应用数学课程设计
高职数学课程设计及其实际应用分析
￣ （ ２ ｏ ｏ 一 ２ ｘ ） ， 令Ｒ （ ｘ ） ＝ ｏ ， 得ｘ ＝ １ ０ ０ ， 因为 Ｒ （ ７ ０ ） ＝ １ ２ ， Ｒ （ １ ｏ ｏ ） ＝ ０ ， Ｒ （ １ ２ ０ ） 一８ ；
０个单位时， 再 增加 销售量可 以使 总收入增 加， 再 重体现掌握基本计算技能， 了解相应的知识 ， 能完成相关专业任务必 说 明当销售量为 ７ 总收入增加约为 １ ２个单位； 当销售量为 ５ ０个单 备的知识点 ， 按工作 过程为主线 ， 能力培养 具备递进性 的特点， 整合 多增加一个销售量， 总收入达到最 大值， 在 扩大销售量 总收入也不会增 １ １ １ ； 当销售 内容模块 化，将每个教学情 境设计成理论 和实际一体 化的工作 任 位时， 量为 １ ２ ０个单位时， 再增加一个单位 的产 品， 反而会 使得 总收入减小 务。 个单位 。 思路： 建立对应函数关 系， 求导数， 确定极值， 确定为 区 根据本 系专业 （ 牧医 、 园林 、 质量检测 、 制药） 的特点， 整合 高职数 到约 ８ 间中的最值（ 大或小） ， 说明实 际意义 。 学内容为以下三个个模 块， ９ 个教学情境， 供教学选用。其 中： ６ ． ２体积计算 问题 （ 定积分 的微元法应用） ： ４ ． １ 公共 技 能儆 积分 ） ： 例 ２ ： 设 一个旋转体是 由连续 曲线 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） ， 直线 ｘ ＝ ａ ， ｘ ＝ ｂ 及ｘ 轴 所 情境 １ ： 生物体 征变化程度及其 最优化 问题处理 ， ３ ６学 时， 包 括 围成 的曲边梯形绕 ｘ轴旋转 一周而成， 求此体积 。设 Ｘ为积分 变量， 极限概念 、 基 本计算 、 函数 值及 其增量 的计 算 、 生物体 征变化程 度 其变化区 间为［ ａ ， ｂ 】 ， 在［ ａ ， ｂ 】 上任 取一代表性部分 区间Ｉ ｘ ， ｘ ＋ ｄ ｘ ］ ， 其 上部 （ 导数） 及其计算 、 微分及其误差计算 、 函数单调性及其判定 、 、 函数 的 相应 的小 曲边梯形绕 Ｘ轴旋转 一周 而成 的体积， 其体 积可以用 以 ｙ ＝ ｆ 极值 、 最值判定 与计算 。 （ ｘ ） 为底 面， 以ｄ ｘ 为高 的扁 圆小 柱体的体积 近似代替， 即得到体 积微 情境： ２ ： 实际面积 、 体积问题的基本计算， ２ ０ 学 时 Ｖ ＝ 竹ｌ ａ （ ｘ ） ｄ ｘ ， 所 以旋转体体积为 包括 ： 不定积分概念 、 求基本 函数原 函数 的方法（ 换元法 、 分部积 元 ｄ 分法） 、 定积分 的基 本计算（ 牛顿 一莱布尼茨公 式） 、 实际 曲边梯 形面 Ｖ ＝ ， （ 触 积计算 、 旋转体体积 问题的计算。 ４ ． ２选学内容一（ 线性代数） ， ３ ２学时 建 模思路 ： 寻找微 元， 按“ 分割， 取近 似， 求 和， 取极 限” 方式 ， 求 结 情境 ３ ： 级数 的应用（ 无 穷级数 、 常数项 级数、 幂级数 、 函数展 开 果 。 成幂级数） 结束语 情境 ４ ： 行列式的应用（ 行列式 的运算 、 克莱姆法则） 从 以上例子，可以看 出高职数学在实际应用中具有 广泛性及 实 情境 ５ ： 矩阵的应用 （ 矩阵概念 、 运算 、 逆矩阵 、 初等变换） 因而， 在高 职数学课程 的设计 以及 内容 的选择上， 把握 以实际 情境 ６ ： 解线性方程组（ 消元法 、 ｎ维 向量 、 矩 阵的秩 、 齐次线性方 用性 ， 应用 为主， 整 合 内容， 突出其实用 性和简洁性 ， 高职数学 课程必将 能 程组 、 非 齐 次线 性 方 程 组 ） 更好 的发挥其为专业课程服务的任务。 ４ ． ３选学内容－ －（ 生物统计） ： ３ ２学时
mc方法及应用课程设计
mc方法及应用课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解MC方法的基本概念与原理，掌握其操作流程及应用场景。
2. 学会运用MC方法解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 了解MC方法在不同学科领域的应用，拓展知识视野。
技能目标：1. 培养学生运用MC方法进行问题分析、建模和计算的能力。
2. 提高学生运用计算机软件进行数据模拟和预测的技能。
3. 培养学生团队合作、沟通表达和问题解决的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学习积极性。
2. 增强学生面对复杂问题时勇于尝试、积极探究的精神风貌。
3. 培养学生具备严谨、客观、批判的学术态度，提高综合素质。
课程性质：本课程为选修课，旨在通过MC方法的学习，提高学生的数学应用能力和跨学科素养。
学生特点：学生具备一定的数学基础和计算机操作能力，对实际问题具有较强的探究欲望。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调实际应用。
通过案例教学、小组讨论等形式，激发学生学习兴趣，提高教学效果。
同时，关注学生个体差异，实施差异化教学，确保每位学生都能在课程中收获成长。
将课程目标分解为具体学习成果，便于后续教学设计和评估。
二、教学内容1. MC方法基本概念：包括蒙特卡洛方法的定义、原理和特点。
教材章节：第一章 蒙特卡洛方法简介2. MC方法操作流程：学习随机数生成、抽样方法、模拟与估计等步骤。
教材章节：第二章 蒙特卡洛模拟基本步骤3. MC方法在实际问题中的应用：分析各类案例，如物理、金融、生物等领域。
教材章节：第三章 蒙特卡洛方法在实际问题中的应用4. 计算机软件应用：介绍常用软件（如MATLAB、Python等）进行MC模拟的操作方法。
教材章节：第四章 蒙特卡洛方法的计算机实现5. 小组讨论与案例分析：分组进行案例讨论，培养学生团队合作和问题解决能力。
教材章节：第五章 蒙特卡洛方法案例分析教学内容安排与进度：第1周：MC方法基本概念及原理第2周：随机数生成与抽样方法第3周：MC模拟与估计第4周：实际问题中的应用案例分析第5周：计算机软件应用第6周：小组讨论与案例分析教学内容确保科学性和系统性，结合教材章节，循序渐进地展开教学，使学生在掌握理论知识的基础上，提高实际应用能力。
大学数学应用教程第二版上册课程设计
大学数学应用教程第二版上册课程设计1. 课程背景与意义大学数学作为一门重要的基础学科，在各个专业中都有着广泛的应用。
同时，数学应用也是数学学科本身的重要发展方向之一。
本课程旨在通过对数学知识的深入理解与应用，帮助学生掌握数学在实际生活中的应用，以及为将来的专业学习打下坚实的基础。
2. 教学目标1.通过课程学习，学生能够应用基本的数学知识解决实际问题；2.学生能够通过数学工具及计算机软件进行数据分析和处理；3.学生具备数学建模的基础知识和能力。
3. 教学内容1.数学基础知识回顾；2.线性代数基础；3.统计学基础；4.微积分基础；5.概率论基础；6.描述统计学；7.推论统计学；8.数学建模。
4. 教学方法本课程采用多种教学方法，包括讲授、案例分析、实例演练、课程设计等，以提高学生的数学实际应用能力，引导学生主动学习和探究。
5. 教学评价本课程采取多种方式进行评价，包括作业、课堂表现、期末考试、课程设计报告等。
6. 课程设计任务本课程设计任务要求学生运用所学到的数学知识，完成下列任务。
任务一：基于Excel数据分析与预测1.给出一个关于股票价格涨跌的数据集合，用Excel进行分析并预测涨跌；2.汇总一份关于不同区域癌症患病率的数据，并对其进行统计分析；3.给出500位学生的消费数据，进行数据分析得出其消费特点和规律；4.根据一个集合中的数据，用Excel统计出美国电影票房的总收入，并进行分析。
任务二：基于Matlab的数据处理与数学建模1.为终端用户设计一个简单的网络流控制算法；2.对于采样数据，编程实现最小二乘平滑，并测试其效果；3.构建线性回归模型，预测不同电视广告类型的收视率；4.构建对数回归模型，研究投资与收益率的关系。
7. 课程设计要求1.完成任务一和任务二中的至少三项任务；2.完成课程设计报告，包括任务描述、方法设计、数据处理结果、建模效果分析等；3.课程设计报告不少于2000字，并包括项目源代码、数据文件、以及必要的说明性图片和图表。
2024七年级下册数学课程设计
2024七年级下册数学课程设计1. 课程简介本课程是针对2024年七年级学生设计的数学课程，旨在帮助学生深入理解数学知识，提高解决问题的能力。
本课程将涵盖七年级下册的数学知识点，包括代数、几何、数据处理等方面。
2. 教学目标1. 掌握七年级下册的数学基础知识。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生的数学应用能力和创新意识。
3. 教学内容3.1 代数1. 一元一次方程2. 不等式3. 二元一次方程组4. 函数的概念5. 一次函数和正比例函数3.2 几何1. 平面图形的认识2. 三角形3. 四边形4. 圆5. 几何图形的性质和判定3.3 数据处理1. 数据的收集和整理2. 数据的描述和分析3. 概率的基本概念4. 概率的计算4. 教学方法1. 讲授法：通过教师的讲解，让学生掌握数学知识的基本概念和解题方法。
2. 案例分析法：通过具体的案例，让学生学会如何应用数学知识解决问题。
3. 小组讨论法：通过小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
4. 练习法：通过课后练习，巩固所学知识，提高解题能力。
5. 课程评估1. 平时作业：评估学生的学习态度和基本知识掌握情况。
2. 期中考试：评估学生的知识掌握情况和解决问题的能力。
3. 期末考试：评估学生的综合运用能力和对知识的深入理解。
6. 教学资源1. 教材：为学生提供系统的学习材料。
2. 课件：辅助教学，帮助学生更好地理解知识。
3. 练习题：为学生提供课后练习的机会。
4. 在线资源：为学生提供更多的学习材料和练习题。
7. 教学计划具体的教学计划将根据教学内容和教学目标进行制定，以确保学生在学习过程中能够逐步掌握所学知识，提高解决问题的能力。
以上是2024年七年级下册数学课程设计的初步方案，具体的内容和安排可能会根据实际情况进行调整。
自然科学中确定性问题的应用数学课程设计
自然科学中确定性问题的应用数学课程设计1. 课程简介本课程是针对自然科学领域中的确定性问题而设计的应用数学课程。
在该课程中，学生将学习数学的基础概念，如微积分、常微分方程等，以及它们在自然科学中的应用。
通过本课程的学习，学生将能够理解自然科学研究中的复杂性，并将能够应对未来的挑战。
2. 课程目标•了解数学的基础概念，并能够将其应用到自然科学中的问题中；•学会解决自然科学中的确定性问题；•理解和应用微积分和常微分方程，以及它们在自然科学中的应用；•掌握基于数学建模的技能和方法；•通过课程学习，培养问题解决和创新思维能力。
3. 课程大纲3.1 数学基础•微积分的基础知识•常微分方程的基础知识•数值分析基础3.2 基于微积分的建模•常微分方程建模•常微分方程的解法•初值和边值问题3.3 应用数学•机械系统的建模和解法•自然界的建模和解法•经济和金融的建模和解法3.4 项目学习•独立或小组完成一个实际的项目，例如机械系统模拟，物理现象模拟，经济和金融分析等。
•这部分内容将帮助学生更好地应用他们在前面学到的知识，并对他们未来的职业道路产生影响。
4. 教学方法本课程采用教学为中心的教学方法，包括课堂讲授、小组讨论、案例分析和实践项目等教学模式。
其中，实践项目是该课程的亮点，旨在提高学生问题解决和创新思维能力，培养他们的团队合作和实践能力。
教师在授课过程中将注重引导学生将数学理论知识应用到实际问题解决中。
5. 课程考核课程考核将包括平时成绩和期末考试。
平时成绩考核主要包括参与度、小组讨论和实践项目的表现，期末考试将主要测试学生对于这门课程的理解和应用能力。
考核内容将覆盖课程全部内容。
6. 总结自然科学研究中的确定性问题是一项全球性的挑战。
本课程提供了关键的数学工具和方法，以应对这些问题。
学生将通过本课程的学习，全面掌握微积分和常微分方程的基础知识，并能够将这些知识应用到自然科学中的问题中。
最终，他们将能够解决自然科学中的确定性问题，具备进一步进行研究和应用的能力。
模糊数学方法及其应用第四版课程设计
模糊数学方法及其应用第四版课程设计项目背景本课程设计基于模糊数学方法及其应用第四版，旨在通过实际项目的应用，帮助学生深入理解模糊数学的基本理论和方法，并进一步掌握各种模糊数学方法的应用技巧。
项目目标本项目的目标是设计一个基于模糊数学理论的智能温控系统，通过使用模糊数学技术实现温度的精确控制和智能调节，使得温度始终保持在用户指定的范围内，同时尽可能地节约能源。
项目内容本课程设计包含以下几个主要内容：1.模糊数学基本理论和应用方法的介绍和演示。
2.温控系统的设计和实现，包括传感器、控制器、执行器等多个模块。
3.模糊控制算法的研究和实现，包括模糊逻辑推理、模糊控制规则的设计和模糊集合运算等多个内容。
4.系统性能测试和分析，包括温度误差、控制精度、能耗比较等多个方面。
项目步骤本项目的实现步骤分为以下几个主要环节：1. 方案设计阶段在方案设计阶段，主要任务是确定系统的功能和性能要求，确定所需要的硬件和软件设备，明确系统的总体架构和各模块之间的交互方式。
2. 系统实现阶段在系统实现阶段，主要任务是实现温控系统的硬件和软件构架，包括传感器、控制器和执行器等多个模块的设计和制作。
同时需要编写系统程序，并进行调试和优化。
3. 控制算法研究阶段在控制算法研究阶段，主要任务是学习和研究模糊数学的基本理论和方法，掌握各种模糊控制算法的基本原理和实现方法，并着手设计和实现本项目所需的控制算法。
4. 系统测试与分析阶段在系统测试与分析阶段，主要任务是对实现的温控系统进行性能测试和分析，包括温度误差、控制精度和能耗比较等多个方面。
并进一步对系统的各项性能指标进行分析和优化。
项目成果本课程设计的主要成果包括以下几个方面：1.设计和实现一套基于模糊数学理论的智能温控系统。
2.掌握模糊数学的基本理论和方法，并了解其在实际应用中的优势和局限性。
3.熟悉控制算法的设计和实现流程，了解控制算法在实际工程中所面临的具体问题和挑战。
4.能够进行系统性能测试和分析，进一步优化系统的性能和效率。
“高本贯通”本科层次《应用数学》整体课程设计的探讨
“高本贯通”本科层次《应用数学》整体课程设计的探讨摘要通过IEET工程教育认证的“高本贯通”本科层次各专业以各专业人才培养方案为基础，以提升各类专业的数学课程应用和专业创新实践能力的培养为导向，不断修订以成果导向为目的的课程考核激励体制，不断完善由基本模块、选修模块、讲座等构成的授课体系，依据各专业未来发展，不断充实应用数学教学模式的建设，加强IEET专业认证下的人才培养质量过程保证体系；通过项目的实践，学生的创新意识、团队合作精神有了极大地提高，参加全国大学生数学建模竞赛、创新创业大赛均取得了优异的成绩，为学院争得了荣誉，也为后需的专业学习与工作实践奠定了坚实的基础。
在借鉴国内外有关IEET专业认证的基础之上，以网络课程平台为基础，对专业实践与工程数学教育的衔接问题进行深入的探索，制定符合认证规范《应用数学》的课程标准，力求使本研究成果与通过国际认证的专业建设有机衔接，具有比较强的可操作性，从而对通过专业认证的《应用数学》课程建设起到积极的推动作用。
从2018年以来，黑龙江建筑职业技术学院、哈尔滨职业技术学院、黑龙江职业学院分别有土木工程专业、电气工程及其自动化专业、市政工程技术专业等五个专业正式通过IEET工程教育认证，从2021年以后，学院创建了“高本贯通”高职本科层次专业，为项目的实施提供了必要的保障。
通过项目的实际运行，为学院深化教育教学改革、提升高职本科层次《应用数学》课程建设内涵、提高人才培养质量、提升教学水平、规范教学管理提供了良好契机，进一步树立数学教学工作中的质量意识，深化以结果为导向、注重持续改进的工程数学教育质量文化，促进教育体系和教学质量的持续改进。
利用问卷星软件，通过问卷调查的方式，系统分析了通过高职本科各相关专业针对高等数学课程的课程特色、教学模式与环节、课程平台、资源库、教育目标、持续改进等实际情况，制作完成高职本科《应用数学》课程标准、整体课程设计等教学文件，对于教学模式进行深入的探索、改革以及实践。
模糊数学原理及应用第五版课程设计
模糊数学原理及应用第五版课程设计一、课程背景模糊数学是一门利用模糊逻辑探究问题的数学学科，它的发展和应用具有广泛的实际价值。
本次课程设计旨在深入了解模糊数学的原理和应用，并通过实践，学生将了解模糊数学在实际问题中的应用和价值。
二、课程内容1. 模糊集合理论模糊集合是模糊数学中的一个基本概念，学习模糊集合理论的含义和计算方法，包括模糊关系、模糊运算、模糊逻辑等。
2. 模糊控制系统利用模糊数学建立模糊控制系统，研究模糊控制器的设计和实现方法，包括模糊控制的基本结构、模糊控制器的设计方法、模糊控制器的优化等。
3. 模糊决策理论研究模糊决策理论的基本概念和计算方法，包括模糊决策树、模糊决策矩阵、模糊优化模型等。
4. 模糊数学在实际问题中的应用分析模糊数学在实际问题中的应用案例，探究模糊数学在人工智能、机器视觉、自动控制等领域中的应用。
三、课程目标通过本次课程设计，希望学生能够：1.掌握模糊数学的基本理论和计算方法；2.理解模糊数学在实际问题中的应用价值；3.能够独立设计并实现模糊控制系统和模糊决策模型；4.增强学生的模糊数学思维能力和实际应用能力。
四、课程实施方式本次课程设计采用课堂授课和实践相结合的方式。
具体包括：1.课堂授课：老师将讲解模糊数学的基本理论和计算方法；2.学生实践：学生将根据老师提供的案例，独立设计并实现模糊控制系统和模糊决策模型；3.案例分析：学生将根据实际案例，分析模糊数学在人工智能、机器视觉、自动控制等领域中的应用。
五、课程评估方式本次课程设计将采用课堂讨论、实践报告和个人总结等方式进行评估。
1.课堂讨论：学生将参与课堂讨论，讨论有关模糊数学的基本理论、应用案例等；2.实践报告：学生将提交独立实践报告，介绍自己设计的模糊控制系统和模糊决策模型；3.个人总结：学生将撰写个人总结，对本次课程学习进行总结和反思。
六、总结本次课程设计旨在介绍模糊数学的基本理论和应用方法，帮助学生掌握模糊数学的思想和方法。
比的应用教学设计一等奖
比的应用教学设计一等奖比的应用教学设计一等奖文档一、教学设计简介本次教学设计基于“比”的应用，针对中学二年级的数学课程设计，旨在帮助学生理解和应用“比”的概念，并通过实际生活的案例，培养学生综合思考和解决问题的能力。
该设计获得了教育局的一等奖，以下是具体的教学设计内容。
二、教学目标1. 理解“比”的概念，能够用比较的方式描述两个数量之间的关系。
2. 掌握比的基础运算，并能运用到实际生活中的案例中解决问题。
3. 培养学生综合思考和解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣。
三、教学内容与步骤1. 引入-生活案例（10分钟）通过图片或者视频展示比较的生活案例，如购物时比较价格、比较两个运动员的成绩等。
引导学生思考，让他们描述这些比较的方式和结论。
提问：你在日常生活中有过哪些比较的经历？比较的方式有哪些？目的：引起学生的兴趣，并帮助他们了解“比”的概念。
2. 概念讲解（15分钟）通过教师讲解和示范，介绍“比”的概念及其表示方法。
并举例子进行说明，让学生理解“比”的含义。
目的：确保学生对“比”的概念有清晰的理解，为后续的运算打下基础。
3. 比的基础运算（20分钟）分别介绍比的增大、减小和相等的运算方法，并通过练习题让学生进行练习。
教师监控学生的完成情况，解答学生的疑惑。
目的：让学生熟练掌握比的基础运算，能够正确应用在实际问题中。
4. 探究实践（25分钟）学生小组合作解决生活案例的比较问题，如购物比较、作物产量比较等。
通过组内合作和讨论，学生分享各自的解决方法和答案，并展示给全班。
教师鼓励学生思考不同的解题思路。
目的：培养学生综合思考和解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣。
5. 归纳总结（10分钟）教师带领学生总结本节课学到的知识，强调比的应用和意义，并与学生一起绘制知识框架。
鼓励学生提出问题和思考，进一步加深对比的理解。
目的：帮助学生巩固所学内容，梳理知识结构。
四、教学评估方式 1. 学生在探究实践环节中的活动表现、小组合作和展示。
高中数学《函数的应用》课程设计以及思政教育的融合思考
高中数学《函数的应用》课程设计以及思政教育的融合思考引言高中数学《函数的应用》课程是数学教育中重要的一环，它不仅帮助学生理解和掌握函数的基本概念和性质，还培养学生运用函数解决实际问题的能力。
然而，单纯的数学知识传授可能无法满足学生全面发展的需求，因此将思政教育与数学课程相融合，可以更好地培养学生的思想品德和社会责任感。
本文将探讨如何将思政教育与《函数的应用》课程相融合，以及如何设计相应的教学内容。
融合思政教育的目标融合思政教育的目标是培养学生的思想品德和社会责任感，使他们具备正确的人生观、价值观和道德观。
在《函数的应用》课程中，我们可以通过以下方式实现这一目标：1. 引导学生思考数学与社会问题的联系：通过引入与社会问题相关的数学应用，如经济学、环境保护等领域，让学生认识到数学在现实生活中的重要性和应用场景，培养他们对社会问题的思考能力。
2. 培养学生的团队合作和沟通能力：在课堂中引入小组讨论、合作解题等活动，培养学生的团队合作和沟通能力。
通过合作解决复杂的实际问题，学生可以学会倾听他人意见、尊重他人观点，并学会有效地与他人合作。
3. 强调数学知识的应用伦理：在课程中强调数学知识的应用伦理，引导学生思考数学知识的合理应用和责任。
例如，讨论在经济学领域中的数学模型应用时，要引导学生思考模型的局限性、数据的可靠性等伦理问题。
4. 培养学生的创新精神和实践能力：通过设计创新性的数学应用项目，鼓励学生运用所学的数学知识解决实际问题。
同时，引导学生思考如何将数学知识应用到实际创新中，培养他们的创新精神和实践能力。
课程设计在课程设计中，我们可以采用以下策略来融合思政教育和《函数的应用》课程：1. 设计与社会问题相关的数学应用案例：选择与社会问题相关的数学应用案例，如基于函数的环境保护模型、经济学模型等。
通过这些案例，引导学生思考数学与社会问题的联系，培养他们对社会问题的关注和思考能力。
2. 引导学生进行团队合作解题：在课堂中引入小组讨论、合作解题等活动，让学生在小组中共同解决复杂的实际问题。
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教师课时授课计划
1
2
一、课程引入
案例1：汽车作变速直线行驶，已知在任意时刻t 的速度为2+t ，且当2=t 时，汽车距出发点距离为1，求汽车的运动规律． 二、新课讲解
1、案例
案例2 曲线的方程 求曲线的方程
已知某曲线上任意一点（,x y ）处的切线斜率为2x +,且此曲线过（-2，1）点，求此曲线的方程．
设曲线方程为()y f x =,由导数的几何意义得
/2y x =+， 即
(2)dy x dx =+，
两边积分，得
21
22y x x C =++，
用
2
1x y
=-=代入，得C =3，则所求曲线方程为
21
232
y x x =++．
2、微分方程的概念
1）定义1 表示未知函数、未知函数的导数和自变量之间关系的方程叫做微分方程 2）定义2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶． 3）定义3 使微分方程成为恒等式的函数叫做微分方程的解．
若微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与该方程的阶数相等，则称这个解叫做微分方程的通解． 4）例题讲解
例1 验证函数osx c C inx s C y 21-=是0//
=+y y 的通解，其中1C ，2C 是任意常数．
解：因为x C x C y sin cos 21+='
osx c C inx s C y 21+-=''
用y ，y '，y ''代入原方程左端，得
3
0cos sin 2121=-++-x C x C osx c C inx s C
所以，函数osx c C inx s C y 21-=是0//=+y y 的解
又因为解中含有两个任意常数，其个数与方程阶数相等，所以osx c C inx s C y 21-=是
0//
=+y y 的通解
例2 已知函数221x C x C y +=是微分方程 2
///2
1x y x y y -
=的通解，求满足
初始条件1|,1|1/
1-===-=x x y y 的特解． 解：将1|1=-=x y 代入通解中，得112=-C C ；又x C C y 212+='，
用
1|1/
-==x y
代入，得1221-=+C C
联立，得 11-=C ，02=C 所以，满足初始条件的特解为 x y -=
例3 设一个微分方程的通解为1)(22=+-y C x ,求对应的微分方程．
解 对通解两端求导数得
02)(2/=+-yy C x , 即 /yy C x -=- 或 /yy x C +=, 用/yy x C +=代入原方程，得
122/2=+y y y ． 3、可分离变量的微分方程的解法
1）定义4 形如
()()
dy f x g x dx
= （7-1）
或
1212()()()()0M x M y d x N x N y d y += （7-2） 的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程．
微分方程（7-1）式的求解过程为： 由
()()dy f x g y dx
=， 分离变量，得 ()()dy f x dx
g y =， 两边积分，得 ()()
dy f x d x
g y =
⎰
⎰
，
求出积分，得通解 ()()G y F x C =+．
2）举例
4
例1 求微分方程
2
x
y dx
dy =
的通解．
解 将原方程分离变量，得
2x dx
y dy =，
两边积分，得 ⎰⎰
=
2
x
dx
y dy ，
nC l x
y n l +-
=1||，
C
n l x
e
y +-
=1||，
原方程的通解为 x
ce
y 1-
=．
例2 求微分方程0=-sxdy nyco si inxdx sys co 满足4
|0π
==x y 的特解．
解 将原方程两端同除以sy sxco co ，得 0=-anydy t anxdx t ,
两边积分，得
1C y anyd t x anxd t =-⎰⎰，
1||||C osy c n l sx co n l =+-，
ln
1C sx
co sy co =，
)(1
C e
C C
sx
co sy co ==,
用4
,0π
=
=y x 代入，得C =2
24
=π
s
co ，原方程的特解为
02=-sx co sy co ．
三、课堂实战
1．求下列微分方程的通解：
（1）0)1(2
2=++dy x dx xy ； （2） xy dx
dy 2=；
2．求下列微分方程满足初始条件的特解：
（1）1|,
)1(1/
==+=x x
x
y e yy
e ；。