第二章曲面的第一基本形式
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何公式
第一章 小结⒈ 重要结论：1）)(t r 具有固定长0)()(='⋅⇔t r t r 2）)(t r 具有固定方向0)()(='⨯⇔t r t r 3）)(t r 平行于固定平面0),,(=''''''⇔r r r 4）)(0t r 的旋转速度)(0t r '= ⒉ 基本公式：1） 切线 αλρ+=r2） 法面 0)(=⋅-αr R 或0),,(=-γβ r R3） 弧长 ⎰'=tadt t r t s )()(4） 密切平面 0)(=⋅-γr R5） 从切平面 0)(=⋅-βr R6） 主法线 βλρ+=r 7） 副法线 γλρ +=r ⒊ 基本向量1）r r r ''== α 2）r r r r r r r r r rr ''⨯'''''⋅'-'''⋅'==)()(β 3）r r r r ''⨯'''⨯'=⨯=βαγ ⒋ )()(s s K τ Frenet 公式1）α ==r s K )( 3)(r r r t K '''⨯'= 2）2)(),,(r r r r r ''⨯'''''''= τ 3）Frenet 公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==βτγγταββα K K ⒌ 基本定理1） 自然方程：)()(s s K K ττ==2） 基本定理：第二章 曲面论小结（一）一、曲面的第一基本形式 1. 曲面：（1）{})()()()(v u z v u y v u x v u r r ==)(:_)(:_00v u r r v v u r r u==曲线曲线 构成曲纹坐标网（2）)(:v u r r S=上[])()()(:)(t r t v t u r rc ==切向量：dtdvr dt du r t r v u +=')( 切平面：0)(0=-v ur r r R法 线：)(0v u r r r R⨯+=λ（3）曲线族：0)()(=+dv v u B du v uA曲线网：0)()(2)(22=++dv v u C dudv v u B du v u A 2. 第一基本形式（1）Ⅰ222Gdv Fdudv Edu ++=Ⅰ22ds r d ==（2）弧长 222Gdv Fdudv Edu ds r d ++==（3）dv r du r r d v u +=v r u r r v u δδδ +=rr d δ⋅v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++=)(（4）曲纹坐标网为正交网0=⇔F（5）⎰⎰-=Ddudv F EG S 2σ （6）等距变换⇔适当选择参数后有21ⅠⅠ=（7）保角变换⇔221ⅠⅠλ=二、第二基本形式1. Ⅱr d n d r d n⋅-=⋅=2Ⅱ222Ndv Mdudv Ldu ++=()2FEG r r r r n r n L v u uu u u uu -=⋅-=⋅=()2F EG r r r n r M v u uv uv -=⋅=()2FEG r r r n r N v u vv vv -=⋅=2. 法曲率：==θcos k k n ⅠⅡ )(βθ n =3. Dupin 指标线1222±=++Ny Mxy Lx1）02>-M LN 椭圆点，椭圆. 2）02<-M LN 双曲点，一对共轭双曲线. 3） 02=-M LN 抛物点，一对平行直线.4）0===N M L 平点，Dupin 线不存在.4. 渐近方向与共轭方向1）使0=n k 的方向为渐近方向2）渐近曲线上每一点切方向都是渐近方向0222=++Ndv Mdudv Ldu3）曲面上曲线为渐近曲线⇔ 1）直线 2）v n ±=4）坐标网为渐近网⇔0==N L5）方向)(d 与)(δ共轭⇔0)(=+++v Ndv u dv v du M u Ldu δδδδ 或0=⋅r n dδ 或 0=⋅r d n δ6）坐标网为共轭网⇔0=M5. 主方向和曲率线1）主方向：)(d 与)(δ满足0=⋅r r d δ且 0=⋅n r dδ 或0=⋅r n d δ2）Rodrigues Th ：dv du d :)(=为主方向⇔r d k n d n-=3）曲率线方程 022=-NMLG F E du dudv dv4）坐标网为曲率线网⇔0==M F6. n k （主曲率）、K 、H1）欧拉公式 GN k ELk k k k n ==+=212221sin cos θθ 2）0)()2()(222=-++---M LN k NE MF LG k F EG N N3）2221F EG M LN k k k --=⋅=)(22)(21221F EG NG MF LG k k H -+-=+=7. 第三基本形式1）22222gdv fdudv edu n d ds ++=== ※Ⅲ v v u un g n n f n e=⋅==2 2）02=+-ⅠⅡⅢK H3）σσσ※P P k →=lim第二章 曲面论小结（二）一、直纹面： 1. )()()(u b v u a v u r+=)(u a a= 导线。
曲面第一第二基本形式
曲面第一第二基本形式曲面的第一第二基本形式是曲面微分几何中的重要概念，用于描述曲面的局部性质。
曲面的第一基本形式是一个二次型，描述了曲面上的长度和角度的变化；而第二基本形式是一个线性映射，描述了曲面上的曲率信息。
对于一个曲面上的点，可以通过两个正交曲线来描述它的局部性质。
这两条曲线称为曲面上的曲线坐标线，在该点处与坐标轴相切。
通过这两条曲线，可以定义曲线的长度、角度和曲率等重要几何量。
曲面的第一基本形式是一个二次型，可以表示为：[ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2]其中，(E)、(F) 和 (G) 是曲面上的度量系数。
它们描述了曲线坐标线上的长度和夹角变化。
具体而言，(E) 表示曲线坐标线在 (u) 方向上的长度的平方，(G) 表示曲线坐标线在 (v) 方向上的长度的平方，而 (F) 则表示曲线坐标线在 (u) 和 (v) 方向上的长度乘积。
曲面的第二基本形式是一个线性映射，可以表示为：[dN = L du^2 + 2M du dv + N dv^2]其中，(L)、(M) 和 (N) 是曲面上的切向量与法向量之间的内积。
它们描述了曲面上的曲率信息。
具体而言，(L) 表示曲面的法向量在 (u) 方向上的变化率，(N) 表示曲面的法向量在 (v) 方向上的变化率，而 (M) 则表示曲面的法向量在 (u) 和 (v) 方向上的变化率乘积。
通过第一第二基本形式，我们可以计算曲面上的各种几何量，如曲率、高斯曲率和平均曲率等。
这些几何量对于曲面的形状和性质具有重要的意义，并在计算机图形学、物理学和工程学等领域中得到广泛应用。
总之，曲面的第一第二基本形式是描述曲面局部性质的重要工具，它们提供了曲面上的长度、角度和曲率等几何信息。
通过研究这些信息，我们可以深入理解曲面的形状和性质，并应用于各种实际问题的解决中。
曲面的第一基本形式
F EG
u-曲 线 ： dv 0， v-曲 线 ： u 0 .
推论3 曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是F=0.
co s E d u u F ( d u v d v u ) G d v v Edu 2 Fdudv G dv
1 a 1 a
2
2
.
微分几何 第15讲 15
作业： P
81
3，5，6
谢
谢！
微分几何 第15讲 16
2 2 2 2
sinh udv
2
2
的曲面上，
ds
dv sinh vdv cosh vdv ,
2 2
1 (sin h t ) (co sh t )
在曲线u = v上，由 v1到 v 2 的弧长为
v2 v1
co sh vd v = | sin h v 2 sin h v1 | .
2
dr r (r udu r vdv )( u r v ) r u v
= Edu u F ( du v dv u ) Gdv v
cos
E du u F ( du v dv u ) G dv v
§2.2 曲面的第一基本形式
1
主要内容
1. 曲面的第一基本形式
t1 t0
曲面上曲线的弧长
2 2 2 2 Ⅰ=d r d s E du 2 F dudv G dv
s (t )
r ( t ) d t =
t
t0
t1t1
0
EE d u ) 2 F d u d v G d v ) d t ( G( dt dt dt dt
微分几何 §2 曲面的第一基本形式
E ru ru , F ru rv ,G rv rv ,
则有 ds2 Edu2 2Fdudv Gdv2.
设曲线（C） 上两点 A(t0 ),B(t1) ，则弧长为
s t1 ds dt t1 E( du )2 2F du dv G( dv )2 dt.
t0 dt
t0Байду номын сангаас
dt
dt dt dt
（*）是关于微分 du,dv 的一个二次形式，称
为曲面 S 的第一基本形式，用 表示：
I Edu2 2Fdudv Gdv2.
它的系数
E ru ru , F ru rv ,G rv rv ,
称为曲面 S 的第一类基本量。
对于曲面的特殊参数表示 z z(x, y) ，有
有表达式
cos ru rv E
ru rv
EG
注：曲面的坐标网正交的充要条件是F=0 。
例3 证明旋转面
r {(t) cos,(t)sin, (t)}
的坐标网是正交的。
解：
r t
{（t），cos，（t），sin，（t），}
r {（t）sin，（t）cos，0}
r {x, y, z(x, y)},
则
z
rx {1, 0, p}, p x ,
由（2.19）有
ry
{0,1, q}, q
z . y
E rx rx 1 p2, F rx ry pq,G ry ry 1 q2,
曲面的第一基本形式为
（1+p2）dx2 2 pqdxdy (1 q2 )dy2.
.
Edu2 2Fdudv Gdv2 Eu2 2Fu v G v2
微分几何曲面的第一基本形式概述
du dv r (t ) ru rv 或 dt dt 若 s 表示弧长有 2 2
所以
dr ru du rv dv
4、第一基本形式是正定的。
2 2 2 2 2 2 E r r r 0 , G r 0 , EG F r r ( r r ) 0. 事实上， u u u v u v u v
2 也可从 ds 直接得到。
1、把两个向 量 dr ru du rv dv和 r ruu rvv 间的交角 称为方向（ du : dv ）和（ u : v ）间的角。 2、设两方向的夹角为 ，则
D D D
其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，
2 2 2 2 (ru rv ) ru rv (ru rv ) EG F 2 0
从前面的讲解中知道弧长、夹角、曲面域的面积都 与第一类基本量有关，都可以用第一类基本向量E、 F、G 来表示，这类量非常重要，要知道曲面的第一 基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算
（2）对于坐标曲线的交角，有
dr r ru rv F cos dr r ru rv EG
故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。
2、3
பைடு நூலகம்
正交曲线簇和正交轨线
设有两曲线 Adu Bdv 0 , C(u, v)u D(u, v)v 0
如果它们正交，则 Eduu F (duv udv) Gdvv 0
2、4
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅