数列二轮复习总结专题一
高考数学二轮复习数列求和及其综合应用
(2)在各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0，Sn 是数列 {an}的前 n 项和，若对 n∈N*，不等式 an(λ－2Sn)≤27 恒成立，则实数 λ 的 取值范围为_(－__∞__，__1_7_]_.
∵a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1， Sn＝11－－33n＝32n－12， ∴不等式 an(λ－2Sn)≤27 即 λ≤2Sn＋2a7n＝3n＋32n－71－1 对 n∈N*恒成立，
所以 2an1
2an
＝4，
所以an＋1－an＝2，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
因为a2，a4，a7成等比数列，
所以 a24＝a2a7，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)， 解得a1＝6，
所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4， 因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项， 所以Sn＋1＝2bn， 当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1， 两式相减得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1， 当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1， 所以b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1，
考向3 错位相减法
例3 (2022·上饶模拟)从①b5－b4＝18b2，②S5＝b4－2，③log3bn＋1－1＝ log3bn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是正项等比数列，且2an＝an＋1＋ an－1(n≥2)，S3＝b3＝9，b4＝a14，________. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)
城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。
高考数学二轮复习专题1.4数列与不等式(讲)理
专题1.4 数列与不等式考向一 等差数列与等比数列的计算问题【高考改编☆回顾基础】1．【等差数列的通项公式、求和公式】【2017课标1改编】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 .【答案】42. 【等比数列的通项公式】【2017课标3，理14】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________. 【答案】8-【解析】设等比数列的公比为q ，很明显1q ≠- ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：()()12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①，②，由 ②① 可得：2q =- ，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得：3418a a q ==- .3. 【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 . 【答案】24- 【解析】【命题预测☆看准方向】等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查; 对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n 项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合.预测2018年数列问题将保持一大一小的命题形式，且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查.【典例分析☆提升能力】【例1】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2，a 3＋b 3＝5，则{b n }的通项公式为 ________．【答案】b n ＝2n －1【趁热打铁】【2017·江苏卷】等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 【答案】32【解析】当q ＝1时，S 6＝2S 3，不符合题意；当q ≠1时，因为S 3＝74，S 6＝634，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634，即1＋q 3＝9，所以q ＝2，代入可得a 1＝14，即a 8＝a 1q 7＝32.【例2】【2018届江西省重点中学盟校高三第一次联考】已知等比数列中，，且，则＝( )A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为∵∴，即∵∴故选C.【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列{}n a 满足243a a +=， 351a a =，则公比q =_________， n a =_________．【答案】 22222n-【解析】设等比数列的首项为11,0a a >，公比为,0q q >，由题意可得()326113,1a q q a q +==解得1222,,2na q a === 222n -，填(1). 22(2). 222n- 【方法总结☆全面提升】1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n 项和公式构造关于a 1与d 、a 1与q 的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识.2.解决等差数列{a n}前n 项和问题常用的三个公式是: S n =;S n =na 1+d ；S n=An 2+Bn(A,B 为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷.3.等差数列和等比数列的中项、前n 项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法.5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.【规范示例☆避免陷阱】【典例】【2017北京改编】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，求22a b .【反思提高】等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1,n ,d (q ),a n 与S n这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a 1,d (q )是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现. 【误区警示】用数列性质解决数列问题，往往可以简化解题过程，但技巧性较强，同时还要注意性质成立的条件，如等差数列{a n }中，a 1＋a n ＝a 2＋a n －1，但a 1＋a n ≠a n ＋1；等比数列的前n 项和为S n ，则在公比不等于－1或m 不为偶数时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列．考向二 数列的通项与求和 【高考改编☆回顾基础】1.【等比数列的求和】【2017·江苏卷】等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 【答案】32【解析】当q ＝1时，S 6＝2S 3，不符合题意；当q≠1时，因为S 3＝74，S 6＝634，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634，即1＋q 3＝9，所以q ＝2，代入可得a 1＝14，即a 8＝a 1q 7＝32.2．【裂项相消法】【2017·全国卷Ⅲ改编】已知a n ＝22n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为________． 【答案】2n2n ＋1【解析】记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， ∵a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.3. 【错位相减法】【2017山东卷改编】已知a n ＝2n，b n ＝2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ＝________．【答案】5－2n ＋52n4 .【数列中的数学文化】【2017·全国卷Ⅱ改编】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏． 【答案】3【解析】设塔的顶层共有a 1盏灯，根据题意得a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.【命题预测☆看准方向】数列的通项与求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后进一步研究综合问题.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，考查的重点应该是围绕：常见求数列通项的方法、倒序求和法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等. 数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,在考查基本运算、基本能力的基础上,又注意考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ，且0n a >，2*63,n nn S a a n N =+∈， ()()122121nnn a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( )A.17 B. 149 C. 49 D. 8441【答案】B【解析】当1n =时， 211163a a a =+，解得13a =或10a =. 由0n a >得13a =.由263n n n S a a =+，得211163n n n S a a +++=+. 两式相减得22111633n n n n n a a a a a +++=-+-.所以11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以110,3n n n n a a a a +++>-=.即数列{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()3313n a n n =+-=. 所以()()()()111281117818181812121nnn a n n n n n n a a b +++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭. 所以22311111111111117818181818181778149n n n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-<⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭L . 要使*,n n N k T ∀∈>恒成立，只需149k ≥. 故选B.【趁热打铁】【2018届湖南省衡阳县高三12月联考】若曲线()()ln *y x x n n N =-∈在x 轴的交点处的切线经过点()1,n a ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =__________． 【答案】1nn -+ 【解析】令()ln 0x x n -=，得1x n =+，则切点为()1,0n + ∵()ln x y x n x n=-+-' ∴1|1x n y n =+=+'∴曲线()ln y x x n =-在x 轴的交点处的切线方程为()()11y n x n =+-- ∵切线经过点()1,n a ∴()1n a n n =-+ ∴()111111n a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭∴11111122311n n S n n n ⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪++⎝⎭ 故答案为1n n -+ 【例2】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+，求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）()12326n n S n +=-⋅+【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1112121n n a =+-=-， 由112n n n n b ab a ++=⋅可知112n n n n a b a b ++=.又112a b = ∴1222n nn n a b -=⨯= ∴()212n n b n =-⋅，∴()123123252212nn S n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ，则()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅L ，∴()()231122222222123226nn n n S n n ++-=+⋅+⋅++⋅--⋅=-⋅-L ，∴()12326n n S n +=-⋅+【趁热打铁】【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，*121,n n a S n N +=+∈．等 差数列{}n b 中， 25b =，且公差2d =．（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得1122...60n n a b a b a b n ++＞?．若存在，求出n 的最小值；若 不存在，请说明理由．【答案】（1）13n n a -=， 21n b n =-；（2）4．试题解析：（Ⅰ） 121n n a S +=+Q ， ∴当2n ≥时， -12+1n n a S =两式相减得， ()+1=32n n a a n ≥，又()*21112133,3n n a a a a a n N +=+==∴=∈， ∴数列{}n a 是以1为首项， 3为公比的等比数列， 1=3n n a -∴，又12523b b d =-=-=， ()1121n b b n d n ∴=+-=+.（Ⅱ）()1213n n n a b n -⋅=+⋅,令()()221315373 (213)213...n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ①则()()2313335373 (213)21 3...n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ② ①-②得： ()()21231233...3213n n n T n --=⨯++++-+⨯， 360nn T n n ∴=⨯>，即360n >，34327,381==Q ， n ∴的最小正整数为4.【例3】【2018届江西省南昌市第二中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a =-.（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 13n T <. 【答案】（1）1*111·333n nn a n N -⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，；（2）见解析。
高三二轮复习--数列
高三二轮复习-数列【例1】S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记b n＝[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1 000项和．‘【例2】已知数列{a n}的前n项和为S n，且有a1＝2,3S n＝5a n－a n－1＋3S n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n－1)a n，求数列{b n}的前n项和T n.【例3】等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.【例4】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 22－3a 7＝2，且1a 2，S 2－3，S 3成等比数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n a n ＋2，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对于任意的n ∈N *，都有8T n <2λ2＋5λ成立，求实数λ的取值范围．【例5】数列的综合问题已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【例6】数列与其他的综合问题设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛320，内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13(32)n .【例2】已知等差数列{a n}的公差d>0，其前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，1＋a3成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝1a n a n＋1(n∈N*)，且数列{b n}的前n项和为T n，证明：14≤T n<13.【例3】设n∈N*，x n是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{x n}的通项公式；(2)记T n＝x21x23…x22n－1，证明：T n≥1 4n.【例4】自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值a n的表达式；(2)设A n＝a1＋a2＋…＋a nn，若A n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新．练习1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *. (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .2.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)(n ∈N *)． (1)求a n ；(2)若b n ＝2n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .3.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a >0)，且4a 3是a 1与2a 2的等差中项． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ＋1a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足13()2n na b n a ⋅+=，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．5.已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n <163.6.设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记数列}1{na 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．7.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且(a －1)S n ＝a (a n －1)(a ＞0)(n ∈N *)． (1)求证数列{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x }，问是否存在实数a ，使得对于任意的n ∈N *，都有S n ∈A ？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．8.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．9.已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2nk ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑nk ＝11T k <12d 2.10.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .11.已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．12.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3. (1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值．13.(17年高考真题文)记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。
2023届新高考数学二轮复习：专题(数列中的复杂递推式问题)提分练习(附答案)
2023届新高考数学二轮复习：专题（数列中的复杂递推式问题）提分练习【总结】1、叠加法：+-=1()n n a a f n ；2、叠乘法：+=1()n na f n a ；3、构造法（等差，等比）：①形如+=+1n n a pa q (其中,p q 均为常数-≠(1)0pq p )的递推公式，()+-=-1n n a t p a t ，其中=-1qt p，构造+-=-1n n a t p a t，即{}-n a t 是以-1a t 为首项，p 为公比的等比数列．②形如+=+1n n n a pa q (其中,p q 均为常数，-≠()0pq q p )，可以在递推公式两边同除以+1n q ，转化为+=+1n n b mb t 型．③形如++=-11n n n n a a d a a ，可通过取倒数转化为等差数列求通项．4、取对数法：+=1t n n a a ．5、由n S 和n a 的关系求数列通项（1）利用-⎧=⎪⎨≥⎪⎩，-，111=2n n n S n a S S n ，化n S 为n a ． （2）当n a 不易消去，或消去n S 后n a 不易求，可先求n S ，再由-⎧=⎪⎨≥⎪⎩，-，111=2n n n S n a S S n 求n a ．6、数列求和：（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和=⋅n n n c a b 型 （2）倒序相加法 （3）裂项相消法 常考题型数列的通项公式裂项方法【典型例题】例1．已知数列{}n a 满足14a =且121n n a a a a +++⋯+=，设2log n n b a =，则122320172018111b b b b b b ++⋯+的值是( ) A．20174038B．30254036C．20172018D．20162017例2．已知数列{}n a 的通项公式为*)n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S ，⋯，2019S 中，有理数项的项数为( )A．42 B．43 C．44 D．45例3．对于*n N ∈，2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯+⋯+⨯=⨯⨯+ ．例4．设曲线1()n y x n N ++=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201712017220172016log log log x x x ++⋯+的值为 ．例5．在数1和2之间插入n 个正数，使得这2n +个数构成递增等比数列，将这2n +个数的乘积记为n A ，令2log n n a A =，*n N ∈．（1）数列{}n a 的通项公式为n a = ；（2）2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋯+⋅= ．例6．数列{}n a 中，*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2310n ta n n++…恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【过关测试】 一、单选题1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，设235792023k a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=，则k =（ ）A．2022 B．2023 C．2024 D．20252．（2023·全国·模拟预测）1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要，发明了二进制，与二进制不同的是，六进制对于数论研究有较大帮助.例如123在六进制下等于十进制的32162636306⨯+⨯+⨯=.若数列n a 在十进制下满足21n n n a a a +++=，11a =，23a =，n n b a =，则六进制1232022b b b b 转换成十进制后个位为（ ） A．2B．4C．6D．83．（2023秋·广东·高三统考期末）在数列{}n a 中，11,0n a a =>，且()221110n n n n na a a n a ++--+=，则20a 的值为（ ） A．18B．19C．20D．214．（2023秋·江西·高三校联考期末）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，11a =，1n n a ba a +=+，*N n ∈，则下列选项正确的是（ ）A．当1a =，1b =-时，则101a =B．当2a =，1b =时，则22n S n n =-C．当0a =，2b =时，则2n n a =D．当1a =，2b =时，则21nn a =-5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足21112nn n a a a +++=，且11a =，213a =，则2022a =（ ）A．12021B．12022C．14043D．140446．（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2023项的和为（ ） A．2023B．2024C．2696D．26977．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且11a =，213a =，则2022a =（ ） A．12021B．12022C．14043D．140448．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足211232n n n n n n a a a a a a ++++-=，且1231a a ==，则7a =（ ） A．163B．165C．1127D．1129一、倒数变换法，适用于1nn n Aa a Ba C+=+（,,A B C 为常数）二、取对数运算 三、待定系数法 1、构造等差数列法 2、构造等比数列法①定义构造法。
二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点2数列单调性的判断方法(二)——作差比较法、作商比较法
=
3 8
,
an+1
=
1 8
an2
+
3 8
n N
试判断数列的单调性.
例 4.（2023·湖南省临澧县第一中学高二开学考试）
4．已知公比 q 1 的等比数列{ an }满足 a52 = a10 ， 2 (an + an+2 ) = 5an+1 ．若
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( ) bn = (n − ) an n N* ，且数列bn是递增数列，则实数 的取值范围是 ．
) ，则an 为递增数列”为假命
题的数列an 的通项公式可以为 an =
．
例6
6．已知数列xn
满足：
x1
= 1,
xn+1
=
1 2
xn
+
3 xn
,
n
N
，求证：数列 xn ( n
2)
是单调
递减数列.
例7
7．已知数列an的通项公式是 an
=
9n
(n +1)
10n
，试讨论此数列的单调性.
【针对训练】
8．已知数列 an 的通项公式是
an
=
3n 4n +
2
，则 an （
）
A．不是单调数列 B．是递减数列
C．是递增数列
D．是常数列
9．设等差数列{an}的公差为 d，若数列{2a1an } 为递减数列，则
A． d 0
B． d 0
C． a1d 0
D． a1d 0
（2023·天津·高三期中）
10．数列an 的通项公式为 an = n2 + kn ，则“ k −2 ”是“an 为递增数列”的（ ）
2014届高三二轮复习数列专题一(3年高考2年模拟)
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第10讲
等差数列、等比数列教
小结：等差数列、等比数列问题的基本解法是“基本 量”方法，即通过已知条件求出等差数列的首项和公差、 等比数列的首项和公比，其他的问题都可以使用基本量表 达从而加以解决．
命 题 考 向 探 究
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第10讲
等差数列、等比数列教
变式题 A．23
命 题 考 向 探 究
例2
命 题 考 向 探 究
(1)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 则下列选 )
项中一定成立的是(
A．若 a1>0，则 a2013<0 B．若 a2>0，则 a2014<0 C．若 a1>0，则 S2013>0 D．若 a2>0，则 S2014>0 (2)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S10＝0，S15＝25，则 nSn 的最小值为________．
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第10讲
等差数列、等比数列教
10 2 (2)由已知，a1＋a10＝0，a1＋a15＝ 3 ⇒d＝3，a1＝－3， n3－10n2 所以 nSn＝ ，易得 n＝6 或 n＝7 时，nSn 出现最小 3
命 题 考 向 探 究
值．当 n＝6 时，nSn＝－48；n＝7 时，nSn＝－49.故 nSn 的 最小值为－49.
主干知识 ⇒ 等比数列概念 与通项 关键词：等比数 列、通项公式，如 ④⑤.
[答案]
(－2)n
－1
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第10讲
核 心 知 识 聚 焦
等差数列、等比数列教
2 1 [解析] 因为 Sn＝3an＋3①， 2 1 所以 Sn－1＝3an－1＋3(n≥2)②， 2 2 ①－②得 an＝ an－ an－1(n≥2)，即 an＝－2an－1(n≥2)， 3 3 2 1 又因为 S1＝a1＝ a1＋ ⇒a1＝1， 所以数列{an}是以 1 为首项， 3 3 －2 为公比的等比数列，所以 an＝(－2)n－1.
高考数学二轮专题复习——数列部分在高考中的通性通法
数列部分在高考中的通性通法数列部分在高考试题中所占的分值为17分左右，除了选择题和填空题以外，在近几年高考的全国卷和各个省市卷中大部分都有一到解答题是数列题，而且很多试卷是把数列题作为压轴题。
在高考试题中数列有关的问题，抛开一些其它知识的“包装”，就数列本身而言，考查的能力点主要有以下四个方面：第一是求通项公式问题；第二是求和问题；第三是数列性质应用问题；第四是求数列极限问题。
本文根据近几年高考中出现的数列有关问题题，对前两个方面的通性通法进行归纳并列举其应用。
一、求通项公式的通性通法解答求数列通项公式的通法主要分三大类：第一类是已知数列的特征（等差数列、等比数列），求通项公式；第二类是已知数列的前n 项和n S ，求这个数列的通项公式，第三类是已知递推公式，求通项公式。
第一类是直接运用有关知识点解决的问题，所以在这里不再叙述，本文只介绍后两类有关的问题。
（一）已知数列的前n 项和n S ，求数列的通项公式给出数列的前n 项和n S ，求数列的通项公式的方法只有一种，即利用数列的性质：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩例1已知数列{}n a 前n 项和21nn S =-，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为21n n S =-，所以11a =，111(21)(21)(2)2n n n n n n a S S n ---=-=---≥=又因为11a =也符合12(2)n n a n -=≥，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=。
评注：在利用数列的性质11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项公式时，一定要注意首项与第二项起的通项公式之间的关系，如果出现“不一致”的情况，必须分段表示。
例如：例1中的前n 项和变为21n n S =+，则数列{}n a 的通项公式为13(1)2(2)n n n a n -=⎧=⎨≥⎩。
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数列专题复习
考题回顾
1．数列}{n a 的首项为}{,3n b 为等差数列且)(*1N n a a b n n n ∈-=+．若则,12,2103=-=b b 则=8a （ ）
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
2．设0,0.a b >>
1133a b a b +与的等比中项，则
的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．1 D ．0.25
3．数列}{n a 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121(12)210(21n n n n n a a a a a 若761=a ，则=8a （ ） A ．76 B ．75 C ． 73 D ．7
1 练习：
1．数列}{n a 的前n 项和为,n S 若),1(3,111≥==+n S a a n n 则=6a ( )
A ．443⨯
B ．1434+⨯
C ．44
D ．144+
2．已知数列}{n a 中,111,34(*2)n n a a a n N n -==+∈≥且，则数列}{n a 通项公式n a 为（ ）
A ．13n -
B ．138n +-
C ．32n -
D ．3n 3．已知公差不为0的等差数列}{n a 满足134,,a a a 成等比数列n S ,是}{n a 的前n 项和，则3253
S S S S --的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．
15 D ．4 4．已知数列}{n a 的前n 项和S n =
312n a n +=+,则 A ．201 B ．241 C ．281 D ．32
1 5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2
510,55S S ，则过点),(n a n P 和))(,2(*2N n a n Q n ∈++的直线的斜率是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 6．已知}{n a 是首项为1的等比数列,
n S 是}{n a 的前n 项和，且,963S S =则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ） A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158
7．已知数列}{n a ，若13423121,,,,,-----n n a a a a a a a a a 是公比为2的等比数列，则}{n a 的前n 项和n S 等于（ ）
A.)]1(2
1[1+-n a a n B.)2(1n a n - C.)]12(2[11+-+n a n D.)]2(2[11+-+n a n 8．}{n a 是等差数列，首项,0,0,020042003200420031<>+>a a a a a 则使前n 项和0>n S 成立的正整数=max n （ ）
A ．2003 B.2004 C.4006 D ．4007
9．已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，且对任意的正数y x ,都有)()(x f y x f =⋅)(y f +，若数列}{n a 的
前n 项和为S n ，且满足))(3()()2(*N n f a f S f n n ∈=-+，则3a =（ ）
A. 9
B.23
C.49
D.9
4 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,2001→
→→+=OC a OA a OB 且C B A ,,三点共线（该直线不过原点),O 则
＝（ ）
A ．100 B. 101 C. 200 D. 201
11．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
.13A 项 .12B 项 .11C 项 .10D 项
12．如果数列103*,8,,)}({a a a a a N n m R a a n m n m n n 那么且满足对任意=⋅=∈∈+等于（ ）
A ．256
B ．510
C ．512
D ． 1024
13．已知数列}{n a 满足1133,
2,+-==n n a a a n 则n a n 的最小值为 （ ） A ．10 B ．10．5 C ．9 D ．8
14．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且13140,0,S S ><若10t t a a +<则t ＝ ．
15．已知等比数列}{n a 各项均为正数,前n 项和为n S ，若22a =，1516a a =．则5S = ．
16．已知数列}{n a 是公比为d )1(≠d 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列.
(Ⅰ)求d 的值;
(Ⅱ)设数列{}n b 是以2为首项，d 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，
试比较n S 与n b 的大小.
17．设数列}{n a 的前n 项和为,n S *11,2(1),().n n S a a n n N n
==
+-∈ (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;n a (Ⅱ)是否存在正整数n 使得1212s s ++ ....+()212011n s n n
--=？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由． 18．已知等比数列}{n a 的公比,1>q 且*12,5)(2N n a a a n n n ∈=+++．
(Ⅰ)求q 的值；
(Ⅱ)若,1025a a =求数列}3
{n n a 的前n 项和为n S ． 19．已知等比数列}{n a 满足,44231a a a =+且12+a 是1a 和3a 的等差中项． (Ⅰ) 求数列}{n a 的通项公式；
(Ⅱ)令,log log 11
22+=n n n a a b 求数列}{n b 的前n 项和为n T ． 20．已知数列}{n a 首项为1
2,11+=+n n n a a a ． (Ⅰ) 证明：数列}1{n
a 是等差数列，并求}{n a 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{1+n n a a 的前n 项和为n T ，证明：2
1<n T ． 21．已知数列}{n a 是各项均为正数的等比数列}{,n b 是等差数列，且73,2,12533211=-=+==b a a b b b a ． (Ⅰ) 数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
(Ⅱ)若数列}{n b 的前n 项和为n S ,,1
1++=n n n n S S b c 求数列}{n c 的前n 项和为n T ． 22．已知数列}{n a 中，)(2
2,21*11N n a a a a n n n ∈+==+． (Ⅰ) 证明：数列}1{n
a 是等差数列，并求}{n a 的通项公式； (Ⅱ)已知数列}{n
b 的前n 项和为,n S 且对任意正整数,n 都有449105)1(22+++=⋅+n n n n a b n
n 成立， 证明：12
1<≤n S ．。