况：Fig. 3.4,(a) g=0.9,上图是轨线在(θ、ω)平面上的投影;下图是蓬加莱截面, 截面上有一个点,说明是:周期1的——每经过1个循环后又回到原来的相位。
Fig. 3.4, (b) g=1.07, a period doubling 上图是轨线在(θ、ω)平面上的投影，有2个不重合的闭合轨线;下图是蓬加莱截面, 截面上有2个点,说明是:周期2的——每经过2个循环后又回到原来的相位，叫做：倍周期。
Fig. 3.4, (c)g=1.15,上图是轨线在(θ、ω)平面上的投影，有无数个不重合的闭合轨线;下图是蓬加莱截面, 截面上有无数个点,说明是:“混沌的”，意味着“周期无限长”，即“非周期的”）。
Fig. 3.4,(d)g=1.35,随着g值的增加，系统再次呈现出周期性。
上图是在相平面（θ、ω）上的投影；下图是蓬加莱截面。
显然是周期1的，但是与前一个周期有所不同。
Fig. 3.4,(e)g=1.45,随着g值的增加，系统再次呈现出倍周期性。
上图是在相平面（θ、ω）上的投影；下图是蓬加莱截面。
显然是周期2的，但是与前一个倍周期有所不同——出现了另一个倍周期。
Fig. 3.4,(f) g=1.47,;随着g值的增加，系统紧接着再次呈现出倍周期性。
上图是在相平面（θ、ω）上的投影；下图是蓬加莱截面。
显然是第2次倍周期，即“倍周期的倍周期”，——4倍周期，或简称：“周期4”）。
Fig. 3.4,(g) g=1.50,随着g值的增加，系统再次呈现出混沌性态。
上图是在相平面（θ、ω）上的投影；下图是蓬加莱截面。
这是另一个“混沌状态”。
2）蓬加莱截面（Poincaré Sections）的形状是随着它在φ轴上的不同位置而变化的。
这些蓬加莱截面的形状虽然不同，但是这些形状的“聚集程度”（aggregate）却是类似的，都反映了同一个混沌吸引子的动力学性态。
随着相位φ增加，在蓬加莱截面上呈现出，混沌吸引子被反复地拉伸（stretched）、折叠（folded），好象“揉搓”面团一样，做成一个“千层饼”。
在图3.5中，给出了当φ以Δφ= 2π/10增加时，蓬加莱截面的各种情形。
φ= π时的蓬加莱截面是φ= 0时的反对称。
对照一下图a 和图f，就可以看出这种反对称性。
Fig.3.5,(a)φ=φ0 = 0.0；(b)φ=φ0+Δφ = 0.628319 = 2π/10；Fig.3.5,(c) φ=φ0 + 2*Δφ = 1.25664 = 4π/10；(d) φ=φ0+ 3*Δφ = 1.99496 = 6π/10；Fig.3.5,( e ) φ=φ0+ 4*Δφ = 2.51327 = 8π/10；( f ) φ=φ0+ 5*Δφ = 3.14159 = 10π/10 =π。