初中数学《证明三》单元教学设计以及思维导图
证明三
适用年
八年级
级
所需时
课内9课时;课外2课时
间
主题单元学习概述
《证明三》是八年级下册第八章的内容，是《证明一》和《证明二》的继续，在本章内容中，作为论证前提的结论更加丰富，证明的方法和过程对学生更具有挑战性。
与《证明一》和《证明二》类似，本章中所涉及的很多命题在前几册中已通过一些直观回忆，然后利用公理和已有的定理证明他们。
根据本单元的特点，《平行四边形》及特殊的平行四边形是知识的延续，将其划分为性质和判定两个专题，将新增内容《等腰梯形》和《中位线定理》又划分为两个专题。
专题一、二中，注重将证明的思路展现出来，强调新旧内容的联系，强调直观与抽象的结合。
专题三《等腰梯形》注意渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
如在证明等腰梯形的两个底角相等时，明确其关键是将等腰梯形的两个底角转化为等腰三角形的两个底角。
专题四《中位线定理》时，注重问题情境的创设，为学生提供自主探究发现的空间，然后再进行证明，使证明成为探索活动的自然延续和必要发展。
让学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。
探索证明的思路与方法仍是本
章的重点。
主题单元规划思维导图
主题单元学习目标
知识与技能：1）理解、探索平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质定理及定理的证明方法和应用。
2）理解应用平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定定理。
3）探索并证明三角形及梯形的中位线定理。
4）理解梯形的几种常见的辅助线的添加与应用，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
过程与方法：1）体会证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
2）在探究过程，培养学生的猜想，合作，交流的能力，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。
情感态度价值观：1）通过习题的处理，一题多解，一题多问等方式，培养学生对数学的兴趣。
2）进一步体会数学来源于生活，服务于生活，积累运用数学解决问题的经验。
3）在小组合作中，体验获得成功的乐趣，培养合作意识，建立学习数学的自信心。
对应课标
1）探索并证明平行四边形以及特殊的平行四边形的边、角及对角线的关系。
2）能根据已知条件判断一个四边形是平行四边形，矩形、菱形或是正方形。
3）能根据性质对平行四边形分类，培养几何直观性和思维的层次性。
4）探索掌握三角形和梯形中位线定理并能应用解决相关问题。
主题单元问题设计1平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都有哪些性质
2平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形分别有几种判定方法
3什么样的线是三角形和梯形的中位线？与中线有什么区别？
4三角形和梯形的中位线有什么性质？
5应用到哪些数学思想？
专题划分专题一：平行四边形及特殊的平行四边形的性质（2课时）专题二：平行四边形及特殊的平行四边形的判定（3课时）专题三：等腰梯形（2课时）
专题四：中位线定理（2课时）
其中，专题四中的活动二作为研究性学习
专题四中位线定理
所需课
时
2课时
专题学习目标
1、探索并掌握梯形中位线概念；能够用综合法证明梯形中位线定理。
2、经历探索、猜想、证明梯形中位线定理的过程，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。
3、在小组合作学习的过程中，培养学生的合作意识，激发学生对数学证明的兴趣，进一步强化逻辑证明的意识。
专题问
题设计
梯形中位线的定义？梯形有几条中位线？有什么性质？
所需教学环境和教学资源
三角板、量角器，卡纸（若干）、几何画板
学习活动设计
活动一：
①画任意一个梯形ABCD, 取腰AB、CD边的中点分别为E、F.
②量一量: ∠AEF和∠ABC的度数;EF与AD+BC的和.
试猜想:线段EF与AD、BC有什么关系?(数量和位置)
活动二：
1）用准备好的卡纸制作出一个梯形，然后动手折出梯形的中位线. 2）用剪刀对梯形剪下一块,再拼成一个三角形,并且使梯形的中位线成为三角形的中线.
活动三：提出论证猜想的重要性，引导学生用推理的方法证明猜想：1、如何利用所学的梯形辅助线的作法，合理地添加辅助线，利用转化思想，提出能否将梯形的中位线问题转化为三角形的中位线问题，然后用所学知识来解决新问题？
2借助几何画板的演示，学生观察，探究，小组合作探索结果。
3、让学生口述证明过程，教师板书记录。
评价要点1) 梯形中位线定理与三角形中位线的区别联系。
2) 书写过程的严密性、逻辑性、条理清楚
3) 探究过程中展现的识图能力及小组团结协作的能力。
最新九年级数学上三章证明三
O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.
求矩形对角线的长.
ADຫໍສະໝຸດ 解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且OAOC1AC.
OBOD1BD.
2
2
OA OD .
∵∠AOD=1200,
O
B
C
你认为例1还可以 怎么去解？
∴∠ODA=∠OAD=
1800 1200 300. 2
∵∠DAB=900,
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm
求证:△ABC是直角三角形 分析:要证明△ABC是直角三角形,
2
A
D
E
可以点A,B,C构造平行四边形,然后
证明其对角线相等,即可证明是矩形.C
B
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE. ∵ AD=BD,CD=ED,
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵AB=2CD,CE=2CD,
∴ AC=DB. ∴四边形ACBE是矩形. ∴∠ACB=900. ∴△ABC是直角三角形.
驶向胜 利的彼
岸
独立 作业
P88习题3.4 3题. 祝你成功！
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是 CD上的一点,且AP和BP分别分别平分∠DAB 和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q. (1).求证:AP⊥PB; (2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多 少? △APB的面积是多少?
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=1800.
∴∠ABC=900.
∴四边形ABCD是矩形.
D
C
驶向胜 利的彼
岸
我思,我进步4
直角三角形的判定
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一
第三章 《证明三》九年级上册
对知识之间 联系的掌握
数学思考 知识技能
问题解决
知识应 用意识
有无兴趣， 是否参与、 思考、交流
情感态度
对概念、定理 的理解掌握
关注个体差异，注 意评价的层次性
评价建议
说 建 议
良好的学习习惯
注意评价结果呈现 的多样化。
3.课程资源开发建议
3.课程资源开发与利用建议
综合与实践 教材资源
习题
信息技术、 图书馆、 报刊、杂志 多媒体光 盘 学具或教 数学课外 具 活动小组 课外资源
第1章 有理数 第2章 整式的加减 第3章 一元一次方程 第4章 图形认识初步 第5章 相交线与平行线 第6章 平面直角坐标系 第7章 三角形 第8章 二元一次方程组 第9章 不等式与不等式组 第10章 数据库的收集整理与描述
第14章 一次函数 第15章 整式的乘除与因式分解 第16章 分式 第17章 反比例函数 第18章 勾股定理 第19章 四边形 第20章 数据的分析
统 计 与 概 率
综合与实践 说 九年级下 教 直角三角形的边角关系 材 第一章 第二章 二次函数
第三章 圆 第四章 概率与统计 课题学习 制作抛物线型拱桥模型 课题学习 课题学习 设计庶阳棚 拱桥设计
2.内容结构
2.内容结构：
第11章 全等三角形
第12章 轴对称
第13章 实数
人教版
7—9年级所 有章节统一 编号
2.课程内容
2、课程内容：新课标下的“课程内容”与旧课标下的“内容标准”的比较
旧
空间与图形 统计与概率
新
图形与几何 统计与概率
数与代数
内 容 标 准
实践与综合 应用 数与代数
综合与实践
最新九年级数学上第三章证明三
九年级数学(上)第三章 证明(三)
3.1 平行四边形(三） 三角形的中位线及性质
我思,我进步3
三角形中位线的性质
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的 一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. A
∴FE∥AB,FE 1 AB. MN∥AB,MN 1 AB. C
2
2
∴ FE∥MN,FE=MN.
∴四边形FENM是平行四边形.
FG
∴MG=GE,NG=GF.
M●
∴AM=MG=GE,BN=NG=GF.
A
D
∴同G同E∶理G,AG=DG∶FG∶CG=B1=∶12∶..2.
∴GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2
求证：AF= 1 FC,
1 EF= BE
G
2
3
A
F E
B
D
C
下课了! 结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
E B
别平行或一组对边平行且相等来证明. H
证明:连接AC.
F
∵E,F,G,H分别为各边的中点, D ∴EF∥AC,EF 1 AC.
G
C
2
HG∥AC,HG 1 AC.
2
∴四边形EFGH是平行四边形.
我思,我进步5
做一做,想一想
1、已知，如图,A,B两地被
A
池塘隔开,在没有任何测量
工具的情况下,有通过学习 M
怎么样,在老师的帮助下,你可A 以写出证明过程了吗? 由此你又悟出了些什么?
初中数学《全等三角形》单元教学设计以及思维导图
(3)利用三角形全等的条件及角的平分线的性质，初步掌握经过一步一步的推理，最后证明结论正确的方法。
情感态度与价值观：把生活实际问题抽象转化为数学问题，渗透转化思想，培养抽象、概括、分析问题和解决问题的能力。
活动二、新知探究
做一做：
已知线段AB=5cm，BC=4cm和一个直角，利用尺规做一个直角三角形，使∠C= 90°，AB作为斜边．做好后，将△ABC剪下与同伴比较，看能发现什么规律？
探究结果总结：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”和“HL”）．
专题三
角的平分线的性质（2课时）
(2)说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角
2.动画（几何画板）演示
图中的两个三角形通过怎样的变换才能重合？用式子表示全等关系.并说出其中的对应关系.
3.归纳：找对应元素的常用方法有两种：（1）从运动角度看
a．翻折法：一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合，从而发现对应元素．
b．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
⑵.表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。
全等三角形的性质
1.观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边
有什么关系？对应角呢？
2.用几何语言表示全等三角形的性质
探求全等三角形对应元素的找法
1.动画（几何画板）演示
(1)图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完全重合?
北师大九年级数学第三章证明(三)第1课时PPT课件
2020年10月2日
10
——等腰三角形
7.为美化环境，有关部门计划在某小区 内用30m2的草皮铺设一块一边长为10m的 等腰三角形绿地，请你按照要求设计不 同的方法，并求出这块等腰三角形绿地 的另两边长。
2020年10月2日
11
——直角三角形
8、如图,在Rt△ABC中,BC是斜边，P是
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
16
线段的垂直平分线 三、尺规作图（基本作图）
2020年10月2日
角的平分线
4
基本作图
作一条线段等于已知线段;
作一个角等于已知角; 作线段的垂直平分线; 作已知角的平分线; 已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形. 作图题的一般步骤: 已知,求作,分析,作法,证明,讨论.
2020年10月2日
13
——特殊线
10.已知:如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别 是N,M,OM=ON. 求证:PM=PN.
NB P
O
A
M
2020年10月2日
14
——作图题
11.用尺规作一个450的角.
1 1高2的.已等知腰线三段角a形,求.这作个以等a为腰底三,角以形2 有a 什为么
特征？
2020年10月2日
15
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九年级数学上册《第三章证明(三)》回顾与思考(一)教案
一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经对平行四边形、矩形、菱形、正方形的一些相关性质和判定的定理有所了解，在本章前面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，还通过特殊四边形的学习，掌握了直角三角形斜边中线的性质以及判定一个三角形为直角三角形的定理。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。
掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书基于学生对平行四边形、特殊平行四边形性质判定扎实掌握的基础之上，提出了本课的具体学习任务：体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。
通过小组的交流讨论，使学生对所学内容在思想方法上有一定的提升。
为此，本节课的教学目标是：①能够理顺平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，熟练掌握这些四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述已知、求证、证明。
②掌握三角形中位线的定义和性质，能够推导出依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是什么特殊四边形。
③会熟练应用所学定理进行证明。
体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
④学会对证明方法的总结。
三、教学过程分析本节课是证明（三）回顾与思考的第一个课时，这一课时主要是对定理的理顺，由于在证明（一）、（二）中，一些相关的定理曾以结论的形式串联总结过，因此学生已经了解定理及一些它们之间的关系，而且有一定的能力可以将这些定理以一个线索串联，所以这一课时共分四个环节：第一个环节，台下准备——学生搜集整理资料；第二环节：台上展示——学生创设线索展示成绩；第三环节：你圈我点——师生共同反思小结；第四环节：布置作业。
北师大九年级数学第三章证明(三)第1课时
在我三岁左右，在我咿呀学语蹒跚走步之时，趁大人出去生产队出工之时，我偷偷溜出家门，尾随村里大伙伴们的身后，往离我家较远的西面一个叫“曲山岭”的山上跑去。“曲山岭”大约是因为 山路蜿蜒曲折，山高陡峭而得名。当我跟在后面，爬到半山腰时，满山的丛林与杂草早已把我弱小的身子淹没，并且死死地缠住，我拚命地爬，拚命地挣，不管我怎么爬怎么挣，总也挣不脱缠住我身子 的丛林杂草，我放声哭喊，伙伴们都早已离我远去，消失得无影无踪，他们根本没有听见我的哭喊声，他们自己本身也都是孩子，估计早已忘记还有一个“小妹妹”跟在他们身后，去采“夢萝”（野果） 吃。我一边使劲挣，一边大声哭喊，西边的太阳下山了，倦鸟拍打着翅膀飞进了丛林，大概又累又困，哭喊的声音变得越来越小，我干脆躺在杂草里打着盹儿，跟着太阳公公一起睡去……
在我很小的时候，我一直不知道杜鹃花是映山红或者是“燕子花”，因为我母亲告诉我，那是“老虎花”。直到我长大点，长到腿脚可以丈量山野，跟着村里的小伙伴们满山满岭地追着“会飞”的 “燕子花”飞奔、疯跑的时候，看见伙们摘起“老虎花”往嘴里送的时候，我才知道妈妈说的“老虎花”原来是叫“燕子花”，细看花朵，像一个个小喇叭，在我眼里是窈窕淑女，有闭月羞花的容颜， 椭圆形的树叶肥厚厚，在阳光下泛着绿油油的光彩。我犹豫不决地，半信半疑地，学着伙伴们的样，小心翼翼地把“燕子花”摘下来，去掉花托与花蕊，放进嘴里细细地品尝，味道酸酸甜甜，非常可口， 淡淡的清香沁人心脾。当时我心里好委屈，怎么现在才知道这是“燕子花”，还可以吃，味道竟然这么香甜。我当时心里特别埋怨母亲，为什么要骗我说是“老虎花”，让我闻“虎”色变，从来不敢妄 想，不敢靠近“老虎花”一步，让我错过这么好的风景，这么好的美食。好料集中营
北师大初中九年级数学上册 第三章证明(三)复习课件ppt(优秀课件)
提示:作辅助线,连接BD,取BD的 中点Q,连接MQ,NQ.
P G A 1N D
则有QM∥DC,QN∥AB.
QM 1 DC,QN 1 AB.
2
2
Q.
B
M
C
由∠QNM=∠1,∠QMN=∠P,可得证.
课件在线
12
6.如图所示，在平行四边形ABCD中.点E、F在对角线AC上， 且AE＝CF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某 一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一 条线段相等（只须说明一组线段相等即可）. （1）连结____________； （2）猜想:____________＝______________； （3）说明所猜想的结论的正确性.
互相平分 既轴对称 且相等 又中心对称
菱形
对边平行、 对角相等、 互相垂直平分 四边相等 邻角互补 且平分对角
同上
正方形 同上
等腰 梯形
两底平行 不相等， 两腰相等 不平行。
四个角 是直角
互相垂直平分且 相等；平分对角
同一底上 的两个角 相等
对角线 相等
课件在线
同上
轴对称
4
几种特殊四边形的常用判定方法
（C ）
6.矩形具有平行四边形不一定具有的性质是 ( D ) A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对边平行且相等 D.对角线相等
课件在线
17
7.下列命题:
(1)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形；
(2)顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
(3)顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
( D)
4.下列说法正确的是
( D)
A.有一个角是直角的四边形是矩形
九年级数学上册 第3章证明(三)全章教案 北师大版
第三章证明（三）边形（一）知识与技能目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的过程．过程与方法目标：能适用综合法征明平行四边形的性质定理，及其他相关结论．情感态度与价值观目标：体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法．重点、难点、关键：1．重点：掌握平行四边形的性质定理．2．难点：探索证明过程，感悟归纳类比、转化的教学思想。
3．关键：充分应用合情推理与演绎推理获得结论．教学过程：问题：1．平行四边形有哪些性质？2．平行四边形有哪些判别条件？3．如何运用公理和已有的定理证明它们？讲解证明过程注意：1．利用三角形全等证明．2．利用定理“平行四边形对边相等”。
相关认知：1．平行四边形是一类特殊的四边形，即两组对边分别平行的四边形，平行四边形是中心对称图形。
它的对角线的交点为对称中心．2．平行四边形的主要性质有：时边相等、对角线等，对边平行，对角线互相平分。
3．平行四边形是一种特殊的四边形，它的一些性质是进行有关证明或计算的基础．如，应用边的性质，可以求解边长、周长、对角线长，以及平行等问题；应用角的性质，可求解角的问题，应用对角线的性质，可证明两个三角形全等，再通过三角形全等研究角或线段之间的关系。
4．由平行四边形的性质可以得出一些角与线段的相等关系，特别地说，可知：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等．随堂练习：随堂练习1、2课堂小结：引导学生探索证明的不同思路和方法、并进行适当的比较和讨论，以开阔学生的视野，培养学生的思维能力。
作业：课本习题3．11、2边形（二）知识与技能目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．过程与方法目标：能够用综合法证明平行四边形的判定定理．情感态度与价值观目标：感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．重点、难点、关键：1．重点：掌握证明平行四边形的方法。
2．难点；运用综合法证明问题的思路。
3．关键：正确分析条件和结论，通过已知条件的推理，再运用结论的等价转换和逆推，寻求解决问题的思路．教学过程：提问：1．说一说平行四边形有那些性质？2．你能写出（1）中的逆命题吗？3．如何证明判别一个四边是平行四边形的方法？性质：1．平行四边形对边相等逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
初中数学《证明三》单元教学设计以及思维导图 (1).
证明三周远适用年级八年级所需时间课内9课时;课外2课时主题单元学习概述《证明三》是八年级下册第八章的内容，是《证明一》和《证明二》的继续，在本章内容中，作为论证前提的结论更加丰富，证明的方法和过程对学生更具有挑战性。
与《证明一》和《证明二》类似，本章中所涉及的很多命题在前几册中已通过一些直观回忆，然后利用公理和已有的定理证明他们。
根据本单元的特点，《平行四边形》及特殊的平行四边形是知识的延续，将其划分为性质和判定两个专题，将新增内容《等腰梯形》和《中位线定理》又划分为两个专题。
专题一、二中，注重将证明的思路展现出来，强调新旧内容的联系，强调直观与抽象的结合。
专题三《等腰梯形》注意渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
如在证明等腰梯形的两个底角相等时，明确其关键是将等腰梯形的两个底角转化为等腰三角形的两个底角。
专题四《中位线定理》时，注重问题情境的创设，为学生提供自主探究发现的空间，然后再进行证明，使证明成为探索活动的自然延续和必要发展。
让学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。
探索证明的思路与方法仍是本章的重点。
主题单元学习目标知识与技能：1）理解、探索平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质定理及定理的证明方法和应用。
2）理解应用平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定定理。
3）探索并证明三角形及梯形的中位线定理。
4）理解梯形的几种常见的辅助线的添加与应用，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
过程与方法：1）体会证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
2）在探究过程，培养学生的猜想，合作，交流的能力，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。
情感态度价值观：1）通过习题的处理，一题多解，一题多问等方式，培养学生对数学的兴趣。
2）进一步体会数学来源于生活，服务于生活，积累运用数学解决问题的经验。
3）在小组合作中，体验获得成功的乐趣，培养合作意识，建立学习数学的自信心。