湖南省株洲市中考数学试卷(含答案)
相关资料湖南省株洲市2013年中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分）1．（2013•株洲）一元一次方程2x=4的解是（ ） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4考点：解一元一次方程．分析：方程两边都除以2即可得解．解答：解：方程两边都除以2，系数化为1得，x=2．故选B．点评：本题考查了解一元一次方程，是基础题．2．（2013•株洲）下列计算正确的是（ ） A．x+x=2x2B．x3•x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．解答：解：A、x+x=2x≠2x2，故本选项错误；B、x3•x2=x5，故本选项正确；C、（x2）3=x6≠x5，故本选项错误；D、（2x）2=4x2≠2x2，故本选项错误．故选：B．点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．3．（2013•株洲）孔明同学参加暑假军事训练的射击成绩如下表：射击次序第一次第二次第三次第四次第五次成绩（环）9 8 7 9 6则孔明射击成绩的中位数是（ ） A．6B．7C．8D．9考点：中位数．分析：将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可得出答案．解答：解：将数据从小到大排列为：6，7，8，9，9，中位数为8． 故选C ． 点评： 本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 4．（2013•株洲）下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是（ ） A ．正方体B ．圆柱C ．圆锥D ．球考点： 简单几何体的三视图 分析： 俯视图是分别从物体上面看所得到的图形．分别写出四个几何体的俯视图即可得到答案． 解答：解：正方体的俯视图是正方形；圆柱体的俯视图是圆；圆锥体的俯视图是圆；球的俯视图是圆． 故选：A ． 点评：本题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 5．（2013•株洲）如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是（ ）A ． 炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上B ． 醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上C ．株洲县位于茶陵的南偏东约40°的方向上 D．株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上考点：坐标确定位置．分析：根据坐标确定位置以及方向角对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上正确，故本选项错误；B、醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上正确，故本选项错误；C、应为株洲县位于茶陵的北偏西约40°的方向上，故本选项正确；D、株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上正确，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了利用坐标确定位置，方向角的定义，是基础题，熟记方向角的概念并准确识图是解题的关键．6．（2013•株洲）下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（ ） A．等边三角形B．矩形C．菱形D．正方形考点：轴对称图形．分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案．解答：解：A、等边三角形有3条对称轴；B、矩形有2条对称轴；C、菱形有2条对称轴；D、正方形有4条对称轴；故选D．点评：本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义．7．（2013•株洲）已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：探究型．分析：分别把各点代入反比例函数y=求出y1、y2、，y3的值，再比较出其大小即可．解答：解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，∴y1==6；y2==3；y3==﹣2，∵6＞3＞﹣2，∴y1＞y2＞y3．故选D．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（ ）B．8C．±8 D．6 A．﹣8考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据抛物线与x轴只有一个交点，△=0，列式求出m的值，再根据对称轴在y轴的左边求出m的取值范围，从而得解．解答：解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以，△=m2﹣4×2×8=0，解得m=±8，∵对称轴为直线x=﹣＜0，∴m＞0，∴m的值为8．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确定出m 是正数．二、填空题（本题共2小题，每小题0分，共24分）9．（2013•株洲）在平面直角坐标系中，点（1，2）位于第 一 象限．考点：点的坐标．分析：根据各象限的点的坐标特征解答．解答：解：点（1，2）位于第一象限．故答案为：一．点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．10．（2013•株洲）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是 88 分．考点：加权平均数．分析：根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．解答：解：∵笔试按60%、面试按40%，∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88分，故答案为：88．点评：此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．11．（2013•株洲）计算：= 2 ．考点：分式的加减法．分析：分母不变，直接把分子相加即可．解答：解：原式===2．故答案为：2．点评：本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．12．（2013•株洲）如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上．若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC= 120 度．考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等求出∠4，然后相加即可得解．解答：解：如图，∵l1∥l2∥l3，∠1=70°，2=50°，∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=70°+50°=120°．故答案为：120．点评：本题考查了两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．13．（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 48 度．考点：垂径定理．分析：根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC∵∠A=42°∴∠ACO=∠A=42°∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．故答案为：48．点评：本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线．14．（2013•株洲）一元一次不等式组的解集是 ＜x≤1 ．考点：解一元一次不等式组．分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．解答：解：∵解不等式①得：x＞，解不等式②得：x≤1，∴不等式组的解集为：＜x≤1，故答案为：＜x≤1点评：本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．15．（2013•株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= 6 ，n= 1 ．考点：因式分解的意义．专题：计算题．分析：将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．解答：解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n∴，∴，故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．16．（2013•株洲）已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y=ax+b的图象不经过第四象限的概率是 ．考点：列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．分析：列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y=ax+b不经过第四象限的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表如下：1 2﹣2 ﹣1﹣2 （﹣1，﹣2）（1，﹣2）（2，﹣2）﹣1 （﹣2，﹣1）（1，﹣1）（2，﹣1）1（2，1）（﹣2，1）（﹣1，1）2（1，2）（﹣2，2）（﹣1，2）所有等可能的情况数有12种，其中直线y=ax+b不经过第四象限情况数有2种，则P==．故答案为：点评：此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象与系数的关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题（本大题共8小题，共52分）17．（4分）（2013•株洲）计算：．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：分别根据算术平方根、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=2+3﹣2×=5﹣1=4．点评：本题考查的是实数的运算，熟知算术平方根、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．18．（4分）（2013•株洲）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣3），其中x=3．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=x2﹣1﹣x2+3x=3x﹣1，当x=3时，原式=9﹣1=8．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．19．（6分）（2013•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．解答：解：（1）∵CD∥x轴，∴从第50天开始植物的高度不变，答：该植物从观察时起，50天以后停止长高；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵经过点A（0，6），B（30，12），∴，解得．所以，直线AC的解析式为y=x+6（0≤x≤50），当x=50时，y=×50+6=16cm．答：直线AC的解析式为y=x+6（0≤x≤50），该植物最高长16cm．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．20．（6分）（2013•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．考点：切线的性质；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：（1）由AB是⊙O的直径，易证得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，易证得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度数；（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，即可证得AD=CD．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，BD⊥AC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AB=CB，∵直线BC与⊙O相切于点B，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=∠C=45°；（2）证明：∵AB=CB，BD⊥AC，∴AD=CD．点评：此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．21．（6分）（2013•株洲）某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为 40% ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 144 度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）利用100%减去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜欢A项目的人数所占的百分比；所在扇形统计图中对应的圆心角度数用360°×40%即可；（2）根据频数=总数×百分比可算出总人数，再利用总人数减去D、C、B三部分的人数即可得到A部分的人数，再补全图形即可；（3）利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可．解答：解：（1）100%﹣20%﹣10%﹣30%=40%，360°×40%=144°；（2）抽查的学生总人数：15÷30%=50，50﹣15﹣5﹣10=20（人）．如图所示：（3）1000×10%=100（人）．答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约是100人．点评：此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：∵∠BAD=60°，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°﹣30°=60°，∴∠AEF=180°﹣∠BOD﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，∴OD=AD=×2=1，∴AO===，∴AE=CF=×=，∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，∴高EF=2×=，在Rt△CEF中，CE===．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出△CEF是直角三角形是解题的关键，也是难点．23．（8分）（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B 为线段AP的中点，从而可以求出AP．解答：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C．在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，∴△APQ∽△ABC．（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ．（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由（1）可知，△APQ∽△ABC，∴，即，解得：PB=，∴AP=AB﹣PB=3﹣=；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A，∴BQ=AB，∴AB=BP，点B为线段AB中点，∴AP=2AB=2×3=6．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．24．（10分）（2013•株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），然后把点（0，）代入求出a 的值，再化为一般形式即可；（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．解答：（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），∵抛物线过点（0，），∴a（0﹣1）2=，解得a=，∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2，一般形式为y=x2﹣x+；（2）解：当m=2时，m2=4，∵BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标为4，∴（x﹣1）2=4，解得x1=5，x2=﹣3，∴点B（﹣3，4），C（5，4），∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣5，4），设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣5﹣1）2﹣h=4，解得h=5；（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，∴点B、C的纵坐标为m2，∴（x﹣1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=1﹣2m，∴点C的坐标为（1+2m，m2），又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m，∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，解得h=2m+1，∴EF=h+m2=m2+2m+1，∴t an∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．。
2020年湖南省株洲市中考数学试卷【含答案;word版本试题;可编辑】
2020年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）1. a的相反数为−3，则a等于（）A.−3B.3C.±3D.132. 下列运算正确的是（）A.a⋅a3＝a4B.2a−a＝2C.(a2)5＝a7D.(−3b)2＝6b23. 一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字−1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（）A.14B.13C.12D.344. 一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）A. B. C. D.5. 数据12、15、18、17、10、19的中位数为（）A.14B.15C.16D.176. 下列哪个数是不等式2(x−1)+3<0的一个解？（）A.−3B.−12C.13D.27. 在平面直角坐标系中，点A(a, 2)在第二象限内，则a的取值可以是（）A.1B.−32C.43D.4或−48. 下列不等式错误的是（）A.−2<−1B.π<√17C.52>√10 D.13>0.39. 如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A.4πB.6C.4√3D.83π10. 二次函数y＝ax2+bx+c，若ab<0，a−b2>0，点A(x1, y1)，B(x2, y2)在该二次函数的图象上，其中x1<x2，x1+x2＝0，则（）A.y1＝−y2B.y1>y2C.y1<y2D.y1、y2的大小无法确定二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11. 关于x的方程3x−8＝x的解为x＝________．12. 因式分解：2a2−12a＝________．13. 计算√23×(√8+√2)的结果是________．14. 王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：个．15. 一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON＝________度．16. 如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF // BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为________．17. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1=kx(x>0，k为常数且k>2)的图象上，边AB与函数y2=2x(x>0)的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为________．（结果用含k的式子表示）18. 据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yuè)、合、升、斗、斛(ℎú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(ℎuán)其外，旁有庣(tiāo)焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）三、解答题（本大题共8小题，共78分）19. 计算：(14)−1+|−1|−√3tan60∘．20. 先化简，再求值：(xy−yx)⋅yx+y−1，其中x=√2，y＝2．。
2022年湖南省株洲市中考数学真题(解析版)
9. 如图所示，在菱形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 O ，过点 C 作 CE ∥BD 交 AB 的延长线于点 E ，下列结论不一定正确的是 ( )
A. OB = CE
B. ACE 是直角三角形
C. BC = AE
D. BE = CE
【答案】D 【解析】
【分析】由菱形的性质可知 AC」 DB ， AO = OC ，由两直线平行，同位角相等可以推出
∴ 三ACE = 三AOB = 90 ，
∴ ACE 是直角三角形，故 B 选项正确； ∵ 三ACE = 三AOB = 90o ， 三CAE = 三OAB ， ∴ Rt ACE ~ Rt△AOB ，
∴= =
=，
∴ OB = CE ， AB = AE ，故 A 选项正确；
∴BC 为 Rt ACE 斜边上的中线， ∴ BC = AE ，故 C 选项正确；
现有条件不足以证明BE = CE ，故 D 选项错误；
故选 D． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜
实数，两个负实数绝对值大的反而小．
3. 不等式 4x 1 < 0 的解集是 (
)．
A. x > 4
B. x < 4
C. x >
D. x <
【答案】D 【解析】
【分析】直接移项、合并同类项、不等号两边同时除以 4 即可求解． 【详解】解：4x− 1<0 移项、合并同类项得：4x< 1
不等号两边同时除以 4 ，得：x<
三ACE = 三AOB = 90 ，再证明Rt ACE ~ Rt△AOB ，得出OB = CE ，AB = AE ，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出BC = AE ．现有条件不足以证明BE = CE ．
湖南省株洲市中考数学试卷
精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，满分30分）1．（3分）计算a2•a4的结果为（）A．a2B．a4C．a6D．a82．（3分）如图示，数轴上点A所表示的数的绝对值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上均不对3．（3分）如图示直线l1，l2△ABC被直线l3所截，且l1∥l2，则α=（）A．41°B．49°C．51°D．59°4．（3分）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°6．（3分）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形7．（3分）株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变化最大时间段为（）9：00﹣10：0010：00﹣11：0014：00﹣15：0015：00﹣16：00进馆人数5024553230652845出馆人数A．9：00﹣10：00 B．10：00﹣11：00 C．14：00﹣15：00 D．15：00﹣16：00 8．（3分）三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为（）A．）B．）C．）D．）9．（3分）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA 的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D．当AC=BD时它是矩形10．（3分）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C ．D ．二、填空题（每小题3分，满分24分）11．（3分）如图示在△ABC中∠B=．12．（3分）分解因式：m3﹣mn2=．13．（3分）分式方程﹣=0的解为．14．（3分）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是．15．（3分）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=．16．（3分）如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为．17．（3分）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=（x＞0）的图象上，顶点B 在函数y2=（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则=．18．（3分）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为．三、解答题（本大题共有8个小题，满分66分）19．（6分）计算：+20170×（﹣1）﹣4sin45°．20．（6分）化简求值：（x﹣）•﹣y，其中x=2，y=．21．（8分）某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求：①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表示）．②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．22．（8分）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．23．（8分）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．①求点H到桥左端点P的距离；②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．24．（8分）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥y轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．①求k的值以及w关于t的表达式；②若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w max+a2﹣a，其中a为实数，求T min．25．（10分）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB 上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．26．（12分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，满分30分）1．（3分）（2017•株洲）计算a2•a4的结果为（）A．a2B．a4C．a6D．a8【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：原式=a2+4=a6．故选C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2．（3分）（2017•株洲）如图示，数轴上点A所表示的数的绝对值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上均不对【分析】根据数轴可以得到点A表示的数，从而可以求出这个数的绝对值，本题得以解决．【解答】解：由数轴可得，点A表示的数是﹣2，∵|﹣2|=2，∴数轴上点A所表示的数的绝对值为2，故选A．【点评】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，会求一个数的绝对值．3．（3分）（2017•株洲）如图示直线l1，l2△ABC被直线l3所截，且l1∥l2，则α=（）A．41°B．49°C．51°D．59°【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵l1∥l2，∴α=49°，故选B．【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．4．（3分）（2017•株洲）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．故选D．【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．5．（3分）（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，∴6x=180°，∴x=30°，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建方程解决问题，属于基础题．6．（3分）（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，故选A．【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键．7．（3分）（2017•株洲）株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变化最大时间段为（）9：00﹣10：0010：00﹣11：0014：00﹣15：0015：00﹣16：00进馆人数50245532出馆人数30652845A．9：00﹣10：00 B．10：00﹣11：00 C．14：00﹣15：00 D．15：00﹣16：00【分析】直接利用统计表中人数的变化范围得出馆内人数变化最大时间段．【解答】解：由统计表可得：10：00﹣11：00，进馆24人，出馆65人，差之最大，故选：B．【点评】此题主要考查了统计表，正确利用表格获取正确信息是解题关键．8．（3分）（2017•株洲）三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为（）A．）B．）C．）D．）【分析】画树状图为（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）共有6种等可能的结果数，其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3，所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率==．故选D．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．9．（3分）（2017•株洲）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D．当AC=BD时它是矩形【分析】先连接AC，BD，根据EF=HG=AC，EH=FG=BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD 时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．【解答】解：连接AC，BD，∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG=AC，EH=FG=BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH一定是中心对称图形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH可能是轴对称图形，故选：C．【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．10．（3分）（2017•株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题3分，满分24分）11．（3分）（2017•株洲）如图示在△ABC中∠B=25°．【分析】由直角三角形的两个锐角互余即可得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；故答案为：25°．【点评】本题考查了直角三角形的两个锐角互余的性质；熟记直角三角形的性质是解决问题的关键．12．（3分）（2017•株洲）分解因式：m3﹣mn2=m（m+n）（m﹣n）．【分析】先提取公因式m，再运用平方差公式分解．【解答】解：m3﹣mn2，=m（m2﹣n2），=m（m+n）（m﹣n）．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．13．（3分）（2017•株洲）分式方程﹣=0的解为x=﹣．【分析】根据解方式方程的步骤一步步求解，即可得出x的值，将其代入原方程验证后即可得出结论．【解答】解：去分母，得4x+8﹣x=0，移项、合并同类项，得3x=﹣8，方程两边同时除以3，得x=﹣．经检验，x=﹣是原方程的解．故答案为：x=﹣．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及步骤是解题的关键．14．（3分）（2017•株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是＜x≤6．【分析】根据题意列出不等式组，再求解集即可得到x的取值范围．【解答】解：依题意有，解得＜x≤6．故x的取值范围是＜x≤6．故答案为：＜x≤6．【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．15．（3分）（2017•株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=80°．【分析】连接EM，根据等腰三角形的性质得到AM⊥BC，进而求出∠AMD=70°，于是得到结论．【解答】解：连接EM，∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°，∴∠EOM=2∠EAM=80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．16．（3分）（2017•株洲）如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为π．【分析】先利用一次函数的解析式可确定A（﹣1，0），B（0，），再利用正切的定义求出∠BAO=60°，利用勾股定理计算出AB=2，然后根据弧长公式计算．【解答】解：当y=0时，x+=0，解得x=﹣1，则A（﹣1，0），当x=0时，y=x+=，则B（0，），在Rt△OAB中，∵tan∠BAO==，∴∠BAO=60°，∴AB==2，∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度==π．故答案为π．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：熟练掌握旋转的性质，会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．17．（3分）（2017•株洲）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则=﹣．【分析】设AC=a，则OA=2a，OC=a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，相比即可．【解答】解：如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°，∵AB⊥OC，∴∠ACO=90°，∴∠AOC=30°，设AC=a，则OA=2a，OC=a，∴A（a，a），∵A在函数y1=（x＞0）的图象上，∴k1=a•a=，Rt△BOC中，OB=2OC=2a，∴BC==3a，∴B（a，﹣3a），∵B在函数y2=（x＞0）的图象上，∴k2=﹣3a a=﹣3，∴=﹣；故答案为：﹣．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，正确写出A、B两点的坐标是关键．18．（3分）（2017•株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为①④．【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．【解答】解：由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，∵开口向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴﹣＞0，∴a﹣2＜0，∴a＜2；∴0＜a＜2；∴①正确；∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），∴c=﹣2，故③错误；∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b﹣2=0，∵0＜a＜2，∴0＜b+2＜2，﹣2＜b＜0，故②错误；∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，∴x2=2＞﹣1，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a 与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．三、解答题（本大题共有8个小题，满分66分）19．（6分）（2017•株洲）计算：+20170×（﹣1）﹣4sin45°．【分析】根据立方根的定义、零指数幂及特殊角的三角函数值求得各项的值，再计算即可．【解答】解：+20170×（﹣1）﹣4sin45°=2+1×（﹣1）﹣4×=2﹣1﹣2=﹣1．【点评】本题主要考查实数的计算及零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握立方根的计算、零指数幂的运算法则、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（6分）（2017•株洲）化简求值：（x﹣）•﹣y，其中x=2，y=．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•﹣y=﹣=﹣，当x=2，y=时，原式=﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）（2017•株洲）某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求：①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表示）．②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．【分析】①由图知1人6秒，3人7秒，小于8秒的爱好者共有4人，进入下一轮角逐的人数比例为4：30；②因为其他赛区情况大致一致，所以进入下一轮的人数为：600×A区进入下一轮角逐的人数比例；③由完成时间的平均值和A区30人，得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b，得到完成时间8秒的爱好者的概率．【解答】解：①A区小于8秒的共有3+1=4（人）所以A区进入下一轮角逐的人数比例为：=；②估计进入下一轮角逐的人数为600×=80（人）；③因为A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，所以（1×6+3×7+a×8+b×9+10×10）÷30=8.8化简，得8a+9b=137又∵1+3+a+b+10=30，即a+b=16所以解得a=7，b=9所以该区完成时间为8秒的爱好者的概率为．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．解决本题的关键是根据平均数和各个时间段的人数确定完成时间为8秒的人数．概率=所求情况数与总情况数之比．22．（8分）（2017•株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF 的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．23．（8分）（2017•株洲）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．①求点H到桥左端点P的距离；②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．【分析】①在Rt △AHP 中，由tan ∠APH=tanα=，即可解决问题；②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，求出CQ==1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH ﹣PC 计算即可； 【解答】解：①在Rt △AHP 中，∵AH=500，由tan ∠APH=tanα===2，可得PH=250米．∴点H 到桥左端点P 的距离为250米．②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，∵BC=AH=500，∠BQC=30°，∴CQ==1500米，∵PQ=1255米， ∴CP=245米， ∵HP=250米，∴AB=HC=250﹣245=5米．答：这架无人机的长度AB 为5米．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，锐角三角函数，矩形判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（8分）（2017•株洲）如图所示，Rt △PAB 的直角顶点P （3，4）在函数y=（x ＞0）的图象上，顶点A 、B 在函数y=（x ＞0，0＜t ＜k ）的图象上，PA ∥y 轴，连接OP ，OA ，记△OPA 的面积为S △OPA ，△PAB 的面积为S △PAB ，设w=S △OPA ﹣S △PAB ．①求k 的值以及w 关于t 的表达式；②若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w max+a2﹣a，其中a为实数，求T min．【分析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB=•PA•PB=（4﹣）（3﹣），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA =S△OPC﹣S△OAC=6﹣t，由w=S△OPA ﹣S△PAB可得答案；（2）将（1）中所得解析式配方求得w max=，代入T=w max+a2﹣a配方即可得出答案．【解答】解：（1）∵点P（3，4），∴在y=中，当x=3时，y=，即点A（3，），当y=4时，x=，即点B（，4），则S△PAB=•PA•PB=（4﹣）（3﹣），如图，延长PA交x轴于点C，则PC⊥x轴，又S△OPA =S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t，∴w=6﹣t﹣（4﹣）（3﹣）=﹣t2+t；（2）∵w=﹣t2+t=﹣（t﹣6）2+，∴w max=，则T=w max+a2﹣a=a2﹣a+=（a﹣）2+，∴当a=时，T min=．【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义及二次函数的性质，熟练掌握反比例系数k的几何意义及配方法求二次函数的最值是解题的关键．25．（10分）（2017•株洲）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；②证明△ADE∽△CBE，得出，证明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面积．【解答】①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：∵BE=EF，∴∠F=∠EBF；XX学校--用心用情服务教育！∵∠AEB=∠EBF+∠F，∴∠F=∠AEB，∵C是的中点，∴，∴∠AEC=∠BEC，∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，∴∠AEC=∠AEB，∴∠AEC=∠F，∴CE∥BF；②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴，即，∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴，即，∴CB=2，∴AD=6，∴AB=8，∵点C为劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，∴CG==2，∴△BCD的面积=BD•CG=×2×2=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明三角形相似是解决问题的关键．26．（12分）（2017•株洲）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．【分析】①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，即可得出答案；②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），y由二次函数的图象与x轴相切且c=b2﹣2b，得出方程组，求出b即可；③由圆周角定理得出∠AMB=90°，证出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OA•OB，由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1•x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，证明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出，，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1，由x1•x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程组，解方程组求出b的值即可．【解答】解：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，当b=1时，=，∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=．②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），∵二次函数的图象与x轴相切且c=﹣b2﹣2b，∴，解得：b=，∴b为，二次函数的图象与x轴相切．③∵AB是半圆的直径，∴∠AMB=90°，∴∠OAM+∠OBM=90°，∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM，∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2=OA•OB，∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1•x2=﹣（c+1），∵OM=c+1，∴（c+1）2=c+1，解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，∴AD=BD，DF=4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴，，∴DE=，DF=，∴×4，∴OB=4OA，即x2=﹣4x1，∵x1•x2=﹣（c+1）=﹣1，∴，解得：，∴b=﹣+2=，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1．【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的性质、二次函数的图象与x轴的交点、顶点坐标、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、根与系数是关系等知识；本题综合性强，有一定难度．。
湖南省株洲市市级名校2024届中考联考数学试卷含解析
湖南省株洲市市级名校2024届中考联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，352．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上,边AC交边BE于点F,若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB 等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠EBD D．2∠ABF3．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（）A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1+y2）＞04．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题是真命题的是( )A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．若三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，则该三角形是正三角形6．对于下列调查：①对从某国进口的香蕉进行检验检疫；②审查某教科书稿；③中央电视台“鸡年春晚”收视率.其中适合抽样调查的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③7．如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（）A．50°B．40°C．30°D．20°8．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a 的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－29．对于代数式ax2+bx+c(a≠0)，下列说法正确的是（）①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则a2x+bx+c=a（x-p）（x-q）②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+cA．③B．①③C．②④D．①③④10．关于▱ABCD的叙述，不正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是菱形二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC的中点，AG=1，BG=3，则CH的长为__________．12．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_________．13．2018年3月2日，大型记录电影《厉害了，我的国》登陆全国各大院线．某影院针对这一影片推出了特惠活动：票价每人30元，团体购票超过10人，票价可享受八折优惠，学校计划组织全体教师观看此影片．若观影人数为a（a＞10），则应付票价总额为_____元．（用含a 的式子表示）14．如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高1.2m ,测得 1.6,12.4AB m BC m ==,则建筑物CD 的高是__________m ．15．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为_____厘米．16．比较大小：13 ___1．（填“＞”、“＜”或“＝”）三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）为了预防“甲型H 1N 1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）与时间x （min ）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例，如图所示，现测得药物8min 燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg ，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： 药物燃烧时，求y 关于x 的函数关系式？自变量x 的取值范围是什么？药物燃烧后y与x 的函数关系式呢？研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg 时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？18．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点．（1）求抛物线解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△MOA 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？（3）若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标．19．（8分）先化简，再求值：2441x xx+++÷（31x+﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+4．20．（8分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：本次抽样调查了个家庭；将图①中的条形图补充完整；学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是度；若该社区有家庭有3000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？21．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？22．（10分）在边长为1的5×5的方格中，有一个四边形OABC ，以O 点为位似中心，作一个四边形，使得所作四边形与四边形OABC 位似，且该四边形的各个顶点都在格点上；求出你所作的四边形的面积．23．（12分）已如：⊙O 与⊙O 上的一点A（1）求作：⊙O 的内接正六边形ABCDEF ；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE ，BF ，判断四边形BCEF 是否为矩形，并说明理由．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0k y x x=>的图象与直线y ＝2x +1交于点A （1，m ）. （1）求k 、m 的值； （2）已知点P （n ，0）（n ≥1），过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y ＝2x +1于点B ，交函数()0k y x x=>的图象于点C .横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当n ＝3时，求线段AB 上的整点个数；②若()0k y x x=>的图象在点A 、C 之间的部分与线段AB 、BC 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，直接写出n 的取值范围.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选C ．2、C【解题分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB=∠DBE 的关系，根据三角形外角的性质，可得答案.【题目详解】在△ABC 和△DEB 中，AC BD AB ED BC BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以△ABC ≅△BDE(SSS)，所以∠ACB=∠DBE.故本题正确答案为C.【题目点拨】.本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉掌握是关键.3、C【解题分析】分a ＞1和a ＜1两种情况根据二次函数的对称性确定出y 1与y 2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．【题目详解】解：①a ＞1时，二次函数图象开口向上，∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，∴y1＞y2，无法确定y1+y2的正负情况，a（y1﹣y2）＞1，②a＜1时，二次函数图象开口向下，∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，∴y1＜y2，无法确定y1+y2的正负情况，a（y1﹣y2）＞1，综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞1．故选：C．【题目点拨】本题主要考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，关键要掌握根据二次项系数a的正负分情况讨论．4、C【解题分析】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴12 AC ADAB AC==，∴2ACDABCS ADS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2 112ABCS⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△ABC=4，∴S△BCD= S△ABC- S△ACD=4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.5、D【解题分析】根据真假命题的定义及有关性质逐项判断即可.【题目详解】A、真命题为:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误;B 、真命题为:对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形,故本选项错误;C 、真命题为:平分弦的直径垂直于弦(非直径),并且平分弦所对的弧,故本选项错误;D 、∵a 2＋b 2＋c 2＝ac ＋bc ＋ab ，∴2a 2＋2b 2＋2c 2-2ac -2bc -2ab =0，∴(a -b )2+(a -c )2+(b -c )2=0，∴a =b =c ，故本选项正确. 故选D.【题目点拨】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题.熟练掌握所学性质是解答本题的关键.6、B【解题分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【题目详解】①对从某国进口的香蕉进行检验检疫适合抽样调查；②审查某教科书稿适合全面调查；③中央电视台“鸡年春晚”收视率适合抽样调查.故选B.【题目点拨】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．7、B【解题分析】试题解析：延长ED 交BC 于F ，∵AB ∥DE ,∴380,1180318080100ABC ∠=∠=∠=-∠=-=，218018014040.CDE ∠=-∠=-=在△CDF 中,1100,240∠=∠=，故180121801004040.C ∠=-∠-∠=--=故选B.8、A【解题分析】试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x ＜2这段位于x 轴的上方，而抛物线在2＜x ＜3这段位于x 轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y ＝a (x －4)2－4(a ≠0)可求出a=1.故选A9、A【解题分析】设2(0)y ax bx c a =++≠（1）如果存在两个实数p≠q ，使得ap 2+bp+c=aq 2+bq+c ，则说明在2(0)y ax bx c a =++≠中，当x=p 和x=q 时的y 值相等，但并不能说明此时p 、q 是2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交点的横坐标，故①中结论不一定成立；（2）若am 2+bm+c=an 2+bn+c=as 2+bs+c ，则说明在2(0)y ax bx c a =++≠中当x=m 、n 、s 时，对应的y 值相等，因此m 、n 、s 中至少有两个数是相等的，故②错误；（3）如果ac ＜0，则b 2-4ac>0，则2(0)y ax bx c a =++≠的图象和x 轴必有两个不同的交点，所以此时一定存在两个实数m ＜n ，使am 2+bm+c ＜0＜an 2+bn+c ，故③在结论正确；（4）如果ac ＞0，则b 2-4ac 的值的正负无法确定，此时2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点情况无法确定，所以④中结论不一定成立.综上所述，四种说法中正确的是③.故选A.10、B【解题分析】由矩形和菱形的判定方法得出A 、C 、D 正确，B 不正确；即可得出结论．【题目详解】解：A 、若AB ⊥BC ，则ABCD 是矩形，正确；B 、若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形，不正确；C、若AC BD＝，则ABCD是矩形，正确；D、若AB AD＝，则ABCD是菱形，正确；故选B．【题目点拨】本题考查了正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定；熟练掌握正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、8 3【解题分析】依据∠B=∠C=45°，∠DFE=45°，即可得出∠BGF=∠CFH，进而得到△BFG∽△CHF，依据相似三角形的性质，即可得到CHBF=CFBG，即22CH=223，即可得到CH=83．【题目详解】解：∵AG=1，BG=3，∴AB=4，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=42，∠B=∠C=45°，∵F是BC的中点，∴BF=CF=22，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∴∠CFH=180°﹣∠BFG﹣45°=135°﹣∠BFG，又∵△BFG中，∠BGF=180°﹣∠B﹣∠BFG=135°﹣∠BFG，∴∠BGF=∠CFH，∴△BFG∽△CHF，∴CHBF=CFBG22=223，∴CH=83，故答案为83．【题目点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.12、73°【解题分析】试题解析：∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°-∠CBD=146°，∴∠ABC=∠ABE=12∠CBE=73°．13、24a【解题分析】根据题意列出代数式即可．【题目详解】根据题意得：30a×0.8=24a，则应付票价总额为24a元，故答案为24a.【题目点拨】考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．14、10.5【解题分析】先证△AEB∽△ABC，再利用相似的性质即可求出答案. 【题目详解】解：由题可知，BE⊥AC，DC⊥AC∵BE//DC，∴△AEB∽△ADC，∴BE AB CD AC=，即：1.2 1.61.612.4 CD=+，∴CD＝10.5（m）.故答案为10.5.【题目点拨】本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.15、1或5.【解题分析】小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离．【题目详解】解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2÷2＝1，①如图，小正方形平移距离为1厘米；②如图，小正方形平移距离为4+1＝5厘米．故答案为1或5，【题目点拨】此题考查了平移的性质，要明确，平移前后图形的形状和面积不变．画出图形即可直观解答．16、＜．【解题分析】根据算术平方根的定义即可求解．【题目详解】161，13161，131．故答案为＜．【题目点拨】考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）()3084{?48(8)x x y x x≤≤=>；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的． 【解题分析】（1）药物燃烧时，设出y 与x 之间的解析式y=k 1x ，把点（8，6）代入即可，从图上读出x 的取值范围；药物燃烧后，设出y 与x 之间的解析式y=2k x，把点（8，6）代入即可； （2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x ；（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x ，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．【题目详解】解：（1）设药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y=k 1x （k 1＞0）代入（8，6）为6=8k 1∴k 1=34设药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为y=2k x （k 2＞0）代入（8，6）为6=2k 8， ∴k 2=48 ∴药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为3y x 4=（0≤x≤8）药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为48y x =（x ＞8） ∴()30x 84y 48(8)xx x ⎧≤≤⎪⎪⎨=⎪>⎪⎩ （2）结合实际，令48y x =中y≤1.6得x≥30 即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）把y=3代入3y x 4=，得：x=4 把y=3代入48y x=，得：x=16 ∵16﹣4=12所以这次消毒是有效的．【题目点拨】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．18、（1）y=12x2+x﹣4；（2）S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；（3）Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2﹣2﹣P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．【解题分析】(1)设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c,然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可;(2)利用抛物线的解析式表示出点M的纵坐标，从而得到点M到x轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解;(3)利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解.【题目详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0），∴16404420a b cca b c-+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得1214 abc⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为y=12x2+x﹣4；（2）∵点M的横坐标为m，∴点M的纵坐标为12m2+m﹣4，又∵A（﹣4，0），∴AO=0﹣（﹣4）=4，∴S=12×4×|12m2+m﹣4|=﹣（m2+2m﹣8）=﹣m2﹣2m+8，∵S=﹣（m2+2m﹣8）=﹣（m+1）2+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，∴当m=﹣1时，S有最大值，最大值为S=9；故答案为S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；（3）∵点Q是直线y=﹣x上的动点，∴设点Q的坐标为（a，﹣a），∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，∴点P的坐标为（a，12a2+a﹣4），∴PQ=﹣a﹣（12a2+a﹣4）=﹣12a2﹣2a+4，又∵OB=0﹣（﹣4）=4，以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，∴|PQ|=OB，即|﹣12a2﹣2a+4|=4，①﹣12a2﹣2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，解得a=0（舍去）或a=﹣4，﹣a=4，所以点Q坐标为（﹣4，4），②﹣12a2﹣2a+4=﹣4时，整理得，a2+4a﹣16=0，解得a=﹣2±所以点Q的坐标为（﹣2﹣2﹣2+2，综上所述，Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2﹣2﹣P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．【题目点拨】本题是对二次函数的综合考查有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质,平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解.19、-5【解题分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．【题目详解】当x=sin30°+2﹣1∴x=12+12+2=3，原式=2(x 2)x 1++÷24x x 1-+=x 2x 2+--=﹣5. 【题目点拨】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20、 (1)200；(2)见解析；(3)36；(4)该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．【解题分析】（1）根据1.5～2小时的圆心角度数求出1.5～2小时所占的百分比，再用1.5～2小时的人数除以所占的百分比，即可得出本次抽样调查的总家庭数；（2）用抽查的总人数乘以学习0.5-1小时的家庭所占的百分比求出学习0.5-1小时的家庭数，再用总人数减去其它家庭数，求出学习2-2.5小时的家庭数，从而补全统计图；（3）用360°乘以学习时间在2～2.5小时所占的百分比，即可求出学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数；（4）用该社区所有家庭数乘以学习时间不少于1小时的家庭数所占的百分比即可得出答案．【题目详解】解：(1)本次抽样调查的家庭数是：30÷54360＝200(个)； 故答案为200；(2)学习0.5﹣1小时的家庭数有：200×108360＝60(个)， 学习2﹣2.5小时的家庭数有：200﹣60﹣90﹣30＝20(个)，补图如下：(3)学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是：360×20200＝36°； 故答案为36；(4)根据题意得：3000×903020200++＝2100(个)． 答：该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．【题目点拨】本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．21、（1）；（2）每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解题分析】根据题可设出一般式，再由图中数据带入可得答案，根据题目中的x的取值可得结果.②由总利润=数量×单间商品的利润可得函数式，可得解析式为一元二次式，配成顶点式可求出最大利润时的销售价，即可得出答案.【题目详解】（1）.（2）根据题意，得：∵∴当时，随x的增大而增大∵∴当时，取得最大值，最大值是144答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【题目点拨】熟悉掌握图中所给信息以及列方程组是解决本题的关键.22、（1）如图所示，见解析；四边形OA′B′C′即为所求；（2）S四边形OA′B′C′＝1．【解题分析】（1）结合网格特点，分别作出点A、B、C关于点O成位似变换的对应点，再顺次连接即可得；（2）根据S四边形OA′B′C′=S△OA′B′+S△OB′C′计算可得．【题目详解】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求．（2）S四边形OA′B′C′＝S△OA′B′+S△OB′C′＝×4×4+×2×2＝8+2＝1．【题目点拨】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．23、（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解题分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，AB BC CD DE EF AF=====，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．【题目详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：连接BE，如图，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴AB BC CD DE EF AF=====，∴BC CD DE EF AF AB++=++，∴BAE BCE=，∴BE为直径，∴∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，∴四边形BCEF为矩形．【题目点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．24、（1）m＝3，k＝3；（2）①线段AB上有（1，3）、（2，5）、（3，7）共3个整点，②当2≤n＜3时，有五个整点. 【解题分析】（1）将A点代入直线解析式可求m，再代入kyx=，可求k.（2）①根据题意先求B，C两点，可得线段AB上的整点的横坐标的范围1≤x≤3，且x为整数，所以x取1，2，3.再代入可求整点，即求出整点个数.②根据图象可以直接判断2≤n＜3.【题目详解】（1）∵点A（1，m）在y＝2x+1上，∴m＝2×1+1＝3.∴A（1，3）.∵点A（1，3）在函数kyx=的图象上，∴k＝3.（2）①当n＝3时，B、C两点的坐标为B（3，7）、C（3，1）. ∵整点在线段AB上∴1≤x≤3且x为整数∴x＝1，2，3∴当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，当x＝3时，y＝7，∴线段AB上有（1，3）、（2，5）、（3，7）共3个整点.②由图象可得当2≤n＜3时，有五个整点.【题目点拨】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法，以及函数图象的性质.关键是能利用函数图象有关解决问题.。
2022年湖南省株洲市中考数学试题及答案解析
2022年湖南省株洲市中考数学试卷1. −2的绝对值等于( )A. −2B. −12C. 12D. 22. 在0、13、−1、√2这四个数中，最小的数是( )A. 0B. 13C. −1D. √23. 不等式4x −1<0的解集是( )A. x >4B. x <4C. x >14D. x <144. 某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为( )A. 63B. 65C. 66D. 695. 下列运算正确的是( )A. a 2⋅a 3=a5 B. (a 3)2=a5 C. (ab)2=ab 2D. a 6a 2=a 3(a ≠0)6. 在平面直角坐标系中，一次函数y =5x +1的图象与y 轴的交点的坐标为( )A. (0,−1)B. (−15,0)C. (15,0)D. (0,1)7. 对于二元一次方程组{y =x −1①x +2y =7②，将①式代入②式，消去y 可以得到( )A. x +2x −1=7B. x +2x −2=7C. x +x −1=7D. x +2x +2=78. 如图所示，等边△ABC 的顶点A 在⊙O 上，边AB 、AC 与⊙O 分别交于点D 、E ，点F 是劣弧DE ⏜上一点，且与D 、E 不重合，连接DF 、EF ，则∠DFE 的度数为( )A. 115°B. 118°C. 120°D. 125°9. 如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作CE//BD 交AB 的延长线于点E ，下列结论不一定正确的是( )A. OB =12CEB. △ACE 是直角三角形AEC. BC=12D. BE=CE10.已知二次函数y=ax2+bx−c(a≠0)，其中b>0、c>0，则该函数的图象可能为( )A. B.C. D.11.计算：3+(−2)=______．12.因式分解：x2−25=______．13.某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是______.(用最简分数表示)14.A市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：人员领队心理医生专业医生专业护士占总人数的百4%★56%分此则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为______．15.如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO=______度．16. 如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6.若反比例函数y =kx 的图象经过点C ，则k 的值为______．17. 如图所示，已知∠MON =60°，正五边形ABCDE 的顶点A 、B在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则∠AEO =______度．18. 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线AB 与⊙O 相交于点M 、N(点N 在点M 的右上方)，若AB 的长度为10丈，⊙O 的半径为2丈，则BN 的长度为______丈．19. 计算：(−1)2022+√9−2sin30°．20. 先化简，再求值：(1+1x+1)⋅x+1x 2+4x+4，其中x =4．21. 如图所示，点E 在四边形ABCD 的边AD 上，连接CE ，并延长CE 交BA 的延长线于点F ，已知AE =DE ，FE =CE ． (1)求证：△AEF≌△DEC ；(2)若AD//BC ，求证：四边形ABCD 为平行四边形．22.如图(Ⅰ)所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图(Ⅱ)所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i=1：1，BN⊥l 于N，且CN=√2千米．(1)求∠ACB的度数；(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．23.某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：专业评委给分(单位：分)①88②87③94④91⑤90(专业评委给分统计表)记“专业评委给分”的平均数为x−．(1)求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；(2)对于该作品，问x−的值是多少？(3)记“民主测评得分”为y−，“综合得分”为S，若规定：①y−=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×(−1)分；②S=0.7x−+0.3y−．求该作品的“综合得分”S的值．24.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=2x (x<0)、y2=kx(x>0,k>0)的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为−2．(1)求点A的横坐标；(2)记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．25.如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC=45°，连接OB、OD，已知OD//BC．(1)求证：直线BC是⊙O的切线；(2)若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．①求证：△ABD∽△DBE；②若AB⋅BE=6，求⊙O的半径的长度．26.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)．(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点(1,1)，求c的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)，其中x1<0<x2、|x1|>|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦⋅韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba ，x1x2=ca”.此关系通常被称为“韦达定理”．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了绝对值的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．根据绝对值的含义以及求法，可得：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．据此解答即可．【解答】解：−2的绝对值等于：|−2|=2．故选D．2.【答案】C<√2，【解析】解：∵−1<0<13∴最小的数是−1，故选：C．根据负数小于0，正数大于0比较实数的大小即可得出答案．本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵4x−1<0，∴4x<1，∴x<1．4故选：D．根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1解不等式即可．本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：将这组数据由小到大排列为：55，63，65，67，69，这组数据的中位数是65，故选：B．根据将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．本题考查了中位数，将数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：A.因为a2⋅a3=a2+3=a5，所以A选项运算正确，故A选项符合题意；B.因为(a3)2=a2×3=a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；C.因为(ab)2=a2b2，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意；=a6−2=a4，所以D选项运算不正确，故D选项不符合题意．D.因为a6a2故选：A．A.应用同底数幂乘法法则进行求解即可得出答案；B.应用幂的乘方运算法则进行计算即可得出答案；C.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；D.应用同底数幂除法运算法则进行计算即可得出答案．本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵当x=0时，y=1，∴一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为(0,1)，故选：D．一次函数的图象与y轴的交点的横坐标是0，当x=0时，y=1，从而得出答案．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的图象与y轴的交点的横坐标是0是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：{y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，得x+2(x−1)=7，∴x+2x−2=7，故选：B．将①式代入②式，得x+2(x−1)=7，去括号即可．本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键．8.【答案】C【解析】解：EFDA是⊙O内接四边形，∴∠EFD+∠A=180°，∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，∴∠A=60°，∴∠EFD=120°，故选：C．根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD=120°．本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．9.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO=12，AC⊥BD，∵CE//BD，∴△AOB∽△ACE，∴∠AOB=∠ACE=90°，AOAC =OBCE=ABAE=12，∴△ACE是直角三角形，OB=12CE，AB=12AE，∴BC=12AE，故选：D．由菱形的性质可得AO=CO=12，AC⊥BD，通过证明△AOB∽△ACE，可得∠AOB=∠ACE=90°，OB=12CE，AB=12AE，由直角三角形的性质可得BC=12AE，即可求解．本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的对角线垂直平分是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵c>0，∴−c<0，故A，D选项不符合题意；当a>0时，∵b>0，<0，∴对称轴x=−b2a故B选项不符合题意；当a<0时，b>0，>0，∴对称轴x=−b2a故C选项符合题意，故选：C．根据c>0，可知−c<0，可排除A，D选项，当a>0时，可知对称轴<0，可排除B选项，当a<0时，可知对称轴>0，可知C选项符合题意．本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：3+(−2)=+(3−2)=1．故答案为：1根据有理数的加法法则计算即可．本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解答本题的关键．12.【答案】(x+5)(x−5)【解析】解：原式=(x+5)(x−5)．故答案为：(x+5)(x−5)．应用平方差公式进行计算即可得出答案．本题主要考查了因式分解−应用公式法，熟练掌握因式分解−应用公式法进行求解是解决本题的关键．13.【答案】13【解析】解：∵所有可能出现的结果数为6，其中能中奖出现的结果为2，每种结果出现的可能性相同，∴P(能中奖)=26=13．故答案为：13．根据能中奖的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．本题考查了概率公式，掌握P(能中奖)=能中奖的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．14.【答案】40%【解析】解：1−4%−56%=40%，故答案为：40%．根据各种人员占总人数的百分比之和为1计算即可得出答案．本题考查了统计表，掌握各种人员占总人数的百分比之和为1是解题的关键．15.【答案】15【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法(HL)是解题的关键．根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB=∠ONB=90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB(HL)，根据全等三角形的性质可得∠OBM=∠OBN，即可求出∠ABO的度数．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB=∠ONB=90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，{OM=ONOB=OB，∴Rt△OMB≌Rt△ONB(HL)，∴∠OBM=∠OBN，∵∠ABC=30°，∴∠ABO=15°．16.【答案】3【解析】解：设BC交x轴于E，如图：∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，设C(m,n)，则OE=m，CE=n，∵矩形DOEC面积是3，∴mn=3，∵C在反比例函数y=k的图象上，x∴n=k，即k=mn，m∴k=3，故答案为：3．设BC交x轴于E，根据x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，可得四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，设C(m,n)，则mn=3，即可得k=3．本题考查反比例函数图象及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的特征，中k的几何意义．理解y=kx17.【答案】48【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，=108°，∴∠EAB=(5−2)×180°5∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO=∠EAB−∠MON=108°−60°=48°，故答案为：48．根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．18.【答案】(8−2√2)【解析】解：如图，设正方形的一边与⊙O的切点为C，连接OC，则OC⊥AC，∵四边形是正方形，AB是对角线，∴∠OAC=45°，∴OA=√2OC=2√2(丈)，∴BN=AB−AN=10−2√2−2=(8−2√2)丈，故答案为：(8−2√2).连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，根据正方形的性质得到∠OAC=45°，求出OA，结合图形计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．19.【答案】解：原式=1+3−2×12=1+3−1=3．【解析】根据有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可．本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握(−1)的偶次幂等于1，(−1)的奇次幂等于−1是解题的关键．20.【答案】解：原式=(x+1x+1+1x+1)⋅x+1(x+2)2=x+2x+1⋅x+1 (x+2)2=1x+2；把x=4代入1x+2中，原式=14+2=16．【解析】应用分式的混合运算法则进行计算，化为最简，再把x=4代入计算即可得出答案．本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．21.【答案】证明：(1)在△AEF和△DEC中，{AE=DE∠AEF=∠DEC FE=CE，∴△AEF≌△DEC(SAS)；(2)∵△AEF≌△DEC，∴∠AFE=∠DCE，∴AB//CD，∵AD//BC，∴四边形ABCD为平行四边形．【解析】(1)利用SAS定理证明△AEF≌△DEC；(2)根据全等三角形的性质得到∠AFE=∠DCE，得到AB//CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论．本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵山坡②的坡度i=1：1，∴CN=BN，∴∠BCN=45°，∴∠ACB=180°−30°−45°=105°；(2)在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠ACM=30°，AM=0.6千米，∴AC=2AM=1.2千米，在Rt△BCN中，∠BNC=90°，∠BCN=45°，CN=√2千米，则BC=CNcos∠BCN=2(千米)，∴该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2=3.2(千米)，答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．【解析】(1)根据坡度的概念求出∠BCN=45°，根据平角的概念计算即可；(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，进而得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23.【答案】解：(1)该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50−40=10(张)，答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；(2)x−=(88+87+94+91+90)÷5=90(分)；答：x−的值是90分；(3)①y−=40×3+10×(−1)=110(分)；②∵S=0.7x−+0.3y−=0.7×90+0.3×110=96(分)．答：该作品的“综合得分”S的值为96分．【解析】(1)“不赞成”的票数=总票数−赞成的票；(2)平均数=总分数÷总人数；(3)根据y−=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×(−1)分；S=0.7x−+0.3y−求出该作品的“综合得分”S的值．本题考查了加权平均数、算术平均数，掌握这两种平均数的应用，其中读懂题意是解题关键．24.【答案】解：(1)∵点A在函数y1=2x(x<0)的图象上，点A的纵坐标为−2，∴−2=2x，解得x=−1，∴点A的横坐标为−1；(2)∵点B在函数y2=kx(x>0,k>0)的图象上，点B的横坐标为2，∴B(2,k2)，∴PC=OQ=k2，BQ=2，∵A(−1,−2)，∴OP=CQ=1，AP=2，∴AC=2+k2，BC=1+2=3，∴S=S△ABC−S△PQC=12AC⋅BC−12PC⋅CQ=12×3×(2+k2)−12×k2×1=3+12k.【解析】(1)把y=−2代入y1=2x(x<0)即可求得；(2)求得B(2,k2)，即可得到PC=OQ=k2∴AC=2+k2，BC=1+2=3，然后根据S=S△ABC−S△PQC即可得到结论．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出线段的长度是解题的关键．25.【答案】(1)证明：∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，∵OD//BC，∴∠OBC=180°−∠BOD=90°，∴OB⊥BC，又OB是⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线；(2)①证明：由(1)知∠BOD=90°，∵OB=OD，∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠BDE=45°=∠BAD，∵∠DBE=∠ABD，∴△ABD∽△DBE；②解：由①知：△ABD∽△DBE，∴ABBD =BDBE，∴BD2=AB⋅BE，∵AB⋅BE=6，∴BD2=6，∴BD=√6，∵△BOD是等腰直角三角形，∴OB=BD⋅sin∠BDO=√6×√22=√3，∴⊙O的半径的长度是√3．【解析】(1)由∠BAC=45°，得∠BOD=90°，又OD//BC，可得OB⊥BC，即得直线BC 是⊙O的切线；(2)①由∠BOD=90°，OB=OD，可得∠BDE=45°=∠BAD，即知△ABD∽△DBE；②由△ABD∽△DBE，得BD2=AB⋅BE，又AB⋅BE=6，可得BD=√6，从而OB=BD⋅sin∠BDO=√3，即⊙O的半径的长度是√3．本题考查圆的综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，圆的切线等知识，解题的关键是掌握切线的判定定理及圆的相关性质．26.【答案】解：(1)当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=−3；(2)①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−√b2−4ac2a ，x2=−b+√b2−4ac2a，∴AB=x2−x1=√b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：(−b2a ,4ac−b24a)，∴AE=b2−4ac4a ，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB =34，∴b2−4ac4a ÷√b2−4aca=34，∴b2−4ac=9；②∵b2−4ac=9，∴x2=−b+32a，∵OP//MN，∴NPBP =OMOB，∴b2a ：−b+32a=2，∴b=2，∴22−4ac=9，∴c=−54a，∴T=1a2+165c=1a2−54a⋅165=1a2−4a=(1a−2)2+4，∴当1a=2时，T最小=4，即a=12时，T最小=4．【解析】(1)把x=1，y=1代入y=x2+3x+c，从而求得结果；(2)①根据题意，表示出AE和AB，根据tan∠ABE=AEAB =34，得出b2−4ac4a÷√b2−4aca=34，从而求得结果；(3)根据OP//MN，从而得出NPBP =OMOB，从而求得b的值，进而得出a，c的关系式，将其代入T=1a2+165c，进一步求得结果．本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键根据点的坐标表示出线段．。
湖南省株洲市2024年中考数学试卷(解析版)
湖南省株洲市2024年中考数学试卷一、选择题1．下列数中，﹣3的倒数是（）A．﹣13B．13C．﹣3D．3【答案】A．【解析】试题分析：1÷（﹣3）=13-=﹣13．故选A．考点：倒数．2．下列等式错误的是（）A．222(2)4mn m n=B．222(2)4mn m n-=C．22366(2)8m n m n=D．22355(2)8m n m n-=-【答案】D．【解析】考点：幂的乘方与积的乘方．3．甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成果（环）及方差统计如表，现要依据这些数据，从中选出一人参与竞赛，假如你是教练员，你的选择是（）队员平均成绩方差甲9.7 2.12乙9.6 0.56丙9.7 0.56丁9.6 1.34A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C．【解析】试题分析：∵=x x甲丙=9.7，22S S>甲乙，∴选择丙．故选C．考点：方差．4．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】B．【解析】考点：旋转的性质．5．不等式21120xx-≥⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：解不等式2x﹣1≥1，得：x≥1，解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，∴不等式组的解集为：1≤x＜2，故选C．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．6．在解方程13132x xx-++=时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（）A．2x﹣1+6x=3（3x+1）B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）C．2（x﹣1）+x=3（3x+1）D．（x﹣1）+x=3（x+1）【答案】B．【解析】试题分析：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），故选B．考点：解一元一次方程．7．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=12DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE【答案】D．【解析】考点：平行四边形的性质．8．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种状况的面积关系满意S1+S2=S3图形个数有（）A．1B．2C．3D．4【答案】D．【解析】故选D．考点：勾股定理．9．已知，如图一次函数1y ax b=+与反比例函数2ky x =的图象如图示，当12y y <时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞5C ．2＜x ＜5D ．0＜x ＜2或x ＞5 【答案】D ． 【解析】试题分析：依据题意得：当12y y <时，x 的取值范围是0＜x ＜2或x ＞5．故选D ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．10．已知二次函数2y ax bx c =++（a ＞0）的图象经过点A （﹣1，2），B （2，5），顶点坐标为（m ，n ），则下列说法错误的是（ ）A ．c ＜3B ．m ≤12 C ．n ≤2 D ．b ＜1【答案】B ． 【解析】考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 二、填空题11．计算：3a ﹣（2a ﹣1）= ． 【答案】a+1． 【解析】试题分析：原式=3a ﹣2a+1=a+1，故答案为：a+1． 考点：整式的加减．12．据民政部网站消息，截至2024年底，我国60岁以上老年人口已经达到2.12亿，其中2.12亿用科学记数法表示为 ． 【答案】2.12×108．【解析】试题分析：2.12亿=212000000=2.12×108，故答案为：2.12×108．考点：科学记数法—表示较大的数．13．从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率是．【答案】0.4．【解析】试题分析：从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率=40100=0.4．故答案为：0.4．考点：概率公式．14．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为．【答案】π．【解析】试题分析：如图，连接OA、OB，∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×16=60°，AB的长为603180π⨯=π．故答案为：π．考点：正多边形和圆；弧长的计算．15．分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x= ．【答案】（x+4）（x﹣4）．考点：因式分解-运用公式法．16．△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A=75°，∠B=45°，则圆心角∠EOF= 度．【答案】120．【解析】试题分析：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣75°﹣45°=105°﹣45°=60°．∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∴∠OEC=∠OFC=90°，∵四边形OECF的内角和等于360°，∴∠EOF=360°﹣（90°+90°+60°）=360°﹣240°=120°．故答案为：120．考点：三角形的内切圆与内心．17．已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD．设直线AB的表达式为y1=k1x+b1，直线CD的表达式为y2=k2x+b2，则k1k2= ．【答案】1．【解析】试题分析：设点A（0，a）、B（b，0），∴OA=a，OB=﹣b，∵△AOB≌△COD，∴OC=a，OD=﹣b，∴C（a，0），D（0，b），∴k1=OAOB=ab-，k2=ODOC=ba-，∴k1k2=1，故答案为：1．考点：两条直线相交或平行问题；全等三角形的性质．18．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P2的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= ．31．【解析】考点：解直角三角形；等腰直角三角形；新定义．三、解答题19．计算：20169(1)4cos 60+--．【答案】2．【解析】试题分析：原式利用算术平方根定义，乘方的意义，以及特别角的三角函数值计算即可得到结果．试题解析：原式=3+1﹣2=2．考点：实数的运算；零指数幂；特别角的三角函数值．20．先化简，再求值：2114()22xx x--⋅+，其中x=3．【答案】2xx-，13．【解析】考点：分式的化简求值．21．某社区从2024年起先，组织全民健身活动，结合社区条件，开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目，现将参与项目活动总人数进行统计，并绘制成每年参与总人数折线统计图和2024年各活动项目参与人数的扇形统计图，请你依据统计图解答下列题（1）2024年比2024年增加人；（2）请依据扇形统计图求出2024年参与跑步项目的人数；（3）组织者预料2024年参与人员人数将比2024年的人数增加15%，名各活动项目参与人数的百分比与2024年相同，请依据以上统计结果，估计2024年参与太极拳的人数．【答案】（1）990；（2）880；（3）184．【解析】试题解析：（1）1600﹣610=（人）；故答案为：990人；（2）1600×55%=880（人）；答：2024年参与跑步项目的人数为880人；（3）1600×（1+15%）×（1﹣55%﹣30%﹣5%）=184（人）；答：估计2024年参与太极拳的人数为184人．考点：折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．22．某市对初二综合素养测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成果（满分100分）和平常成果（满分100分）两部分组成，其中测试成果占80%，平常成果占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．（1）孔明同学的测试成果和平常成果两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成果和平常成果各得多少分？（2）某同学测试成果为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？（3）假如一个同学综合评价要达到A等，他的测试成果至少要多少分？【答案】（1）孔明同学测试成果位90分，平常成果为95分；（2）不行能；（3）75．【解析】试题分析：（1）分别利用孔明同学的测试成果和平常成果两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，分别得出等式求出答案；（2）利用测试成果占80%，平常成果占20%，进而得出答案；（3）首先假设平常成果为满分，进而得出不等式，求出测试成果的最小值．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．23．已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A 作AH⊥ED于H点．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）若BE=1，求tan∠AED的值．【答案】（1）证明见解析；（2）9 13．【解析】试题分析：（1）依据协助线的性质得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由邻补角的定义得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到结论；（2）过点A作AH⊥DE于点H，依据勾股定理得到1022CD CE=5，依据三角形的面积S△AED=12AD×BA=92，S△ADE=12ED×AH=92，求得AH=1.8，由三角函数的定义即可得到结论．试题解析：（1）正方形ABCD中，∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ADF=∠ABE=90°，在△ADF与△ABE 中，∵AD=AB，∠ADF=∠ABE，DF=BE，∴△ADF≌△ABE；考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．24．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数k yx =（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【答案】（1）k=6，C（﹣2，﹣3）；（2）1213．【解析】试题分析：（1）依据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数kyx=（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）依据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再依据等积法可以求得点D到直线AC的距离．试题解析：（1）∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数kyx=（k≠0）图象上，点B 、D 在x 轴上，且B 、D 两点关于原点对称，∴3=2k，点C 与点A 关于原点O 对称，∴k=6，C （﹣2，﹣3），即k 的值是6，C 点的坐标是（﹣2，﹣3）；考点：反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；函数及其图象．25．已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，且△AEF 为等边三角形．（1）求证：△DFB 是等腰三角形；（2）若DA=7AF ，求证：CF ⊥AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由AB 是⊙O 直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF 为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，依据三角形的外角的性质即可得到结论；试题解析：（1）∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF 为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB ，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB 是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，AM=3a，在Rt△DAM中，AD=7AF=27a，AM=3，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理．26．已知二次函数22(21)y x k x k k=-+++（k＞0）．（1）当k=12时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元次方程22(21)0x k x k k-+++=有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：222 111OA AB AQ+=．【答案】（1）（1，14-）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）干脆将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；（2）利用根的判别式得出△=1，进而得出答案；（3）依据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA，AB的长，再利用两点之间距离求出AQ的长，进而求出答案．试题解析：（1）将k=12代入二次函数可求得，2324y x x=++=21(1)4x+-，故抛物线的顶点坐标为：（1，14-）；考点：二次函数综合题．。
2022年湖南省株洲市中考数学试卷
2022年湖南省株洲市中考数学试卷1.a的相反数为−3，则a等于( )A．−3B．3C．±3D．132.下列运算正确的是( )A．a⋅a3=a4B．2a−a=2C．(a2)5=a7D．(−3b)2=6b23.一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字−1，0，2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为( )A．14B．13C．12D．344.一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是( )A．B．C．D．5.数据12，15，18，17，10．19的中位数为( )A．14B．15C．16D．176.下列哪个数是不等式2(x−1)+3<0的一个解？( )A．−3B．−12C．13D．27.在平面直角坐标系中，点A(a,2)在第二象限内，则a的取值可以是( )A．1B．−32C．43D．4或−48.下列不等式错误的是( )A．−2<−1B．π<√17C．52>√10D．13>0.39.如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为0，2，4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为( )πA．4πB．6C．4√3D．8310.二次函数y=ax2+bx+c，若ab<0，a−b2>0，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在该二次函数的图象上，其中x1<x2，x1+x2=0，则( )A．y1=−y2B．y1>y2C．y1<y2D．y1，y2的大小无法确定11.关于x的方程3x−8=x的解为x=．12.因式分解：2a2−12a=．×(√8+√2)的结果是．13.计算√2314.王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：尺码S M L XL XXL XXL则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有个．频率0.050.10.20.3250.30.02515.一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M，N分别在射线OA，OC上，则∠MON=度．16.如图所示，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C做CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF=3，则DE的长为．17.如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴，y轴上，点B在函数y1=kx （x>0，k为常数且k>2）的图象上，边AB与函数y2=2x（x>0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（结果用含k的式子表示）18.据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即 2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为尺．（结果用最简根式表示）19. 计算：(14)−1+∣−1∣−√3tan60∘．20. 先化简，再求值：(xy −yx )⋅yx+y −1，其中 x =√2，y =2．21. 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 l 1∥l 2，点 A ，B 分别在 l 1，l 2 上，斜坡 AB 的长为 18 米，过点 B 作 BC ⊥l 1 于点 C ，且线段 AC 的长为 2√6 米．(1) 求该斜坡的坡高 BC ；（结果用最简根式表示）(2) 为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚 α 为 60∘，过点M 作 MN ⊥l 1 于点 N ，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？22. 近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对 60 天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：(1) 求该数据中每天代寄包裹数在50.5∼200.5范围内的天数；(2) 若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？②这60天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：重量G(单位:千克)2<G≤33<G≤44<G≤5求这40件包裹收取费用的平均数．件数(单位:件)15101523.如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF，CF，满足△ABF≌△CBE．(1) 求证：∠EBF=90∘．(2) 若正方形ABCD的边长为1，CE=2，求tan∠AFC的值．24.AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，直线MN过点C，满足∠BCM=∠BAC=α．(1) 如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；(2) 如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E，F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE=5，若⊙O的半径为1，3cosα=3，求AG⋅ED的值．4(k>0)的图象上，直线AB交y轴于点C，25.如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx且点C的纵坐标为5，过点A，B分别作y轴的垂线AE，BF，垂足分别为点E，F，且AE=1．(1) 若点E为线段OC的中点，求k的值；(2) 若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90∘，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把∣x1−x2∣+∣y1−y2∣称为M(x1,y1)，N(x2,y2)两点间的“ZJ距离”，记为d(M,N)，求d(A,C)+d(A,B)的值．26.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A，B，点A，B的横坐标分别记为x1，x2，且0<x1<x2．(1) 若a=c，b=−3，且过点(1,−1)，求该二次函数的表达式；时，二次(2) 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δʹ=4．求证：当b<−52函数y1=ax2+(b+1)x+c的图象与x轴没有交点；(3) 若AB2=c2−2c+6，点P的坐标为(−√x0,−1)，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线c的Γ顶点在直线l上，连接OP，AP，BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB=∠DAB，求x0的最小值．答案1. 【答案】B【解析】因为3的相反数是−3，所以a=3．2. 【答案】A【解析】选项A，根据同底数幂的乘法法则可得a⋅a3=a4，选项A正确；选项B，根据合并同类项法则可得2a−a=a，选项B错误；选项C，根据幂的乘方的运算法则可得(a2)5=a10，选项C错误；选项D，根据积的乘方的运算法则可得(−3b)2=9b2，选项D错误．故选A．3. 【答案】C【解析】根据题意可得：4个小球中，其中标有2，3是正数，故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：24=12．4. 【答案】D【解析】∵∣+1.2∣=1.2，∣−2.3∣=2.3，∣+0.9∣=0.9，∣−0.8∣=0.8，0.8<0.9<1.2<2.3，∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D中的元件，故选D．5. 【答案】C【解析】把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是15+172=16．6. 【答案】A【解析】解不等式2(x−1)+3<0，得x<−12，因为只有−3<−12，所以只有−3是不等式2(x−1)+3<0的一个解，故选：A．7. 【答案】B【解析】∵点A(a,2)是第二象限内的点，∴a<0，四个选项中符合题意的数是−32．8. 【答案】C【解析】选项A ，根据两个负数绝对值大的反而小可得 −2<−1，选项A 正确； 选项B ，由 3<π<4，4<√17<5 可得 π<√17，选项B 正确； 选项C ，由 (52)2=6.25，6.25<10，可得 52<√10，选项C 错误；选项D ，由 13=0.3 可得 13>0.3，选项D 正确．9. 【答案】D【解析】由题意，知 AC =4，BC =4−2=2，∠A 1BC =90∘． 由旋转的性质，得 A 1C =AC =4． 在 Rt △A 1BC 中，cos∠ACA 1=BCA 1C=12， ∴∠ACA 1=60∘， ∴ 扇形 ACA 1 的面积为60×π×42360=83π，即线段 CA 扫过的图形的面积为 83π．10. 【答案】B【解析】 ∵a −b 2>0，b 2≥0， ∴a >0． 又 ∵ab <0， ∴b <0，∵x 1<x 2，x 1+x 2=0， ∴x 2=−x 1，x 1<0．∵ 点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 在该二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象上，∴y 1=ax 12+bx 1+c ，y 2=ax 22+bx 2+c =ax 12−bx 1+c ．∴y 1−y 2=2bx 1>0． ∴y 1>y 2． 故选：B ．11. 【答案】 4【解析】方程 3x −8=x ， 移项，得 3x −x =8， 合并同类项，得 2x =8． 解得 x =4．12. 【答案】 2a(a −6)【解析】 2a 2−12a =2a (a −6)．13. 【答案】 2【解析】原式=√23×√8+√23×√2=√2×83+√2×23=43+23=2.14. 【答案】8【解析】由表可知尺码L的频率的0.2，又因为班级总人数为40，所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40×0.2=8．15. 【答案】80【解析】根据正多边形性质得，中心角为360∘÷9=40∘，∴∠MON=2∠ABC=80∘．故答案为：80．16. 【答案】32【解析】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC=EF=3，∴DE=12BC=32．17. 【答案】k−1【解析】因为D是反比例函数y2=2x（x>0）图象上一点，所以根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为12×2=1．因为点B在函数y1=kx（x>0，k为常数且k>2）的图象上，四边形OABC为矩形，所以根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k．所以阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积−△AOD的面积=k−1．18. 【答案】4√2【解析】∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90∘，CD=DE，∴CE为直径，∠ECD=45∘，由题意得AB=2.5，∴CE=2.5−0.25×2=2，∴CD=CE⋅cos∠ECD=2×√22=√2，∴∠ECD=45∘，∴正方形CDEF周长4√2尺．19. 【答案】原式=4+1−√3×√3=4+1−3=2．20. 【答案】原式=x2−y2xy⋅yx+y−1=(x+y)(x−y)xy⋅yx+y−1=x−yx−xx=−yx.当x=√2，y=2，原式=−√2．21. 【答案】(1) 在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√324−24=10√3．(2) ∵∠α=60∘，∴∠AMN=30∘，∴AM=2MN，∵在Rt△ABC中，AN2+MN2=AM2，∴AN2+300=4AN2，∴AN=10，∴AM=20，∴AM−AB=20−18=2．综上所述，长度增加了2米．22. 【答案】(1) 结合统计图可知：每天代寄包裹数在50.5∼200.5范围内的天数为18+12+12=42天．(2) ①因为 1.6>1，故重量超过了1kg，除了付基础费用8元，还需要付超过1kg部分0.6kg的费用2元，则该顾客应付费用为8+2=10元．② (12×15+14×10+15×16)÷40=14元．所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．23. 【答案】(1) ∵△ABF≌△CBE，∴∠ABF=∠CBE，∵∠ABF+∠CBF=90∘，∴∠CBF+∠CBE=90∘，∴∠EBF=90∘．(2) ∵△ABF≌△CBE，∴∠AFB=∠CEB，∵∠FGA=∠EGB，∴∠FAC=∠EBF=90∘，∵正方形边长为1，CE=2，∴AC=√2，AF=CE=2，∴tan∠AFC=√22．24. 【答案】(1) 连接OC，如图，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90∘，所以∠A+∠B=90∘，因为OC=OB，所以∠B=∠OCB，因为∠BCM=∠A，所以∠OCB+∠BCM=90∘，即OC⊥MN，所以MN是⊙O的切线．(2) 如图②，因为cosα=ACAB =34，即AC2=34，所以AC=32，因为∠2=∠3，∠1=∠2，所以∠1=∠3，因为DH⊥MN，所以∠1+∠AGC=90∘，因为∠3+∠ECD=90∘，所以∠ECD=∠AGC，又因为∠DEC=∠CAG，所以△EDC∽△ACG,，所以EDAC =ECAG，所以 AG ⋅DE =AC ⋅CE =32×53=52．25. 【答案】(1) ∵ 点 E 为线段 OC 的中点，OC =5，∴OE =12OC =52， 即：E 点坐标为 (0,52)，又 ∵AE ⊥y 轴，AE =1，∴A (1,52)， ∴k =1×52=52．(2) ① 在 △OAB 为等腰直角三角形中，AO =OB ，∠AOB =90∘，∴∠AOE +∠FOB =90∘，又 ∵BF ⊥y 轴，∴∠FBO +∠FOB =90∘，∴∠AOE =∠FBO ．在 △OAE 和 △BOF 中，{∠AEO =∠OFB =90∘,∠AOE =∠FBO,AO =OB,∴△OAE ≌△BOF (AAS )，② 解：设点 A 坐标为 (1,m )，∵△OAE ≌△BOF ，∴BF =OE =m ，OF =AE =1，∴B (m,−1)，设直线 AB 解析式为：l AB :y =kx +5，将 AB 两点代入得：则 {k +5=m,km +5=−1,解得 {k 1=−3,m 1=2. {k 2=−2,m 2=3.当 m =2 时，OE =2，OA =√5，S △AOB =52<3，符合；∴d(A,C)+d(A,B)=AE+CE+(BF−AE)+(OE+OF)=1+CE+OE−1+OE+1=1+CE+2OE=1+CO+OE=1+5+2=8.当m=3时，OE=3，OA=√10，S△AOB=5>3，不符，舍去；综上所述：d(A,C)+d(A,B)=8．26. 【答案】(1) 由题意得：y=ax2−3x+a，∵函数过点(1,−1)，∴a−3+a=−1，∴a=c=1，∴y=x2−3x+1．(2) 由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δʹ=4，∴Δ=b2−4ac=4，∴4ac=b2−4，在函数y1=ax2+(b+1)x+c中，Δ=1(b+1)2−4ac=(b+1)2−(b2−4)=2b+5，∵b<−52，∴2b+5<0，即函数图象与x轴没有交点．(3) 因为函数顶点在直线l上，则有4ac−b24a=−1，即b2−4ac=4a, ⋯⋯①∵AB2=c2−2c+6c，∴(x2−x1)2=c2−2c+6c，即(x1+x2)2−4x1x2=c2−2c+6c，∴b2−4aca2=c2−2c+6c，由①得：4a =c2−2c+6c, ⋯⋯②∵∠OAP=∠DAB，∴∠OAP=∠OPB，∵∠OAP=∠OBP+∠APB，∠OPB=∠OPA+∠APB，∴∠OBP=∠OPA，则△OAP∽△OPB，∴OAOP =OPOB，∴OA⋅OB=OP2，∴x1x2=(−√x0)2+(−1)2，∴ca=x0+1，∴x0=ca−1，由②得：x0=c2−2c+64−1，∴x0=14(c−1)2+14，∴当c=1时，(x0)min=14．。
湖南省株洲市2021年中考数学试题真题(Word版,含答案与解析)
湖南省株洲市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·株洲）若 a 的倒数为2，则 a = （ ） A. 12 B. 2 C. −12 D. －2【答案】 A【考点】有理数的倒数【解析】【解答】解： ∵a 是2的倒数∴ 2a =1∴ a =12故答案是：A.【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可求解.2.（2021·株洲）方程 x 2−1=2 的解是（ ）A. x =2B. x =3C. x =5D. x =6【答案】 D【考点】一元一次方程的解【解析】【解答】解： x 2−1=2 ，x2=3 ，x =6 ；故答案为：D.【分析】根据一元一次方程的解题步骤“移项、合并同类项、系数化为1”可求解.3.（2021·株洲）如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在线段 BC 的延长线上，若 ∠DCE =132° ，则 ∠A = （ ）A. 38°B. 48°C. 58°D. 66°【答案】 B【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】∵ ∠DCE =132°∴ ∠DCB =180°−∠DCE =180°−132°=48°∵四边形 ABCD 是平行四边形∴∠A=∠DCB=48°.故答案为：B.【分析】由邻补角定义可求得∠DCB的度数，再根据平行四边形的性质“平行四边形的对角相等”可求解.4.（2021·株洲）某月1日—10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（）A. 1日—10日，甲的步数逐天增加B. 1日—6日，乙的步数逐天减少C. 第9日，甲、乙两人的步数正好相等D. 第11日，甲的步数不一定比乙的步数多【答案】B【考点】折线统计图【解析】【解答】A. 通过折线统计图中甲的图例实线部分，在1日—10日步数逐天增加，正确，不符合题意；B. 通过折线统计图中乙的图例虚线部分，在1日—5日步数逐天减少，第6日有所增加，错误，符合题意；C. 通过折线统计图中甲乙折线部分在第9日出现了重合，所以甲、乙两人的步数正好相等，正确；D. 第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，正确.题目要求选择错误的结论，B选项错误.故答案为：B.【分析】观察折线图可知：折线统计图中乙的图例虚线部分，在1日—5日步数逐天减少，第6日有所增加，而不是逐天减少.=（）5.（2021·株洲）计算：−4×√12A. −2√2B. －2C. −√2D. 2√2【答案】A【考点】实数的运算【解析】【解答】解： −4×√12=(−4)×√22=−2√2 故答案为：A.【分析】由题意先将√12分母有理化，再根据实数的运算法则计算即可求解. 6.（2021·株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”.问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（ ）A. 1.8升B. 16升C. 18升D. 50升【答案】 C【考点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题【解析】【解答】解：由题可知，3斗的粟即为30升的粟，设其可以换得粝米为x 升，则 x 30=3050 ，∴ x =18 ，∴可以换得粝米为18升；故答案为：C.【分析】由题意可得相等关系“3斗的粝米的价值= 50单位的粟的价值”，根据相等关系列方程即可求解.7.（2021·株洲）不等式组 {x −2≤0−x +1>0的解集为（ ） A. x <1 B. x ≤2 C. 1<x ≤2 D. 无解【答案】 A【考点】解一元一次不等式组【解析】【解答】解： {x −2≤0 ① −x +1>0 ② 由①，得：x≤2，由②，得：x ＜1，则不等式组的解集为：x ＜1，故答案为：A.【分析】由题意先求得每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即可求解.8.（2021·株洲）如图所示，在正六边形 ABCDEF 内，以 AB 为边作正五边形 ABGHI ，则 ∠FAI = （ ）A. 10°B. 12°C. 14°D. 15°【答案】B【考点】正多边形的性质【解析】【解答】如图，延长BA到点O，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAO= 360=60°，6∵五边形ABGHI是正五边形，∴∠IAO= 360=72°，5∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，故答案为：B.【分析】延长BA到点O，根据正多边形的每一个外角都相等，外角和都等于360°，再分别求出正六边形和正五边形的外角∠FAO和∠IAO的度数，然后由角的构成∠FAI=∠IAO-∠FAO可求解.9.（2021·株洲）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP= 1，设M=ac(a+b+c)，则M的取值范围为（）A. M<−1B. −1<M<0C. M<0D. M>0【答案】 D【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：由图象可知，图象开口向下，并与y轴相交于正半轴，∴a<0，c>0，当x=1，y=a·12+b·1+c=a+b+c，∵OP=1，并由图象可得，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于OP之间，∴a+b+c<0∴M=ac(a+b+c)>0，故答案为：D.【分析】观察图形可知抛物线的开口向下且与y轴相交于正半轴，则a<0，c>0，于是可得ac ＜0，由OP=1可得y=a+b+c＜0，根据两数相乘同号得正异号得负可得M=ac(a+b+c）＞0.10.（2021·株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α(0°≤α≤90°)，EF//l1//l2，若AB=1.4米，BE=2米，车辆的高度为ℎ（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度.①当α=90°时，ℎ小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α=45°时，ℎ等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α=60°时，ℎ等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则上述说法正确的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】如图过E点作EM⊥AB交AB的延长线于点M，∵EF//l1//l2∴∠MEB=α则ℎ=AM=AB+BE×sinα①当α=90°时，A,B,E三点共线，ℎ=AE=AB+BE=1.4+2=3.4>3.3∴ℎ小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确.②当α=45°时，ℎ=AB+BE×sinα=1.4+2×√22≈1.4+1.41=2.81<2.9∴ℎ等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确.③当α=60°时，ℎ=AB+BE×sinα=1.4+2×√32≈1.4+1.73=3.13>3.1∴ℎ等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误.综上所述：说法正确的为：①②，共2个.故答案为：C.【分析】如图过E点作EM⊥AB交AB的延长线于点M，①当α=90°时，A、B、E三点共线，根据h=AE=AB+BE可求得h的值，比较h与3.3的大小即可判断求解；②当α=45°时，根据h=AB+BE×sinα可求得h的值，比较h与2.9的大小即可判断求解；③当α=60°时，根据h=AB+BE×sinα可求得h的值，比较h与3.1的大小即可判断求解.二、填空题11.（2021·株洲）计算：2a2⋅a3=________.【答案】2a5【考点】单项式乘单项式【解析】【解答】解：2a2⋅a3=2a2+3=2a5.故答案：2a5.【分析】根据单项式乘单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式."可求解.12.（2021·株洲）因式分解：6x2−4xy=________.【答案】2x（3x-2y）【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】解：6x2−4xy=2x(3x−2y);故答案为：2x（3x-2y）.【分析】观察多项式可知每一项含有公因式2x，所以提公因式2x即可求解.13.（2021·株洲）据报道，2021年全国高考报名人数为1078万.将1078万用科学记数法表示为1.078×10n，则n=________.【答案】7【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：万=104将1078万用科学记数法表示为1.078×107∴ 1.078×10n=1.078×107∴n=7.故答案为：7.【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.14.（2020九上·温州月考）抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是________. 【答案】14【考点】等可能事件的概率【解析】【解答】解：共有正反，正正，反正，反反4种可能，则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为1.4.故答案为：14【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可.15.（2021·株洲）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC=________.【答案】4【考点】矩形的性质【解析】【解答】解：∵矩形ADBE 的对角线AB 与DE 交于点O ，∴AB=DE，OE=OD，∴AB=DE=2OD=4，∵线段BC 为等腰△ABC 的底边，∴AC=AB=4，故答案为：4.【分析】由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解.16.（2021·株洲）中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物.在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表：则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为________千克.【答案】2.5【考点】平均数及其计算【解析】【解答】解：由题意得黄芪销售量：120÷80=1.5（千克）；焦山楂的销售量：120÷60=2（千克）；当归的销售量：360÷90=4（千克）；=2.5（千克）.所以平均销售量为： 1.5+2+43故答案是：2.5.【分析】利用销售数量＝销售额÷销售单价，可分别求出黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售数量，再求出三者的算术平均数即可求解．17.（2021·株洲）点A(x1,y1)、B(x1+1,y2)是反比例函数y=k图象上的两点，满足：当x1>0x时，均有y1<y2，则k的取值范围是________.【答案】k<0【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：因为当x1>0时，x1+1>0，说明A、B两点同时位于第一或第四象限，∵当x1>0时，均有y1<y2，∴在该图象上，y随x的增大而增大，∴A、B两点同时位于第四象限，所以k<0，故答案为：k<0.【分析】由点A、B的横坐标易知A、B两点同时位于第一或第四象限，结合已知根据反比例函数的性质可知k<0.18.（2021·株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）.图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ 对称，连接CP、DP.若∠ADQ=24°，则∠DCP=________度.【答案】21【考点】三角形全等及其性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵△CBD≌△ABD，且都为等腰直角三角形，∴四边形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°,CD=AD，∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ=24°，∴∠PDQ=∠ADQ=24°，AD=DP，∴CD=DP，∠ADP=48°，∴∠CDP=138°，∴∠DCP=∠DPC=180°−∠CDP2=21°，故答案为21.【分析】由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠CDB和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和定理可求解．三、解答题19.（2021·株洲）计算：|−2|+√3sin60°−2−1.【答案】解：原式= 2+√3×√32−12= 2+32−12=3【考点】负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值【解析】【分析】由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得2-1=12，由特殊角的三角函数值可得sin60°=√32，然后根据实数的运算法则计算即可求解.20.（2021·株洲）先化简，再求值：2xx2−4⋅(1−2x)−3x+2，其中x=√2−2.【答案】解：原式=2x(x+2)(x−2)⋅x−2x−3x+2=2x+2−3x+2=−1x+2把x=√2−2代入得：原式=√2−2+2.=−√22【考点】利用分式运算化简求值【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再计算分式的乘法运算，然后根据同分母的分式加减法法则计算可将分式化简；最后把x的值代入化简后的分式计算即可求解.21.（2021·株洲）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE=BF=2.（1）求证：四边形BFED是平行四边形；（2）若tan∠ABD=23，求线段BG的长度.【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形ABCD，∴CD//AB，又∵DE=BF=2，∴四边形BFED是平行四边形（2）解：由（1）知四边形BFED是平行四边形，∴BD//EF，∴∠F=∠ABD，∴tan∠F=tan∠ABD=23，∴BGBF =23，∴BG=43，∴线段BG的长度为43【考点】四边形的综合【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行可得CD∥AB，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；（2）由平行四边形的对边平行可得BD∥EF，于是可得∠F=∠ABD，再根据锐角三角函数tan∠F=tan∠ABD=BGBF可求解.22.（2021·株洲）将一物体（视为边长为2π米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B(E)按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上.已知MG//PQ，∠FBP=30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH=13米，EF=4米.（1）求线段 FG 的长度；（2）求在此过程中点 A 运动至点 A 2 所经过的路程. 【答案】 （1）解：∵MG ∥PQ ， ∴∠FGM=∠FBP=30°. ∴在 Rt △FGH 中， FG =2FH =2×13=23 （米）（2）解：连接A 1A 2 ， 则必过点D 1 ， 且四边形A 1BGA 2是矩形.∴A 1A 2=BG=BF-GF= 4−23=103（米）.∵四边形ABCD 和四边形A 1BC 1D 1都是正方形， ∴AB=A 1B ，∠A 1BC 1=∠ABC=90°.∴∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1-∠FBP=180°-90°-30°=60°. ∴ l AA 1⌢=60×π×2π180=23（米）. ∴在整个运动过程中，点A 运动至A 2的路程为： l AA 1⌢+A 1A 2=23+103=4 （米）【考点】弧长的计算，生活中的平移现象，解直角三角形的应用，旋转的性质【解析】【分析】（1）在Rt △FGH 中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得FG ＝2FH ，结合已知可求解；（2） 连接A 1A 2， 则必过点D 1， 且四边形A 1BGA 2是矩形，由线段的构成A 1A 2=BG=BF-GF 可求得A 1A 2的值，利用弧长公式求得弧AA 1的值，于是在整个运动过程中，点A 运动至A 2的路程 l AA 1⌢+A 1A 2=23+103=4可求解．23.（2021·株洲）目前，国际上常用身体质量指数“ BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：BMI=Gℎ2（G表示体重，单位：千克；ℎ表示身高，单位：米）.已知某区域成人的BMI数值标准为：BMI<16为瘦弱（不健康）：16≤BMI≤18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖（不健康）.某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计如下：（男性身体属性与人数统计表）（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BMI数值；（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值.【答案】（1）解：根据图表可得，男性身体属性为“正常”的人数是：11人，女性身体属性为“正常”的人数是：9人，∴这个样本中身体属性为“正常”的人数是：11+9=20人（2）解：∵女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，∴该女性的BMI数值=51.2(1.6)2=51.22.56=20（3）解：根据图表可得：男性的人数为： 2+2+11+9+m =24+m ，女性的人数为： n +4+9+8+4=25+n ， ∵样本容量是55，∴ 24+m +25+n =55 ， ∴ m +n =6 ， ∵ m ≥3 且 n ≥2 ∴ {m =3n =3 或 {m =4n =2当 m =3 时，身体属性为“不健康”的男性人数有3+2=5人，身体属性为“不健康”的女性人数有3+4=7人，∴比值是 57 ，当 m =4 时，身体属性为“不健康”的男性人数有4+2=6人，身体属性为“不健康”的女性人数有2+4=6人，∴比值是 66=1综上所述样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值是 57 或1. 【考点】条形统计图【解析】【分析】（1）样本中身体属性为“正常”的女性人数加上样本中身体属性为“正常”的男性人数即可； （2）根据计算公式求出该女性的BMI 数值即可；（3）当m≥3且n≥2（m 、n 为正整数）时，根据抽取人数为55计算出m 的值即可求解．24.（2021·株洲）如图所示，在平面直角坐标系 Oxy 中，一次函数 y =2x 的图象 l 与函数 y =kx (k >0,x >0) 的图象（记为 Γ ）交于点A ，过点A 作 AB ⊥y 轴于点 B ，且 AB =1 ，点 C 在线段 OB 上（不含端点），且 OC =t ，过点 C 作直线 l 1//x 轴，交 l 于点 D ，交图象 Γ 于点 E .（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U=S1−S2，求U的最大值.【答案】（1）解：∵AB=1，∴A点横坐标为1，∵A点在一次函数y=2x的图象上，∴2×1=2，∴A(1,2)，∵A点也在反比例函数图象上，∴k=2×1=2，∴反比例函数解析式为：y=2x，∵OC=t，直线l1//x轴，∴D点纵坐标为t，∵D点在直线l上，∴D点横坐标为t2，综上可得：k=2，D点横坐标为t2（2）解：直线l1//x轴，交l于点D，交图象Γ于点E，∴E点纵坐标为t，将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为(2t,t)，∴DE=2t −t2，A点到DE的距离为2−t，∴ S 2=12×(2t −t2)(2−t)=t 24+2t −t2−1 ，∵ AB ⊥y 轴于点 B ， ∴ OB =2 ，∴ S 1=12OB ×EC =12×2×2t =2t ， ∴ U =S 1−S 2=2t −(t 24+2t −t2−1)=−t 24+t 2+1=−(12t −12)2+54 ，∴当 t =1 时， U 最大= 54 ； ∴ U 的最大值为 54【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质【解析】【分析】（1）根据AB=1可得点A 的横坐标，把点A 的横坐标代入正比例函数的解析式计算可求得点A 的纵坐标；再将点A 坐标代入反比例函数解析式中求出k ；根据l 1∥x 轴和OC=t 可知D 点纵坐标为t ，代入直线y ＝2x 中求出点D 的横坐标，即可求解；（2）根据点C 的纵坐标求出点E 的坐标，进而求出CE ＝2t ， 于是可得S 1＝2t ， 由（1）知，A （1，2），D （12t ，t ），由线段的构成得DE ＝2t −12t ，则S 2＝S △ADE ＝14t 2−12t ＋2t −1，于是U ＝S 1−S 2并将其配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解．25.（2021·株洲）如图所示， AB 是 ⊙O 的直径，点 C 、 D 是 ⊙O 上不同的两点，直线 BD 交线段 OC 于点 E ，交过点 C 的直线 CF 于点 F ，若 OC =3CE ，且 9(EF 2−CF 2)=OC 2 .（1）求证：直线 CF 是 ⊙O 的切线；（2）连接 OD 、 AD 、 AC 、 DC ，若 ∠COD =2∠BOC . ①求证： △ACD ∽△OBE ；②过点E作EG//AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD=4，求线段MG 的长度.【答案】（1）证明：因为OC=3CE，且9(EF2−CF2)=OC2，∴EF2−CF2=OC29，∴EF2−CF2=OC29=(3CE)29=CE2，∴OC⊥CF，∴直线CF是⊙O的切线（2）解：①∵∠COD=2∠BOC，又∵∠COD=2∠DAC，∴∠CAD=∠BOC，∵∠OBE=∠ACD，∴. △ACD∽△OBE；②∵△ACD∽△OBE，∴OEAD =OBAC，设圆的半径为r，∵OC=3CE，AD=4，∴23r4=rAC，∴AC=6；∵点M为线段AC的中点，∴CM=3，∵EG//AB，∴CGAC =CEOC=13，∴CG=2，∴MG=CM−CG=3−2=1，∴线段MG的长度为1【考点】圆的综合题【解析】【分析】（1）由题意用勾股定理的逆定理易证∠ECF＝90°，然后根据圆的切线的判定可求解；（2）①证明∠DAC＝∠EOB，∠DCA＝∠EBO，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；②由①中知：△ACD∽△OBE，再由相似三角形的性质可得比例式OEAD =OBAC，结合已知可求得AC的值，再由平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式CGAC =CEOC，于是可求出CG的值，再根据线段的构成MG=CM-CG可求解．26.（2021·株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).（1）若a=12，b=c=−2，求方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)，且x1<0<x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO=∠ABD，−ba+c=x1.①求证：△AOC≅△DOB；②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F(0,x1−x2)在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO=∠CAF+∠CBD，求cx1的值.【答案】（1）解：当a=12，b=c=−2时，方程为：12x2−2x−2=0，Δ=b2−4ac=(−2)2−4×12×(−2)=8（2）解：①证明：∵x1+x2=−ba ，且−ba+c=x1，∴x2=−c，∴OC=OB=|c|，在△AOC与△DOB中，{∠ACO=∠ABD OC=OB∠AOC=∠DBO=90∘，∴△AOC≅△DOB(ASA).②解：∠ACO=∠CAF+∠CBD，∠ACO=∠CFA+∠CAF，∴∠CFA=∠CBD，∵DE⊥BC，∴∠DEB=90∘，又∵∠AOF=90∘，∴ △AOF ∼△DEB ， ∴ AODE =OFEB ，∵ OC =OB =|c| ，且 ∠COB =90∘ ， ∴ ∠OCB =45∘ ， BC =√2OB =−√2c ， 在 Rt △DEC 中， ∠OCB =45∘ ， ∴ DC =√2DE =√2CE ， 又∵ △AOC ≅△DOB ， ∴ OD =OA =−x 1 ， 又∵ OC =OD +DC ，∴ DC =−c +x 1 ， DE =CE =√22DC =√22(−c +x 1) ，∴ EB =BC −CE =−√2c −√22(−c +x 1)=−√22(c +x 1) ，∵ AO DE =OFEB ， ∴ 1√22(−c+x1=12−√22(c+x 1 ，即： (c x 1)2−cx 1−2=0 ，∴ c x 1=2或 cx 1=-1（舍）【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）由题意把a 、b 、c 的值代入方程即可求得b 2-4ac 的值；（2）①由一元二次方程的根与系数的关系得x 1+x 2=−ba 和已知条件x 1=−ba +c 可得x 2=-c ，则OB=OC=|c | ，由题意用角边角可得△AOC ≌△DOB ；②由题意易得∠CFA=∠CBD ，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AOF ∽△DEB ，得比例式AO DE=OF EB可求解.。
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株洲市 初中毕业学业考试数 学 试 题 卷考试时量：120分钟 满分：100分亲爱的同学：你好！今天是展示你的才能的时候了，请你仔细审题，认真答题，发挥自己的正常水平，轻松一点，相信自己的实力。
考生注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，23道小题；请考生将解答过程全部填（涂）或写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上．本题共8个小题，每小题3分，共计24分） 1．计算3(1)-的结果是 A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．32．若使分式2xx -有意义，则x 的取值范围是 A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >-D ．2x <3．某同学7次上学途中所花时间（单位：分钟）分别为10、9、11、12、9、10、10，这组数据的众数是A ．9B ．10C ．11D ．124．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若6BC =，则DE 等于 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x 只，兔为y 只，则所列方程组正确的是 A ．362100x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．3642100x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．3624100x y x y +=⎧⎨+=⎩ D ．3622100x y x y +=⎧⎨+=⎩6．今年我市约有36000名学生参加初中毕业会考，为了了解这36000名学生的数学成绩，准备从中随机抽取1200 名学生的数学成绩进行统计分析，那么你的数学成绩被抽中的概率为A ．136000B ．11200C ．150D ．1307．已知函数1y x=的图象如下，当1x ≥-时，y 的取值范围是 A ．1y <- B ．1y ≤- C ．1y ≤- 或0y >D ．1y <-或0y ≥第4题B CD E A第12题第8题8．在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如上图中的△ABC 称为格点△ABC ． 现将图中△ABC 绕点A 顺时针旋转180︒，并将其边长扩大为原来的2倍，则变形后点B 的对应点所在的位置是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）9．计算：(3)2-⨯= . 10．化简：52a a -= .11．北京时间 5月12日14时28分，四川省汶川县发生了8.0级地震．一时间，全国人民“众志成城、抗震救灾”，体现出了前所未有的民族大团结. 截至6月5 日12：00时，四川省财政厅共收到抗震救灾捐款约为43 800 000 000元，用科学记数法表示捐款数为 元.12．如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.13．根据如上图所示的程序计算，若输入的x 的值为1，则输出的y 值为 .第7题-1-1yxO14．利民商店中有3种糖果，单价及重量如下表：若商店将以上糖果配成什锦糖，则这种什锦糖果的单价是每千克_________元．15．已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，M 、N 分别为线段AB 、BC 的中点，且 AB = 60，BC = 40，则MN 的长为 .16．如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是 （结果保留π）.……第1个 第2个 第3个第16题三、解答题（本大题共7题，共52分） 17．（本题满分8分，每小题4分）（1）计算：0111(3)()2π--+--（2）分解因式：3269x x x -+ 18．（本题满分8分，每小题4分）（1）已知290x -=，求代数式22(1)(1)7x x x x x +----的值.（2）解方程：22570x x --=19．（本题满分6分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，6AE =，3cos 5A =. 求（1）DE 、CD 的长；（2）tan DBC ∠的值.20．（本题满分6分）未成年人思想道德建设越来越受到社会的xxx . 某青少年研究所随机调查了某校100名学生寒假中零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观. 根据调查数据形成了频数分布表和频数分布直方图. 如下表和图所示：D请结合图形完成下列问题： （1）补全频数分布表；（2）在频数分布直方图中，如果将矩形ABCD 底边AB 长度视为1，则这个矩形的面积是；这次调查的样本容量是 .21、（本题满分7分）如图所示，O 的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过点P作O 的切线，切点为C ，连结AC . （1）若∠CP A =30°，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M . 你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠CMP 的值.钱数（元）250.5 300.5 A22．（本题满分7分）北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定.下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用120xx元预定15张下表中球类比赛的门票：（1）若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票，问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2）若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过．．．男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？23．（本题满分10分）如图（1），在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，-2），点B 的坐标为（3，-1），二次函数2y x =-的图象为1l .（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A 、B 两点，记抛物线为2l ，如图（2），求抛物线2l 的函数解析式及顶点C 的坐标.（3）设P 为y 轴上一点，且ABC ABP S S ∆∆=，求点P 的坐标.（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点Q ，使Q AB ∆为等腰三角形. 若存在，请判断点Q 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.株洲市 初中毕业学业考试试卷数学参考答案及评分标准一、选择题：yox图（1） y o x图（2）l 1l 2二、填空题： 9.6- 10. 3a 11. 104.3810⨯ 12．8 13．4 14． 1315．10或50(只填对一个得2分) 16．2n π 三、解答题：17、（1）原式=112+- ……3分 （2）原式=2(69)x x x -+ ………2分0= …… 4分 2(3)x x =- (2)分18、（1）原式=…=27x - ……2分由290x -=得29x =，代入原式=2 ……4分（2）∵2,5,7a b c ==-=- …… 1分 ∴2481b ac -= …… 1分得 1x =-或72……4分19、(1) 在Rt ADE ∆中，由6AE =，3cos 5A =，得：10AD =， ……1分由勾股定理得8DE = ……2分 利用三角形全等或角平分线性质得：8DC DE == ……4分 （2）法一：由（1）10AD =，8DC =，得18AC =.利用ADE ∆∽ABC ∆得：DE AE BC AC=，即8618BC =，24BC =， ……5分得：1tan 3DBC ∠= ……6分法二：由（1）得18AC =，又3cos 5AC A AB==，得30AB =，由勾股定理得24BC = ………5分 得：1tan 3DBC ∠= ……6分20、（每空一分）(1) ①10 ②100.5 ③25 ④1 (2) 25 100 21、（1）连结OC ……1分由AB =4，得OC =2，在R tOPC ∆中，030CPO ∠=，得PC = ……3分 （2）不变 …4分 1119045222CMP CAP MPA COP CPA ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ ……7分22、（1）设预定男篮门票x 张，则乒乓球门票（15x -）张.得：1000x +500(15-x )=120xx ，解得：x = 9 ∴151596x -=-= ……3分 （2）设足球门票与乒乓球门票数都预定y 张，则男篮门票数为（15-2y ）张，得：8005001000(152)120008001000(152)y y y y y ++-≤⎧⎨≤-⎩， ……5分 解得：2545714y ≤≤.由y 为正整数可得y =5. 15-2y =5 ……6分答：（1）略 （2）略 ……7分23、（1）222345y x x y x x =-+-=-+-或等 （满足条件即可） ……1分（2）设2l 的解析式为2y x bx c =-++，联立方程组21193b c b c-=-++⎧⎨-=-++⎩，解得：911,22b c ==-，则2l 的解析式为291122y x x =-+-， ……3分点C 的坐标为（97,416-） ……4分（3）如答图23-1，过点A 、B 、C 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则2AD =，716CF =，1BE =，2DE =，54DF =，34FE =.得：1516ABC ABED BCFE CFD S S S S ∆=--=梯形梯形梯形A . ……5分延长BA 交y 轴于点G ，直线AB 的解析式为1522y x =-，则点G 的坐标为（0，52-），设点P 的坐标为（0，h ）①当点P 位于点G 的下方时，52PG h =--，连结AP 、BP ，则52A B P B P G A P G S S S h ∆∆∆=-=--，又1516ABC ABP S S ∆∆==，得5516h =-，点P 的坐标为（0，5516-）. …… 6分②当点P 位于点G 的上方时，52PG h =+，同理2516h =-，点P 的坐标为（0，2516-）.综上所述所求点P 的坐标为（0，5516-）或（0，2516-） …… 7分(4) 作图痕迹如答图23-2所示.由图可知，满足条件的点有1Q 、2Q 、3Q 、4Q ，共4个可能的位置. …… 10分本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分。
2020年湖南省株洲市中考数学试卷(附答案解析)
2020年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）a 的相反数为3-，则a 等于( ) A ．3-B ．3C ．3±D ．132．（4分）下列运算正确的是( ) A ．34a a a =B ．22a a -=C ．257()a a =D ．22(3)6b b -=3．（4分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字1-、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．344．（4分）一实验室检测A 、B 、C 、D 四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）数据12、15、18、17、10、19的中位数为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．（4分）下列哪个数是不等式2(1)30x -+<的一个解？( ) A ．3-B ．12-C ．13D ．27．（4分）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可以是( ) A ．1B ．32-C ．43D ．4或4-8．（4分）下列不等式错误的是( )A ．21-<-B ．πC ．52>D ．10.33>9．（4分）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4πB ．6C ．D ．83π10．（4分）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则( ) A ．12y y =- B ．12y y >C ．12y y <D ．1y 、2y 的大小无法确定二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（4分）关于x 的方程38x x -=的解为x = ． 12．（4分）因式分解：2212a a -= ．13．（4的结果是 ． 14．（4分）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：”的人数有 个．15．（4分）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点O ，点M 、N 分别在射线OA 、OC 上，则MON ∠= 度．16．（4分）如图所示，点D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，连接BE ，过点C 作//CF BE ，交DE 的延长线于点F ，若3EF =，则DE 的长为 ．17．（4分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为矩形，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数1(0k y x x =>，k 为常数且2)k >的图象上，边AB 与函数22(0)y x x=>的图象交于点D ，则阴影部分ODBC 的面积为 ．（结果用含k 的式子表示）18．（4分）据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yu è)、合、升、斗、斛(h ú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(hu án )其外，旁有庣(ti āo )焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 尺．（结果用最简根式表示）三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．计算：11()|1|604-+-︒．20．先化简，再求值：()1x y yy x x y--+，其中x =，2y =．21．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线12//l l ，点A 、B 分别在1l 、2l 上，斜坡AB 的长为18米，过点B 作1BC l ⊥于点C ，且线段AC 的长为（1）求该斜坡的坡高BC ；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60︒，过点M 作1MN l ⊥于点N ，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？ 22．近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5~200.5范围内的天数；（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？②这60天中，该代办点为顾客代寄的包裹中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：23．如图所示，BEF ∆的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，连接AF 、CF ，满足ABF CBE ∆≅∆． （1）求证：90EBF ∠=︒．（2）若正方形ABCD 的边长为1，2CE =，求tan AFC ∠的值．24．AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接AC 、BC ，直线MN 过点C ，满足BCM BAC α∠=∠=．（1）如图①，求证：直线MN 是O 的切线；（2）如图②，点D 在线段BC 上，过点D 作DH MN ⊥于点H ，直线DH 交O 于点E 、F ，连接AF 并延长交直线MN 于点G ，连接CE ，且53CE =，若O 的半径为1，3cos 4α=，求AG ED 的值．25．如图所示，OAB ∆的顶点A 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，直线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且1AE =． （1）若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；（2）若OAB ∆为等腰直角三角形，90AOB ∠=︒，其面积小于3． ①求证：OAE BOF ∆≅∆；②把1212||||x x y y -+-称为1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点间的“ZJ 距离”，记为(,)d M N ，求(d A ，)(C d A +，)B 的值．26．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象（记为抛物线)Γ与y 轴交于点C ，与x 轴分别交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别记为1x ，2x ，且120x x <<．（1）若a c =，3b =-，且过点(1,1)-，求该二次函数的表达式；（2）若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的判别式△4=．求证：当52b <-时，二次函数21(1)y ax b x c =+++的图象与x 轴没有交点．（3）若2226c c AB c-+=，点P 的坐标为(1)-，过点P 作直线l 垂直于y 轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l 上，连接OP 、AP 、BP ，PA 的延长线与抛物线Γ交于点D ，若OPB DAB ∠=∠，求0x 的最小值．参考答案一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．【解答】解：因为3的相反数是3-，所以3a =． 故选：B ．2．【解答】解：选项A ，根据同底数幂的乘法法则可得34a a a =，选项A 正确； 选项B ，根据合并同类项法则可得2a a a -=，选项B 错误； 选项C ，根据幂的乘方的运算法则可得2510()a a =，选项C 错误； 选项D ，根据积的乘方的运算法则可得22(3)9b b -=，选项D 错误． 故选：A ．3．【解答】解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3， 故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：2142=． 故选：C ．4．【解答】解：|1.2| 1.2=，| 2.3| 2.3-=，|0.9|0.9+=，|0.8|0.8-=， 又0.80.9 1.2 2.3<<<，∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D 中的元件．故选：D ．5．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是1517162+=． 故选：C ．6．【解答】解：解不等式2(1)30x -+<，得12x <-，因为只有132-<-，所以只有3-是不等式2(1)30x -+<的一个解，故选：A ．7．【解答】解：点(,2)A a 是第二象限内的点， 0a ∴<，四个选项中符合题意的数是32-，故选：B ．8．【解答】解：A 、根据两个负数绝对值大的反而小可得21-<-，原不等式正确，故此选项不符合题意；B 、由34π<<，45可得π<C、3，532<，可得52>，原不等式错误，故此选项符合题意； D 、由10.33333=⋯，可得10.33>，原不等式正确，故此选项不符合题意．故选：C ．9．【解答】解：由题意，知4AC =，422BC =-=，190A BC ∠=︒． 由旋转的性质，得14AC AC ==． 在Rt △1A BC 中，111cos 2BC ACA AC ∠==． 160ACA ∴∠=︒．∴扇形1ACA 的面积为260483603ππ⨯⨯=．即线段CA 扫过的图形的面积为83π．故选：D ．10．【解答】解：20a b ->，20b ， 0a ∴>．又0ab <， 0b ∴<，12x x <，120x x +=， 21x x ∴=-，10x <．点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上，∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+．12120y y bx ∴-=>． 12y y ∴>．故选：B ．二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数化为1，即可求出解． 【解答】解：方程38x x -=， 移项，得38x x -=， 合并同类项，得28x =． 解得4x =． 故答案为：4．12．【分析】运用提公因式法分解因式即可．【解答】解：22122(6)a a a a -=-． 故答案为：2(6)a a -．13．【分析】利用二次根式的乘除法则运算．【解答】解：原式33== 4233=+ 2=．故答案是：2．14．【分析】直接用尺码L 的频率乘以班级总人数即可求出答案． 【解答】解：由表可知尺码L 的频率为0.2，又因为班级总人数为40， 所以该班学生所穿校服尺码为“L ”的人数有400.28⨯=． 故答案是：8．15．【分析】根据正多边形性质求出中心角，即可求出MON ∠的度数． 【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为： 360940AOB ∠=︒÷=︒， 280MON AOB ∴∠=∠=︒．故答案为：80．16．【分析】先证明DE 为ABC ∆的中位线，得到四边形BCFE 为平行四边形，求出3BC EF ==，根据中位线定理即可求解．【解答】解：D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， //CF BE ，∴四边形BCFE 为平行四边形，3BC EF ∴==，∴1322DE BC ==． 故答案为：32．17．【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：AOD ∆的面积为1，矩形ABCO 的面积为k ，从而可以求出阴影部分ODBC 的面积． 【解答】解：D 是反比例函数22(0)y x x=>图象上一点∴根据反比例函数k 的几何意义可知：AOD ∆的面积为1212⨯=．点B 在函数1(0ky x x=>，k 为常数且2)k >的图象上，四边形OABC 为矩形，∴根据反比例函数k 的几何意义可知：矩形ABCO 的面积为k ． ∴阴影部分ODBC 的面积=矩形ABCO 的面积AOD -∆的面积1k =-．故答案为：1k -．18．【分析】根据正方形性质确定CDE ∆为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解． 【解答】解：如图，四边形CDEF 为正方形， 90D ∴∠=︒，CD DE =， CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =， 2.50.2522CE ∴=-⨯=，cos 2CD CE ECD ∴=∠==∴正方形CDEF 周长为故答案为：三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．【分析】先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．【解答】解：原式41=+413=+-2=．20．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原分式，再将x ，y 的值代入计算可得． 【解答】解：原式221x y y xy x y -=-+ ()()1x y x y y xy x y +-=-+ 1x y x -=- y x -= y x =-，当x ，2y =，原式=21．【分析】（1）运用勾股定理解题即可；（2）根据勾股定理列出方程，求出AM ，问题得解．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，BC答：该斜坡的坡高BC 长为（2）60α∠=︒，30AMN ∴∠=︒，2AM MN ∴=，在Rt ABC ∆中，222AN MN AM +=，223004AN AN ∴+=10AN ∴=，20AM ∴=，20182AM AB ∴-=-=．综上所述，长度增加了2米．22．【分析】（1）根据统计图读出50.5~100.5的天数，100.5~150.5的天数，150.5~200.5的天数，再将三个数据相加即可；（2）①应付费用等于基础费用加上超过部分的费用；②求加权平均数即可．【解答】解：（1）结合统计图可知：每天代寄包裹数在50.5~200.5范围内的天数为18121242++=天；（2）①因为1.61>，故重量超过了1kg ，除了付基础费用8元，还需要付超过1kg 部分0.6kg 的费用2元，则该顾客应付费用为8210+=（元)；②(121514101516)4014⨯+⨯+⨯÷=（元)．所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．23．【分析】（1）已知ABF CBE ∆≅∆，根据全等三角形的对应角相等可得ABF CBE ∠=∠，再由90ABF CBF ∠+∠=︒，可得90CBF CBE ∠+∠=︒，即可证得90EBF ∠=︒；（2）由ABF CBE ∆≅∆，根据全等三角形的对应角相等可得AFB CEB ∠=∠，由对顶角相等可得FGA EGB ∠=∠，即可证得90FAC EBF ∠=∠=︒；又因正方形边长为1，2CE =，可得AC 2AF CE ==．在Rt AFC ∆中，即可求得结论．【解答】（1）证明：ABF CBE ∆≅∆，ABF CBE ∴∠=∠，90ABF CBF ∠+∠=︒，90CBF CBE ∴∠+∠=︒，90EBF ∴∠=︒；（2）解：ABF CBE ∆≅∆，AFB CEB ∴∠=∠，FGA EGB ∠=∠，90FAC EBF ∴∠=∠=︒，正方形边长为1，2CE =．∴AC 2AF CE ==．tan AC AFC AF ∴∠=． 24．【分析】（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得90A B ∠+∠=︒，由OC OB =可得B OCB ∠=∠，推出90OCB BCM ∠+∠=︒，从而可得结论；（2）由已知条件易求出AC 的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得GFH ACE ∠=∠，根据余角的性质可得ECD AGC ∠=∠，进而可得EDC ACG ∆∆∽，根据相似三角形的性质变形可得AG DE AC CE =，即可求出结果．【解答】（1）证明：连接OC ，如图①，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，OC OB =，B OCB ∴∠=∠，BCM A ∠=∠，90OCB BCM ∴∠+∠=︒，即OC MN ⊥，MN ∴是O 的切线；（2）解：如图②，AB 是O 的直径，O 的半径为1，2AB ∴=，3cos cos 4AC BAC AB α∠===，即324AC =， ∴32AC =， AFE ACE ∠=∠，GFH AFE ∠=∠，GFH ACE ∴∠=∠，DH MN ⊥，90GFH AGC ∴∠+∠=︒，90ACE ECD ∠+∠=︒，ECD AGC ∴∠=∠，又DEC CAG ∠=∠，EDC ACG ∴∆∆∽， ∴ED EC AC AG=， ∴355232AG DE AC CE ==⨯=． 25．【分析】（1）由点E 为线段OC 的中点，可得E 点坐标为5(0,)2，进而可知A 点坐标为：5(1,)2A ，代入解析式即可求出k ； （2）①由OAB ∆为等腰直角三角形，可得AO OB =，再根据同角的余角相等可证AOE FBO ∠=∠，由AAS 即可证明OAE BOF ∆≅∆；②由“ZJ 距离”的定义可知(,)d M N 为MN 两点的水平距离与垂直距离之和，故(d A ，)(C d A +，)B BF CF =+，即只需求出B 点坐标即可，设点(1,)A m ，由OAE BOF ∆≅∆可得(,1)B m -，进而代入直线AB 解析式求出k 值即可解答．【解答】解：（1）点E 为线段OC 的中点，5OC =， ∴1522OE OC ==，即：E 点坐标为5(0,)2， 又AE y ⊥轴，1AE =，∴5(1,)2A ，∴55122k =⨯=． （2）①在OAB ∆为等腰直角三角形中，AO OB =，90AOB ∠=︒， 90AOE FOB ∴∠+∠=︒，又BF y ⊥轴，90FBO FOB ∴∠+∠=︒，AOE FBO ∴∠=∠，在OAE ∆和BOF ∆中，90AEO OFB AOE FBOAO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()OAE BOF AAS ∴∆≅∆，②解：设点A 坐标为(1,)m ，OAE BOF ∆≅∆，BF OE m ∴==，1OF AE ==，(,1)B m ∴-，设直线AB 解析式为：:5AB l y kx =+，将AB 两点代入得：则551k m km +=⎧⎨+=-⎩． 解得1132k m =-⎧⎨=⎩，2223k m =-⎧⎨=⎩． 当2m =时，2OE =，OA =，532AOB S ∆=<，符合； (d A ∴，)(C d A +，)()()1111211528B AE CE BF AE OE OF CE OE OE CE OE CO OE =++-++=++-++=++=++=++=，当3m =时，3OE =，OA =53AOB S ∆=>，不符，舍去；综上所述：(d A ，)(C d A +，)8B =．26．【分析】（1）根据题意，把a c =，3b =-，点(1,1)-，代入解析式，即可求出解析式；（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；（3）根据二次函数的性质，得到244b ac a -=，结合根与系数的关系，得到2426c c a c -+=，然后证明OAP OPB ∆∆∽，得到OA OP OP OB =，然后得到01c x a=-，利用二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得：23y ax x a =-+，函数过点(1,1)-，31a a ∴-+=-，1a c ∴==，231y x x ∴=-+；（2）由题意，一元二次方程20ax bx c ++=的判别式△4=． ∴△244b ac =-=，244ac b ∴=-，在函数21(1)y ax b x c =+++中，2221(1)4(1)(4)25b ac b b b =+-=+--=+，52b <-， 250b ∴+<，即函数图象与x 轴没有交点；（3）因为函数顶点在直线l 上，则有2414ac b a -=-， 即244b ac a -=①，2226c c ABc -+=， ∴222126()c c x x c -+-=， 即22121226()4c c x x x x c -++-=， ∴222426b ac c c a c--+=， 由①得：2426c c a c-+=②， OAP DAB ∠=∠，OPB DAB ∠=∠，OAP OPB ∴∠=∠，OAP OBP APB ∠=∠+∠，OPB OPA APB ∠=∠+∠， OBP OPA ∴∠=∠，则OAP OPB ∆∆∽． ∴OA OP OP OB=， 2OA OB OP ∴=，∴2212((1)x x =+-． ∴01c x a=+， ∴01c x a =-．由②得：202614c c x -+=-， ∴2011(1)44x c =-+， ∴当1c =时，01()4min x =．。