中考数学复习 第2编 专题突破篇 题型2 选择题(精练)试题
2023年+九年级数学中考二轮复习选择题专题提升训练 探索与表达规律(含答案)
2023年春九年级数学中考二轮复习《探索与表达规律》选择题专题提升训练（附答案）1．根据图中数字的规律，则代数式x﹣（y﹣x）的值是（ ）A．﹣396B．﹣398C．﹣400D．﹣4022．将全体自然数按如图的方式进行排列，按照这样的排列规律，2021应位于（ ）A．A位B．B位C．C位D．D位3．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2021次输出的结果是（ ）A．3B．4C．7D．84．技一定规律排列的多项式：﹣x+，…，根据上述规律，则第2022个多项式是（ ）A．B．C．D．5．一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4…若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是200，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（ ）A．﹣149B．149C．﹣150D．1506．如图，数轴上O，A两点的距离为1，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…处，问经过这样2021次跳动后的点A2021与点O的距离是（ ）A．B．C．D．7．已知a1+a2＝1，a2+a3＝2，a3+a4＝﹣3，a4+a5＝﹣4，a5+a6＝5，a6+a7＝6，a7+a8＝﹣7，a8+a9＝﹣8，…，a99+a100＝﹣99，a100+a1＝﹣100，那么a1+a2+a3+…+a100的值为（ ）A．﹣48B．﹣50C．﹣98D．﹣1008．已知a1＝+＝，a2＝+＝，a3＝+＝，…，依据上述规律，则a99＝（ ）A．B．C．D．9．观察下列关于x的单项式，探究其规律，x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2021个单项式是（ ）A．4041x2021B．4042x2021C．4043x2021D．4044x202110．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于17，那么n的最小值是（ ）A．9B．10C．11D．1211．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；……，已知按一定规律排列的一组数：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝a，用含a的式子表示这组数之和是（ ）A．2a2﹣2a B．2a10﹣2a5﹣2C．2a2﹣a D．2a20﹣a12．把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第6个数字是（ ）A．114B．120C．124D．13113．将自然数按照下列规律排列成一个数阵根据规律，自然数2021应该排在从上往下数的第m行，是该行中从左往右数的第n个数，那么m+n＝（ ）A．129B．130C．131D．13214．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（ ）A．B．4039C．D．404115．观察下列等式第1层1+2＝3第2层4+5+6＝7+8第3层9+10+11+12＝13+14+15第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24……在上述数字宝塔中，从上往下数，数字2023所在的层数是（ ）A．43B．44C．45D．4616．一列数a1，a2，a3…a n，其中，则a1×a2×a3×…×a2020＝（ ）A．﹣1B．1C．2020D．﹣202017．观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，…，那么计算的值是（ ）A．2018B．2019C．2020D．202118．将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（ ）A．2025B．2023C．2022D．202119．数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）A．∁n H3n OH B．∁n H2n﹣1OH C．∁n H2n+1OH D．∁n H2n OH20．若a≠2，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，﹣2的“友好数”是，已知a1＝3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，……，依此类推，则a2021＝（ ）A．3B．﹣2C．D．参考答案1．解：由图知，22+1＝5，42+1＝17，62+1＝37，∴x＝82+1＝65，∵2×5+2＝12，4×17+4＝72，6×37+6＝228，∴8x+8＝y，即y＝8×65+8＝528，∴x﹣（y﹣x）＝65﹣（528﹣65）＝﹣398，故选：B．2．解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2021是第2022个数，且2022÷4＝505......2，∴2021应位于第506循环组的第2个数，在B位．故选：B．3．解：根据题意可知：开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，第4次输出的结果是8，第5次输出的结果是4，第6次输出的结果是2，第7次输出的结果是1，第8次输出的结果是6，依次继续下去，…，发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环，因为（2021﹣1）÷6＝336…4，所以第2021次输出的结果与第5次输出的结果一样是4．故选：B．4．解：由多项式的变化可知，第n个多项式为（﹣1）n（2n﹣1）x n+（﹣1）n+1，∴第2022个多项式是4043x2022﹣，故选：D．5．解：由题知，小球每跳两次所表示的数加1，∵100÷2＝50，P100所表示的数是200，∴P0所表示的数是200﹣50＝150，故选：D．6．解：由题意知，2021次跳动后的点A2021与点O的距离是++++…+＝1﹣，∴2021次跳动后的点A2021与点A的距离是，故选：A．7．解：由题意得：a1+a2+a3+a4＝1﹣3＝﹣2，a5+a6+a7+a8＝5﹣7＝﹣2，…，则a1+a2+a3+…+a100＝（a1+a2+a3+a4）+（a5+a6+a7+a8）+…+（a97+a98+a99+a100）＝﹣2×（100÷4）＝﹣2×25＝﹣50．故选：B．8．解：由题中所给的式子可得，所有第一个加数分子是1，分母是三个连续自然数的乘积，第二个加数分子是1，分母是三个连续自然数中间的数，和的分母是三个连续自然数两端数的乘积，分子是三个连续自然数中间的数，…，所以a99＝+＝，故选：A．9．解：∵一列单项式为：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，∴第n个单项式为（2n﹣1）x n，∴当n＝2021时，这个单项式是（2×2021﹣1）x2021＝4041x2021，故选：A．10．解：根据题目已知条件，A1表示的数，1﹣3＝﹣2；A2表示的数为﹣2+6＝4；A3表示的数为4﹣9＝﹣5；A4表示的数为﹣5+12＝7；A5表示的数为7﹣15＝﹣8；A6表示的数为7+3＝10，A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A8表示的数为10+3＝13，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A10表示的数为13+3＝16，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17．所以点A n与原点的距离不小于17，那么n的最小值是11．故选：C．11．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…，∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴2501+2502+2503+…+2999+21000＝2500×（2+22+23+…+2499+2500）＝2500×（2500+1﹣2）＝2500×（2×2500﹣2），∵2500＝a，∴原式＝a（2a﹣2）＝2a2﹣2a．故选：A．12．解：∵第一个数字为0，第二个数字为0+6＝6，第三个数字为0+6+15＝21，第四个数字为0+6+15+24＝45，第五个数字为0+6+15+24+33＝78，第六个数字为0+6+15+24+33+42＝120．故选：B．13．解：∵每行的第一个数是（n﹣1）2，第n行的数字的个数是2n﹣1，∵第45行第一个数字为：（45﹣1）2＝1936，第46行第一个数字为：（46﹣1）2＝2025，∴2021在第45行，共有89个数，∵2021﹣1936＝85，∴2021在第（85+1）＝86（位），∴m＝45，n＝86，∴m+n＝131．故选：C．14．解：∵f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，…，∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，∴f（x）+f（）＝1，∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）＝1×（2021﹣1）+f（1）＝2020+＝．故选：C．15．解：第一层，第一个数是12＝1，最后一个数为22﹣1＝3，第二次，第一个数是22＝4，最后一个数是32﹣1＝8，第三层，第一个数是32＝9，最后一个数是42﹣1＝15，∴第n层，第一个数n2，最后一个数是（n+1）2﹣1，∵442＜2023＜452，∴第2023个数在第44层，故选：B．16．解：∵a1＝﹣1，∴，，，…得：这列数以﹣1，，2，每3个数重复出现，∵，2020÷3＝673…1，∴a2020＝﹣1，∴a1×a2×a3×…×a2020＝﹣1××2×…×（﹣1）＝1．故选：B．17．解：根据题中的新定义得：＝＝2021．故选：D．18．解：观察数字的变化，发现规律：第n行的第一个数为n2，所以第45行第一个数为452＝2025，再依次减1，到第4列，即452﹣3＝2022．故选：C．19．解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为a n，观察，发现规律：a1＝3＝2×1+1，a2＝5＝2×2+1，a3＝7＝2×3+1，…，∴a n＝2n+1．∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁n H2n+1OH．故选：C．20．解：∵a1＝3，a2是a1的“友好数”，∴a2＝＝﹣2，∵a3是a2的“友好数”，∴a3＝＝，∵a4是a3的“友好数”，∴a4＝＝，∵a5是a4的“友好数”，∴a5＝＝3，……∴每四个数是一组循环，∵2021÷4＝505…1，∴a2021＝a1＝3，故选：A．。
专题02 最佳方案类问题(解析版)中考数学二轮复习难点题型专项突破
专题02 最佳方案类问题1．（2020•广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：，解得，答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，∴42﹣t≤2t，解得：t≥14，∵t是正整数，∴t最小值＝14，设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，∵k＞0，∴W随t的减小而减小，当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．2．（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地A B生产厂甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：，解得，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，∵，解得：40≤x≤240，又∵﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．3．（2020•德阳）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，由题意，＝，解得x＝2000，经检验，x＝2000是分式方程的解．答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，由①得到y＝80﹣1.5x③，把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，解得，x≥40，∵y＞0，∴80﹣1.5x＞0，x＜53.3，∴40≤x＜53.3，∵x，y是正整数，∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8或x＝50，y＝5或x＝52，y ＝2．∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，∵﹣250＜0，∴w随x的增大而减小，∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．答：最低费用为107000元．4．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得，答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，故本次购买至少准备216元，最多准备265元．5．（2020•眉山）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？解：（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，根据题意得：，解得，答：柏树的单价为200元/棵，杉树的单价是150元/棵；（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，根据题意：a≥2（80﹣a），解得，w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，又∵a为整数，∴当a＝54时，w最小＝14700，此时，80﹣a＝26，即购买柏树54棵，杉树26棵时，总费用最小为14700元．6．（2020•鸡西）某商场准备购进A、B两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题：（1）A，B型号电脑每台进价各是多少元？（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台B型号电脑售价为1800元，商场决定同时购进A，B两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润y（单位：元）与A型号电脑x（单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？（3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A，B型号电脑总数最多是多少台．解：（1）设每台A型号电脑进价为a元，每台B型号电脑进价为（a﹣500）元，由题意，得，解得：a＝2000，经检验a＝2000是原方程的解，且符合题意．∴2000﹣500＝1500（元）．答：每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元；（2）由题意，得y＝（2500﹣2000）x+（1800﹣1500）（20﹣x）＝200x+6000，∵2000x+1500（20﹣x）≤36 000，∴x≤12．又∵x≥10，∴10≤x≤12，∵x是整数，∴x＝10，11，12，∴有三种方案；（3）∵y＝200x+6000是一次函数，y随x的增大而增大，∴当x＝12时，y有最大值＝12×200+6000＝8400元，设再次购买A型电脑b台，B型电脑c台，∴2000b+1500c≤8400，且b，c为非负整数，∴b＝0，c＝5或b＝1，c＝4或b＝2，c＝2或b＝3，c＝1或b＝4，c＝0，∴捐赠A，B型号电脑总数最多是5台．7．（2020•河池）某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg；乙店的香蕉价格为5元/kg，若一次购买6kg 以上，超过6kg部分的价格打7折．（1）设购买香蕉xkg，付款金额y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式；（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．解：（1）甲商店：y＝4x乙商店：y＝．（2）当x＜6时，此时甲商店比较省钱，当x≥6时，令4x＝30+3.5（x﹣6），解得：x＝18，此时甲乙商店的费用一样，当x＜18时，此时甲商店比较省钱，当x＞18时，此时乙商店比较省钱．8．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×（EH+AD）×20x+2×（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；（3）S甲＝2×（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，同理S乙＝﹣2x2+40x，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，解得：x≤6，故0＜x≤6，而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．9．（2020•绵阳）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．（1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式；（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？解：（1）甲书店：y＝0.8x，乙书店：y＝．（2）令0.8x＝0.6x+40，解得：x＝200，当x＜200时，选择甲书店更省钱，当x＝200，甲乙书店所需费用相同，当x＞200，选择乙书店更省钱．10．（2020•恩施州）某校足球队需购买A、B两种品牌的足球．已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量与用720元购买B品牌足球的数量相等．（1）求A、B两种品牌足球的单价；（2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，且A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x﹣20）元，根据题意，得，解得：x＝100，经检验x＝100是原方程的解，x﹣20＝80，答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90﹣m）个B品牌足球，则W＝100m+80（90﹣m）＝20m+7200，∵A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，∴，解不等式组得：60≤m≤65，所以，m的值为：60，61，62，63，64，65，即该队共有6种购买方案，当m＝60时，W最小，m＝60时，W＝20×60+7200＝8400（元），答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低，最低费用是8400元．11．（2020•随州）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：第x天1234523456销售价格p（元/只）销量q（只）7075808590物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为m ≥．解：（1）根据表格数据可知：前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；q＝5x +65，1≤x≤5且x为整数；（2）当1≤x≤5且x为整数时，W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）＝5x2+x+；当6≤x≤30且x为整数时，W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）＝﹣x2+40x﹣100．即有W＝，当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，故当x＝5时，W有最大值为：495元；当6≤x≤30且x为整数时，W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，故当x＝20时，W有最大值为：300元；由495＞300，可知：第5天时利润最大为495元．（3）根据题意可知：获得的正常利润之外的非法所得部分为：（2﹣1）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），∴1250m≥2000，解得m≥．则m的取值范围为m≥．故答案为：m≥．12．（2020•鄂尔多斯）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：时间（天）x销量（斤）120﹣x储藏和损耗费用（元）3x2﹣64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？解：（1）设该水果每次降价的百分率为x，10（1﹣x）2＝8.1，解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），答：该水果每次降价的百分率是10%；（2）由题意可得，y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，∵1≤x＜10，且x为整数，∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，由上可得，y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．13．（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，，解得，即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，，解得，即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）设当月第x天的销售额为w元，当0＜x≤20时，w＝（x+4）×（﹣2x+80）＝（x﹣15）2+500，∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，当20＜x≤30时，w＝（x+12）×（4x﹣40）＝（x﹣35）2+500，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．14．（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系为y＝﹣5x+150；（2）根据题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣20）2+500，∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，w有最大值，∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，∵10≤x≤15且x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，即：w＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．15．（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800（1）求y与x的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，∴设y＝kx+b，将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；（2）设线上和线下月利润总和为m元，则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．16．（2020•丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，，解得，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，解得，x1＝70，x2＝110，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为70元；（3）由题意可得，w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，解得，50≤x≤65，∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．。
中考数学第二轮复习(全套)精讲精练 通用版中考绝密复习资料
第二轮复习一 化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了． 【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BDBE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++， 即：222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a=b ，a=c ， b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习(八)方程、不等式的实际应
安徽省201７年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习（八）方程、不等式的实际应用题试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(安徽省2０１7年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习(八）方程、不等式的实际应用题试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题复习(八）方程、不等式的实际应用类型１方程(组）的实际应用1．(2０1６·自贡)某厂为了丰富大家的业余生活,组织了一次工会活动,准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品.若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元;购买5支钢笔和１本笔记本共需９０元．问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？解：设购买一支钢笔需x元,一本笔记本需y元．根据题意，得错误!解得错误!答：购买一支钢笔需1６元,一本笔记本需1０元.2.（2０16·大庆)某车间计划加工360个零件,由于技术上的改进,提高了工作效率，每天比原计划多加工２0%,结果提前1０天完成任务,原计划每天能加工多少个零件?解：设原计划每天能加工ｘ个零件，根据题意，得360－错误!＝１０.解得x＝６．ｘ经检验，ｘ＝６是原方程的解,且符合题意.答：原计划每天能加工6个零件.3.（20１6·合肥蜀山区一模）201３年初,某市开始实施“旧物循环计划",为旧物品二次利用提供了公益平台,到20１3年底,全年回收旧物3万件,随着宣传力度的加大，2015年全年回收旧物已经达到６．75万件，若每年回收旧物的增长率相同.(1)求每年回收旧物的增长率；(2)按着这样的增长速度，请预测2016年全年回收旧物能超过１0万件吗?解:(1）设每年回收旧物的增长率为ｘ,根据题意,得３(１+x)2＝6。
中考数学提高复习-第二部分-中考专题突破-含答案
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图 Z4-7
图 Z4-8
2. (2018 年四川达州 )如图 Z4-8 ，△ ABC 的周长为 19，点 D， E 在边 BC 上，∠ ABC 的 平分线垂直于 AE，垂足为 N，∠ ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 M ，若 BC＝ 7，则 MN 的长度为 ( )
专题三 突破解答题之 2—— 函数与图象
⊙热点 1：函数图象与性质
m－ 7 1．已知反比例函数 y＝ x 的图象的一支位于第一象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求
m 的取值范围；
(2)如图 Z3-8，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 A 关于 x 轴对称，若△ OAB 的面积为 6，求 m 的值．
图 Z1-6
A ． 26 cm B． 24 cm C． 20 cm D． 18 cm ⊙热点 2：代入法
3．方程 3x＋ 2(1－ x)＝ 4 的解是 ( )
A
．
x＝
2 5
B．
x＝
6 5
C．x＝2
D． (2018 年江苏无锡 )方程组
的解是 ________．
x＋ 2y＝ 5
—— 南亚博览
会”的竖直标语牌 CD.她在 A 点测得标语牌顶端 D 处的仰角为 42°，测得隧道底端 B 处的 俯角为 30°B（，C， D 在同一条直线上 )，AB ＝10 m，隧道高 6.5 m( 即 BC＝ 6.5 m) ，求标语 牌 CD 的长 (结果保留小数点后一位 )．(参考数据： sin42 °≈ 0.67，cos42°≈ 0.74，tan42 °≈ 0.90，
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中考数学第二轮复习专题(10个专题)
2014年中考数学第二轮专题复习（精选2013年中考试题）专题一选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，2013年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考典例剖析考点一：直接法从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础.A．1 B．-1 C．3 D．-3思路分析：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），再把x=-2，y=3；x=1时，y=0代入即可得出kb 的值，故可得出一次函数的解析式，再把x=0代入即可求出p的值．解：一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），∵x=-2时y=3；x=1时y=0，∴23k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得11kb=-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y=-x+1，∴当x=0时，y=1，即p=1．故选A．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．对应训练1．（2013•安顺）若y=(a+1)x a2-2是反比例函数，则a的取值为（）A．1 B．-l C．±l D．任意实数1．A考点二：筛选法（也叫排除法、淘汰法）分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。
2014中考数学复习方案 专题突破篇(点拨交流+思路引导+变式训练)：专题二 函数图像【新课标人教版】
பைடு நூலகம்
探索规律 函数图像 函数应用
专题四
专题五 专题六
变式猜想
操作探究 动态综合
专题二 函数图像
专题二┃函数图像
以一次函数、反比例函数或者二次函数的图像为 主要研究对象，有时添加简单的几何图形，分成 2～3 个小问题，研究函数图像的特征及其与系数的关系， 求函数的表达式．
专题二┃函数图像
解
专题二┃函数图像
因为 t≠0，所以两边都除以 t，得 at＋(3a＋1)＝0. 1 即(t＋3)a＋1＝0，则 a＝－ . t＋ 3 －1 要使该抛物线开口向下， 则需 a<0， 即 <0， 则 t＞－3 且 t≠0. t＋ 3 另一方面，从“形”的角度进行研究： 由于抛物线确定经过点 A(－3，－3)和原点，在坐标系中画出 经过 A，O 两点，且开口向下的图像，如图中的两条抛物线所示．
专题二┃函数图像
【思路导引】 用待定系数法确定一次函数或反比例函数表达式 用代入法判断一个点是否在函数图像上 根据函数性质分析图像特征 利用交点或顶点坐标研究几何图形
专题二┃函数图像
点拨交流 (1)一般需要知道直线上两个点的坐标， 题目中直线 DE 上 的两个已知点坐标是 D(0，3)和 E(6，0)，由此列方程组求得一 次函数表达式，并进一步确定点 M，N 的坐标． (2)一般需要知道双曲线上一个点的坐标，故可利用点 M 的坐标求得反比例函数表达式． (3)把这个点的坐标代入函数表达式， 看其能否成立． 因此， 判断点 N 是否在反比例函数的图像上，就是判断点 N 的坐标 是否满足反比例函数表达式． (4)转化为函数图像经过该几何图形的顶点的问题， 比如本 m 题可以考查反比例函数 y＝ x (x＞0)的图像经过△MNB 三个顶 点的情况，m 的值介于三者之间时，方能与△MNB 有公共点．
中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型五几何图形探究题试题
于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝3；(上(不含点B)，∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC(2)通过观察、测量、猜想：BF＝__________，并结合图②证明你的猜想；题型五几何图形探究题类型一几何图形静态探究1．2017·成都)问题背景：如图①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC1BC2BD2AB AB迁移应用：如图②，△ABC△和ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.①证明△CEF是等边三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的长.2．(2017·许昌模拟)在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC12于点G.(1)当点P与点C重合时(如图①)，求证：△BOG≌△POE；PE(3)把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB ＝α，求 的值．(用 河 BF PE含 α 的式子表示)3．(2014· 南)(1)问题发现 如图①，△ACB △和 DCE 均为等边三角形，点 A ，D ，E 在同一直线上，连接 BE.填空：①∠AEB 的度数为__________；②线段 AD ，BE 之间的数量关系为__________．(2) 拓展探究如图②，△ACB △和 DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点 A ，D ，E 在同一直线上，CM △为 DCE 中 DE 边上的高，连接 BE ，请判断∠AEB 的度数及线段 CM ， AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图③，在正方形 ABCD 中，CD ＝ 2，若点 P 满足 PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接 写出点 A 到 BP 的距离.可以得到：DE ∥BC ，且 DE ＝ BC.(不需要证明) 长.4．(2017· 春改编)【再现】如图①，在△ABC 中，点 D ，E 分别是 AB ，AC 的中点，1 2【探究】如图②，在四边形 ABCD 中，点 E ，F ，G ，H 分别是 AB ，BC ，CD ，DA 的 中点，判断四边形 EFGH 的形状，并加以证明；【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形 ABCD 中，满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？你添加的条件是：__________.(只添加一个条件)(2)如图③，在四边形 ABCD 中，点 E ，F ，G ，H 分别是 AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 对角线 AC ，BD 相交于点 O.若 AO ＝OC ，四边形 ABCD 面积为 5，求阴影部分图形的面积AC 于点 F ，点 H 是线段 AF 上一点，求 的值． 可以过点 D 做 DG ∥BC ，交 AC 于点 G ，先证 GH ＝AH.再证 GF ＝CF ，从而求得AC 的值为 度之比是 3∶1，求 的值； 如图③，若在△ ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠BAC ＝36°，记 ＝m ，且点 D ，E 的 运动速度相等，试用含 m 的代数式表示 的值(直接写出结果，不必写解答过程) .新5．(2016· 乡模拟)问题背景：已知在△ ABC 中，AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与 A ，B 不重合)，同时，点 E 由点 C 沿 BC 的延长线方向运动(E 不与 C 重合)，连接 DE 交 AC HF(1)初步尝试如图①，若△ ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且 D ，E 的运动速度相等，小王同学发现 HF__________；(2)类比探究如图②，若在△ ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠BAC ＝30°，且点 D ，E 的运动速AC HF(3)延伸拓展 BC ACAC HF河①当α＝0°时，＝__________；②当α＝180°时，＝__________；试判断：当0°≤α＜360°时，AE的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．类型二几何图形动态探究1．(2015·南)如图①，在△R t ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现AE AEBD BD(2)拓展探究BD(3)问题解决△当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.(1)如图①，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°△，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60°△得ADC.①∠DAO的度数是__________；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；(2)设∠AOB＝α，∠BOC＝β.①当α，β满足什么关系时，OA＋OB＋OC有最小值？请在图②中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA＋OB＋OC的最小值.3．(2013· 河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中∠ C ＝90°，∠B ＝∠E ＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ ABC △，使 DCE 绕点 C 旋转．当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： ①线段 DE 与 AC 的位置关系是__________；②设△ BDC 的面积为 S △1， AEC 的面积为 S 2，则 S 1 与 S 2 的数量关系是__________； (2) 猜想论证当△ DEC 绕点 C 旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中 S 1 与 S 2 的数量关系仍然 成立，并尝试分别作出了△ BDC △和 AEC 中 BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想；(3) 拓展探究已知∠ABC ＝60°，点 D 是其角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE ∥AB 交 BC 于点 E(如图④)，若在射线 BA 上存在点 F ，使 S △DCF ＝S △BDC ，请直接写出相应的 BF 的长.4．(2017·郑州模拟)【问题情境】数学课上，李老师提出了如下问题：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，点D是AB 边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.请判断线段BD与AE之间的数量关系．小颖在小组合作交流中，发表自己的意见：“我们不妨从特殊情况下获得解决问题的思路，然后类比到一般情况．”小颖的想法获得了其他成员一致的赞成．【问题解决】(1)如图①，当α＝60°时，判断BD与AE之间的数量关系；解法如下：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，通过推理使问题得到解决，请你直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.【类比探究】(2)如图②，当α＝45°时，请判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；(3)如图③，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.(用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°)5．(2017·烟台)【操作发现】(1)如图①，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF.①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图②，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．在 △Rt ADH 中，DH ＝AD· c os30°＝ 3AD ， ∴HF 4.5＝cos30°，∴BF ＝＝3 3.题型五 第 22 题几何图形探究题类型一 几何图形静态探究1．迁移应用：①证明：∵∠BAC ＝∠DAE ＝120°，∴∠DAB ＝∠CAE ，⎧⎪DA ＝EA在△DAB 和△EAC 中，⎨∠DAB ＝∠EAC ，∴△DAB ≌△EAC;⎪⎩AB ＝AC,图②) ②解：结论：CD ＝ 3AD ＋BD.理由：如解图①，作 AH ⊥CD 于 H.∵△DAB ≌△EAC ，∴BD ＝CE ，2∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∵CD ＝DE ＋EC ＝2DH ＋BD ＝ 3AD ＋BD ；拓展延伸：①证明：如解图②，作 BH ⊥AE 于 H ，连接 BE.∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，∴△ABD ，△BDC 是等边三角形，∴BA ＝ BD ＝BC ，∵E 、C 关于 BM 对称，∴BC ＝BE ＝BD ＝BA ，FE ＝FC ，∴A 、D 、E 、C 四点共圆，∴∠ADC ＝∠AEC ＝120°，∴∠FEC ＝60°，∴△EFC 是等边三角形，②解：∵AE ＝5，EC ＝EF ＝2，∴AH ＝HE ＝2.5，FH ＝4.5，在 △Rt BHF 中，∵∠BFH ＝30°，BF 3 2 2．(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，P 与 C 重合，∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG ＝ 90°，∵PF ⊥BG ，∠PFB ＝90°，∴∠GBO ＝90°－∠BGO ，∠EPO ＝90°－∠BGO ，∴∠GBO ＝∠EPO ，(2)解：猜想＝.∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，∴∠BPF＝∠MPF.∴BF＝MF.即BF＝BM.∴BF＝PE.即＝；由(2)同理可得BF＝BM，∠MBN＝∠EPN，∴△BMN∽△PEN，∴＝.在△Rt BNP中，tanα＝，∴BM＝tanα，即2BF＝tanα，∴BF＝tanα.⎧⎪∠GBO＝∠EPO在△BOG和△POE中，⎨OB＝OP，∴△BOG≌△POE(ASA)；⎪⎩∠BOG＝∠POEBF1PE2证明：如解图①，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB.∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP＝∠NPB，∴NB＝NP.∵∠MBN＝90°－∠BMN，∠NPE＝90°－∠BMN，∴∠MBN＝∠NPE，⎧⎪∠MBN＝∠NPE在△BMN和△PEN中，⎨NB＝NP，⎪⎩∠MNB＝∠PNE∴△BMN≌△PEN(ASA)，∴BM＝PE.12∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90°.在△BPF和△MPF中，⎧⎪∠BPF＝∠MPE⎨PF＝PF，∴△BPF≌△MPF(ASA).⎪⎩∠PFB＝∠PFM11BF122PE2(3)解：如解图②，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN＝∠ACB＝α，∠PNE＝∠BOC＝90°.12BM BNPE PNBNPNPE PE PE23．解：(1)∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，(3)点 A 到 BP 的距离为 3－1 或 . ∴ 3＝2AH ＋1.∴AH ＝ 3－1；⎧⎪AC ＝BC⎨∠ACD ＝∠BCE ，⎪⎩CD ＝CE∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴∠ADC ＝∠BEC.∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝60°.∵点 A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝120°，∴∠BEC ＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝60°；②∴AD ＝BE ；(2)∠AEB ＝90°，AE ＝BE ＋2CM.理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°.∴∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎧⎪CA ＝CB⎨∠ACD ＝∠BCE ，⎪⎩CD ＝CE∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝45°.∵点 A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝135°，∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝90°.∵CD ＝CE ，CM ⊥DE ，∴DM ＝ME.∵∠DCE ＝90°，∴DM ＝ME ＝CM ，∴AE ＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM ；3＋1 2 2理由如下：∵PD ＝1，∴点 P 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上．∵∠BPD ＝90°，∴点 P 在以 BD 为直径的圆上．∴点 P 是这两圆的交点．①当点 P 在如解图①所示位置时，连接 PD 、PB 、PA ，作 AH ⊥BP ，垂足为 H ，过点 A 作 AE ⊥AP ，交 BP 于点 E ，∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ADB ＝45°.AB ＝AD ＝DC ＝BC ＝ 2，∠BAD ＝90°.∴BD ＝2.∵DP ＝1，∴BP ＝ 3.∵∠BPD ＝∠BAD ＝90°，∴A 、P 、D 、B 在以 BD 为直径的圆上，∴∠APB ＝∠ADB ＝45°.∴△PAE 是等腰直角三角形．又∵△BAD 是等腰直角三角形，点 B 、E 、P 共线，AH ⊥BP ，∴由(2)中的结论可得：BP ＝2AH ＋PD.2或.∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理HG∥AC，HG＝AC，理由：连接AC，BD，同(1)知，EF＝AC，同【探究】的方法得，FG＝BD，∴FG∥BD，FG＝，∴△BD CFG∽△CBD，∴△CFG＝，∴S△BCD＝4S△CFG，2S4②当点P在如解图②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，同理可得：BP＝2AH－PD.∴3＝2AH－1.∴AH＝3＋12.综上所述：点A到BP的距离为3－13＋1224．解：【探究】平行四边形．理由：如解图①，连接AC，1212综上可得：EF∥HG，EF＝HG，故四边形EFGH是平行四边形．【应用】(1)添加AC＝BD，1212∵AC＝BD，∴EF＝FG，∵四边形EFGH是平行四边形，∴EFGH是菱形；(2)如解图②，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，∵F，G是BC，CD的中点，1S1△BCD4同理：S△ABD＝4S△AEH，5∵四边形ABCD面积为5，∴△S BCD＋S△ABD＝5，∴S△CFG＋S△AEH＝4，同理：△S DHG＋S5＝，△BEF∵FG ∥BD ，FG ＝ BD ，∴CM ＝OM ＝ OC ，同理：AN ＝ON ＝ OA ，∴AC ＝2；GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即 HF ＝AH ＋CF ，∴HF ＝ AC ，即 ＝2；(3) ＝.理由如下：∵∠GHD ＝∠B ＝∠HGD ＝∠ACB ，∴△ABC ∽△DGH.∴ ＝＝m ，∴GH ＝mDH5 5∴S四边形EFGH ＝S四边形ABCD －错误! CFG ＋S △AEH ＋S △DHG ＋S △BEF )＝5－2＝2，设 AC 与 FG ，EH 相交于 M ，N ，EF 与 BD 相交于 P ，1 1 12 2 2∵OA ＝OC ，∴OM ＝ON ，易知，四边形 ENOP ，FMOP 是平行四边形，S ▱EPON ＝S ▱FMOP ， 1 5∴S 阴影＝2S 四边形 EFGH ＝4.5．解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴△AGD 是等边三角形，∴AD ＝GD ， 由题意知：CE ＝AD ，∴CE ＝GD ， ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，⎧⎪∠GDF ＝∠CEF在△GDF 与△CEF 中，⎨∠GFD ＝∠EFC ，⎪⎩GD ＝CE∴△GDF ≌△CEF(AAS)，∴CF ＝GF ， ∵DH ⊥AG ，∴AH ＝GH ，∴AC ＝AG ＋CG ＝2GH ＋2GF ＝2(GH ＋GF)＝2HF ，HF(2)如解图①，过点 D 作 DG ∥BC 交 AC 于点 G ， 则∠ADG ＝∠ABC ＝90°.∵∠BAC ＝∠ADH ＝30°，∴AH ＝DH ，∠GHD ＝∠BAC ＋∠ADH ＝60°， ∠HDG ＝∠ADG －∠ADH ＝60°，∴△DGH 为等边三角形． ∴GD ＝GH ＝DH ＝AH ，AD ＝GD· t an 60°＝ 3GD. 由题意可知，AD ＝ 3CE.∴GD ＝CE. ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF.⎧⎪∠GDF ＝∠CEF在△GDF 与△CEF 中，⎨∠GFD ＝∠EFC ，⎪⎩CE ＝GD∴△GDF ≌△CEF(AAS)，∴GF ＝CF.1 AC2 HFAC m ＋1HF m如解图②，过点 D 作 DG ∥BC 交 AC 于点 G ， 易得 AD ＝AG ，AD ＝EC ，∠AGD ＝∠ACB.在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠ADH ＝36°，AB ＝AC ，∴AH ＝DH ，∠ACB ＝∠B ＝72°，∠GHD ＝∠HAD ＋∠ADH ＝72°. ∴∠AGD ＝∠GHD ＝72°，GH BCDH AC由△ADG∽△ABC可得＝＝＝m.∵DG∥BC，∴＝＝m.∴FG＝mFC.∴GH＋FG＝m(AH＋FC)＝m(AC－HF)，即HF＝m(AC－HF)．∴AC＝.∴AE＝45÷2＝25，BD＝8÷2＝4，∴AE＝＝.∵AC BCAE BD BD BC82(2)当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，DC BC2∴△ECA∽△DCB，∴＝＝；＝mAH.DG BC BCAD AB ACFG GDFC ECHF m类型二几何图形动态探究1．解：(1)①当α＝0°时，∵△R t ABC中，∠B＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝（8÷2）2＋82＝45，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，255BD42②如解图①，当α＝180°时，可得AB∥DE，AE AC455＝，∴＝＝＝；AEBD∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，EC AC5又∵＝＝，AE EC5BD DC2(3)①当D在AE上时，如解图②，∵AC＝45，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC2－CD2＝（45）2－42＝80－16＝8，∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝45；∴DE ＝ AB ＝ ×(8÷2)＝ ×4＝2，∴AE ＝AD －DE ＝8－2＝6，由(2)可得 ＝ ，∴＝ .②当 D 在 AE 延长线上时，如解图③，连接 BD ，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q ， 过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P ，∵AC ＝4 5，CD ＝4，CD ⊥AD ，∴AD ＝ AC 2－CD 2＝ （4 5）2－42＝ 80－16＝8，∵原图中点 D 、E 分别是边 BC 、AC 的中点，1 1 1 AE 52 2 2 BD 2BD ＝ 65212 55 综上所述，BD 的长为 4 5或 12 55.2．解：(1)①∵∠AOB ＝150°，∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝90°， 由旋转的性质可知，∠OCD ＝60°，∠ADC ＝∠BOC ＝120°， ∴∠DAO ＝360°－60°－90°－120°＝90°；②线段 OA ，OB ，OC 之间的数量关系是 OA 2＋OB 2＝OC 2.如解图①，连接 OD .∵△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△ADC ， ∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD ＝60°. ∴CD ＝OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴OC ＝OD ＝CD ，∠COD ＝∠CDO ＝60°，∵∠AOB ＝150°，∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝90°， ∴∠AOD ＝30°，∠ADO ＝60°.∴∠DAO ＝90°. 在 △R t ADO 中，∠DAO ＝90°，∴OA 2＋AD 2＝OD 2， ∴OA 2＋OB 2＝OC 2；(2)①当 α＝β＝120°时，OA ＋OB ＋OC 有最小值．作图如解图②， 将△AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△A′O′C ，连接 OO′. ∴ △A ′O ′△C ≌ AOC ，∠OCO ′＝∠ACA′＝60°.∴O′C ＝OC ，O ′A ′＝OA ，A ′C ＝AC ，∠A ′O ′C ＝∠AOC.∴△OCO′是等边三角 形．∴OC ＝O′C ＝OO′，∠COO ′＝∠CO′O ＝60°.∵∠AOB ＝∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝∠A′O′C ＝120°.∴∠BOO ′＝∠OO′A′＝180°.∴B ，O ，O ′，A ′四点共线． ∴OA ＋OB ＋OC ＝O′A′＋OB ＋OO′＝BA′时值最小；②当等边△ABC 的边长为 1 时，OA ＋OB ＋OC 的最小值为 A′B ＝ 3.3．解：(1)①∵△DEC 绕点 C 旋转使点 D 恰好落在 AB 边上，∴AC ＝CD ， ∵∠BAC ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°，②∵∠B ＝30°，∠C ＝90°，∴CD ＝AC ＝ AB ，∴∠DBC ＝∠DCB ＝ ×60°＝30°，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，又∵∠CDE ＝∠BAC ＝60°，∴∠ACD ＝∠CDE ， ∴DE ∥AC ；12∴BD ＝AD ＝AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边 AC 、AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， 即 S 1＝S 2；(2)∵△DEC 是由△ABC 绕点 C 旋转得到，∴BC ＝CE ，AC ＝CD ， ∵∠ACN ＋∠BCN ＝90°，∠DCM ＋∠BCN ＝180°－90°＝90°， ∴∠ACN ＝∠DCM ，⎧⎪∠ACN ＝∠DCM∵在△ACN 和△DCM 中，⎨∠CMD ＝∠N ＝90°，⎪⎩AC ＝DC∴△ACN ≌△DCM(AAS)，∴AN ＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， 即 S 1＝S 2；(3)如解图，过点 D 作 DF 1∥BE ，易求四边形 BEDF 1 是菱形， ∴BE ＝DF 1，且 BE 、DF 1 上的高相等，此时 △S DCF 1＝S △BDE ； 过点 D 作 DF 2⊥BD ，∵∠ABC ＝60°，F 1D ∥BE ，∴∠F 2F 1D ＝∠ABC ＝60°，1∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝2∠ABC ＝30°，∠F 2DB ＝90°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC ＝60°，∴ △DF 1F 2 是等边三角形，∴DF 1＝DF 2， ∵BD ＝CD ，∠ABC ＝60°，点 D 是角平分线上一点，12∴∠CDF 1＝180°－∠BCD ＝180°－30°＝150°，∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF 1＝∠CDF 2，⎧⎪DF 1＝DF 2∵在△CDF 1 和△CDF 2 中，⎨∠CDF 1＝∠CDF 2，⎪⎩CD ＝CD∴△CDF △1≌ CDF 2(SAS)，∴点 F 2 也是所求的点，∵∠ABC ＝60°，点 D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC ＝∠BDE ＝∠ABD ＝ ×60°＝30°，∴BE ＝ED ＝ ×4÷cos 30°＝2÷ ＝ ，，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝ 3 3 3 3故 BF 的长为 或 .∴△DFB 是等腰直角三角形∴BD ＝DF ＝ 2BF.∴△ADE ∽△FCD.∴ ＝ .∵DF ∥AC ，∴ ＝ .∴ ＝ ＝ .∴BD ＝ 2AE.∵∠ABC ＝∠EAC ＝ ，∴△α BDC ∽△AEC ，∴ ＝ ，又∵ ＝2cos α ，∴BD ＝2cos α ·AE.12又∵BD ＝4，1 3 4 32 2 3∴BF 1＝ 4 3 4 3 4 3 8 3 ＋ ＝ ，4 3 8 33 34．解：(1)当 α＝60°时，△ABC 、△DCE 是等边三角形，∴EC ＝DC ，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ， 即∠BCD ＝∠ACE ，⎧⎪EC ＝DC在△BDC 和△AEC 中，⎨∠BCD ＝∠ACE ，⎪⎩AC ＝BC∴△BDC ≌△AEC(SAS)，∴BD ＝AE ； (2)BD ＝ 2AE ；理由如下：如解图①，过点 D 作 DF ∥AC ，交 BC 于 F. ∵DF ∥AC ，∴∠ACB ＝∠DFB.∵∠ABC ＝∠ACB ＝α，α ＝45°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠DFB ＝45°.2∵AE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAE ＝180°.∵∠DFB ＋∠DFC ＝180°，∴∠BAE ＝∠DFC.∵∠ABC ＋∠BCD ＝∠ADC ，∠ABC ＝∠CDE ＝α，∴∠ADE ＝∠BCD.AE ADFD FCBD AD AE BD 2BF CF BD BF 2(3)补全图形如解图②，∵AE ∥BC ，∠EAC ＝∠ACB ＝α，∴∠EAC ＝∠EDC ＝α， ∴A 、D 、C 、E 四点共圆，∴∠ADE ＝∠ACE ，∵∠ADE ＋∠EDC ＝∠ADC ＝∠ABC ＋∠BCD ，∠ABC ＝∠EDC ＝α， ∴∠ADE ＝∠BCD ，∴∠ACE ＝∠BCD ，BD BCAE ACBCAC5．解：(1)①∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，∵∠DCF＝60°，∴∠ACF＝∠BCD，AC＝BC⎧⎪在△ACF和△BCD中，⎨∠ACF＝∠BCD，∴△ACF≌△BCD(SAS)，⎪⎩CF＝CD∴∠CAF＝∠B＝60°，∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝120°；②相等；理由如下：∵∠DCF＝60°，∠DCE＝30°，∴∠FCE＝60°－30°＝30°，∴∠DCE＝∠FCE，CD＝CF⎧⎪在△DCE和△FCE中，⎨∠DCE＝∠FCE，⎪⎩CE＝CE∴△DCE≌△FCE(SAS)，∴DE＝EF；(2)①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45°，∵∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠BCD，AC＝BC⎧⎪在△ACF和△BCD中，⎨∠ACF＝∠BCD，⎪⎩CF＝CD∴△ACF≌△BCD(SAS)，∴∠CAF＝∠B＝45°，AF＝BD，∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝90°；②AE2＋DB2＝DE2；理由如下：∵∠DCF＝90°，∠DCE＝45°，∴∠FCE＝90°－45°＝45°，∴∠DCE＝∠FCE，CD＝CF⎧⎪在△DCE和△FCE中，⎨∠DCE＝∠FCE，⎪⎩CE＝CE∴△DCE≌△FCE(SAS)，∴DE＝EF，在△Rt AEF中，AE2＋AF2＝EF2，又∵AF＝DB，∴AE2＋DB2＝DE2.。
中考数学(广西地区)总复习 第二篇 专题聚焦 专题二 选
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①b＜0，c＞0；②a＋b＋c＜0；③方程的两根之和大于0；④a－b＋c＜0 ，其中正确的个数是( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
点拨：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴在 y 轴右侧，且抛物线 与 y 轴交于正半轴，∴b＞0，c＞0，故①错误；由图象知，当 x＝1 时，y＜0， 即 a＋b＋c＜0，故②正确，令方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2，由对称轴 x ＞0，可知x1＋2 x2＞0，即 x1＋x2＞0，故③正确；由图象可知抛物线与 x 轴的左侧 交点的横坐标的取值范围为：－1＜x＜0，∴当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＜0，故 ④正确．故选 B
数学
广西专用
专题二 选填重难点题型突破
命题规律总结：反比例函数的图象与性质一般在选择题或填空题中考 查，以填空题为主．考查类型有以下三种：1.单纯考查反比例函数的图 象与性质；2.反比例函数与一次函数结合；3.反比例函数与几何图形结合 ，设问形式有：①求反比例函数解析式；②求代数式的值；③求三角形 的面积；④函数值比较大小．
命题规律总结：图形判定问题考查题型有选择题和填空题，考查类
型有以下几种：1.全等三角形的判定；2.相似三角形的判定；3.等腰三
角形的判定；4.特殊四边形的判定．设问形式有：①添加条件判定相似
三角形或特殊四边形；②找出图中全等三角形或等腰三角形的个数．
【例3】 (2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．
【例2】 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示， 给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c＞0；③a＞b；④4ac－b2＜0. 其中正确的结论有( C )
题型二+图形规律(专题训练)-2024年中考数学二轮复习满分冲刺题型突破(全国通用)(解析版)
类型二图形规律1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．+=根木棍，【详解】解：第①个图案用了459+⨯=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341=⨯-；…，所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120⨯-=；故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n 个图案的规律为31n -是解题的关键.3.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A．()31.34B．()31,34-C．()32,35D．()32,0【答案】A 【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：∵()121A -，，()412A -，，()703A ，，()1014A ，，L ，∴()323n A n n --，，∵1003342=⨯-，则34n =，∴()1003134A ，，故选：A．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．5.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．A．40452πB．2023π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+，7.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．8.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．9.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．10.观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．12.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,32--B．()202120212,32C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．13.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．【答案】66n +/66n +【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，a a a a ++++= ()2143212n n n n n n +-18.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．【答案】()2023,3-【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．【详解】解：由图形可得：()()2352,0,3,0,A A A 如图：过1A 作1A B x ⊥轴，∵12,OA A20.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．21.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．【答案】202223【分析】过点1A 作1A M x ⊥轴，先求出130AOM ∠=︒，再根据等边三角形的性质、()12,0A ，12OA ∴=，当2x =时，233y =，即M ⎛ ⎝23.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．24.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．25.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．26.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．27.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OBOA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DCOA BC=，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（55，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键28.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】202033【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A 3=1，∴1113=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴21123=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：20203)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.29.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．30.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．31.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n个图形中三角形个数是_______．n n+-【答案】21【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42 (2)n n+-．∴上下两部分统一规律为：21n n+-．故答案为：21【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究32.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．33.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n．故答案为：2n +12n．。
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题型二 选择题
1．如图，是王老师早晨出门散步时离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师散步行走的路线可能是( D )
2．(2017德州中考)公式L ＝L 0＋KP 表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度．L 0表示弹簧的初始长度，用厘米(cm )表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm )表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是( A )
A ．L ＝10＋0.5P
B ．L ＝10＋5P
C ．L ＝80＋0.5P
D ．L ＝80＋5P
3．(2017台州中考)已知电流I(A )、电压U(V )、电阻R(Ω)之间的关系为I ＝U
R ，当电压为定值时，I 关于R
的函数图象是( C )
,A ) ,B )
,C) ,D)
4．(2017通辽中考)如图，点P在直线AB上方，且∠APB＝90°，PC⊥AB于点C，若线段AB＝6，AC＝x，S△
D)
PAB＝y，则y与x的函数关系图象大致是(
,A) ,B)
,C) ,D) 5．(2017日照中考)如图，∠BAC＝60°，点O从A点出发，以2 m/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S(cm2)，则⊙O的面积S与圆心O 运动的时间t(s)的函数图象大致为( D)
,A),B)
,C) ,D)
6．(2017广东中考)如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是( D)
,A) ,B)
,C ) ,D )
7．如图，若抛物线y ＝－x 2
＋3与x 轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为
k ，则反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象是( D )
8．(2017兰州中考)如图①，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止
运动，过点E 做FE⊥AE，交CD 于F 点，设点E 运动的路程为x ，FC ＝y ，如图②所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是2
5
，则矩形ABCD 的面积是( B )
A .235
B ．5
C ．6
D .254
9．(2017丽水中考)在同一条道路上，甲车从A 地到B 地，乙车从B 地到A 地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(km )与行驶时间x(h )的函数关系的图象，下列说法错误的是( D )
A ．乙先出发的时间为0.5 h
B ．甲的速度是80 km /h
C ．甲出发0.5 h 后两车相遇
D ．甲到B 地比乙到A 地早112
h
,(第9题图))
,(第10题图))
10．(2017无锡中考)如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折
得到△AED，连CE ，则线段CE 的长等于( D )
A ．2
B .54
C .53
D .75
11．(2017贵港中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A′B′的中点，连接PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是( B )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
,(第11题图)) ,(第12题图))
12．(2017滨州中考)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点，则以下结论：(1)PM ＝PN 恒成立；(2)OM ＋ON 的值不变；(3)四边形PMON 的面积不变；(4)MN 的长不变．其中正确的个数为( B )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
13．(2017呼和浩特中考)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD 所在直线上的两点，若AE ＝5，∠EAF ＝135°，则以下结论正确的是( C )
A ．DE ＝1
B ．tan ∠AFO ＝13
C ．AF ＝
102
D ．四边形AFC
E 的面积为94
,(第13题图))
,(第14题图))
14．(2017无锡中考)如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO
＝10，则⊙O 的半径长等于( C )
A ．5
B ．6
C ．2 5
D ．3 2
15．(2017潍坊中考)点A ，C 是半径为3的圆周上两点，点B 为AC ︵
的中点，以线段BA ，BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为( D )
A .5或2 2
B .5或2 3
C .6或2 2
D .6或2 3
16．(2017兰州中考)如图，正方形ABCD 内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为( D )
A ．π＋1
B ．π＋2
C ．π－1
D ．π－2
,(第16题图)) ,(第17题图))
17．(泰安中考)如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为( B )
A ．90°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
18．(2017德州中考)如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T 形管道，则其俯视图正确的是( B )
,A ) ,B ) ,C ) ,D )
19．(河北中考)将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是( B )
A .12
B .13
C .15
D .16。