1.1集合的概念与表示(教师版)

一、 新知识引入

在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？

<1>交大附中全体高一学生能否构成一个集合？

<2>高一的所有女生能否构成一个集合？

<3>剑桥英语词典的所有英语单词能否构成一个集合？

其实,生活中有很多东西能构成集合，我们生活中的很多东西都能构成集合，你能举出一些例子吗？通过以上分析，你能给出集合的含义吗？

结论：<1>能.<2>能.<3>能；我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组成的总体叫“集合”。

<4>如果用A 表示黄冈实验学校全体高一学生组成的集合，用a 表示黄冈实验学校高一学生中的一位同学,b 是高二年级的一位同学，那么a 、b 与集合A 分别有什么关系?由此可见元素与集合之间有什么关系？ 结论：<4>a 是集合A 的元素，b 不是集合A 的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.用符号表示即为∈、?.亦即A b A a ?∈;.

【注意】：我们一般用大写字母A 、B 、C 、...表示集合，用小写字母a 、b 、c 、...表示元素

<5>大于3小于11的偶数能否构成集合？（引申：你能说出它们的元素吗）

<6>我国的小河流能否构成集合？（引申：若不能，为什么？若能，你能说出它的元素吗？）

<7>问题<5>、<6>说明集合中的元素具有什么性质？

<8>由实数31、23、34、31组成的集合有几个元素？（你能说出原因吗？）

<9>问题<8>说明集合中的元素具有什么性质？

<10>由实数31、23、34组成的集合记为M ，由实数23、31、34组成的集合记为N ，这两个集合中的元序号：01-01

高中数学备课组 教师： 年级：高一 日期:

上课时间 学生：

学生情况： 新授课 主课题： 1.1 集合的概念与表示

教学目的：

1．了解集合含义；理解元素与集合“属于”关系；熟记常用数集专用符号；

2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题；

3．能选择集合不同的语言形式描述具体的问题；

教学重点：

1. 集合与元素的定义；

2. 常用数集合的概念；

3. 会用列举法、描述法表示集合；

教学难点：

运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？ 结论：<5>能；<6>不能；<7>确定性.给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性；<8>3个；<9>互异性：一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现，这就是集合的互异性；<10>集合M 和N 相同.这说明集合中的元素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的，可以发现：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合相等。

二、 知识精要

1．集合的概念

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合的概念可以从以下几个方面来理解：

(1)集合是一个“整体”；

(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征．这两个特征不是模棱两可的．

2．集合中元素的特性

(1)确定性

(2)互异性

(3)无序性

3．元素与集合的关系

(1)当不涉及具体对象时，一般用大写的拉丁字母A ，B ，C …表示集合；用小写的拉丁字母a .，b ，c …表示元素．

(2)元素和集合是两个不同概念，符号∈和?用来表示元素和集合的“属于”和“不属于”关系．

4．集合的表示方法

我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用集合语言，即通过约定的数学符号来表示集合，常用的有列举法和描述法．

(1)列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．

如：不超过100的自然数的全体构成的集合可表示为{0,1,2,3，…，100}；正整数集可表示为N ＋＝{1,2,3，…}．

(2)描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，用符号来表示便是A ＝{x ∈I |p (x )}，其中的x 表示集合中的代表元素，I 表示代表元素x 的取值范围，p (x )则表示代表元素x 的共同特征．

注：一个集合的描述方法不单单是一种，有时候是可以用多种描述方法的，譬如方程x 2-4=0的解组成的集合，可以用列举法：{2，-2}；可以用描述法：}04{2

=-x x .

5. 有限集与无限集

(1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2

=+∈x R x 6. 常见数集的专用符号

（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N

（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z

（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}所有整数与分数

=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R

三、 例题分析

【例1】下列所给对象不能构成集合的是________．

(1)高一数学课本中所有的难题；

(2)某一班级16岁以下的学生；

(3)某中学的大个子；

(4)某学校身高超过1.80米的学生；

(5)1,2,3,1.

答案：(1)(3)(5)

【例2】设集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }．若a ∈A ，b ∈B ，试判断a ＋b 与A ，B 的关系．

解：∵a ∈A ，∴a ＝2k 1 (k 1∈Z )．

∵b ∈B ，∴b ＝2k 2＋1 (k 2∈Z )．

∴a ＋b ＝2(k 1＋k 2)＋1.

又∵k 1＋k 2∈Z ，∴a ＋b ∈B ，从而a ＋b ?A .

【例3】已知x 2∈{1,0，x }，求实数x 的值．

解：若x 2＝0，则x ＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．

若x 2＝1，则x ＝±1.

当x ＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；

当x ＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合．

若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．

综上可知：x ＝－1.

【例4】选择适当的方法表示下列集合．

(1)Welcome 中的所有字母组成的集合；

(2)所有正偶数组成的集合；

(3)二元二次方程组????? y ＝x y ＝x 2的解集；

(4)所有正三角形组成的集合．

解：(1)列举法：{W ，e ，l ，c ，o ，m}．

(2)描述法：{x |x ＝2k ，k ∈N *}．

(3)列举法：{(0,0)，(1,1)}．

(4)描述法：{x |x 是正三角形}．

【例5】已知集合A ＝{x ∈R |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }，且A 中只有一个元素，求m 的值．

解：A 中元素只有一个，

当m ＝0时，方程变为－2x ＋3＝0，此时x ＝32

， A 中只有一个元素32，即A ＝????

??32； 当m ≠0时，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个相等的实根，

由Δ＝(－2)2－4m ×3＝0，得m ＝13

.

综上所述，m 的值为0或13

.

四、 课堂练习

1．给出下列关系：①12

∈R ；②2?Q ；③|－3|?N ＋；④|－3|∈Q .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

答案 B

2．坐标轴上的点的集合可表示为( )

A ．{(x ，y )|x ＝0，y ≠0或x ≠0，y ＝0}

B ．{(x ，y )|x 2＋y 2＝0}

C ．{(x ，y )|xy ＝0}

D ．{(x ，y )|x 2＋y 2≠0}

答案 C

3．已知2a .∈A ，a .2－a .∈A ，若集合A 含有2个元素，则下列说法中正确的是( )

A ．a 取全体实数

B ．a .取除去0以外的实数

C ．a .取除去3以外的所有实数

D ．a .取除去0和3以外的所有实数

答案 D

4．集合A ＝{一条边长是1且一个角是40°的等腰三角形}中元素个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．无数个

答案 C

5．已知集合A ＝????

??x ∈N |126－x ∈N ，用列举法表示集合A ＝____________. 答案 {0,2,3,4,5}

6．－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________．

答案 2

7．用适当的方法表示下列集合．

(1)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；

(2)由所有非负偶数组成的集合；

(3)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．

解 (1){3,5,7,11,13,17,19}

(2){x |x ＝2n ，n ∈N }

(3){(x ，y )|x <0且y <0}

8．下面三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．

(1)它们是不是相同的集合？

(2)它们各自的含义是什么？

解 (1)由于三个集合的代表元素互不相同，

∴它们是互不相同的集合．

(2)集合①{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x ∈R ，∴实质上{x |y ＝x 2＋1}＝R ；

集合②{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1中y 的取值范围是y ≥1，∴{y |y ＝x 2＋1}＝

{y |y ≥1}；集合③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，可以认为是满足y ＝x 2＋1的有序数对(x ，

y )的集合；也可以认为是坐标平面内的点(x ，y )构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1.

9．已知集合A ＝??????x |x ∈N ，且910－x ∈N ，B ＝????

??910－x |x ∈N ，且910－x ∈N ，试问集合A 与B 共有几个相同的元素，并写出由这些相同元素组成的集合．

解 可以将集合A 、B 用列举法表示出来，然后再找出A 和B 的相同元素组成的集合．

∵x ∈N ，且910－x

∈N ， ∴当x ＝1时，910－x

＝1； 当x ＝7时，910－x

＝3； 当x ＝9时，910－x

＝9. 因此，集合A ＝{1,7,9}，集合B ＝{1,3,9}．

∴集合A 、B 有两个相同元素1,9，它们组成的集合为{1,9}．

五、 课后作业

1．下列几组对象可以构成集合的是( )

A ．充分接近π的实数的全体

B ．善良的人

C ．某校高一所有聪明的同学

D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人

答案 D

2．下列四个说法中正确的个数是( )

①集合N 中最小数为1；

②若a ∈N ，则－a ?N ；

③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；

④所有小的正数组成一个集合．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案 A

3．由a .2,2－a .,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a .的取值可以是( )

A ．1

B ．－2

C ．6

D ．2

答案 C

4．已知集合S 的三个元素a .、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

答案 D

5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz

的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ) A ．0?M B ．2∈M C ．－4?M D ．4∈M

答案 D

解析 分类讨论：x 、y 、z 中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为：4,0,0，－4，∴4∈M .

6．用“∈”或“?”填空

(1)－3______N ； (2)3.14______Q ； (3)13

______Z ； (4)－12

______R ； (5)1______N *； (6)0________N . 答案 (1)? (2)∈ (3)? (4)∈ (5)∈ (6)∈

7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里最多有________个元素．

答案 2

8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．

①不超过π的正整数；

②高一数学课本中所有的难题；

③中国的大城市；

④平方后等于自身的数；

⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．

答案 ①④⑤

9. 用适当方法表示下列集合：

(1)函数y ＝a .x 2＋bx ＋c (a .≠0)的图象上所有点的集合；

(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合；

(3)不等式x －3>2的解集；

(4)自然数中不大于10的质数集．

解 (1){(x ，y )|y ＝a .x 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a .≠0}．

(2)??????(x ，y )|????? y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝????

??(x ，y )|?????

x ＝1y ＝4. 用列举法表示为：{(1,4)}．

(3){x |x >5}

(4){2,3,5,7}．

10．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .

解 当3x 2＋3x －4＝2时，3x 2＋3x －6＝0，x 2＋x －2＝0，

x ＝－2或x ＝1.

经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．

当x 2＋x －4＝2时，x 2＋x －6＝0，x ＝－3或2.

经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．

∴x ＝－3或x ＝2.

11．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？

解 当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a .＋b 的值分别为1,2,6；

当a .＝2时，b 依次取1,2,6，得a .＋b 的值分别为3,4,8；

当a .＝5时，b 依次取1,2,6，得a .＋b 的值分别为6,7,11.

由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个． 12．设A 为实数集，且满足条件：若a .∈A ，则a

-11∈A (a .≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；

(2)集合A 不可能是单元素集．

证明 (1)若a .∈A ，则a

-11∈A . 又∵2∈A ，∴11－2

＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12

∈A . ∵12∈A ，∴11－12

＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12

. (2)若A 为单元素集，则a ＝

a -11， 即a .2－a .＋1＝0，方程无解．

∴a .≠

a

-11，∴A 不可能为单元素集．

六、课外阅读

集合论的诞生

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初,许多迫切问题得到解决后,出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.

七、课堂总结