曲面第一第二基本形式
微分几何曲面的第一基本形式课件
整合第一基本形式，得到 $ds^2 = (u^2 + v^2)du^2 +
2uvdudv + (u^2 + v^2)dv^2$。
04
结果分析和讨论
01
通过计算结果，可以得出该曲面的第一基本形式，进
一步分析曲面的性质和特点。
02
可以使用该方法计算其他类型的曲面，并比较不同曲
面之间的差异和相似之处。
第一基本形式与度量张量的关系
第一基本形式与度量张量之间有 着紧密的联系，它们共同构成了
曲面的几何结构。
度量张量是曲面上各点处长度、 面积和体积等的度量标准，而第 一基本形式则提供了曲面上各点
处的曲率信息。
通过第一基本形式和度量张量的 结合，我们可以更好地理解和研
究曲面的形状和性质。
2023
PART 04
张量在物理学中的应用 张量在物理学中可以用来描述物体的运动状态和 相互作用，如力学、电磁学、相对论等领域。
2023
PART 03
第一基本形式的定义和性 质
REPORTING
第一基本形式的定 义
第一基本形式是曲面上的测地 曲率的一种表达形式，它与曲 面的第一基本张量有着密切的
关系。
在曲面上的任意一点，第一 基本形式可以定义为曲面的 第一基本张量与该点处切线
空间同胚的空间。
第一基本形式是微分几何中用于 描述曲面上的点与点之间的距离、
方向和曲率的一种方式。
研究目的和意 义
理解第一基本形式可以帮助我 们更好地理解曲面的几何性质 和特征。
通过研究第一基本形式，我们 可以研究曲面的形状、大小和 曲率等重要指标。
第一基本形式在微分几何中具 有重要的理论和应用价值。
微分几何2.2曲面的第一基本形式
THANKS
感谢观看
VS
球面的曲率等于其第一基本形式中 $dr^2$、$r^2dtheta^2$和 $r^2sin^2theta dphi^2$的系数之 比，即$frac{d^2r}{dr^2} = frac{1}{dr^2} + frac{1}{r^2sin^2theta}$。
其他曲面的第一基本形式
对于其他曲面，如椭球面、双曲面等，其第一基本形式可以根据其定义和性质进 行推导。
定义曲面的参数
首先，选择适当的参数来描述曲 面上的点。常用的参数有u、v等 。
整合公式
将E、F和G整合成第一基本形式 的公式。
推导过程中的注意事项
参数选取的合理性
在选择参数时，应确保其能够覆 盖整个曲面，且在参数变化过程 中不会出现自交点。
计算的准确性
在计算过程中，要确保各项计算 的准确性，特别是涉及到微分和 积分的计算。
1 2
航空航天工程
在航空航天工程中，第一基本形式被用来描述飞 行器的运动轨迹和姿态，例如飞机和火箭的发射 和导航。
机械工程
在机械工程中，第一基本形式被用来描述机械的 运动状态和规律，例如机器的运转和振动。
3
土木工程
在土木工程中，第一基本形式被用来描述结构的 形状和稳定性，例如桥梁和建筑的设计和施工。
平面曲线的曲率等于其第一基本形式中$dx^2$和$dy^2$的 系数之比，即$frac{d^2s}{ds^2} = frac{1}{dx^2} + frac{1}{dy^2}$。
第二章 曲面论 2.3 曲面的第二基本形式
故这个公式的几何意义为：R为Rn在（C）的密切
平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法 曲率中心C0，因此几何意义可叙述成： 梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲 线（C） 具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中 心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。 四、一个例，球面。
由于
r ur v r u v r u 2 2r uv r v2 r u r v vv v r uu uv u
所以
2 2 2 n r ds n ruu du 2n ruv dudv n rvv dv
4）若 L M N 0 ，则称P为曲面的平点，这时杜邦指标线 不存在。 例：平面上的点为平点。 因为平面方程为 r r0 ua vb 它的二阶微商全为零，因此第二类基本量全为零。
3、4 曲面上的渐近方向与共轭方向 一、曲面的渐近方向与渐近线 1、定义：如果P是曲面的双曲点，则它们的杜邦指标线有一对 渐近线，我们把沿渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向。 设L，M，N在P点的值为L0，M0，N0，则由解析几何知，这 两个方向满足方程
ruu n ru nu 0 ruv n ru nv 0 rvu n rv nu 0 rvv n rv nv 0
L ruu n ru nu
M ruv n ru nv rv nu N rvv n rv nv
3.3 杜邦指标线 一、杜邦指标线
为方便，取P点为坐标原点，坐标曲线在P点的切方向为ru , rv
§22 曲面的第一基本形式
u2 + a2 − 1 . u2 + a2 + 1 70
把曲线 u + v = 0 与 u − v = 0 交点的曲线坐标 u = 0, v = 0 代入上式得二曲线的交角余弦 为 cos θ = u2 + a2 − 1 u2 + a2 + 1 = a2 − 1 . a2 + 1
u=0 v =0
3. 求曲面(域)的面积 现在我们来推导曲面 S : r = r (u, v ), (u, v ) ∈ D(平面区域) 上给定区域 D 的面积. (以下 我们只是给出直观推导, 详细的证明参见 C. Goffman 著《多元微积分》) 完整 ① 用 u -线和 v -线划分曲面域 D 成 曲边四边形. 不完整 完整四边形的面积越接近于平行四边形的面积 ② 划分加细, 不完整四边形面积越来越小, 在D 中所占比重愈小 ③ 任取一个完整的曲边四边形 P P1 P2 P3 (如图), 设四个顶点 P 、P1 、P2 、P3 对应的 径矢分别为 r (u, v ), 由 Taylor 公式, 得 − − → P P1 = r (u + ∆u, v ) − r (u, v ) = [r u (u, v ) + − − → P P2 = r (u, v + ∆v ) − r (u, v ) = [r v (u, v ) + 其中 lim
首先我们得到第一基本形式系数之间的如下关系: ¯ = ru E ¯ · ru ¯ = ru ∂u ∂v + rv ∂u ¯ ∂u ¯ · ru ∂u ∂v + rv ∂u ¯ ∂u ¯
=E ¯ = ru F ¯ · rv ¯ =E ¯ = rv G ¯ · rv ¯ =E
第二章 曲面论
第二章 曲面论 §1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为 ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
§3 曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式§3 曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，理所当然是曲面几何学基本的问题之一．第二章已经提到，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，确定了这个空间中的长度的概念以及关于距离的几何学．作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定，这是一种直观的自然方式；子体和原有空间——三维 Euclid 空间的几何属性，将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面 S 的参数方程为 r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面 S 上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C -1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．对曲线 C 而言，有d r = r u d u + r v d v = r u d u d t d t + r v d v d td t ， d r d t = ⎝⎛⎭⎫r u d u d t + r v d v d t | u =u (t ), v =v (t ) ， d s 2 = d r •d r = (r u •r u ) d u 2 + 2(r u •r v ) d u d v + (r v •r v ) d v 2图3-13= d r d t • d r d t d t 2 = [ |r u |2 ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2(r u •r v ) ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + |r v |2 ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 . 按照经常通用的记号，记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u •r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u •r v , G = G (u , v ) = r v •r v = |r v |2 ,则进一步对曲线 C 有d s 2 = d r •d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]|u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 ， 此时取 d s = |d r d t| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有 s (b ) - s (a ) = ⎰b ad s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ．由此可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．注记： 曲面的第一基本形式系数也称为其第一基本量． 用进一步的几何语言来说，第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．按照定义，曲面第一基本形式d s 2 = d r •d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部（略去的是高阶无穷小）．可证（留作习题）第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变；因而确实是曲面的几何量．从定义出发，第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算，一定要熟练掌握．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a •b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 ∏ 的第一基本形式为d s 2 = d r •d r = (a d u + b d v )•(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ•r ρ = (a cos θ + b sin θ)•(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ•r θ = (a cos θ + b sin θ)•(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ•r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)•(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w •r w = (T + t κ N )•(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w •r t = (T + t κ N )• T = 1 ，G (w , t ) = r t •r t = T • T = 1 ；此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．基于第一基本形式的不变性，需要注意，第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．为了简便，可将第一基本形式 (3.2) 改写为形式矩阵，表示为(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；相关各量分别表示为(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,(3.5) d r •d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v • (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“•”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G = EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u •r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ，称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．这两条性质是等价的；它们的证明已经隐含在定义之中．下面具体考虑它们在容许参数变换下的行为．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为(3.8) J = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2 ．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T= J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r vT J T = J ⎝⎛⎭⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念（将在后续几何或代数课程中出现）的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E*G* -F*2=||J||EG-F2．例2以平面弧长参数曲线为准线作柱面S，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u, v) 下可以表示为 d s2= d u2+ d v2．解：平面弧长参数曲线设为C: a(s*) ，设S: r(s*, v) =a(s*) +v l, l= const. , |l|= 1 ．则其第一基本形式为d s2=|d r|2=|a'(s*) d s* +l d v|2= d s*2+ 2[a'(s*)•l] d s*d v+ d v2．当直纹与准线C所在平面垂直时，a'(s*)•l≡ 0 ，则令 (u, v) = (s*, v) ，便可满足要求．当直纹与准线C所在平面不垂直时，可选取新的平面弧长参数曲线使直纹与新准线所在平面垂直（想想理由并自行给出解析论证），故可转化为上一种情形．三．交角与面积元素作为应用，下面考虑如何利用曲面的第一基本形式，以确定交角和面积等几何量．对于不同的曲线或曲面，它们在公共点的交角总是指它们在该点处的切线或切平面之间的夹角，而有向交角通常是指它们在该点处的单位切向或有向切平面之间的有向夹角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面S的第一基本形式以 (3.2) 式确定；曲面S上的两条曲线C i: {u=u i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ，(u0, v0) = (u i(t i0), v i(t i0)) ，i= 1, 2 ．C i在点v=v i(t i)P0处的自然切向为r u(u0, v0) u i'(t i0) +r v(u0, v0) v i'(t i0) ．简记a i= u i'(t i0) ,b i= v i'(t i0) ,E0=E(u0, v0) , F0=F(u0, v0) , G0=G(u0, v0) ．则C i在点P0处的交角θ0的余弦确定为r u(u0, v0) u1'(t10) +r v(u0, v0) v1'(t10) |r u(u0, v0) u1'(t10) +r v(u0, v0) v1'(t10)|•r u(u0, v0) u2'(t20) +r v(u0, v0) v2'(t20) |r u(u0, v0) u2'(t20) +r v(u0, v0) v2'(t20)|=a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0a12E0+ 2a1b1F0+ b12G0a22E0+ 2a2b2F0+ b22G0．利用微分形式的不变性，可知(d u i : d v i )|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0=u i'(t i0) : v i'(t i0) =a i : b i，从而 cosθ0确定为E d u1d u2+F(d u1d v2+ d v1d u2) + G d v1d v2E d u12+ 2F d u1d v1+G d v12E d u22+ 2F d u2d v2+ G d v22|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0．此式自然推广到一般切方向之上；即，设点(u, v) 处的两个切向微元在自然基 {r u, r v} 下分别为 d u:d v和δu:δv，则其间夹角余弦确定为(3.12) cosθ=E d uδu+F(d uδv+ d vδu) + G d vδvE d u2+ 2F d u d v+G d v2Eδu2+ 2Fδuδv+ Gδv2．该式表明：曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．此处要注意，参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．将(3.12) 式用于坐标曲线族，将得到有价值的推论，列为如下定理．定理1对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．证明（从自然切向的数量积出发，直接易证；下述过程是为了帮助理解(3.12) 式）在本节通用记号下，两族坐标曲线的切线分别为1:0 和0:1 ，代入 (3.12) 式即得坐标曲线夹角余弦cosθ=FEG；从而两族坐标曲线处处正交的充要条件为F≡ 0 ，即得结论．定义2对正则曲面S: r=r(u, v) ，若两族坐标曲线处处正交，则称参数(u, v) 为曲面S的一组正交参数，同时称这两族坐标曲线构成曲面S的一组正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．在计算问题中，简短的第一基本形式显然会带来许多方便；因此，正交参数无疑是曲面上的一种较好的参数．关于曲面上较“好”参数（不一定正交）的讨论，将在 §5 以及第四章和第六章中多处出现．例3对正则曲面S: r=r(u, v) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线C的微分方程．解：对于两族坐标曲线的自然切向r u和r v，二等分角向量场为r u |r u|±r v|r v|=r uE±r vG．故轨线C的切向微元r u d u+r v d v处处与该向量场平行，即沿C有d u:d v=1E:±1G，从而所求微分方程为E d u±G d v= 0 ．例4已知正则曲面S: r=r(u, v) 的第一基本形式确定为 (3.2) 式．设微分方程α(u, v) d u2+ 2β(u, v) d u d v+γ(u, v) d v2= 0 在定义区域内过点 (u0, v0)有且仅有不相切的正则解曲线Γi: {u=u i(t i)v=v i(t i)，i= 1, 2 ；两条曲面S上的曲线C i: {u=u i(t i)v=v i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ．试证：两条曲线C i正交于点P0的充要条件为(Eγ- 2Fβ+Gα)|(u, v) = (u0, v0)= 0 ．证明：记α0=α(u0, v0) , β0=β(u0, v0) ,γ0=γ(u0, v0) ．记两条曲线C i在点 (u0, v0) 处的两个切向微元分别为a i : b i，则由正则性可知a i2+b i2≠ 0 ；由微分方程可知α0 a i2+ 2β0a i b i+γ0b i2= 0 ．而由 (3.12) 式，C i之间正交条件写为a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= 0 ．以下分两种情形讨论．情形①：α0=γ0= 0 ，则β0≠ 0 ；否则过点 (u0, v0) 的正则曲线都是解曲线，而与已知矛盾．此时，由微分方程知a i b i= 0 ，故只能有两组解{a1= 0, b1≠ 0 ，a2≠ 0 , b2= 0 ；或{b1= 0 , a1≠ 0 ，b2≠ 0 , a2= 0 ；对应正交条件等价化为F0= 0 ，即为所论条件．情形②：α0和γ0不同时为 0 ，不妨设α0≠ 0 ；则由微分方程可知，必有b i≠ 0 ；此时，不妨规范为b i= 1 ，则方程转化为α0 a i2+ 2β0a i+γ0= 0 ．此时，由一元二次方程系数的性质，得知a1+a2=-2β0α0，a1a2=γ0α0，从而a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= a1a2E0+ (a1+ a2)F0+ G0=γ0α0E0+-2β0α0F0+ G0=1α0 (γ0E0-2β0F0+α0G0) ．此式说明所论条件为充要条件．以上情形是完全分类，故结论得证．2．曲面的面积元素和区域面积现考虑曲面S的面积在已知第一基本形式之时的求解问题．在参数区域U内，任取矩形使其分别以点 (u, v), (u+d u, v),(u, v+d v), (u+d u, v+d v) 为顶点，则在曲面S上对应形成以点P1:(u, v), P2: (u+d u, v), P3: (u, v+d v),P4: (u+d u, v+d v) 为顶点的坐标曲线四边形．按照微积分理论，在略去更高阶无穷小量时，该曲边四边形的面积就等于直边三角形P1P2P3面积的二倍，从而就等于由向量P1P2和P1P3所张成的平行四边形的面积．而在略去更高阶无穷小量时，P1P2⨯P1P3= [r(u+d u, v) - r(u, v)]⨯[r(u, v+d v) -r(u, v)]≈ [r u(u, v)d u]⨯[r v(u, v)d v] =EG-F2 d u d v n(u, v) ，故曲面的面积元素可以表示为(3.13)dσ=|r u⨯r v| d u d v=EG-F2 d u d v，其中第二个等号是根据(3.7) 式．进而，曲面上任一有界区域r(U0) 的面积A(U0) 可以表示为(3.14) A(U0) =⎰⎰U0 dσ=⎰⎰U0|r u⨯r v| d u d v=⎰⎰U0EG-F2 d u d v．v)图3-14在参数变换下，根据 (3.8) 和 (3.10) 式以及二重积分的变量代换公式，易知面积元素对应相同，面积也对应相同；这与几何属性是相容的．以上结果的核心，列为如下定理．定理2 正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．习 题⒈ 证明正则曲面的第一基本形式在容许参数变换下不变．⒉ 证明正则曲面的第一基本形式在 E 3 的正交标架变换下不变．⒊ 试求下列曲面的第一基本形式：① 单位球面 r (u , v ) = (2u u 2 + v 2 + 1 , 2v u 2 + v 2 + 1 , u 2 + v 2 - 1 u 2 + v 2 + 1) ； ② 悬链面 r (u , t ) = (t , cos u ch t , sin u ch t ) ．⒋ 在螺面 r = (u cos v , u sin v , ln cos u + v ) 上，试证：每两条螺线（v 线）在任一 u 曲线上截取等长的曲线段．⒌ 球面上的斜驶线是指与经线交成定角的轨线，试在经纬参数化下确定其微分方程．⒍ 已知正则曲面 S : r (u , v ) 之上有两族正则曲线 ϕ( u , v ) = a 和 ψ( u , v ) = b ，其中a 和b与 (u , v ) 无关．试证：它们互相正交的充要条件为E ϕv ψv -F (ϕu ψv + ϕv ψu ) +G ϕu ψu = 0 ．⒎ 已知曲面的第一基本形式为 d s 2 = d u 2 + (u 2 + 4) d v 2 ．试求：① 其上两条曲线 C 1: u + v = 0 与 C 2: u - v = 0 的交角；② 其上三条曲线 C 1: u = v 2 , C 2: u = - v 2 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的边长和各个内角；③ 其上三条曲线 C 1: u = v , C 2: u = - v 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的面积．。
曲面的第二基本形式在曲面论中的作用
曲面的第二基本形式在曲面论中的作用1 引言为了研究曲面在空间中的弯曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲面与切平面的有向距离的两倍，从而刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即曲面在空间中的弯曲性，并且与曲面的第一基本形式共同构成了曲面论的基本定理．从而确定了曲面一点附近的结构与形状．由此可见曲面的第二基本形式在曲面论中的作用举足轻重，同时由它引出的曲面的几何性质又是曲面论中的难点．本文将主要通过对曲面的各种曲率（如法曲率，测地曲率，主曲率等），曲面上的各种特殊曲线（如渐近线，曲率线等）和曲线网（如曲率网，共轭网等），曲面上点的类型（如椭圆点，双曲点等）等内容的讨论举例来阐述曲面的第二基本形式在曲面论中的作用．2 曲面的第二基本形式定义曲面的第二基本形式2C 类曲面():,S r r u v =r r ，曲线():C ()()(),r u s v s r s ==⎡⎤⎣⎦r r（s 为自然参数）为S 上过一固定点P 的曲线，π为S 在P 点的切平面，n r为曲面在P 点的单位法向量，则2222uu uv vv n rds n r du n r dudv n r dv ⋅=⋅+⋅+⋅r r r r r r r r && （１）令uu L r n =⋅r ，uv M r n =⋅r r ，vv N r n =⋅r r（２）则（１）式变为Ⅱ22222n d r n d r Ldu Mdudv Ndv =⋅=⋅=++rr rr（３） 称之为曲面的第二基本形式，它的系数L 、M 、N 称为曲面的第二类基本量．)8381](1[-P它就近似等于曲面到切平面有向距离的两倍． 此外，对关系式0n dr ⋅=r r微分得20dn dr n d r ⋅+⋅=r r r r所以曲面的第二基本形式也可写为Ⅱ2n d r dn dr =⋅=-⋅rr r r．一般来说曲面第二基本形式的这种表达方式主要应用于曲面相关性质的证明．计算曲面的第二基本形式 由于曲面的单位法向量u v u vr r n r r ⨯==⨯r r r r r r r代入（2）中得,,uu r r r L r n =⋅=r r r r r ，,,uv r r r M r n =⋅=r r r r r，,,vv r r r N r n =⋅=r r rr r ． 所以根据以上公式来计算曲面的第二基本形式．例1 计算球面{}cos cos ,cos sin ,sin r R R R θϕθϕθ=r的第二基本形式． 解 球面方程为{}cos cos ,cos sin ,sin r R R R θϕθϕθ=r，所以有{}cos sin ,cos cos ,0r R R ϕθϕθϕ=-r ，{}sin cos ,sin sin ,cos r R R R θθϕθϕθ=--r于是得22cos E r r R ϕϕθ=⋅=r r，0F r r ϕθ=⋅=r r ，2G r r R θθ=⋅=r r所以r r n ⨯=r r r {}cos cos ,cos sin ,sin θϕθϕθ=又{}cos cos ,cos sin ,0r R R ϕϕθϕθϕ=--r{}sin sin ,sin cos ,0r R R ϕθθϕθϕ=-r{}cos cos ,cos sin ,sin r R R R θθθϕθϕθ=---r，所以2cos L r n R ϕϕθ=⋅=-r r，0M r n ϕθ=⋅=r r ，N r n R θθ=⋅=-r r因而()2cos II R R θ=-+-．3 法曲率法曲率设():C ()()(),r u s v s r s ==⎡⎤⎣⎦r r为曲面S 上经过一固定点P 的一条曲线． k 为曲线(C )在P点的曲率，θ为βr 和n r间的夹角()0θπ≤≤，则有22222cos 2II Ldu Mdudv Ndv k I Edu Fdudv Gdv θ++==++ （４）对于曲面上的法截线()0C 有0n β=±r，00θ=或π，cos 1θ=±所以它的曲率0IIk I=于是我们将222222n II Ldu Mdudv Ndv k I Edu Fdudv Gdv ++==++ （５）称之为曲面在一点沿所取方向的法曲率．)159158](2[-PⅡ＞０时，0n k k =，法截面朝切面的正向弯曲； Ⅱ＜０时，0n k k =-，法截面朝切面的负向弯曲； Ⅱ＝０时，00n k k ==，法曲率和法截线曲率都等于零． 例１ 求抛物面()2212z ax by =+在()0,0点和方向():du dv 的法曲率． 解 抛物面方程为()221,,2r x y ax by ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭r求得1x x E r r =⋅=r r，0x y F r r =⋅=r r ，1y y G r r =⋅=r r xx L n r a =⋅=r r，0xy M n r =⋅=r r ，yy N n r b =⋅=r r所以2222n II adx bdy k I dx dy +==+．例2 利用法曲率公式n IIk I=证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例． 证明 对于球面{}cos cos ,cos sin ,sin r R v u R v u R u =r可求得22222cos I R vdu R dv =+，222cos II R vdu Rdv =--所以球面上任意一点(),P u v 沿任意方向():du dv 的法曲率为1n II k I R==- 又222222n II Ldu Mdudv Ndv k I Edu Fdudv Gdv++==++ 得()()()2220RL E du RM F dudv RN G dv +=+++=．又因为对于任一方向()d 成立，故有()()()01,00100,1RL E du dv RM F du dv RN G du dv +===⎧⎪+===⎨⎪+===⎩所以()E F G R L M N===-． 梅尼埃（Meusnier ）定理 从（４）式和（５）式得cos n k k θ=．若设1R k=，1n n R k =，R 为曲线()C 的曲率半径，n R 为曲线()0C 的曲率半径，则cos n R R θ=．上式的几何意义就是:梅尼埃（Meusnier ）定理 曲面曲线()C 在给定点P 的曲率中心C 就是与曲线()C 具有共同切线的法截线()0C 上同一点P 的曲率中心0C 在曲线()C 的密切平面上的投影．)90](1[P４ 曲面上的各种曲率主曲率及欧拉(Euler)公式既然曲面上曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论，那么我们有必要对法曲率随方向变化的规律进行研究．定义 在曲面上一点P ，法曲率的每一个逗留值称为曲面在这一点的主曲率，而对应主曲率的方向称为曲面在此点的一个主方向．)164](2[P主方向满足方程()()()220EM FM du EN GL dudv FN GM dv -+-+-=．主曲率满足方程()()()22220NNEG F k LG MF NE k LN M ---++-=．曲面在非脐点处，由于主曲率方程的判别式△＞０，所以它有两个不相等的实根，因而曲面上非脐点处总有两个主方向．在脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向．罗德里格（Rodrigues ）定理 若方向（d ）是主方向，当且仅当n dn k dr =-，n k 为曲面沿（d ）的法曲率．)97](1[P欧拉(Euler)公式:2212cos sin n k k k θθ=+θ是任意方向（ｄ）与ｕ－曲线的夹角．)100](1[P欧拉(Euler)公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（ｄ）的法曲率都可以由方向（ｄ）和ｕ－曲线的夹角θ来确定．而主曲率与法曲率有着下面的关系:命题)101]([!P 曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值．例1 确定抛物面()22z a x y=+在()0,0点的主曲率．解 抛物面的方程(){}22,,r x y a x y=+r可求得在()0,0处1E =，0F =，1G =；2L a =，0M =，2N a =把第一、二基本量代入主曲率方程（７）得()220N a k -=解得122k k a ==．例2 证明在曲面上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数2H ． 证明 设该点相互成直角方向的法曲率分别为kn 和kn *，则由欧拉公式得2212cos sin n k k k θθ=+2212cos sin 22n k k k ππθθ*⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212sin cos k k θθ=+所以12n n k k k k *+=+= 2H ．高斯(Gauss)曲率和平均曲率若1k ，2k 为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积12k k 称之为曲面在这一点的高斯曲率（Gauss ），通常以K 表示，它们的平均数121()2k k +称之为曲面在这一点的平均曲率，通常以H 表示．)174](2[P根据主曲率的方程（５）利用二次方程根与系数的关系得2122LN M K k k EG F-==- ()12212()22LG MF NEH k k EG F -+=+=-． 因而主曲率的方程也可以表示为220N N k Hk K -+=．例１ 求正螺面{}cos ,sin ,r u v u v av =r的高斯曲率和平均曲率． 解 由正螺面方程{}cos ,sin ,r u v u v av =r得1E =，0F =，22G u a =+0uu L n r =⋅=r ，uv M n r a =⋅=-r ，0vv N n r =⋅=r r因此22222LN M a K EG F u a-==--+ ()()22220022LG MF NE H EG F u a -+===-+． 例2 如果曲面的平均曲率为零，则渐近线网构成正交网． 证明 因为曲面的平均曲率()2202LG MF NEH EG F -+==- 所以20LG MF NE -+=设曲面的曲纹坐标网为渐近线网，则0L N ==于是0M F ⋅=，即0F =(若0M =，则曲面上的点为脐点)所以曲纹坐标网为正交网，即渐近线构成正交网．5 曲面上点的类型杜邦(Dupin)指标线为了研究曲面上一点P 处法截线的法曲率的关系，在点P 的切平面上取点P 为原点，坐标曲线在P 点的切向量u r r 和v r r为基向量，n k 为对应方向(d )的法曲率为，1nk 为法曲率半径的绝对值，过点Ｐ方向（d ）画线段PN N 的轨迹称为曲面在点P 的杜邦(Dupin)指标线．)9291](1[-P杜邦(Dupin)指标线的方程为2221Ldx Mdxdy Ndy ++=±．曲面上点的分类利用杜邦(Dupin)指标线可以对曲面上的点进行分类，同时也可以通过一点的高斯曲率K 来对曲面上的点进行分类(如表5－2)．)64](3[P表5－2脐点:L M N==，其中圆点: ()(),,0,0,0L M N ≠，平点: 0L M N ===． 例 求曲面{}32,,r v u u v =+r上的抛物点的轨迹． 解 由{}32,,r v u u v =+r得241E u =+，1F =，491G v =+ 26L v =，0M =，12N uv =令322720uv LN M EG F-==- 则0u = 或 0v =所求抛物线的轨迹为{}{}3212,0,,0,,r v v r u u ==r r．6 曲面上的特殊曲线和曲线网曲率线及曲率网定义1 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称它为曲率线．)98](1[P曲率线的微分方程为220dv dudv du E F G LMN-=． 定义2 两族曲率线构成的曲率线网称为曲率网．)98](1[P命题1 在不含有脐点的曲面上，任何正规坐标网都可以做成曲纹坐标网．)99](1[P命题2 曲纹坐标网为曲率网的充分必要条件是0F M ==．)99](1[P 例１ 确定螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z cv =上的曲率线． 解 螺旋面方程{}cos ,sin ,r u v u v cv =r可以求得1E =，0F =，22G u c =+ 0L =，M =0N =由曲率线的方程得22221000dv dudv du u c -+= 化简得dv ±=积分得ln u v c =±+所以曲率线为1ln u v c +=，2ln u v c -=．例2 若曲面1S ，2S 交于一条曲线()C ，而且()C 是1S 的一条曲率线，则()C 也是2S 的曲率线的充要条件是1S ，2S 沿着()C 相交成固定角．证明 设1S ，2S 两曲面的切向量为1n ϖ，2n ρ，相交曲线()C :(,)r r u v =r r是一条曲率线．由罗德里格（Rodrigues ）定理知 11dn dr λ=r r．若()C 也是2S 的曲率线的充分必要条件为r d n d ϖϖ22λ=()1212dr n n dr λλ=⋅+r r r r 1200λλ=⋅+⋅0=12n n ⇔⋅=r r 常数()1212cos ,n n n n ⇔⋅∠=r r r r 常数()120,n n θ⇔∠=r r(常数)⇔沿()C 曲面1S ，2S 的夹角为定角．渐近曲线及渐近网定义1 曲面S 上一固定点P 处，使Ⅱ0=的方向称之为曲面在点P 的渐近方向．)93](1[P 定义2 若曲面S 上一条曲线()C 的切方向都是渐近方向，则称其为渐近曲线．)93](1[P 定义 3 如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲面上的渐近网．)94](1[P渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdudv Ndv ++=．命题 1 曲面上一条曲线为渐近曲线的充要条件是或者它是一条直线，或者它在每一点的密切平面与曲面的切平面重合．)192](2[P命题2 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是0L N ==．)94](1[例1 求曲面2z xy =的渐近曲线． 解 由求曲面方程为 {}2,,r x y xy =r得41E y =+，32F xy =，2214G x y =+0L =，222214y M x y y =++，222214xN x y y =++由渐近曲线的微分方程得0dy = 与210dx dy x y+=所以渐近曲线为1y c = 或 22x y c =．例2 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近曲线．证明 设曲线()C :()r r s =r r ，则主法线曲面S :()()r r s t s β=+r r r对s 微分得()()()()()()s r r s t s s t k s s βαατγ=+=+-+r r r r r r &&()()()1tk a s t s τγ=-+r r对t 微分得()t r s β=rr ．曲面S 的法向量()()()1s t N r r tk s t s γτα=⨯=--r r r r r沿曲线()C ，0t =，所以N γ=r r ，即N β⊥r r那么()cos cos ,cos 02n k k k N k πθβ==∠==r r 因此曲线()C 为渐近曲线．共轭网定义 曲面S 上两个方向dr r 与r δr ，若0dn r dr n δδ⋅=⋅=r r r r 则称它们为互相共轭的方向．若曲面S 上两族曲线的方向在每一点都是共轭方向，则这两族曲线构成共轭网．)69](3[P 命题 曲纹坐标网是共轭网的充要条件是0M =)95](1[P ．例 证明在曲面()()z f x g y =+上曲线族x =常数， y =常数构成共轭网．证明 曲面()()z f x g y =+的曲线族x =常数，若取x a =，则这族曲线的方程为()()z f a g y =+正是y -曲线，同理得y =常数，为x -曲线．由曲面方程{},,()()r x y f x g y =+r得0xy M n r =⋅=r r由上面的命题知，曲线族x =常数， y =常数构成共轭网．通过以上对曲面第二基本形式及其相关概念、性质的讨论以及对命题、例题的证明，说明关于曲面弯曲性的研究是由点到线，由线到网的讨论过程，曲面的第二基本形式无处不在，它贯穿于曲面弯曲性的始终，并与曲面的第一基本形式共同建构了曲面论的基本定理，从而确定了曲面的形状．。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲面第一第二基本形式
曲面的第一第二基本形式是曲面微分几何中的重要概念，用于描述曲面的局部性质。
曲面的第一基本形式是一个二次型，描述了曲面上的长度和角度的变化；而第二基本形式是一个线性映射，描述了曲面上的曲率信息。
对于一个曲面上的点，可以通过两个正交曲线来描述它的局部性质。
这两条曲线称为曲面上的曲线坐标线，在该点处与坐标轴相切。
通过这两条曲线，可以定义曲线的长度、角度和曲率等重要几何量。
曲面的第一基本形式是一个二次型，可以表示为：
[ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2]
其中，(E)、(F) 和 (G) 是曲面上的度量系数。
它们描述了曲线坐标线上的长度和夹角变化。
具体而言，(E) 表示曲线坐标线在 (u) 方
向上的长度的平方，(G) 表示曲线坐标线在 (v) 方向上的长度的平方，而 (F) 则表示曲线坐标线在 (u) 和 (v) 方向上的长度乘积。
曲面的第二基本形式是一个线性映射，可以表示为：
[dN = L du^2 + 2M du dv + N dv^2]
其中，(L)、(M) 和 (N) 是曲面上的切向量与法向量之间的内积。
它们描述了曲面上的曲率信息。
具体而言，(L) 表示曲面的法向量在 (u) 方向上的变化率，(N) 表示曲面的法向量在 (v) 方向上的变化率，
而 (M) 则表示曲面的法向量在 (u) 和 (v) 方向上的变化率乘积。
通过第一第二基本形式，我们可以计算曲面上的各种几何量，如曲率、高斯曲率和平均曲率等。
这些几何量对于曲面的形状和性质具有重要的意义，并在计算机图形学、物理学和工程学等领域中得到广泛应用。
总之，曲面的第一第二基本形式是描述曲面局部性质的重要工具，它们提供了曲面上的长度、角度和曲率等几何信息。
通过研究这些信息，我们可以深入理解曲面的形状和性质，并应用于各种实际问题的解决中。