安徽省安庆四中2016届九年级上学期期中考度数学试卷
安徽省安庆市九年级上学期数学期中考试试卷
安徽省安庆市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共14题；共28分)1. （2分）(2020·拉萨模拟) 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）已知二次函数的解析式为，则该二次函数图象的顶点坐标是（）A . (－2，1)B . (2，1)C . (2，－1)D . (1，2)3. （2分） (2018九上·巴南月考) 方程2（x+1）2=1化为一般式为（）A . 2x2+4x+2=1B . x2+4x=﹣1C . 2x2+4x+1=0D . 2x2+2x+1=04. （2分） (2019九下·锡山月考) 关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（）A . 有两个不等实根B . 有两个相等实根C . 没有实数根D . 无法判断根的情况5. （2分） (2019九下·深圳月考) 如图，点D是△ABC外接圆圆弧AC上的点，AB=AC且∠CAB=50°，则∠ADC 度数为（）A . 130°B . 125°C . 105°D . 115°6. （2分） (2019九上·磴口期中) 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为（）A . 30°B . 60°C . 150°D . 30°或150°7. （2分） (2016九上·武清期中) 如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）(2016·兰州) 点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（）A . y3＞y2＞y1B . y3＞y1=y2C . y1＞y2＞y3D . y1=y2＞y39. （2分） (2016高一下·广州期中) 将抛物线y=2x2向左平移2个单位后所得到的抛物线为（）A . y=2x2-2B . y=2x2+2C . y=2(x-2)2D . y=2(x+2)210. （2分） (2018七下·龙岩期中) 已知：直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于A .B .C .D .11. （2分）(2014·防城港) x1 ， x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使 + =0成立？则正确的结论是（）A . m=0时成立B . m=2时成立C . m=0或2时成立D . 不存在12. （2分）点A（﹣1，2）绕坐标原点O逆时针方向旋转90°得到的点A'的坐标是（）A . （﹣2，﹣1）B . （2，﹣1）C . （1，﹣2）D . （2，1）13. （2分）关于二次函数y=x2-4x+3，下列说法错误的是（）A . 当x＜1时，y随x的增大而减小B . 它的图象与x轴有交点C . 当1＜x＜3时，y>0D . 顶点坐标为(2，－1 )14. （2分）抛物线的部分图象如图所示，要使，则x的取值范围是（）A . -4<x<1B . -3<x<1C . x<-4或x>1D . x<-3或x>1二、填空题 (共5题；共6分)15. （1分）如果是一元二次方程的两个实数根，则 ________．16. （2分）(2019·辽阳模拟) 如图，点是⨀上的三点，若，则的度数是________.17. （1分） (2018九上·开封期中) 点P（3，2）关于原点对称的点的坐标为________.18. （1分）(2017·石城模拟) 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图像的对称轴是直线x=1，过抛物线上两点的直线AB平行于x轴，若点A的坐标为（0，），则点B的坐标为________．19. （1分）二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=________ ．三、解答题 (共7题；共55分)20. （10分） (2017九上·泸西期中) 选用适当的方法，解下列方程：（1） (x-1)2=3（2） 2x2-5x+3=021. （5分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED 的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，BE=1，求∠BAC的度数．（精确到0.1度）22. （11分）(2017·竞秀模拟) 如图：将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若AE=AD，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．23. （2分）把y= x2的图象向上平移2个单位.（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；（2）画出平移后的函数图象；（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.24. （15分）(2017·东河模拟) 如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．25. （10分）(2012·鞍山) 如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB= ，延长OE到点F，使EF=2OE．（1）求⊙O的半径；（2）求证：BF是⊙O的切线．26. （2分）(2018·青羊模拟) 已知点A（－2，2），B（8，12）在抛物线y=ax2+bx上.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m>4），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求之值（用含m的代数式表示）；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝3PM，求t的值.参考答案一、单选题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共5题；共6分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共7题；共55分)20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、。
安徽省安庆市九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A. y=x2B. y=ax2+bx+cC. y=8xD. y=x2(1+x)2.某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（）A. y=100(1−x)2B. y=100(1+x)C. y=100(1+x)2D. y=100+100(1+x)+100(1+x)23.在平面直角坐标系中，抛物线y=12（x+1）2-12的顶点是（）A. (1,−12)B. (−1,12)C. (−1,−12)D. (1,12)4.函数y=（2m-1）x m2−2是反比例函数，在第一象限内y随x的增大而减小，则m=（）A. 1B. −1C. ±1D. ±35.二次函数y=x2+2x+2与坐标轴的交点个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6.如图，若一次函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象可能是（）A. B.C. D.7.已知：a=0.5，b=3.2，c=16，d=2.5，下列各式中，正确的是（）A. ab=cdB. ac=dbC. ab=dcD. dc=ba8.如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（）A. ∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC. APAB=ABACD. ABBP=ACCB9.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞-1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1其中正确的结论个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，已知点A是反比例函数y=6x在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以3OA为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（）A. −36B. 36C. −6D. 32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是______．12.若xx−y=53，则yx=______．13.如图，直线A l A∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是______．14.如图，在钝角△ABC中，AB=3cm，AC=6cm，动点D从点A出发到点B止．动点E从点C出发到点A止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时．运动的时间是______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.已知二次函数y=12x2-2x+6．用配方法求函数图象的顶点坐标和对称轴．16.将抛物线y=-x2向左平移3个单位，再向上平移4个单位．（1）写出平移后的抛物线的函数关系式．（2）若平移后的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点分别是B、C，求△ABC的面积．17.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．18.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=______；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．19.如图，已知A（-4，2）、B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象的两个交点．（1）求m、n的值；（2）求一次函数的关系式；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．20.如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？21.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？22.如图三角形ABC，BC=12，AD是BC边上的高AD=10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQMN，PN交AD于E．求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN=1：2．求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．23.如图1，点M放在正方形ABCD的对角线AC（不与点A重合）上滑动，连结DM，做MN⊥DM交直线AB于N．（1）求证：DM=MN；（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且DC=2AD，求MD：MN；（3）在（2）中，若CD=nAD，当M滑动到CA的延长线上时（如图3），请你直接写出MD：MN的比值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、y=x2是二次函数，故A符合题意；B、a=0时是一次函数，故B不符合题意，C、y=8x是一次函数，故C不符合题意；D、y=x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；故选：A．根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．2.【答案】D【解析】解：设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为：y=100+100（1+x）+100（1+x）2．故选：D．直接表示出2016年，2017年的产量进而得出y关于x的函数关系式．此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出2017年的产量是解题关键．3.【答案】C【解析】解：∵抛物线的解析式为y=（x+1）2-，∴该抛物线的顶点坐标为（-1，-）．故选：C．结合抛物线的解析式和二次函数的性质即可得出该抛物线顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质直接写出抛物线的顶点坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式是关键．4.【答案】A【解析】解：根据题意得：，解得：m=1．故选：A．根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．5.【答案】B【解析】解：∵△=22-4×1×2=-4＜0，∴二次函数y=x2+2x+2与x轴没有交点，与y轴有一个交点．∴二次函数y=x2+2x+2与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．先计算根的判别式的值，然后根据b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6.【答案】C【解析】解：∵y=ax+b的图象经过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线开口方向向下，∵抛物线对称轴为直线x=-＜0，∴对称轴在y轴的左边，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．根据一次函数的性质判断出a、b的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，确定出a、b的正负情况是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：因为16×0.5=8，3.2×2.5=8，所以ac=bd，可得：，故选：C．如果其中两个数的乘积等于另外两个数的乘积，则四个数成比例．此题考查比例线段问题，理解成比例的概念，注意在数两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等进行判断．8.【答案】D【解析】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；C、∵∠A=∠A，=，∴△ABP∽△ACB．故故本选项错误．D、正确．不能判定△ABP∽△ACB．故选：D．根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．本题考查相似三角形的判定和性质，熟练运用所学知识是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．9.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口可知：a＜0，由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，由抛物线的对称轴可知：-＞0，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；令x=3，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②错误；∵OA=OC＜1，∴c＞-1，故③正确；观察图象可知关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）=0的两根：一个根在0与1之间，一个根在3与4之间，故④错误；故选：B．根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．本题属于中等题型．10.【答案】A【解析】解：设A（a，b），∴OE=a，AE=b，∵在反比例函数y=图象上，∴ab=，分别过A，C作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，∵矩形AOCB，∴∠AOE+∠COF=90°，∴∠OAE=∠COF=90°-∠AOE，∴△AOE∽△COF，∵OC=OA，∴===，∴OF=AE=b，CF=OE=a，∵C在反比例函数y=的图象上，且点C在第四象限，∴k=-OF•CF=-a•b=-3ab=-3，故选：A．设A（a，b），则ab=，分别过A，C作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，根据相似三角形的判定证得△AOE∽△COF，由相似三角形的性质得到OF=b，CF= b，则k=-OF•CF=-3．本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义和求法，正确作出辅助线证得△AOE∽△COF是解题的关键，同时注意k的符号．11.【答案】（-2，-3）【解析】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（-2，-3）．故答案为（-2，-3）．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．12.【答案】25【解析】解：∵=，∴3x=5（x-y），∴2x=5y，∴=．故答案为：．根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解．本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，需熟记．13.【答案】9【解析】解：∵A l A∥BB1∥CC1，∴=，∵AB=8，BC=4，A1B1=6，∴B1C1=3，∴A1C1=6+3=9．故答案为：9．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系是解决问题的关键．14.【答案】32秒或125秒【解析】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC 相似，则AD=t，CE=2t，AE=AC-CE=6-2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB=AE：AC，∴t：3=（6-2t）：6，∴t=；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC=AE：AB，∴t：6=（6-2t）：3，∴t=．∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是秒或秒．故答案为：秒或秒．如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．本题考查的是相似三角形的判定定理，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．15.【答案】解：y=12x2-2x+6=12（x2-4x+12）=12（x-2）2+4，所以顶点坐标为（2，4）对称轴为x=2；【解析】根据配方法的步骤把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标；本题考查了二次函数的性质，配方法，二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．16.【答案】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=-x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y=-（x+3）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=-（x+3）2向上平移4个单位所得抛物线的解析式为：y=-（x+3）2+4．故平移后的抛物线的函数关系式是：y=-（x+3）2+4．（2）顶点坐标A（-3，4）令y=-（x+3）2+4=0，解得x1=-1，x2=-5．∴A（-1，0），B（-5，0），AB=4．∴S△ABC=12AB×4=8．【解析】（2）在解析式中令y=0，求得x的值，即可求得B和C的横坐标，则BC的长即可求得，然后根据三角形的面积公式即可求得．本题考查了抛物线的平移以及二次函数与x轴的交点坐标的求法，正确理解平移法则是关键．17.【答案】解：（1）∵函数图象与x轴的两个交点坐标为（1，0）（3，0），∴方程的两个根为x1=1，x2=3；（2）由图可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3；（3）∵二次函数的顶点坐标为（2，2），∴若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＜2．【解析】（1）根据函数图象，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为方程的根；（2）根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可；（3）能与函数图象有两个交点的所有k值即为所求的范围．本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．18.【答案】135°22【解析】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC===2；故答案为：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF．∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=∴==，==．∴△ABC∽△DEF．（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．19.【答案】解：（1）把A（-4，2）代入y=mx得：m=-8，即反比例函数的解析式为y=-8x，把B（n，-4）代入得：n=2，即B（2，-4），即m=-8，n=2；（2）把A、B的坐标代入一次函数的解析式得：2=−4k+b−4=2k+b解得：k=-1，b=-2，即一次函数的解析式是y=-x-2；（3）一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围是x＞2或-4＜x＜0．【解析】（1）把A（-3，1）代入y=求出m=-3，得出反比例函数的解析式，把B（2，n）代入反比例函数的解析式求出n，得出B的坐标；（2）把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；（3）根据图形和A、B的横坐标即可得出答案．本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．20.【答案】解：由题意知，设AH=x，BH=y，△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，∴BFHF=CBAH，DGHG=DEAH，∴3x=1.5×（y+3），5x=1.5×（y+30+5）解得x=24m．答：旗杆AH的高度为24m．【解析】根据AH∥CB∥DE，可得△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，可得=，=，即可求得AH的值，即可解题．本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，本题中列出关于AH、21.【答案】解：（1）根据题意知，z=（x-16）（-2x+100）=-2x2+132x-1600；（2）厂商每月的制造成本不超过480万元，每件制造成本为16元，∴每月的生产量为：小于等于48016=30万件，则y=-2x+100≤30，解得：x≥35，∵z=-2x2+132x-1600=-2（x-33）2+578，∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，∴x=35时，z最大为570万元．当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．【解析】（1）根据每月的利润z=（x-16）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，（2）先根据制造成本不超过480万元知生产量不超过30万件，结合一次函数解析式得出x的取值范围，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值．本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．22.【答案】解：（1）设PQ=y，则PN=2y，∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PNBC=AEAD，即2y12=10−y10，解得y=154，∴PQ=154，PN=152．（2）设AE=x．∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PNBC=AEAD，∴PN=65x，PQ=DE=10-x，∴S矩形PQMN=65x（10-x）=-65（x-5）2+30，∴当x=5时，S的最大值为30，∴当AE=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，此时PQ=5，PN=6．（1）设PQ=y，则PN=2y，根据相似三角形的对应边上的高的比=相似比，构建方程即可解决问题；（2）设AE=x．利用相似三角形的性质，用x表示PN，PQ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．本题考查相似三角形的应用、二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质构建二次函数或方程解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）证明：过M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，则∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，∵∠DMN=90°，∴∠DMP=∠NMQ，∵ABCD是正方形，∴AC平分∠DAB，∴PM=MQ，在△MDP和△MNQ中，∠MQN=∠MPDPM=MQ∠DMP=∠NMQ，∴△MDP≌△MNQ（ASA），∴DM=MN；（2）过M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，则∠WMS=90°，∵MN⊥DM，∴∠DMW=∠NMS，又∵∠MSN=∠MWD=90°，∴△MDW∽MNS，∴MD：MN=MW：MS=MW：WA，∵MW∥CD，∴∠AMW=∠ACD，∠AWM=∠ADC，∴△AWM∽△ADC，又∵DC=2AD，∴MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；（3）MD：MN=n，理由：过M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，则易得△NMX∽△DMR，∴MD：MN=MR：MX=AX：MX，由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，∴AX：MX=CD：AD，又∵CD=nAD，∴MD：MN=CD：AD=n．（1）过M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，则∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根据ASA即可判定△MDP≌△MNQ，进而根据全等三角形的性质得出DM=MN；（2）过M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，则∠WMS=90°，根据∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根据△AWM∽△ADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；（3）过M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，则易得△NMX∽△DMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根据CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n．本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，运用相似三角形和全等三角形的性质进行推导即可．。
安徽省安庆市2016届九年级数学上学期期中试卷(含解析) 新人教版
2015-2016学年安徽省安庆九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列函数中，能表示y是x的二次函数的是（）A．y=B．y2=2x+1 C．y=D．y=2（x+3）2﹣2x22．已知抛物线y=（m+1）x有最高点，则m的值是（）A．m＜﹣1 B．m=1 C．m=﹣2 D．m=1或m=﹣23．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则S△ADE：S四边形DECB=（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：44．若抛物线y=kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠05．在一张比例尺为1：1000的地图上，1cm2的面积表示的实际面积是（）A．1000 cm2B．100m2C．10m2D．100000cm26．如果将抛物线y=ax2+bx+c向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线y=x2﹣2x+1，那么（）A．b=6，c=12 B．b=﹣6，c=6 C．b=2，c=﹣2 D．b=2，c=47．如图，要使△ACD∽△ABC只需添加的条件是（）A．∠ADC=∠B B．AC2=AD•AB C．D．8．已知a、b、c是△ABC的三边，满足==，且a+b+c=12，则ABC是（）三角形．A．等腰 B．等边 C．直角 D．等腰直角9．反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，﹣2），则当x＞1时，函数值y的取值范围是（）A．y＞1 B．0＜y＜1 C．y＞2 D．0＜y＜210．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b ﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．对于二次函数y=﹣2x2+3x+5，当y＜0时，x的取值范围为．12．抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y交于点C，且∠ACB=90°，则该抛物线的解析式为．13．将一个矩形减去一个正方形所剩的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列五个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确的结论有．。
安徽省安庆市九年级上学期期中考试数学试题
安徽省安庆市九年级上学期期中考试数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为（）A . ﹣2B . 1C . 2D . ﹣12. （2分）下列事件中，确定事件是（）A . 早晨太阳从西方升起B . 打开电视机，它正在播动画片C . 掷一枚硬币，正面向上D . 任意买一张电影票，座位号是2的倍数3. （2分）把抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是（）A . y=(x+3)2+2B . y=(x-3)2+2C . y=(x+3)2-2D . y=(x-3)2-24. （2分）若（2，k）是双曲线y＝上的一点，则函数y=（k-1）x的图象经过（）A . 第一、三象限B . 第二、四象限C . 第一、二象限D . 第三、四象限5. （2分）(2017·桂平模拟) 如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A . 35°B . 40°C . 50°D . 70°6. （2分） (2016九上·平潭期中) 已知⊙O的半径r=5cm，点A到圆心O的距离为8cm，则点A和⊙O的位置关系为（）A . 圆内B . 圆外C . 圆上D . 无法确定7. （2分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A . 4B . 5C . 6D . 88. （2分）(2018·咸宁) 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A .B . AF=BFC . OF=CFD . ∠DBC=90°10. （2分）若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1,y1)、B(2,y2)、C(3＋,y3)三点,则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A . y1＞y2＞y3B . y1＞y3＞y2C . y2＞y1＞y3D . y3＞y1＞y2二、填空题 (共7题；共9分)11. （1分）(2018·秀洲模拟) 如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P 上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是________．12. （2分）函数y=2x2中，自变量x的取值范围是________ ，函数值y的取值范围是________ ．13. （2分） (2017九上·杭州月考) 已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 M 在第二象限，且经过点 A(1，0)和点 B(0，2)．则（1） a 的取值范围是________；（2）若△AMO 的面积为△ABO 面积的倍时，则a 的值为________14. （1分）(2017·涿州模拟) 如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为________．15. （1分）(2017·南京模拟) =如图，在半径为2的⊙O中，弦AB=2，⊙O上存在点C，使得弦AC=2 ，则∠BOC=________°．16. （1分） (2019九下·温州竞赛) 抛物线y=a(x-3)(x+1)与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，-2)，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，连D0，并延长交抛物线于点E，点P是∠CDE内的抛物线CE之间部分上的动点，过P点作PF⊥CD于点F，PG⊥DE于点G，点H为PG的中点，连FH，DP。
安徽省安庆市九年级上学期期中考试数学试题
安徽省安庆市九年级上学期期中考试数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）下列方程：⑴﹣x2+2=0；（2）2x2﹣3x=0；（3）﹣3x2=0；（4）x2+ =0；（5） +5x=0；（6）2x2﹣1=2（x﹣2）（x+1）+5x中一元二次方程有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个2. （2分）命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（）A . 0.2172kmB . 2.172kmC . 21.72kmD . 217.2km4. （2分）已知代数式x2+x+1的值是8，那么代数式4x2+4x+9的值是（）A . 32B . 25C . 37D . 05. （2分） (2011七下·广东竞赛) 若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为（）A . 16B . 8C . 4D . 16. （2分）(2019·新昌模拟) “绿水青山就是金山银山.”从这句话中随机选取一个汉字，选取“山”的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（）A . 1B . -1C . 1或-1D .8. （2分）关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1、x2 ，且x12+x22=7，则（x1-x2）2的值是（）A . 1B . 12C . 13D . 259. （2分）抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）方程的根是（）A . ,B .C .D . 没有实数根11. （2分）(2017·玉环模拟) 如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A .B .C .D .12. （2分）下列方程中无实数根的是（）A . 2x2+4x+1=0B . x2-6x+9=0C . （x+6）2=5D . 4x2+2x+3=013. （2分）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①当b=a+c时，则方程ax2+bx+c=0一定有一根为x=-1；②若ab＞0，bc＜0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0；④若b=2a+3c，则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A . １个B . ２个C . ３个D . ４个14. （2分） (2017九下·丹阳期中) 在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，P是BC上的动点（不与B,C重合），以A为圆心，AP长为半径作圆A，若经过点P的圆A的切线与线段AD交于点F，则以DF,BP的长为对角线长的菱形的最大面积是（）A . 4B . 8C . 12. 5D . 1615. （2分） (2018九上·建平期末) 以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y= 经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A . 10B . 11C . 12D . 13二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）(2017·埇桥模拟) 方程 = 的解是________．17. （1分） (2016九上·平南期中) 若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是________（写出一个即可）．18. （1分）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是________ ．19. （1分） (2017八下·平定期中) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=20cm，点D为AC的中点，则BD=________．20. （1分） (2019九下·常熟月考) 如图是小章为学校举办的数学文化节没计的标志，在△ABC中，∠ACB ＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空自部分面积为10.5，则阴影部分面积为________．三、解答题 (共7题；共55分)21. （10分） (2018九下·滨海开学考) 解方程：（1） x2﹣2x﹣2=0；（2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0．22. （5分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x=（π﹣2015）0﹣+（）﹣1 ．23. （5分）如图是由直角边长为a、b，斜边长为c的4个全等的直角三角形拼成的正方形．试利用这个图形来验证勾股定理．24. （5分）(2018·朝阳模拟) 如图，在□ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于 MN长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF//BC交AB于点F.求证：四边形ADEF是菱形.25. （10分） (2017七下·景德镇期末) 把分别标有数字2，3，4，5的四个小球放入A袋，把分别标有数字，，的三个小球放入B袋，所有小球的形状、大小、质地均相同，A、B两个袋子不透明．（1）如果从A袋中摸出的小球上的数字为3，再从B袋中摸出一个小球，两个小球上的数字互为倒数的概率是________；（2）小明分别从A，B两个袋子中各摸出一个小球，请用树状图或列表法列出所有可能出现的结果，并求这两个小球上的数字互为倒数的概率．26. （10分）某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？27. （10分） (2019八下·天台期中) 已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共7题；共55分)21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、25-1、25-2、26-1、27-1、27-2、27-3、。
安庆市九年级上册期中试卷检测题
安庆市九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式；(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式;(3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+(2)S=5325322m +；(3)203S =. 【解析】【分析】 (1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，3分别代入，利用待定系数法进行求解即可；(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得CH=)352m +，再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°，∴∠OBA=30°，AB=10 ，由勾股定理可得OB=53，∴B(0，53)，设AB解析式为y kx b=+，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得0553k bb=+⎧⎪⎨=⎪⎩，∴353kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴直线解析式为353y x=-+；(2)∵CP//OD，OP//CD，∴四边形ODCP是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=52m+，由勾股定理得CH=()35m+，∴S=12AB•CH=135325310(5)2m m⨯⨯+=+；(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，∴∠PEC=∠ADC，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE，∵∠DAK=60°，∴△ADK是等边三角形，∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，∵PC=OD，∴△PEC≌△DKO，∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α，∠AKD= ∠APC=60°，∴∠OPK= ∠OKB，∴OP=OK=CE=CD，又∵∠ECD=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD=DE ， 连接OE ，∵ ∠ADE=∠APO ，DE=CD=OP ，∴△OPE ≌△EDA ，∴AE=OE ， ∠OAE=60°，∴△OAE 是等边三角形，∴OA=AE=5 ，∵四边形ADCE 的周长等于22，∴AD+2DE=17，∴ED=172m -， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=，即22253517()()()22m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)，∴S=153253+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6a a -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数，∴﹣66a -是负整数，即66a -是正整数． ∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6，∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．4．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；（2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.②若线段AD EC =，求a b的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒62=︒，∵BC BD =，∴1802B BCD BDC ︒-∠∠=∠= 180622︒-︒= 59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.（2）①BD BC a ==，∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴x =a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =，又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， ∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+， ∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =，∴34a b =. 【点睛】 本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．5．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3541-或4541+ 【解析】【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为)2454d BP sin t =⋅︒=-，则12PBE S BE d =⨯⨯)()1222442t t t =⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值； （3）先求出245422AM AB sin =⋅︒==N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ 是平行四边形，得到22NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得22884NH NQ HQ =+=+=；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ， (),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可．【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-． ()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBE S BE d =⨯⨯)()12442t t t =⨯-=-； ∵二次函数()()4f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时， ∴()()()2242maxf t f ==⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得4542AM AB sin =⋅︒=⨯= 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴4,NH ===设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+--- ∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --= 解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得552m -=<（舍）或52m = ③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得m =或m =（舍）综上所述，54,2m m +==，52m =符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，点N 或4．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键7．如图1，抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．（3）如图2，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在直线2y x =-上，求m 的值．【答案】（1）21y x =+；（2）1|n -；（3）14m =-或12m =- 【解析】【分析】（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式； （2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2B C ''并进行化简，由1n q -≤<且12,q n <-得21n q -<，则当()2maxB C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得()max B C ''；（3）依题意将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到231048m m -+=，解得14m =-或12m =-． 【详解】解：（1）将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+，得b=1，则21:1C y x =+，（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，∴()22222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦ 2204020q q =-+()2201q =-，∵1n q -≤<且12,q n <- 21n q -<∴，∴()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，min 2q q n ==-， 即()22220(21)20(1)B C n n ''=--=-，∴()max 1|B C n ''=-，（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ， ∴221:8C y x =+， ∴21,8M m m ⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简上式得：22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-，∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 21148m m m -=+∴， ∴231048m m -+=， 解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程231048m m -+=的解）， 故14m =-或12m =-． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．8．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值；②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】 （1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩，∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则 (5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=， 解得：m=2+5（舍去）或m=25-．当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32， 解得：m=2+2或m=22-．综上所述：m=25-或m=22+或m=22-．②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-， 当x=2时，有最大值，最大值y=72． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-； （3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（12，1），∴14+2-n=1，解得：n=54．∴1＜n≤54时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．9．如图，抛物线2(0)y ax bx c a=++≠与坐标轴的交点为()30A-,，()10B,，()0,3C-，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式．（2）若E为第二象限内一点，且四边形ACBE为平行四边形，求直线CE的解析式．（3）P为抛物线上一动点，当PAB∆的面积是ABD∆的面积的3倍时，求点P的坐标．【答案】（1）223y x x=+-；（2）33y x=--；（3）点P的坐标为()5,12-或()3,12．【解析】【分析】（1）本题考查二次函数解析式的求法，可利用待定系数法，将点带入求解；（2）本题考查二次函数平行四边形存在性问题，可根据题干信息结合平行四边形性质确定动点位置，进一步利用待定系数法求解一次函数解析式；（3）本题考查二次函数与三角形面积问题，可先根据题干面积关系假设动点坐标，继而带入二次函数，列方程求解．【详解】（1）∵抛物线2y ax bx c=++与坐标轴的交点为()30A-,，()10B,，()0,3C-，∴9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x=+-．（2）如图，过点E作EH x⊥轴于点H，则由平行四边形的对称性可知1AH OB ==，3EH OC ==．∵3OA =，∴2OH =，∴点E 的坐标为()2,3-．∵点C 的坐标为()0,3-，∴设直线CE 的解析式为()30y kx k =-<将点()2,3E -代入，得233k --=，解得3k =-，∴直线CE 的解析式为33y x =--．（3）∵2223(1)4y x x x =+-=+-，∴抛物线的顶点为()1,4D --．∵PAB ∆的面积是ABD ∆的面积的3倍，∴设点P 为(),12t ．将点(),12P t 代入抛物线的解析式223y x x =+-中， 得22312t t +-=，解得3t =或5t =-，故点P 的坐标为()5,12-或()3,12．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，利用待定系数法求解解析式时还可以假设交点式，几何图形存在性问题求解往往需要利用其性质，假设动点坐标，列方程求解．10．如图，已知二次函数22(0)y ax ax c a 的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ．(1) 求一次函数解析式；(2)求顶点P 的坐标；(3)平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=，求点M 坐标； (4)设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值．【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3(2)顶点P 的坐标为（1，4）(3) M 点的坐标为：15,2(,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或 23-）（4【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B （0，3），根据OB=3OA ，可求出OA 的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求；（2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值．【详解】(1)∵A （-1，0）,∴OA=1∵OB=3OA ，∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+∵直线3y x b =+过P （1，4）∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=设M（x,3x+1）①当点M在x轴上方时，有31312xx+=+，∴13x=∴11 ,2 3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M在x轴下方时，有31312xx+-=+，∴59x=-∴25 (,9M-23 -）(4)作点D关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N⊥PD于点N 当-x2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，∴A（-1，0），P点坐标为（1，4），则可得PD解析式为：y=2x+2，令x=0，可得y=2，∴D（0，2），∵D与D′关于直线x=1对称，∴D′（2，2）．根据ND′⊥PD，设ND′解析式为y=kx+b，则k=-12，即y=-12x+b，将D′（2，2）代入，得2=-12×2+b，解得b=3，可得函数解析式为y=-12x+3，将两函数解析式组成方程组得：13222y xy x⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得25145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N（214 ,) 55，由两点间的距离公式：=，【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线∴12PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．12．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与OAB ∆的边分别交于M ，N 两点，将AMN ∆以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '∆． 设点P 的纵坐标为m ．①当A MN '∆在OAB ∆内部时，求m 的取值范围；②是否存在点P ，使'56A MN OAB S S ∆'∆=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】()21y x 22x =-++；（2）①433m <<；②存在，满足m 的值为619-或6393-． 【解析】【分析】（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值．【详解】解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，∴∠ADO=∠BEO=90°，∵将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后得到OB ，∴OA=OB ，∠AOB=90°，∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，∴∠AOD=∠BOE ，∴△AOD ≌△BOE ，∴AD=BE ，OD=OE ，∵顶点A 为（1，3），∴AD=BE=1，OD=OE=3，∴点B 的坐标为（3，1-），设抛物线的解析式为2(1)3=-+y a x ，把点B 代入，得 2(31)31a -+=-，∴1a =-，∴抛物线的解析式为2(1)3y x =--+，即222y x x =-++；（2）①∵P 是线段AC 上一动点，∴3m <，∵当A MN '∆在OAB ∆内部时，当点'A 恰好与点C 重合时，如图：∵点B 为（3，1-），∴直线OB 的解析式为13y x =-， 令1x =，则13y =-， ∴点C 的坐标为（1，13-），∴AC=1103()33--=， ∵P 为AC 的中点，∴AP=1105233⨯=， ∴54333m =-=， ∴m 的取值范围是433m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3），∴'3A P m =-，18'(23)233A C m m =-+=-， 设直接OA 为y ax =，直线AB 为y kx b =+，分别把点A ，点B 代入计算，得直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+， 令y m =，则点M 的横坐标为3m ，点N 的横坐标为52m --， ∴5552326m m MN m -=-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224A MN S MN A P m m m m ∆=•=•-•-=-+； '138'3(2)34223OA B S A C m m ∆=••=•-=-； 又∵'56A MN OA B S S ∆'∆=， ∴255155(34)12246m m m -+=⨯-， 解得：619m =-或619m =+（舍去）；当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：把y m =代入13y x =-，则3x m ， ∴5553222m MN m m -=+=+-，18'(23)233A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424A MN S MN A P m m m m ∆=•=•+•-=-++， '138'3(2)43223OA B S A C m m ∆=••=•-=-， ∵'56A MN OA B S S ∆'∆=，∴255155(43)4246m m m -++=⨯-， 解得：6393m -=或6393m +=（舍去）； 综合上述，m 的值为：619m =-或6393m -=． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P 的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．13．（特例发现）如图1，在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ．求证：EP=FQ ．（延伸拓展）如图2，在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作Rt △ABE 和Rt △ACF ，射线GA 交EF 于点H ．若AB=kAE ，AC=kAF ，请思考HE 与HF 之间的数量关系，并直接写出你的结论．（深入探究）如图3，在△ABC 中，G 是BC 边上任意一点，以A 为顶点，向△ABC 外作任意△ABE 和△ACF ，射线GA 交EF 于点H ．若∠EAB=∠AGB ，∠FAC=∠AGC ，AB=kAE ，AC=kAF ，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ 分别与△AEF 的两边AE 、AF 分别交于点M 、N ，若△ABC 为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；求证：当∠IHJ 在旋转过程中，△EMH 、△HMN 和△FNH 均相似，并直接写出线段MN 的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF ；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN 最小值为1.【解析】试题分析：(1)特例发现：易证△AEP ≌△BAG ，△AFQ ≌△CAG ，即可求得EP=AG ，FQ=AG ，即可解题；(2)延伸拓展：过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．试题解析：(1)特例发现，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，∴FQ=AG，∴PE=FQ；(2)延伸拓展，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(3)深入探究,如图2，在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB ，∴∠EAP=∠ABG ，∵∠EPA=∠AGB ，∴△APE ∽△BGA ，∴，∵AB=kAE ，∴PE=AG ，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB ，同理可得，△AQF ∽△CGA ，∴，∵AC=kAF ，∴FQ=AG ，∴EP=FQ ，∵EP ∥FQ ，∴∠EPH=∠FQH ，∵∠PHE=∠QHF ，∴△EPH ≌△FQH ，∴HE=HF ；(4)应用推广,如图3，在前面条件及结论，得到，点H 是EF 中点，∴AE=AF ，∵∠EAB=∠AGB ，∠FAC=∠AGC ∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC ）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H 为EF 中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，∴∠EHM=∠FHN ．∵∠AEF=∠AFE ，∴△HEM ∽△HFN ，∴，∵EH=FH ，∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN ∽△HFN ，∴△MHN ∽△HFN ∽△MEH ，在△HMN 中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN 最小，只有△HMN 是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN ∴MN ∥EF ，∵△AEF 为等边三角形，∴MN 为△AEF 的中位线，∴MN min =EF=×2=1．考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.14．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
安庆市九年级上学期期中数学试卷
安庆市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016七下·威海期末) 二元一次方程3x﹣y=1的解的情况是（）A . 有且只有一个解B . 有无数个解C . 无解D . 有且只有两个解2. （2分）已知点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标为点B（2m，m+n），则m-n的值为（）A . -5B . -1C . 1D . 53. （2分） (2016九上·南开期中) 已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A .B .C . 3D . 44. （2分） (2016九上·南开期中) 抛物线y=﹣3x2+12x﹣7的顶点坐标为（）A . （2，5）B . （2，﹣19）C . （﹣2，5）D . （﹣2，﹣43）5. （2分） (2016九上·南开期中) 由二次函数y=2（x﹣3）2+1可知（）A . 其图象的开口向下B . 其图象的对称轴为x=﹣3C . 其最大值为1D . 当x＜3时，y随x的增大而减小6. （2分） (2016九上·南开期中) 如图中∠BOD的度数是（）A . 150°B . 125°C . 110°D . 55°7. （2分） (2016九上·南开期中) 如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A . 3B . 4C . 6D . 88. （2分） (2016九上·南开期中) 如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F．则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠ABC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF．其中一定成立的是（）A . ①③⑤B . ②③④C . ②④⑤D . ①③④⑤9. （2分） (2016九上·南开期中) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A . 3步B . 5步C . 6步D . 8步10. （2分）(2017·苏州模拟) 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥A B，则旋转角的度数为（）A . 35°B . 40°C . 50°D . 65°11. （2分） (2016九上·南开期中) 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·东平模拟) 如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）(2017·平川模拟) 如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA′B′，则顶点B的对应点B′的坐标为________．14. （1分） (2016九上·南开期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是________．15. （1分） (2016九上·南开期中) 关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：________．16. （1分） (2016九上·南开期中) 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是________．17. （1分） (2016九上·南开期中) 某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为________．18. （1分） (2016九上·南开期中) 如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于点G，H．若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为________．三、解答题 (共7题；共88分)19. （15分） (2017七上·泉州期末) 如图，数轴的原点为0，点A、B、C是数轴上的三点，点B对应的数位1，AB=6，BC=2，动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒2个长度单位和每秒1个长度单位的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒（t＞0）（1）求点A、C分别对应的数；（2）求点P、Q分别对应的数（用含t的式子表示）（3）试问当t为何值时，OP=OQ？20. （10分）(2018·德州) 为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价 (单位:万元)成一次函数关系.（1）求年销售量与销售单价的函数关系式;（2）根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?21. （10分）(2011·成都) 某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2 ，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．22. （13分） (2017七下·简阳期中) 如图1，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿公路始终匀速相向而行，分别驶往C、B两地. 甲、乙两车与A地的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图2所示：（1）请在图1中标出A地的位置________，并写出相应的距离：AB=________km，AC= ________km；（2）在图2中求出甲车到达C地的时间a，并分别写出甲车到达A地之前y1与行驶时间x的关系式和甲车从A地离开到C地的y1与行驶时间x的关系式(不需要写自变量的取值范围)；（3）甲、乙两车都配有对讲机，对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，请问两车能用对讲机通话的时间共有多长？23. （10分）如图，在平面直角坐标系中有一点A，OA=16，动点P从A开始以每秒2个单位的速度向x轴负半轴运动，动点Q从0开始以每秒1个单位的速度向y轴正半轴运动，P，Q同时出发，设时间为t；（1）当t为何值时，三角形OPQ为等腰三角形；（2）当t为何值时，三角形OPQ的面积为15．24. （15分） (2016九上·南开期中) 如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E，直线BM，CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在（2）中画出符合要求的图形，并判断（1）（2）题中的两结论是否依然成立．并说明理由．25. （15分） (2016九上·南开期中) 如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE= S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共7题；共88分)19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、25-3、。
安徽省安庆市大观区安庆市第四中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题
安庆四中2024-2025学年第一学期九年级数学期中考试试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1）C．D．y＝（x﹣1）2﹣x22．如果，那么的值是（）A．B．C．D．3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1，1，2，3B．3，6，4，7C．5，6，7，8D．2，3，6，9 4．对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣1，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．有最大值，最大值是﹣1C．抛物线的顶点坐标是（1，1）D．当x＞3时，y随x的增大而增大5．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（）A．1.4B．1.1C．1.2D．1.36．观察下列每组三角形，不能判定相似的是（）7．在反比例函数的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y18．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣2，记m＝a+b，n＝a﹣b，则下列选项中一定成立的是（）A．m＝n B．m＜n C．m＞n D．n﹣m＜39．如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD＝1：5，连接CF并延长交AB 于E，则AE：EB等于（）A．1：6B．1：8C．1：9D．1：1010．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或B．﹣3＜n＜﹣1或C．n≤﹣1或D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若点C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝2，AC＞BC，则AC的长为12．已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，与另一条抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为．14．如图，矩形OABC顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交BC、AB于点D、E，连接DE并延长交x轴于点F，连接AC．下列结论：①DE∥CA；②S四边形ACDF＝k；③若BD＝2CD，则AE＝2BE；④若点E为DF的中点，且S△AEF＝3，则k＝12；其中正确的有．（填写所有正确结论的序号）三．解答题（本大题共9小题，满分90分）15．（本题8分）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝42．（1）求线段a、b的长；（2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．16．（本题8分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝9cm，求EF和FC的长．17．（本题8分）综合与实践：【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．【实践探究】（1）求部分双曲线BC的函数表达式；【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由．18．（本题8分）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是CA 延长线上一点，点F是AB上一点，且∠EDF＝45°．（1）求证：△BFD∽△CDE；（2）若BF＝3，CE＝8，求AB的长．19．（本题10分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，＝；（填两数字之比）（2）如图②，在线段AB上找一点P，使＝（利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）；（3）如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形．20．（本题10分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+3﹣2a．（1）当抛物线过点（2，1），①求该抛物线的表达式．②当﹣1＜x＜4时，求y的范围．（2）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2＝﹣2，求证：y1+y2＞8．21．（本题12分）综合与实践：利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子四边形ABCD是边长均为30cm的正方形硬纸片，“睿智小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②、图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计、折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察、操作、验证并思考完成该小组提出的问题．设计方案一：如图①，将正方形硬纸片ABCD的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形MNQP的包装盒（如图②所示）．（1）若底面积MNQP为162cm2，求MG的长．设计方案二：如图③，将正方形硬纸板ABCD切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在AB上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒，设GF＝x cm．（2）请直接写出线段BF的长（用含x的代数式表示）；（3）求长方体盒子的侧面积为S（cm2）与x的函数关系式．22．（本题12分）如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝；（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．23．（本题14分）如图，抛物线y＝ax2+bx÷4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD+∠CAO＝90°的点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，是否存在点N使四边形CMPN为菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标．如果不存在，请说明理由．。
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安庆四中2015-2016学年第一学期九年级数学期中考试卷总分：一、选择题 (本大题共10小题，每小题4分，共计40分) 1. 下列各式中，y 是x 的二次函数的是( )A ． 21xy =B ． 22-+=x x yC ．12+=x yD ．x x y 322+= 2. 如图，直角三角形ABO 的面积为2，反比例函数ky x=过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．2-C ．4D ．4-3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，=，则下列结论中正确的是（ ）4、下列函数中，在x>0时，y 随x 增大而减小的是（ ）.21A y x =- 2111.722B y x x +=-+2.C y x =- 2015.D y x= 5、在同一直角坐标系内，函数2y ax b y ax bx c =+=++和的图象可能是（ ）6、如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ）A ． ∠ABD =∠ACBB ． ∠ADB =∠ABCC ． AB 2=AD •AC D ．AD BCAB AC= 7、下列说法错误的是（ ）A. 抛物线y=2x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为y=2x 2-8x+7B.方程-x 2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=-x 2+bx+c 的图像一定在x 轴下方C.将长度为1m 的木条黄金分割，较短的一段木条长为32m D. 两个等腰直角三角形一定相似8、一个函数的图象如图，给出以下结论：①当0x =时，函数值最大；②当02x <<时，函数y 随x 的增大而减小；③存在001x <<，当0x x =时，函数值为0． 其中正确的结论是（ ）A ．②③B ．①③C ．①②D ．①②③9、如图，已知正方形ABCD 边长为6，将其折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是（ ）A. 15B.12C.8D.610、如图,边长为4的正方形ABCD 边上的动点P 从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动,当点P 到B 点时,P ,Q 两点同时停止运动.设P点的运动时间为t ,△APQ 的面积为S ,则S 与t 的函数关系式的图象是( )二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共计20分) 11、已知：x ∶y ∶z=2∶3∶4，则zy x zy x 32+--+的值为 。
12、某厂家1月份的利润是25万元，3月份的利润达到30.25万元，这两个月的利润月增长率相同，第14题图QH GFE D CBA则这个增长率为13、如图，在△ABC 中，5AB=6AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG=FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则的值为 ．14、如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1，3．与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a ﹣b=0；②a+b+c ＞0；③c=﹣3a ；④只有当a=-1时，△ABD 是等腰直角三角形； ⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个． 其中正确的结论有 ．（只填序号）三、(本大题共2小题，每小题8分，共计16分) 15、 6,4,ABCD AB BC ==如图，矩形，()12,,x AB A BC E DC F A E F 画出以矩形的两条对称轴为坐标轴（轴平行于）的平面直角坐标系，并写出点，边的中点和边的中点的坐标。
（）求过三点的抛物线的函数关系式，并写出此抛物线的顶点坐标。
16、()221,2y x =平移，使其在x=t 时取最值t 并且经过点1，1，求平移后抛物线对应的函数将抛物线表达式。
四、(本大题共2 小题，每小题 8分，共计16 分)18、如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E；五、(本大题共2小题，每小题10分，共计20分)19、某商场新进一批商品，进价为20元/件，现在的售价为30元/件，每周可卖出150件。
市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于35元），那么每周少卖10件。
设每件涨价x 元（x为自然数），每周的销量为y件．⑴求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；⑵如何定价才能使每周的利润最大且每周的销量较大？每周的最大利润是多少？20、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长。
六、(本大题共2小题，每小题12分，共计24分)21、如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数myx（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？22、有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．七、（本题14分）23、如图，抛物线经过三点(10)(40)(02)A B C-，，，，，．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以B，P，M为顶点的三角形与OBC△相似(相似比不为1)？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；安庆四中2015-2016学年第一学期九年级数学期中考试卷答案1.B2.D3.C4.D5.C6.D7.A8.A9.B 10.D11. 411;12.10%;13. 107;14.③;15解：（1） 图略，A(-3,-2),E(3,0),F(0,2) （2） 2111252,,33212y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭16解：设平移后的函数解析式为；()2212y x t t=-+ ()()()2222111111,23111111,.2239t t t y x y x =-+=⎛⎫∴=-+=++ ⎪⎝⎭代入，1得，，或-所求为或者17（1）易证△ABF ∽△ACE, AE AF ACAB=△AEF ∽△ACB19解：（1）y=150-10x, 取自然数x x ,50≤≤ (2) ()()1500501010150102++-=-+=x x x x w ,因为a<0，当x=2.5时，w 取最大值，可是（取自然数x x ,50≤≤）， 所以x=2或3时，w 取最大值，依据题意，当x=2时 销量较大，每星期最大利润为，w=1560元； 20解：∵根据作法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线， ∴AE =DE ，AF =DF ， ∴∠EAD =∠EDA ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∴∠EDA =∠CAD ， ∴DE ∥AC ， 同理DF ∥AE ，∴四边形AEDF 是菱形， ∴AE =DE =DF =AF ， ∵AF =4，∴AE =DE =DF =AF =4， ∵DE ∥AC ，21解：（1）一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象过点P （﹣，0）和A （﹣2，1），由图象可知，当﹣2＜x ＜0或x ＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．22解：（1）设矩形的边长PN=2ymm ，则PQ=ymm ，由条件可得△APN ∽△ABC ，解得PQ=80﹣x ．∴S=PN •PQ=x （80﹣x ）=﹣x 2+80x=﹣（x ﹣60）2+2400，∴S 的最大值为2400mm 2，此时PN=60mm ，PQ=80﹣×60=40（mm ）．23解：（1） 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(10)A ，，(40)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时， 4BM m=-，215222PM m m =-+-．又90COB PMB ∠=∠= °，∴①当21BM BO PM OC ==时，PM BCO △B ∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭． 解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当12BM OC PM OB ==时，PM CBO △B ∽△， 即2152(4)222m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去） ∴当14m <<时，(21)P ，． 类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，． 综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．。