系统误差的计算方法
控制系统的误差分析和计算
第六章 控制系统的误差分析和计算
- Y (s)
×
ε ( s)
G (s ) H (s )
Xo ( s)
ε ( s) = X i ( s) − Y ( s) = X i ( s) − H ( s) X 0 ( s)
根据拉氏变换的终值定理 终值定理， 根据拉氏变换的终值定理，得到稳态偏差εss为
ε ss = lim ε (t ) = lim sε ( s)
中国石油大学机电工程学院
10
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
说明： 说明：
误差是从系统输出端 误差 输出端来定义的，是输出期望值与实际输 输出端 出值之差。误差在性能指标提法中经常使用，实际系统中 因为输入信号和输出信号往往量纲不同，一般只具有数学 上的意义。 偏差是从系统输入端 偏差 输入端来定义的，是系统输入信号与主反 输入端 馈信号之差。偏差在实际系统中是能测量的，具有一定的 物理意义。 对于单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。对于非 单位反馈系统，两者是不同的。 必须是稳定系统计算稳态误差（偏差）才有意义。
xo (t ) x i (t )
ess
瞬态响应
China university of petroleum
稳态响应
t
4
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第六章 控制系统的误差分析和计算
是控制系统期望的输出值， 是其实际的输出值， 设xor(t)是控制系统期望的输出值， xo(t)是其实际的输出值， 是控制系统期望的输出值 是其实际的输出值 则误差函数e(t)定义为 则误差函数 定义为
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3-3 第三节 系统误差分析与计算
第三节 系统误差分析与计算对于一个控制系统来说，不但要求其是稳定的，而且还要求其动态特性要好。
但这还不够，因为系统在输入作用下的过渡过程和稳态过程组成了时间响应的全部内容，因而研究系统的稳态过程也是相当重要的。
评定稳态过程的质量指标为稳态误差，是系统控制准确度的一种量度，是一项重要的性能指标。
控制系统设计的课题之一，就是如何使系统的稳态误差小于某个允许值。
一、误差与稳态误差1、误差误差——严格说就是被控对象的实际输出信号与理论输出信号之差。
工程上有两种误差定义。
①按输出端定义的误差含义：误差为系统希望输出量与系统实际输出量之差。
即： ()()()r e t c t c t =−或： ()()()r E s C s C s =−一般来说，这种误差信号直观实用，但是常无法进行测量，具有明显的数学意义，工程实际中相对前一种误差较少使用。
②按输入端定义的误差。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111E s R s B s R s H s C s R s H s s R s R s H s s G s H s R s G s H s R s G s H s =−=−=−Φ⎡⎤=−Φ⎣⎦⎡⎤=−⋅⋅⎢⎥+⎣⎦=⋅+有时也将()()()11e s G s H s Φ=+称为误差传递函数。
或者，误差表示为时间的函数：()()()e t r t b t =−这种形式的误差可以进行测量，具有一定的物理意义。
2、稳态误差在时域中误差是时间t 的函数()e t 。
一个稳定的闭环控制系统，在外加输入作用下，经过一段时间，其瞬态响应分量衰减到可以忽略的程度，其输出信号()c t 趋于稳态分量，同样其误差信号()ss c t ()e t 也将趋于一个稳态的。
()ss e t 稳态误差——当时间当t 时，→∞()e t 的稳态分量称为稳态误差，既稳定系统误差的终值。
记为()ss e t ()。
第六章 控制系统的误差分析和计算
+
E ( s)
10 s
X o ( s)
e ( s ) =
1 1 s = = 1 + G ( s ) 1 + 10 s + 10 s s ess = lim si iXi (s) s →0 s + 10 1 Xi ( s) = s s 1 ess = lim si i =0 s →0 s + 10 s
K a = lim s 2 iG ( s )
s →0
对0型系统 型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K 0 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) =0 (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
对Ⅰ型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K1 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) s (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
=0
自动控制原理
对Ⅱ型系统
K2 (Ta s +1)(Tb s +1)(Tms +1) Ka = lim s i 2 = K2 s→0 s (T1s +1)(T2s +1)(Tn s +1)
2
所以， 就是Ⅱ 所以，静态加速度误差系数 Ka 就是Ⅱ型系统的开环放大倍 对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， 数 K 2 。对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， K a 才为 ∞ 。 在单位加速度输入下 型系统， 对0型系统， ess = ∞ 型系统 型系统， 对Ⅰ型系统，
这就是求去单位反馈系统稳态误差的方法
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6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
➢单位反馈控制系统
输入引起的系统的误差传递函数为
E(s) 1 Xi(s) 1G(s)
则
E(s) 1 1G(s)
Xi(s)
X i sE(s)源自G(s)X o s
图6-2 单位反馈系统
根据终值定理 e ss lt ie m (t) ls i0s m (E s) ls i0s m 1 G 1 (s)X i(s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意的 是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定,用 终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常应 首先判断系统的稳定性.
➢ 非单位反馈控制系统
输入引起的系统的偏差传递函数为:
sXi(s)Y(s)
1
1G(s)H(s)
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 E ( s )s X is X o s (6-1)
而
偏差信号的象函数是 (s)X is Y s
(6-2)
考虑Xi(s)与Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得
一般情况下,H为常值,故这时:
e ss
ss
H
例6-1 某反馈控制系统如图6-4,当xi(t)=1(t)时,求稳态误差.
解:该系统为一阶惯性系统,系统稳定.误差传递函数为:
Es 1 1 s
Xi(s) 1G(s) 110 s10 s
而
X
i
(s)
1 s
则
e ss ls i0s m s s1X 0 i(s) ls i0s m s s11 s0 0
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
线性系统的稳态误差计算
G( s) K S ( S 2 bS C )
p 1 p 2 b C 4 2 p 2 C 2 p K 0.5C K 2 b 3
因为 ess 按定义
1 2 Kr
s 0
Kv
K 0.5, K 0.5C C
令r (t ) Rt 2 / 2，R 常量，R(s) R / s3。
sR(s) sR / s3 R R R ess lim lim lim 2 2 lim 2 s 0 1 G( s) H ( s ) s 0 1 G( s ) H ( s ) s 0 s s G ( s ) H (s ) s 0 s G (s ) H (s ) Ka
系统稳态误差计算通式则可表示为
ess
1 lim s R ( s )
s 0
sR( s) ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
K lim s
s 0
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
def
E ( s) 1 R(s) 1 H ( s)G( s)
E ( s ) e ( s ) R( s ) R( s ) 1 H ( s)G( s)
e(t ) L1[e (s)R(s)] ets (t ) ess (t )
瞬态分量
稳态分量
E ( s ) e ( s ) R( s )
要求对于阶跃作用下不存 在稳态误差，则必须选用 Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统
4.斜坡输入作用下的稳态误差和静态速度误差系数
r (t ) Rt，R 常量，R(s) R / s 2。
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.2输入引起的稳态误差
ε ( s)
Φε (s) ⋅ X i ( s) ess = lim e(t ) = lim s ⋅ E ( s ) = lim s ⋅ t →∞ s →0 s →0 H (s) 1 1 = lim s ⋅ ⋅ ⋅ X i (s) s →0 H (s) 1 + G (s) H (s)
单位阶跃输入
X i (s) =
1 s
定义： 定义： 稳态位置
s →0
误差系数 1 1 1 1 ess = lim s = = s → 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 + lim G ( s ) H ( s ) 1 + K p
单位斜坡输入
e ss = lim s
s →0
X i (s) =
1 , 试求当输入信号为 Ts
1 解 : Φ ε (s) = 1+G (S) =
当 r(t) = 1 t 2时 R(s) = S13 2 (1) E(s) = Φ ε (s)R(s) =
t 2 -T
1 2 S (S+1/T)
=
T S2
-
T2 S
+
T2 S+1/T
e(t) = T e + T(t - T) t → ∞时 ess = ∞ (2) 由终值定理 ess = lim sE(s) = lim s(s+11/T) = ∞
（2）稳态误差系数的概念 ）
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
3-6线性系统的稳态误差计算
m 1
m2
2
+ 2ζ kτk s +1) + 2ζlTs +1) l
∏(T s +1)∏(Ts
=
2
K ⋅ G0 (s) sν
sR(s) 1 essr = lim = = s→0 1+ G (s) 1+ limGk (s) k
s→0
1 1 = K 1+ Kp 1+ lim ν ⋅ G0 (s) s→0 s
三、扰动作用下的稳态误差(3) 扰动作用下的稳态误差(3) [例]系统结构图如图所示。当 r(t) = n(t) = 1(t) 系统结构图如图所示。 时，求系统的稳态误差 ess；若要求稳态误差 为零，如何改变系统结构。 为零，如何改变系统结构。 解：该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 所以当给定输入为单位阶跃函数时的稳态误差 essr = 0
3、单位抛物线输入时的稳态误差
R(s) =
1 s3
sR(s) 1 essr = lim = = 2 s→0 1+ G (s) lims ⋅ Gk (s) k
s→0
1 1 = K Ka lim ν −2 ⋅ G0 (s) s→0 s
∞ 1 = K 0
Ka
根据
ν =0,1 ν =2 ν ≥3
m2
=
K ⋅ G0 (s) ν s
K－开环增益
系统型别（即积分环节的个数） ν − 系统型别（即积分环节的个数）
当ν =0，无积分环节，称为0型系统 无积分环节，称为0
当 = ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 ν 1 有一个积分环节，称为Ⅰ
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系统误差的计算方法
系统误差是指测量结果与真实值之间的差异，它是测量过程中不可避免的。
在各个领域中，对系统误差的计算方法有着重要的意义。
本文将介绍几种常见的系统误差计算方法。
一、零点偏移法
零点偏移法是一种常见的系统误差计算方法，适用于一些有零点参考的测量仪器。
它的基本原理是通过改变零点参考值，来观察测量结果的变化，从而得到系统误差的估计值。
具体操作步骤如下：
1. 将被测量物体放在测量仪器上，并记录下测量结果。
2. 将零点参考值调整一个小幅度，如增加或减小一个固定值。
3. 再次记录测量结果，并计算两次测量结果的差值。
4. 重复上述步骤，直到得到多组测量结果的差值。
5. 将所有差值的平均值作为系统误差的估计值。
二、标定法
标定法是一种常用的系统误差计算方法，适用于一些需要精确度较高的测量。
它的基本原理是通过与已知准确值进行比较，来得到系统误差的估计值。
具体操作步骤如下：
1. 准备一个已知准确值的标准样品或仪器。
2. 将被测量物体放在测量仪器上，并记录下测量结果。
3. 将标准样品或仪器放在同一测量仪器上，并记录下测量结果。
4. 计算被测量结果与标准结果之间的差值。
5. 重复上述步骤，直到得到多组差值。
6. 将所有差值的平均值作为系统误差的估计值。
三、回归法
回归法是一种常用的系统误差计算方法，适用于一些需要考虑多个因素影响的测量。
它的基本原理是通过建立一个数学模型，来描述测量结果与各个因素之间的关系，并通过回归分析来得到系统误差的估计值。
具体操作步骤如下：
1. 收集多组具有不同因素水平的测量数据。
2. 建立一个数学模型，将测量结果作为因变量，各个因素作为自变量。
3. 进行回归分析，得到各个因素对测量结果的影响程度。
4. 根据回归分析结果，计算出系统误差的估计值。
四、平均法
平均法是一种简单且常用的系统误差计算方法，适用于一些测量误差较小的情况。
它的基本原理是通过重复测量同一个物体，并取多次测量结果的平均值来减小系统误差的影响。
具体操作步骤如下：
1. 进行多次重复测量，得到多组测量结果。
2. 将多组测量结果求平均值。
3. 将平均值作为系统误差的估计值。
在实际测量过程中，我们常常需要结合多种计算方法来综合考虑系统误差的影响。
通过合理选择和应用这些方法，可以有效地减小测量误差，提高测量结果的准确性和可靠性。
因此，掌握系统误差的计算方法对于各个领域的测量工作者来说是非常重要的。