江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.3大题考法_椭圆讲义含解析201905231172
高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习32 椭圆
18 16
98
32
2
【答案】B
【解析】因为离心率e = c = a
，解得 ， ， 1−
b2 a2
=1 3
b2 = 8 b2 = 8 a2
a2 9
9
A1, A2 分别为 C的左右顶点，则 A1 (−a,0), A2 (a,0) ， B 为上顶点，所以 B(0,b) .
所以 ，因为 BA1 = (−a, −b), BA2 = (a, −b)
4.（2022·新高考Ⅱ卷 T16）已知椭圆 x2 + y2 =1，直线 l 与椭圆在第一象限交于 ，A B 两点，与 x 轴， 63
y 轴分别交于 ，M N 两点，且| MA|=| NB |,| MN |= 2 3 ，则直线 l 的方程为___________． 【答案】 x + 2y − 2 2 = 0 【解析】令 AB 的中点为 E ，因为 MA = NB ，所以 ME = NE ，
1．点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系 点 (1) P(x0，y0)在椭圆内⇔
点 (2) P(x0，y0)在椭圆上⇔
点 (3) P(x0，y0)在椭圆外⇔
2．焦点三角形 如图，椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫做焦点三角形．设 ＝ ， ＝ ， r1 |PF1| r2 |PF2|
3k +1
5
3k +1
5
当且仅当k = 3 时取等号，故 CD 的最小值为 6 5 .
16
5
1.求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，转化为 e 的关系式，常用方
法如下： (1)直接求出 a，c，利用离心率公式 e＝ac求解． 由 (2) a 与 b 的关系求离心率，利用变形公式 e＝ 1－ba22求解．
2019届江苏高考数学二轮复习第二篇第23练解析几何的综合问题试题理
第23练 解析几何的综合问题[明晰考情] 1.命题角度：直线与椭圆；定点、定值问题；最值问题.2.题目难度：中高档难度.考点一 直线与椭圆方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b (斜率不为0)的形式.(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或求根公式得到交点的横坐标或纵坐标.(3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|或AB ＝1＋1k2·|y 1－y 2|.1.(2018·江苏省南京外国语学校检测)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，且离心率为32.(1)求椭圆E 的方程；(2)如图，过点P (0,2)的直线l 与椭圆E 相交于两个不同的点A ，B ，求OA →·OB →的取值范围.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122b2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，A (0,1)，B (0，－1)， 所以OA →·OB →＝－1.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1，消去y 整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，由Δ>0，可得4k 2>3，因为x 1,2＝－16k ±256k 2－48(1＋4k 2)2(1＋4k 2)＝－8k ±24k 2－31＋4k 2， 所以x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k2，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－1＋171＋4k 2，所以－1<OA →·OB →<134.综上，OA →·OB →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，134.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，且△BF 1F 2是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，C 两点，记△ABF 2，△BCF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1＝2S 2，求直线l 的斜率.解 (1)由题意，得a ＝2c ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点B 到直线AC 的距离为h ， 由于S 1＝2S 2，所以12AF 2·h ＝2×12F 2C ·h ，即AF 2＝2F 2C ，所以AF 2→＝2F 2C →.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，又F 2(1,0)， 则(1－x 1，－y 1)＝2(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－2x 2，y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 224＋y 223＝1，(3－2x 2)24＋(－2y 2)23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝74，y 2＝±358.所以直线l 的斜率为k ＝y 2x 2－1＝±35874－1＝±52.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.解 (1)由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a )， 即2x －y －2a ＝0，所以右焦点F 到直线l 的距离d ＝|2c －2a |5＝255，所以a －c ＝1.又因为椭圆C 的右准线为x ＝4，即a 2c ＝4，所以c ＝a 24，代入上式解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知B (0，3)，F (1,0)， 所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －1)，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝－335，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－335.所以直线l 的斜率k ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3352－85＝332.4.已知动点M (x ，y )到点F (2,0)的距离为d 1，动点M (x ，y )到直线x ＝3的距离为d 2，且d 1d 2＝63. (1)求动点M (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)过点F 作直线l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)交曲线C 于P ，Q 两点，若△OPQ 的面积S △OPQ ＝3(O 是坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)结合题意，可得d 1＝(x －2)2＋y 2，d 2＝|x －3|.又d 1d 2＝63，即(x －2)2＋y 2|x －3|＝63，化简得x 26＋y 22＝1. 因此，所求动点M (x ，y )的轨迹C 的方程是x 26＋y 22＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)，消去y ，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，Δ＝(－12k 2)2－4(1＋3k 2)·(12k 2－6)＝24k 2＋24>0. 因为x 1,2＝6k 2±6k 2＋63k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝26k 2＋63k 2＋1， 于是，PQ ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝26(k 2＋1)1＋3k2，点O到直线l的距离d＝|2k|1＋k2.由S△OPQ＝3，得12×|2k|1＋k2×26(k2＋1)1＋3k2＝3，化简得，k4－2k2＋1＝0，解得k＝±1，且满足Δ>0，即k＝±1符合题意.因此，所求直线的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.考点二 定点、定值问题方法技巧 (1)定点问题的常见解法①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点. ②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意. (2)定值问题的常见解法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.5.(2018·苏州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，P 为椭圆C 上位于第一象限内的一点，PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点D .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OE OB ＝12，求ODOA的值；(3)求证：四边形ABDE 的面积为定值.(1)解 设右焦点F (c,0)，因为椭圆C 的离心率为32， 所以c a ＝32，①又因为右焦点F 到右准线的距离为33，所以a 2c －c ＝33，②由①②得，a ＝2，c ＝3，b ＝1， 所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 2＝1.(2)解 因为OE OB ＝12，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，直线AE 的方程为y ＝14(x ＋2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14(x ＋2)，x 24＋y 2＝1，得x 2＋14(x ＋2)2＝4，解得x ＝－2(舍)或x ＝65，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，45， 直线PB 的方程为y ＝32x －1，令y ＝0，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， 所以OD OA ＝13.(3)证明 设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)， 则x 204＋y 20＝1， 即x 20＋4y 20＝4. 直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝2y 0x 0＋2. 直线BP 的方程为y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x ＝x 0y 0＋1. 所以四边形ABDE 的面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0x 0＋2＋1＝12·x 0＋2y 0＋2y 0＋1·x 0＋2y 0＋2x 0＋2 ＝12·x 20＋4y 20＋2(2x 0y 0＋2x 0＋4y 0)＋4x 0y 0＋x 0＋2y 0＋2 ＝2x 0y 0＋2x 0＋4y 0＋4x 0y 0＋x 0＋2y 0＋2＝2.所以四边形ABDE 的面积为定值.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点.当直线PQ 的斜率为22时，PQ ＝2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论. 解 (1)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，22x 0， 因为当直线PQ 的斜率为22时，PQ ＝23，所以x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫22x 02＝3，所以x 20＝2. 所以2a 2＋1b2＝1.因为e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，所以a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)以MN 为直径的圆过定点(±2，0).设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，且x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4.因为A (－2,0)，所以直线PA 的方程为 y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2，直线QA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2.以MN 为直径的圆为 (x －0)(x －0)＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0－2＝0， 即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 2x 20－4＝0.因为x 20－4＝－2y 20，所以x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0.令y ＝0，解得x ＝±2，所以以MN 为直径的圆过定点(±2，0).7.已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.(1)当m ＝0时，求k 1k 2的值；(2)当k 1k 2＝－1时，证明：直线l ：y ＝kx ＋m 过定点. (1)解 当m ＝0时，直线l ：y ＝kx . 代入椭圆C ：x 24＋y 22＝1，得x 2＋2k 2x 2＝4，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－21＋2k 2，－2k 1＋2k 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2.因为A 为椭圆的上顶点，所以A (0，2)，所以k 1＝－2k 1＋2k2－2－21＋2k2＝2k ＋2·1＋2k 22，k 2＝2k 1＋2k 2－221＋2k2＝2k －2·1＋2k 22，所以k 1k 2＝4k 2－2(1＋2k 2)4＝－12.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C ：x 24＋y 22＝1，并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，则Δ＝16k 2m 2－8(m 2－2)(1＋2k 2)＝8(4k 2－m 2＋2)＞0，因为x 1,2＝－4km ±16k 2m 2－8(m 2－2)(1＋2k 2)2(1＋2k 2)，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－41＋2k 2.由k 1k 2＝－1知，y 1－2x 1·y 2－2x 2＝－1， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋2＋x 1x 2＝0，所以(kx 1＋m )(kx 2＋m )－2(kx 1＋m ＋kx 2＋m )＋x 1x 2＋2＝0， 所以k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2－2k (x 1＋x 2)－22m ＋x 1x 2＋2＝0，即(k 2＋1)2m 2－41＋2k 2＋k (m －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2＋m 2－22m ＋2＝0，所以(k 2＋1)(2m 2－4)＋k (m －2)(－4km )＋(m 2－22m ＋2)(1＋2k 2)＝0， 所以3m 2－22m －2＝0，解得m ＝2(舍去)或m ＝－23， 所以直线l ：y ＝kx －23. 所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－23. 8.在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m . (1)已知点⎝⎛⎭⎪⎫62，1在椭圆C 上，求实数m 的值；(2)已知定点A (－2,0). ①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围； ②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ，若AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，求证：λ＋μ为定值. (1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1.所以椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m＝1.因为椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫62，1，所以32(m ＋1)＋1m ＝1， 解得m ＝2或m ＝－12(舍去).所以m ＝2.(2)①解 设点T (x ，y )， 由TA TF 1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]， 即x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2m ＋1＋y 2m＝1，得y 2＝m 2－m .因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2. 所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.②证明 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则AM →＝(x 0＋2，y 0)，AP →＝(x 1＋2，y 1).由AM →＝λAP →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝λ(x 1＋2)，y 0＝λy 1，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝λx 1＋2(λ－1)，y 0＝λy 1，因为x 202＋y 2＝1，所以[λx 1＋2(λ－1)]22＋(λy 1)2＝1，即λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21＋2λ(λ－1)x 1＋2(λ－1)2－1＝0.因为x 212＋y 21＝1，代入得2λ(λ－1)x 1＋3λ2－4λ＋1＝0. 由题意知，λ≠1且λ≠0， 故x 1＝－3λ－12λ，所以x 0＝λ－32.同理可得x 0＝－μ＋32.因此λ－32＝－μ＋32，所以λ＋μ＝6.考点三 范围、最值问题方法技巧 圆锥曲线的最值和范围问题解题常见思路 (1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立相关关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.9.已知椭圆的右焦点F (m,0)，左、右准线分别为l 1：x ＝－m －1，l 2：x ＝m ＋1，且l 1，l 2分别与直线y ＝x 相交于A ，B 两点. (1)若离心率为22，求椭圆的方程； (2)当AF →·FB →<7时，求椭圆离心率的取值范围.解 (1)由已知得椭圆的中心在坐标原点，c ＝m ，a 2c＝m ＋1，从而a 2＝m (m ＋1)，b 2＝m . 由e ＝22得b ＝c ，从而m ＝1， 故a ＝2，b ＝1，得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)易得A (－m －1，－m －1)，B (m ＋1，m ＋1)， 从而AF →＝(2m ＋1，m ＋1)，FB →＝(1，m ＋1)， 故AF →·FB →＝2m ＋1＋(m ＋1)2＝m 2＋4m ＋2<7， 得0<m <1，由此得离心率e ＝c a＝mm (m ＋1)＝11＋1m，故椭圆离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 10.(2018·江苏省苏州实验中学月考)如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于x轴下方的端点，过A 作斜率为1的直线l 交椭圆于B 点，点P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求实数t 的取值范围.解 (1)由题意得A (0，－b )，l 的方程为y ＝x －b ，由P (0,1)，得B (1＋b,1)，所以AB →＝(1＋b,1＋b )，AP →＝(0,1＋b )，由AB →·AP →＝9，即(1＋b,1＋b )·(0,1＋b )＝9， 所以(1＋b )2＝9，即b ＝2，所以B (3,1)， 又B 在椭圆上，得9a 2＋14＝1，解得a 2＝12, 所以椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)由A (0，－b ), P (0，t )，得B (t ＋b ，t )， 所以AB →＝(t ＋b ，t ＋b )，AP →＝(0，t ＋b )， 因为AB →·AP →＝9， 所以(t ＋b )2＝9，因为A 点是短轴顶点，所以t >0，t ＋b ＝3，则B (3，t )， 代入椭圆方程得9a 2＋t 2(3－t )2＝1，得a 2＝3(t －3)23－2t. 因为a 2>b 2，所以3(t －3)23－2t >(3－t )2，解得0<t <32.11.已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2). 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而PQ ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝k 2＋1|x 1－x 2|. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12·d ·PQ ＝|x 1－x 2|＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1. 当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为2y ±7x ＋4＝0.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y＝12x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，判别式Δ＝16－4m 2>0， 即m 2<4.所以x 1＝－m ＋4－m 2，x 2＝－m －4－m 2， 则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋14|x 1－x 2|， 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14. 因此S △PAB ＝12·d ·AB ＝12×|m |·|x 1－x 2|＝m 2(4－m 2)≤m 2＋(4－m 2)2＝2，当且仅当m 2＝2时上式等号成立，且满足Δ>0， 故△PAB 面积的最大值为2.例 (16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求OQ OP的值；②求△ABQ 面积的最大值. 审题路线图(1)椭圆C 上的点满足条件―→列出a ，b 的关系式―――――――→已知离心率3e =a 2＝b 2＋c 2基本量法求得椭圆C 的方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――――→P ，O ，Q共线设坐标代入方程―→求出OQ OP②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法 研究判别式Δ并求根→用m ，k 表示S △OAB →求S △OAB 最值―――――――→利用①得S △ABQ和S △OAB的关系得S △ABQ 的最大值 规范解答·评分标准解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，OQ OP＝λ(λ＞0)， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 2＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 20＝1， 所以λ＝2，即OQOP＝2.7分②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y24＝1，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2， (*)因为x 1,2＝－4km ±216k 2－m 2＋44k 2＋1， 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 9分因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.11分设m 21＋4k2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**)由(*)和(**)可知0＜t ≤1， 因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，12分 故0＜S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 14分 由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.16分构建答题模板[第一步] 求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程.[第二步] 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，然后研究判别式，利用求根公式求出交点坐标.[第三步] 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系.[第四步] 建函数：对范围、最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系.[第五步] 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.1.(2018·江苏省如东高级中学)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为F 1(－4,0),F 2(4,0)，且经过点P (3,1).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点M 在椭圆上，且OM →＝12PF 1→＋λPF 2→，求λ的值.解 (1)依题意，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，2a ＝PF 1＋PF 2＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12＝62，∴a ＝32， 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆C 的标准方程为x 218＋y 22＝1.(2)OM →＝12PF 1→＋λPF 2→＝12(－7，－1)＋λ(1，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ－72，－2λ＋12， 点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2λ－72，－2λ＋12，∵点M 在椭圆上，∴118×⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ－722＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2λ＋122＝1， 即20λ2＋4λ－7＝0，解得λ＝12或λ＝－710.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A (2,1)，离心率为32.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于B ，C 两点(异于点A )，线段BC 被y 轴平分，且AB ⊥AC ，求直线l 的方程.解 (1)由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝c a ＝32，所以b 2＝a 2－c 2＝14a 2.又点A (2,1)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，所以4a 2＋1b 2＝1, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2.所以椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)将y ＝kx ＋m (k ≠0)代入椭圆方程， 得x 2＋4(kx ＋m )2－8＝0，整理得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－8＝0.(*)因为x B ，C ＝－8mk ±64m 2k 2－4(1＋4k 2)(4m 2－8)2(1＋4k 2) ＝－4mk ±22＋8k 2－m 21＋4k 2， 所以x B ＋x C ＝－8mk1＋4k2.由线段BC 被y 轴平分，得x B ＋x C ＝－8mk1＋4k 2＝0，因为k ≠0，所以m ＝0.因为当m ＝0时，B ，C 关于原点对称， 设B (x ，kx )，C (－x ，－kx )， 由方程(*)，得x 2＝81＋4k 2，又因为AB ⊥AC ，A (2,1)，所以AB →·AC →＝(x －2)(－x －2)＋(kx －1)(－kx －1)＝5－(1＋k 2)x 2＝5－8(1＋k 2)1＋4k 2＝0，所以k ＝±12.由于k ＝12时，直线y ＝12x 过点A (2,1)，故k ＝12不符合题设.所以直线l 的方程为x ＋2y ＝0.3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，直线l ：x －my －1＝0(m ∈R )过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线l 1，设直线l 1与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l 2，使得点P 恒在直线l 2上？若存在，请求出直线l 2的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)在x －my －1＝0中，令y ＝0，则x ＝1，所以F (1,0).由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)令m ＝0，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 当A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32；当A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－32，所以满足题意的定直线l 2只能是x ＝4. 下面证明点P 恒在直线x ＝4上.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为y 1，从而只要证明P (4，y 1)在直线BD 上即可.由⎩⎪⎨⎪⎧x －my －1＝0，x 24＋y23＝1，消去x 得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0.因为Δ＝144(1＋m 2)＞0， 且y 1,2＝－6m ±121＋m 22(4＋3m 2)， 所以y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m2.①因为k DB －k DP ＝y 2－0x 2－52－y 1－04－52＝y 2my 2＋1－52－y 132＝32y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－3232⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－32＝y 1＋y 2－23my 1y 2my 2－32.将①式代入上式，得k DB －k DP ＝0，所以k DB ＝k DP . 所以点P (4，y 1)在直线BD 上，从而直线l 1、直线BD 与直线l 2：x ＝4三线恒过同一点P ， 所以存在一条定直线l 2：x ＝4，使得点P 恒在直线l 2上.4.(2018·江苏省溧水七校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ()1，0，离心率为22，过F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N .(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； (3)若弦AB ，CD 的斜率均存在，求△FMN 面积的最大值. 解 (1)由题意得c ＝1, c a ＝22， ∴a ＝2，b ＝c ＝1， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线AB ，CD 有一条斜率不存在时，直线MN 即为直线OF ，此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. ②当直线AB ，CD 的斜率均存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1,2＝2k 2±2k 2＋22k 2＋1，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k2， －k 1＋2k 2，将上式中的k 换成－1k ，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋k 2， k 2＋k 2， 若2k 21＋2k 2＝22＋k2，解得k ＝±1，直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 若直线MN 的斜率存在，则k ≠±1，则k MN ＝－k 1＋2k 2－k2＋k 22k 21＋2k 2－22＋k 2＝－k (3k 2＋3)2k 4－2＝32×－kk 2－1， 直线MN 为y －k 2＋k 2＝32×－k k 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22＋k 2， 令y ＝0，得x ＝22＋k 2＋23×k 2－12＋k 2＝23×3＋k 2－12＋k 2＝23.综上，直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.(3)由(2)可知直线MN 过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， 又直线AB 的斜率k ≠0，故S △FMN ＝S △FPM ＋S △FPN ＝12×13⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 2＋k 2＋12×13×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 1＋2k 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫||k ＋1||k 2k 2＋2k2＋5， 令t ＝|k |＋1|k |∈[2，＋∞)，S △FMN ＝f (t )＝12×t 2(t 2－2)＋5＝12×t 2t 2＋1＝12×12t ＋1t，∴f (t )在[2，＋∞)上单调递减，当t ＝2时，f (t )取得最大值，即S △FMN 取得最大值19， 此时k ＝±1.。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
江苏省2019高考数学二轮复习第12讲椭圆课件
解析 A1(0, 3),A2(0,- 3),设P(x,y),则 kPA1 kPA2= ( y
3
3 x2 4 x2
3
=- 34 .所以 kPA1
=-
3 4kPA2
∈
3 8
,
3 4
.
3)( y x2
3
)
y2
= x2
3=
3.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为 ax22 + by22 =1(a>0,b>0),右焦点为F,右
6 3
,
0
.
【方法归纳】 解决直线与椭圆位置关系的相关问题,其常规思路是先把直 线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解 决相关问题,涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
2-1 (2018南京、盐城高三模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: ax22 +
1 2
在椭圆C上,所以
3
a
2
a2
1 4b2
b2
1, 3.
解得
a2 b2
所以椭圆C的方程为
4,
1.
x2 +y2=1.
4
因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.
(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),
则 x02 + y02 =3.
+
2
=1,解得a2=4.
a2
3
所以椭圆C的标准方程为 x2 + y2 =1.
43
江苏省2019高考数学二轮复习 专题三 解析几何 3.3 大题考法—椭圆达标训练(含解析)
椭圆A组——大题保分练1。
如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M,N(点M 在点N的左侧），且MN＝3.（1)求圆C的方程；(2）过点M任作一条直线与椭圆T：错误!＋错误!＝1相交于两点A，B,连结AN，BN,求证：∠ANM＝∠BNM.解:（1）设圆C的半径为r，依题意得，圆心坐标为（r，2)．∵MN＝3,∴r＝错误!，∴r＝错误!，∴圆C的方程为错误!2＋(y－2)2＝错误!。
（2)证明：把y＝0代入方程错误!2＋（y－2)2＝错误!，解得x＝1或x＝4,即点M(1,0)，N(4，0)．①当AB⊥x轴时，由椭圆对称性可知∠ANM＝∠BNM.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k（x－1），联立方程错误!消去y,得（k2＋2）x2－2k2x＋k2－8＝0.设A(x1,y1),B(x2，y2),则x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!.∵y1＝k（x1－1）,y2＝k（x2－1)，∴k AN＋k BN＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.∵（x1－1）（x2－4)＋（x2－1）（x1－4）＝2x1x2－5（x1＋x2）＋8＝错误!－错误!＋8＝0，∴k AN＋k BN＝0，∴∠ANM＝∠BNM。
综上所述,∠ANM＝∠BNM.2．(2018·高邮中学月考)如图,在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉b>0)的左顶点为A(－2，0）,离心率为错误!，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．(1)求椭圆E的标准方程;（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．解：(1)由题意可得：错误!即错误!从而有b2＝a2－c2＝3，所以椭圆E的标准方程为错误!＋错误!＝1.（2)设直线l的方程为y＝k（x＋2)，代入错误!＋错误!＝1，得（3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，因为x＝－2为该方程的一个根，解得B错误!，设C(0，y0)，由k AC·k BC＝－1,得错误!·错误!＝－1，即(3＋4k2）y错误!－12ky0＋（16k2－12）＝0.（＊)由AC＝BC，即AC2＝BC2，得4＋y2，0＝错误!2＋错误!2，即4＝错误!2＋错误!2－错误!y0,即4（3＋4k2）2＝(6－8k2)2＋144k2－24k（3＋4k2)y0，所以k＝0或y0＝错误!，当k＝0时，直线l的方程为y＝0，当y0＝错误!时，代入（＊)得16k4＋7k2－9＝0，解得k＝±错误!，此时直线l的方程为y＝±错误!(x＋2),综上，直线l的方程为y＝0,3x－4y＋6＝0或3x＋4y＋6＝0。
新高考数学复习基础知识专题讲义43 椭圆(解析版)
新高考数学复习基础知识专题讲义知识点43 椭圆知识理解一．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.二．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. 三．椭圆的几何性质－a≤x≤a －b≤x≤b四．直线与椭圆的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离． 五．弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|=(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； ②|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)=⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 考向一 椭圆的定义及应用考向分析【例1-1】（2021·全国课时练习）下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点12(1,0),(1,0)F F -，则满足|PF 1|＋|PF 2|的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【答案】②【解析】①中，因为12(1,0),(1,0)F F -，可得122F F =2，所以点P 的轨迹不存在；②中，因为12124PF PF F F +==，所以点P 的轨迹是线段12F F ；③中，由定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线，即0x =. 故答案为：②【例1-2】．（2021·上海市奉贤中学）若过椭圆2211612y x +=上焦点1F 的直线交椭圆于点A ，B ，2F 为椭圆下焦点，则三角形2F AB 的周长为___________. 【答案】16【解析】在椭圆2211612y x +=中，4a =由椭圆的定义得12122,2AF AF a BF BF a +=+=所以12124,AF AF BF BF a +++=即22+416AF BF AB a +== 故答案为：16【例1-3】（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．26C ．．【答案】A【解析】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =5c ==， 由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c ==，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P SF ⋅=⨯⨯∴==.故选：A. 【举一反三】1．（2021·广西桂林市）设P 是椭圆2222143x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两焦点距离之和为_____.【答案】8【解析】由2222143x y +=，得4a =，由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为28a =.故答案为：82．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆2224x y +=上一点P 到其左焦点F 的距离为1，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3B ．32C ．1D ．12【答案】B【解析】易知椭圆的标准方程为22142x y +=．设椭圆的长轴长为2a ，则2a =，设椭圆的右焦点为1F ，连接1PF ，则由椭圆的定义得123PF a PF =-=．在1PFF 中，易知OM 为1PFF 的中位线，所以11322OM PF ==，故选：B ． 3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）已知P 是椭圆22193x y +=上的任意一点，若12PF =，则2PF =___________. 【答案】4【解析】由椭圆的方程22193x y +=知：3,a b ==，由椭圆的定义知：1226PF PF a +==，12PF = 所以2164PF PF =-= 故答案为：44．（2021·陕西安康市）已知点(3,A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，则||||PB PA -的最大值为___________.【答案】2【解析】由椭圆22:143x y C +=，可得2,1a b c ===，设右焦点为()'1,0F -，因为P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，所以'||||1||||12||||PB PA PF PA a PF PA -≤+-=+--()'5||||PF PA =-+，3PF PA AF +≥=''=，当且仅当',,A P F 共线时取等号，()52PB PA PF PA -≤-+≤'，故答案为：2.5．（2021·全国课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △的面积是______.【解析】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =由椭圆的定义可得1224PF PF a +==，12F F = 在12F PF △中，1260F PF ∠=， 由余弦定理可得()22221212121212122cos603F F PF PF PF PF PF PF PF PF ==+-⋅=+-⋅12163PF PF =-⋅，解得1243PF PF ⋅=，因此，121213sin 602PF F S PF PF =⋅=△故答案为：考向二 椭圆的标准方程【例2-1】（2021·全国单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B【解析】∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．【例2-2】（2021·黑龙江大庆市）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】D【解析】依题意程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆列不等式，所以2120k k ->->，解得12k <<，所以实数k 的取值范围是()1,2.故选：D 【举一反三】1．（2021·全国课时练习）经过点P (3，0)，Q (0，2)的椭圆的标准方程为（ ）A ．22194x y +=B ．22194y x +=C ．22194x y -=D ．22194y x -=【答案】A【解析】依题意可知3,2a b ==且椭圆焦点在x 轴上，故椭圆方程为22194x y+=.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1) 【答案】D【解析】因为方程222x ky +=，即22122+=x y k表示焦点在y 轴上的椭圆， 所以22>k，即01<<k ，所以实数k 的取值范围是(0,1)．故选：D ．3．（2021·湖南岳阳市·岳阳一中）椭圆221y x k+=的一个焦点是(，那么k =（ ）A ．6-B ．6C1D．1【答案】B【解析】因为椭圆221y x k+=上的一个焦点为，在y 轴上，所以1k >，所以15k -=则6k =.故选：B4．（2021·浙江丽水市）“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为曲线2211x yt t +=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件.故选：B考向三 直线与椭圆的位置关系【例3】（2021·全国课时练习）已知椭圆2241x y +=与直线y x m =+有公共点，则实数 m 的取值范围是 _______ .【答案】m ≤≤【解析】由2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得225210x mx m ++-=．因为直线与椭圆有公共点，所以()2242010m m ∆=--≥， 即254m ≤，解得m ≤≤．故答案为：m ≤≤． 【举一反三】1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．【答案】 [1,5)∪(5，＋∞)【解析】方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0. 由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________．【答案】相交【解析】由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围. 【解析】（1）由已知得2a =c =a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=． （2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=，有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->． 解不等式得22m -<<．考向四 弦长【例4】（2021·上海市进才中学高二月考）过椭圆22:143x y C +=的左焦点，斜率为1的直线被椭圆C截得的弦长为________． 【答案】247【解析】设直线与椭圆相交的两个交点坐标为()()1122,,,x y x y椭圆22:143x y C +=的左焦点为()1,0-所以直线的方程为1y x =+则22217880143y x x x x y =+⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩所以121288,77x x x x +=-=-247=故答案为：247【举一反三】1．（2021·全国课时练习）求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆2212516x y +=所截得的线段的长度． 【答案】415【解析】过点(3，0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得()22312525x x -+=， 即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.∴415AB ===. 2．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是()，).（1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若AB =，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1m =±. 【解析】（1）由已知得2a =，则a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=--> 得m 的取值范围为()2,2-由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ===解得1m =± 考向五 离心率【例5】（2021·全国课时练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12BC【答案】A【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴1cos602c a ︒==，即椭圆的离心率12e =.故选：A【举一反三】1．（2021·全国高三月考（文））已知点(M 是椭圆22221x y a b+=()0a b >>上的一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若△12MF F 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．23B ．24C ．12或23D ．23 【答案】D【解析】由△12MF F 为等腰三角形知：当112||||2F M F F c ==，而1(,0)F c -，则22(3)154c c ++=，整理得2280c c --=，解得4c =或2c =-（舍），而242228F M a c a ===-=-，故6a =，此时23c e a ==； 当212||||2F M F F c ==，而2(,0)F c ，则22(3)154c c -+=，整理得2280c c +-=，解得2c =或4c =-（舍），而12224F M a c a ===-=-，故2a =+，此时23c e a ==； 故选：D.2．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（ ） AB【答案】D【解析】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F FP △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a +-=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e =D 3．（2021·江苏启东市）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（ ）A．10B．3C．2D【答案】A【解析】由题意可知：223bc =，即3b c =，所以a ==所以离心率10c e a ===.故选：A1．（2021·江西高三其他模拟（文））如图，P 是椭圆22194x y +=上的一点，F 是椭圆的右焦点且PQ FQ =-，2OQ =，则PF =（ ）强化练习A ．2B ．3D ．4 【答案】A【解析】由22194x y +=可得：3a =因为PQ FQ =-，所以点Q 是线段PF 的中点， 设椭圆的右焦点为F '，则O 是FF '的中点， 所以24PF OQ '==， 由椭圆的定义可知：26PF PF a '+==，所以2PF =， 故选：A.2．（2021·全国课时练习）已知椭圆2211612x y +=的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝（ ） A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3 【答案】C【解析】由2211612x y +=＝1可知216a =，212b =，所以22216124c a b =-=-=，所以F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，且原点O 为线段12F F 的中点， 所以2//PF MO ，所以2PF x ⊥轴，∴可设P (2，y )，把P (2，y )代入椭圆2211612x y +=，得29y =.∴|PF 1|5=，|PF 2|＝3.∴12||5||3PF PF =. 故选：C3．（2021·上海市莘庄中学）平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲：12||||MF MF +是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数）成立是定值．若动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数），当122||a F F ，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B ．4．（2021·重庆）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限上的一点P 与椭圆的左、右焦点1F 、2F 恰好构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A B ．12C ．2D 【答案】A【解析】因为点P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上位于第一象限的点，12PF PF >，所以，12PF F ∠为锐角，因为12PF F △是顶角为120的等腰三角形，但1221PF F PF F ∠<∠，故21120PF F ︒∠=，所以，2212PF F F c ==，由余弦定理可得12PF ==，由椭圆定理可得1222PF PF c a +=+=，故12c a -==. 故选：A.5．（2021·江苏南通市）设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m +=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,B ．[)9044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,C ．[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)90124⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,【答案】C【解析】由题意可知，若焦点在x 轴上，223,(0)==>a b m m ，则23=-c m ，椭圆C 上存在点M满足12120F MF ∠=︒，如图所示，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即33-≥m m ，得34m ≤；若焦点在y 轴上，22,3(3)==>a m b m ，则23c m =-，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即39-≥m ，得12m ≥； 所以m 的取值范围是[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.6．（2021·江西高三其他模拟（文））若椭圆22: 15x y C m+=的一个焦点坐标为(1,0)-，则实数m 的值为（ ） A ．9B ．6C ．4D ．1 【答案】C【解析】因为椭圆的焦点(1,0)-在x 轴上， 所以25a =，2b m =，所以2225c a b m =-=-， 所以51m -=，解得4m =. 故选：C7．（2021·福建龙岩市）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（ ） A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C【解析】解：椭圆22212x y a +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ． 8．（2021·江西赣州市）已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（ ）A ．．．±．±【答案】C【解析】因为右焦点为(2,0)，故焦点在x 轴上且2164m -=，故m =±，故选：C.9．（2021·广西百色市）“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴的椭圆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则满足120m m +>>，解得01m <<；又由当01m <<则必有0m >，但若0m >则不一定有01m <<成立，所以“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件．故选：B ．10．（2021·河南郑州市）设1F 、2F 分别是椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．．6D ．9【答案】D【解析】在椭圆22:1259x y C +=中，5a =，3b =，则4c =，所以，1228F F c ==，设点()00,P x y ，则22001259x y +=，可得220025259x y =-，4OP ===，解得208116y =，094y ∴=，因此，12PF F △的面积为1212011989224PF F S F F y =⋅=⨯⨯=△. 故选：D.11．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛ ⎝⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．22⎣⎦【答案】A【解析】由120PF PF ⋅=得：12PF PF ⊥，∴点P 在以()()12,0,,0F c F c -为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径r c b =≥，2222c b a c ∴≥=-，即222c a ≥，22212c e a ∴=≥，12e ∴≤<.故选：A.12．（2021·江苏）若椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）的焦距为2，且其离心率为2，则椭圆的方程为（ ）A ．22+=142x yB ．22+=121x yC ．22143+=x yD ．22+=184x y【答案】B【解析】由题意可知：22c =，即1c =，由椭圆的离心率2c e a ==，解得：a = 2221b a c =-= ∴椭圆的标准方程：2212x y +=故选：B13．（2021·全国课时练习）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是（ ）A ．22134x y +=B ．2214x +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且11,2,2c c e a b a ===⇒=== 因此椭圆的方程是22143x y +=.故选：C14．（多选）（2021·山东滨州市·高三一模）已知椭圆22:12520x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．125PF PF +=B ．直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为45- C ．存在点P 满足1290F PF ∠=︒D ．若12F PF △的面积为P 的横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===，1(F ，2F ，1(5,0)A -，2(5),0A ，短轴一个顶点2B ，12210PF PF a +==，A 错；设(,)P x y ，则2212520x y +=，2220(1)25x y =-，所以1222221420(1)552525255PA PAy y y x k k x x x x =⨯==-⨯=-+---，B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，C 错；(,)P x y，1212132PF F P P S F F y y ===△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确． 故选：BD ．15．（多选）（2021·武冈市第二中学）已知点(),2P a a -在直线730x ay ++=上，则圆锥曲线221x y a+=的离心率为（ ） ABD．2【答案】AC【解析】∵(),2P a a -在直线730x ay ++=上，所以27230a a -++=, 即22730a a -+=,解得3a =或12a =, 当3a =时，圆锥曲线2213x y +=,为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e ==, 当12a =时，圆锥曲线22112x y +=,为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，2e ==, 故选:AC.16．（多选）（2021·山东聊城市）已知五个数1，p ，m ，q ，16成等比数列，则曲线221x y p m+=的离心率可以是（ ）A B ．2C 【答案】AC【解析】由题意416p =，2p =±，4m =，曲线方程为22124x y +=或22124x y +=-，方程为22124x y +=时，离心率为22e ==，方程为22124x y +=-，离心率为22e ==． 故选：AC ．17．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线1l 与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=．则椭圆C 的离心率e =________．1 【解析】如下图所示：由已知条件可知，在12Rt PF F 中，1290F PF ∠=，1230PF F ∠=，21212PF F F c ∴==，则1PF ==，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，即12c a ，1c e a ∴===.1.18．（2021·安徽芜湖市·）已知F 1，F 2为椭圆22C :14x y +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=___________. 【答案】43【解析】由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2， 所以22121212()312PF PF PF PF F F +-⋅==，解得3|PF 1|·|PF 2|＝4，即12PF PF ⋅=43， 故答案为：4319．（2021·上海市西南位育中学）已知Р为椭圆22195x y +=上的点，1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF =_____ 【答案】203【解析】由椭圆22195x y +=，可得()12,0F -、()22,0F由条件可得1226PF PF a +== 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒所以()21212163PF PF PF PF =+-，即1216363PF PF =-所以12PF PF =203故答案为：20320．（2021·江苏南通市）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()4,4M ，若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________. 【答案】1【解析】由已知得222224,3,1a b c a b ===-=，2(1,0)F ， 因为2124PF PF a +==，所以124PF PF =-， 所以()12244PM PF PM PF PM PF -=--=+-， 所以当三点2M P F 、、共线时，24PM PF +-最小，即224441PM PF MF +-=-==.故答案为：1.21．（2021·广西百色市）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．1【解析】设直线)y x c =-的倾斜角为α，则tan α=0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则211,MF MF ===由椭圆定义得122||||1a MF MF =+=∴椭圆的离心率212c e a ===．1．22．（2021·内蒙古赤峰市·高三期末（理））已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．【答案】24-【解析】由已知得12,2c e ==，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=，由余弦定理得222121212123cos cos302F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯， 即()2121212216F P PF FP PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF⨯=，则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=-故答案为：24-23．（2021·广东梅州市）已知过点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆C 的焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，则椭圆C 的标准方程是___________.【答案】22143x y +=【解析】由题意24a ==，2a =，所以b =,所以椭圆方程为22143x y +=．故答案为：22143x y +=．24．（2021·安徽省临泉第一中学）椭圆22134x y+=的离心率等于______.【答案】12【解析】由题意2,a b ==，所以1c ==，离心率为12c e a ==．故答案为：12．25．（2021·湖南常德市一中高三月考）写一个离心率是椭圆2211612x y +=的离心率4倍且焦点在x 轴上的双曲线标准方程：___________.【答案】2213y x -=(答案不唯一)【解析】有椭圆方程可知216a =，212b =，则216124c =-=，所以椭圆的离心率2142c e a ===，则双曲线的离心率2e =，则双曲线中22cc a a=⇒=，即22224c a a b ==+，得223b a =，令21a =，则23b =，所以满足条件的一个双曲线方程是2213y x -=.故答案为：2213y x -=(答案不唯一)26．（2021·全国高三专题练习）过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________． 【答案】12-【解析】根据题意，圆222210x y x y +--+=的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，其圆心为(1,1)，半径1r =，过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 经过圆的圆心， 故直线l 的斜率1211(1)2k -==---；故答案为：12-． 27．（2021·六安市裕安区新安中学）已知椭圆的两个焦点坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线1y x =+与椭圆交于A ､B 两点，求AB 中点的坐标．【答案】（1）221106x y +=；（2）53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>，由椭圆定义知2c =，2a ==所以a =，所以222104b a c =-=-， 所求椭圆标准方程为221106x y +=．（2）设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2211061x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2810250x x +-=，得1254x x +=-，12258x x =-． 设AB 的中点坐标为()00,x y ，则120528x x x +==-，038y =， 所以中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭．28．（2021·河南高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若1110·3AF BF =，求AB ． 【答案】（1）2212x y +=；（2）||3AB =．【解析】解：（1）因为椭圆C过点33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以2241133a b +=．① 又椭圆C2212c a =，故2222222112b ac c a a a -==-=．② 联立①②得2222411,331,2a b b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）当直线l的斜率不存在时，2222b AF BF a ===，所以211910223AF BF ⋅==≠， 故直线l 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-．联立22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222214220k x k x k +-+-=， 则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++．1AF ====，同理1||BF =． 因为()2121211242182102423x x x x k AF BF k ++++⋅===+，解得21k =，所以11AF BF +==又因为11||AF BF AB++=||3AB =． 29．（2021·吉林长春市·高三二模（文））已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8,O 为坐标原点， （1）求椭圆的方程；（2）求面积AOB 的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）32． 【解析】（1）设椭圆半焦距为,c 由题意可知48,2a a ==， 由离心率有21,3c b ==，所以椭圆方程为22143x y +=，（2）设直线:1AB x ty =+，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得()2243690tyty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ， 有12122269,4343t y y y y t t --+==++， 由21OF =，所以OAB的面积2121612S OF y y =⋅-==⨯，函数1()3f x x x=+[)1,x ∈+∞，令121x x >≥， 则()1212121212123111()()33x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为121x x >≥，所以()121212310x x x x x x -->，12())0(f x f x ->。
江苏省2019高考数学二轮复习 专题三 解析几何 3.2 大题考法—直线与圆讲义(含解析)
第二讲大题考法—-直线与圆题型（一）直线与圆的位置关系主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.［典例感悟]［例1］如图，在Rt△ABC中,∠A为直角，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0,点T（－1,1)在直线AC上，BC中点为M(2，0）．(1）求BC边所在直线的方程;（2）若动圆P过点N（－2,0），且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程．[解］(1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，AC与AB垂直,所以直线AC的斜率为－3.故AC边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），即3x＋y＋2＝0。
设C为(x0，－3x0－2）,因为M为BC中点,所以B（4－x0,3x0＋2)．点B代入x－3y－6＝0，解得x0＝－错误!,所以C错误!.所以BC所在直线方程为x＋7y－2＝0.(2)因为Rt△ABC斜边中点为M（2,0)，所以M为Rt△ABC外接圆的圆心．又AM＝22,从而Rt△ABC外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8。
设P(a，b），因为动圆P过点N，所以该圆的半径r＝错误!，圆方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2。
由于⊙P与⊙M相交，则公共弦所在直线m的方程为（4－2a)x－2by＋a2＋b2－r2＋4＝0.因为公共弦长为4，⊙M半径为2错误!，所以M（2，0)到m的距离d＝2，即错误!＝2，化简得b2＝3a2－4a,所以r＝a＋22＋b2＝错误!。
当a＝0时，r最小值为2，此时b＝0，圆的方程为x2＋y2＝4。
［方法技巧］解决有关直线与圆位置关系的问题的方法（1）直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式,故要根据所给几何条件灵活使用方程．(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况．(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组．[演练冲关]已知以点C 错误!（t ∈R ,t ≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O ,A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1）求证：△OAB 的面积为定值;(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1）证明:因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋错误!. 设圆C 的方程是(x －t ）2＋错误!2＝t 2＋错误!, 令x ＝0，得y 1＝0,y 2＝4t；令y ＝0,得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝错误!×错误!×｜2t ｜＝4,即△OAB 的面积为定值． (2）因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分线段MN 。
江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.2大题考法_直线与圆达标训练含解析201905231
直线与圆A 组——大题保分练1．已知圆 O ：x 2＋y 2＝4交 y 轴正半轴于点 A ，点 B ，C 是圆 O 上异于点 A 的两个动点． (1)若 B 与 A 关于原点 O 对称，直线 AC 和直线 BC 分别交直线 y ＝4于点 M ，N ，求线段 MN 长度的最小值；(2)若直线 AC 和直线 AB 的斜率之积为 1，求证：直线 BC 与 x 轴垂直．解：(1)由题意，直线 AC 和直线 BC 的斜率一定存在且不为 0，且 A (0,2)，B (0，－2)，AC ⊥BC .1设直线 AC 的斜率为 k ，则直线 BC 的斜率为－ ，k1 所以直线 AC 的方程为 y ＝kx ＋2，直线 BC 的方程为 y ＝－ x －2，k2故它们与直线 y ＝4的交点分别为 M( ，4 )，N (－6k,4)．k23所以 MN ＝|k |≥4 ，当且仅当 k ＝± 时取等号，所以线段 MN 长度的最小值为 4 .6k ＋333(2)证明：易知直线 AC 和直线 AB 的斜率一定存在且不为 0，设直线 AC 的方程为 y ＝kx ＋ 12，则直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋2.k4k21－k 24k2k 2－1由Error!解得 C(，同理可得 B.－，1＋k 2)1＋k 2) (－， 1＋k 21＋k 2因为 B ，C 两点的横坐标相等，所以 BC ⊥x 轴．2．已知圆 x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0和圆外一点 M (4，－8)． (1)过 M 作直线交圆于 A ，B 两点，若|AB |＝4，求直线 AB 的方程； (2)过 M 作圆的切线，切点分别为 C ，D ，求切线长及 CD 所在直线的方程． 解：(1)圆即(x －2)2＋(y ＋1)2＝8， 圆心为 P (2，－1)，半径 r ＝2 2.①若割线斜率存在，设 AB ：y ＋8＝k (x －4)， 即 kx －y －4k －8＝0，设 AB 的中点为 N ， |2k ＋1－4k －8| |2k ＋7| 则|PN |＝ ＝ ， k 2＋1 k 2＋1|AB |45由|PN |2＋( 2 )2＝r 2，得 k ＝－， 28AB：45x＋28y＋44＝0.②若割线斜率不存在，AB：x＝4，代入圆方程得y2＋2y－3＝0，y1＝1，y2＝－3符合题意．综上，直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0或x＝4.1(2)切线长为 |PM |2－r 2＝ 4＋49－8＝3 5. 以 PM 为直径的圆的方程为 (x －2)(x －4)＋(y ＋1)(y ＋8)＝0， 即 x 2＋y 2－6x ＋9y ＋16＝0.又已知圆的方程为 x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0， 两式相减，得 2x －7y －19＝0， 所以直线 CD 的方程为 2x －7y －19＝0.3．已知直线 l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为 2的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方．(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M (1,0)的直线与圆 C 交于 A ，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存在 定点 N ，使得 x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．5解：(1)设圆心 C (a,0)(2)， a > －|4a ＋10| 则 ＝2⇒a ＝0或 a ＝－5(舍去)．5 所以圆 C 的方程为 x 2＋y 2＝4. (2)当直线 AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，2k 2k 2－4 y 1y 2所以 x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝ .若 x 轴平分∠ANB ，则 k AN ＝－k BN ⇒ ＋ ＝0⇒ k 2＋1 k 2＋1 x 1－t x 2－tk x 1－1 k x 2－12k 2－4 2k 2t ＋1 ＋＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒－＋2tx 1－tx 2－tk 2＋1k 2＋1＝0⇒t ＝4，所以当点 N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆 C 2：(x －4)2＋(y －5)2 ＝4.(1)若直线 l 过点 A (4,0)，且被圆 C 1截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；(2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 1和 l 2，它们分别 与圆 C 1和 C 2相交，且直线 l 1被圆 C 1截得的弦长与直线 l 2被圆 C 2截得的弦长相等，求所有满 足条件的点 P 的坐标．解：(1)由于直线 x ＝4与圆 C 1不相交，∴直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝k (x －4)，圆 C 1的圆心到直线 l 的距离为 d . ∵l 被圆 C 1截得的弦长为 2 3，2∴d ＝ 22－ 32＝1.|－1－7k | 又由点到直线的距离公式得 d ＝ ， 1＋k 2 7 ∴k (24k ＋7)＝0，解得 k ＝0或 k ＝－ ， 24 ∴直线 l 的方程为 y ＝0或 7x ＋24y －28＝0. (2)设点 P (a ，b )满足条件，由题意分析可得直线 l 1，l 2的斜率均存在且不为 0，1 不妨设直线 l 1的方程为 y －b ＝k (x －a )，则直线 l 2的方程为 y －b ＝－ (x －a )．k∵圆 C 1和圆 C 2的半径相等，且直线 l 1被圆 C 1截得的弦长与直线 l 2被圆 C 2截得的弦长相 等，∴圆 C 1的圆心到直线 l 1的距离和圆 C 2的圆心到直线 l 2的距离相等，1|5＋4－a －b||1－k －3－a －b |k即 ＝，1＋k 2 11＋k 2整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |. ∴1＋3k ＋ak －b ＝±(5k ＋4－a －bk )，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. ∵ k 的取值有无穷多个， ∴Error!或Error! 解得Error!或Error!51 3 13故这样的点只可能是点 P 1(或点 P 2－ ， .，－2)22 2B 组——大题增分练1.如图，已知以点 A (－1,2)为圆心的圆与直线 l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点 B (－2,0)的动 直线 l 与圆 A 相交于 M ，N 两点，Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l 1相交于点 P .(1)求圆 A 的方程；(2)当 MN ＝2 19时，求直线 l 的方程． 解：(1)设圆 A 的半径为 r .由于圆 A 与直线 l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，3|－1＋4＋7|∴r＝＝2 5.5∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN.∵MN＝2 19，∴AQ＝20－19＝1，|k－2|则由AQ＝＝1，k2＋13得k＝，∴直线l：3x－4y＋6＝0.4故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.2．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当OP＝OM时，求证：△POM的面积为定值．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.―→―→设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x,2－y)．―→―→由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)证明：由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于OP＝OM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.1因为ON的斜率为3，所以PM的斜率为－，31 8故PM的方程为y＝－x＋.3 34 10又OM＝OP＝2 2，O到l的距离d为，544 10所以 PM ＝2 OP 2－d 2＝ ，51 16所以△POM 的面积为 S △POM ＝ PM ·d ＝ .2 53.如图，已知位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点(0,1)，且被 x 轴分成的两段弧长之比为 2∶1，过点 H (0，t )的直线 l 与圆 C 相交于 M ，N 两点，且以 MN 为直径 的圆恰好经过坐标原点 O .(1)求圆 C 的方程；(2)当 t ＝1时，求直线 l 的方程； (3)求直线 OM 的斜率 k 的取值范围．解：(1)因为位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点(0,1)，所以圆心 C 在直线 y ＝1上． 又圆 C 与 x 轴的交点分别为 A ，B ，由圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 2∶1，得∠ACB ＝ 2π .3 所以 CA ＝CB ＝2，圆心 C 的坐标为(－2,1)． 所以圆 C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当 t ＝1时，由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝mx ＋1. 由Error!消去 y ， 得(m 2＋1)x 2＋4x ＝0， 解得Error!或Error!－4 m 2－4m ＋1不妨令 M(m 2＋1)，N (0,1)．，m 2＋1因为以 MN 为直径的圆恰好经过 O (0,0)，―→―→ －4 m 2－4m ＋1 m 2－4m ＋1所以OM · ON ＝(， ·(0,1)＝＝0，解得 m ＝2± ，m 2＋1)3m 2＋1m 2＋1故所求直线 l 的方程为 y ＝(2＋ 3)x ＋1或 y ＝(2－ 3)x ＋1.(3)设直线 OM 的方程为 y ＝kx ， |－2k －1| 3由题意，知 ≤2，解得 k ≤ . 1＋k 2 4 1 3 4同理得－ ≤ ，解得 k ≤－ 或 k >0. k 4 3 由(2)知，k ＝0也满足题意．43所以 k 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，4 ].4．已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l5与直线 m ：x ＋3y ＋6＝0相交于 N .(1)求证：当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心 C ； (2)当 PQ ＝2 3时，求直线 l 的方程；―→―→(3)探索 AM · AN 是否与直线 l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说 明理由．解：(1)∵l 与 m 垂直， 1且 k m ＝－ ，∴k l ＝3，3故直线 l 方程为 y ＝3(x ＋1)，即 3x －y ＋3＝0. ∵圆心坐标(0,3)满足直线 l 方程， ∴当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心 C .(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时， 易知 x ＝－1符合题意． ②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即 kx －y ＋k ＝0， ∵PQ ＝2 3，∴CM ＝ 4－3＝1， |－k ＋3| 4 则由 CM ＝ ＝1，得 k ＝ ， k 2＋1 3 ∴直线 l ：4x －3y ＋4＝0.故直线 l 的方程为 x ＝－1或 4x －3y ＋4＝0.―→ ―→ ―→ ―→ ―→(3)∵CM ⊥MN ，∴ AM · AN ＝( AC ＋ CM )· AN ＝ ―→―→ ―→ ―→ ―→ ―→AC · AN ＋ CM · AN ＝ AC · AN .5 当 l与 x 轴垂直时，易得 N(，－1，－3)―→ 5―→(则AN ＝ 0，－3)，又 AC ＝(1,3)，―→ ―→ ―→ ―→∴ AM · AN ＝ AC · AN ＝－5.当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，－3k －6 －5k则由Error!得 N(，，1＋3k)1＋3k―→－5 －5k则AN ＝(，，1＋3k)1＋3k―→―→―→―→－5 －15k∴AM·AN＝AC·AN＝＋＝－5.1＋3k1＋3k―→―→综上所述，AM·AN与直线l的斜率无关，6―→―→且AM·AN＝－5.7。
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第三讲 大题考法——椭圆题型(一) 直线与椭圆的位置关系主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方程、直线方程的求法.[典例感悟][例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2. 因为PC ＝2AB ， 所以23k 2＋1 1＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k21＋2k2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.[方法技巧]解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点(1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等．(2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理．[演练冲关]1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a2c＝42，解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：(设点法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点． 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A (－2,0)．设M (x 0，y 0)(－2<x 0<0)，则B (2x 0＋2,2y 0)． 所以x 20＋y 20＝89，①2x 0＋224＋2y 022＝1，②由①②得9x 20－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①得y 0＝±23，所以k AB ＝±12，因此直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.法二：(设线法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．由椭圆方程知A (－2,0)，设B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k x ＋2，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k 2.所以x M ＝x B ＋－22＝－4k 21＋2k2， y M ＝k (x M ＋2)＝2k1＋2k2， 代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 22＝89，化简得28k 4＋k 2－2＝0，即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.2.(2018·南师附中调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右准线l 方程为x ＝4，右焦点F (1,0)，A 为椭圆的左顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足AM ―→·MN ―→＝0且5|AM ―→|＝2|MN ―→|，求直线AM 的方程．解：(1)∵a 2c＝4，c ＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， ∴x M ＝－16k 24k 2＋3＋2＝6－8k24k 2＋3，y M ＝k (x M ＋2)＝12k4k 2＋3. 而k MN ＝－1k，又∵x N ＝4，∴MN ＝ 1＋1k2|x M －x N |＝1＋1k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪24k 2＋64k 2＋3＝1＋k 2k ·24k 2＋64k 2＋3. 又∵AM ＝1＋k 2|x M －x A |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪124k 2＋3＝1＋k 2·124k 2＋3，∵5|AM ―→|＝2|MN ―→|，∴51＋k 2·124k 2＋3＝21＋k 2k ·24k 2＋64k 2＋3，∴k ＝1或14，∴AM 的方程为y ＝x ＋2或y ＝14x ＋12.题型(二) 椭圆与圆的综合问题主要考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆与圆相结合的问题，主要求椭圆、圆的方程.[典例感悟][例2] (2018·无锡期末)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，D 为上顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连结PA 交椭圆于点C ，记点P 的纵坐标为t .(1)求椭圆E 的方程；(2)若△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程； (3)求过点B ，C ，P 的圆的方程(结果用t 表示)．[解] (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，b ＝c ，所以直线DB 的方程为y ＝－22x ＋b ， 又O 到直线BD 的距离为63，所以b1＋12＝63， 解得b ＝1，a ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (2，t )，t >0，则直线PA 的方程为y ＝t22(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t22x ＋2，整理得(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0， 解得x C ＝42－2t 24＋t2， 则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t2，4t 4＋t 2，因为△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积， 所以△AOC 的面积等于△BPC 的面积，S △AOC ＝12×2×4t 4＋t 2＝22t 4＋t2， S △PBC ＝12×t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t2， 则2t 34＋t 2＝22t 4＋t2，解得t ＝ 2. 所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0.(3)因为B (2，0)，P (2，t )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t2，4t 4＋t 2，所以BP 的垂直平分线为y ＝t2，BC 的垂直平分线为y ＝2t 2x －2tt 2＋4， 所以过B ，C ，P 三点的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋82t 2＋4，t 2， 则过B ，C ，P 三点的圆的方程为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －t 2＋82t 2＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t 42t 2＋42＋t 24，即所求圆的方程为x 2－2t 2＋82t 2＋4x ＋y 2－ty ＋8t 2＋4＝0. [方法技巧]椭圆与圆的综合问题的解题策略(1)在椭圆背景下，常会出现给出三点(包含椭圆上的点)求圆的方程，也会出现给出以椭圆上的两点为直径的圆的问题．这里涉及到椭圆上动点如何求解，以及椭圆的弦的处理．(2)以两点为直径的圆，可以用直角三角形处理，也可以用向量数量积处理，这两种方法都是转化为点坐标来处理.(3)运算时要加强“设而不求”思想的渗透，出现多个变量时，要有消元意识和主元思想；在代入运算过程中，不要忘掉整体思想．(4)在研究直线与椭圆相交的问题时，通常有两种方法来设参，一是设点坐标来作为参数，二是设直线的斜率作为参数．在学习中，要通过比较来看应用哪种方法较为简便，以免将问题复杂化．[演练冲关](2018·镇江期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，左焦点F (－2,0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若M (－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程． 解：(1)因为e ＝ca ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2. 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (s ，t )，则B (－s ，t )，且s 2＋2t 2＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ， 所以MA ―→·MB ―→＝0，又MA ―→＝(s ＋6，t ＋1)，MB ―→＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0.② 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M (－6，－1)，所以t >0)，所以s 2＝709.又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t )，半径为AB2＝|s |，所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＝709.题型(三)椭圆中的定点、定值问题主要考查直线与椭圆的位置关系及动直线、动圆过定点问题或与动点有关的定值问题.[典例感悟][例3] (2018·江苏六市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 满足QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． [解] 设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)．(1)在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋x ＋329＝1.所以x 0＝－6a29＋a 2.因为PB 1＝x 20＋y 0－32＝2|x 0|，所以42＝2·6a 29＋a 2，解得a 2＝18.所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)法一：(设点法) 直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0， 由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3. 同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.因为P (x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 2－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.法二：(设线法) 设直线PB 1，PB 2的斜率分别为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0.x 0≠0， 所以k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k.由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，解得x 1＝6k2k 2＋1.所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k 2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.[方法技巧]1．定点问题的两种求解方法(1)引进参数法，引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法，根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2．定值问题的基本求解方法先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．[演练冲关]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为(2)证明：当直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋x 2＋4y 2＝4，2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－35. 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得a ＝2b ， 所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把P (2，－1)的坐标代入，得b 2＝2，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(2) 由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数． 设直线PA 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k x －2，x 2＋4y 2＝8，消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0. 因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝42k ＋12－81＋4k2， 即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2.从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 计算，得k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值． [课时达标训练]A 组——大题保分练1.如图，圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且MN ＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆T ：x 24＋y 28＝1相交于两点A ，B ，连结AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .解：(1)设圆C 的半径为r ，依题意得，圆心坐标为(r,2)．∵MN ＝3，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22，∴r ＝52， ∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254.(2)证明：把y ＝0代入方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1,0)，N (4,0)．①当AB ⊥x 轴时，由椭圆对称性可知∠ANM ＝∠BNM .②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y28＝1消去y ，得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2k 2＋2，x 1x 2＝k 2－8k 2＋2.∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， ∴k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝k x 1－1x 1－4＋k x 2－1x 2－4＝k x 1－1x 2－4＋k x 2－1x 1－4x 1－4x 2－4.∵(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝2k 2－8k 2＋－10k22＋8＝0，∴k AN ＋k BN ＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 综上所述，∠ANM ＝∠BNM .2．(2018·高邮中学月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：(1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，从而有b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0,因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1， 得y 02·12k3＋4k 2－y 06－8k23＋4k2＝－1， 即(3＋4k 2)y 20－12ky 0＋(16k 2－12)＝0.(*)由AC ＝BC ，即AC 2＝BC 2，得4＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－12k 3＋4k 22，即4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 3＋4k 22－24k 3＋4k 2y 0， 即4(3＋4k 2)2＝(6－8k 2)2＋144k 2－24k (3＋4k 2)y 0， 所以k ＝0或y 0＝－2k3＋4k2，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k 4＋7k 2－9＝0，解得k ＝±34，此时直线l 的方程为y ＝±34(x ＋2)，综上，直线l 的方程为y ＝0,3x －4y ＋6＝0或3x ＋4y ＋6＝0. 3．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP2＋1OQ 2的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2c －c ＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2， 所以1OP2＋1OQ 2＝1.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.所以12＋12＝2k 2＋12＋12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆与椭圆M 和圆N 均只(1)求椭圆M 的方程和直线l 的方程； (2)试在圆N 上求一点P ，使PBPA＝2 2. 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.圆N 的方程为(x －1)2＋y 2＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 因为直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆M 只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0得m 2＝3＋4k 2,② 由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆N 只有一个公共点， 得|k ＋m |1＋k2＝5，即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2，③将②代入③得km ＝1，④ 由②④且k >0，得k ＝12，m ＝2.所以直线l 的方程为y ＝12x ＋2.(2)将k ＝12，m ＝2代入①，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32. 又过切点B 的半径所在的直线l ′为y ＝－2x ＋2，所以得交点B (0,2)， 设P (x 0，y 0)，因为PBPA＝22， 则x 20＋y 0－22x 0＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－22＝8，化简得7x 20＋7y 20＋16x 0－20y 0＋22＝0，⑤ 又P (x 0，y 0)满足x 20＋y 20－2x 0＝4，⑥将⑤－7×⑥得3x 0－2y 0＋5＝0，即y 0＝3x 0＋52.⑦将⑦代入⑥得13x 20＋22x 0＋9＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝－13，所以P (－1,1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－913，1913.B 组——大题增分练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab .(1)若椭圆C 的离心率为63，求椭圆C 的方程； (2)若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线PF 2交y 轴于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆与点F 1的位置关系，并说明理由．解：由题意，得点A (a,0)，B (0，b )，直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0﹒ 由题设，得||ab a 2＋b2＝ab ，化简得a 2＋b 2＝1.①(1)因为e ＝c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，即a 2＝3b 2.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝34，b 2＝14，所以椭圆C 的方程为4x 23＋4y 2＝1.(2)点F 1在以PQ 为直径的圆上，理由如下：由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx ＋1消去y 得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，(*) 则Δ＝(2ka 2)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2－a 2b 2)＝0， 化简得1－b 2－a 2k 2＝0，所以k 2＝1－b2a2＝1，因为点P 在第二象限，所以k ＝1.把k ＝1代入方程(*)，得x 2＋2a 2x ＋a 4＝0， 解得x ＝－a 2，从而y ＝b 2，所以P (－a 2，b 2)﹒从而直线PF 2的方程为y －b 2＝b 2－a 2－c(x ＋a 2)，令x ＝0，得y ＝b 2c a 2＋c ，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2c a 2＋c ﹒从而F 1P ―→＝(－a 2＋c ，b 2)，F 1Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2c a 2＋c ，从而F 1P ―→·F 1Q ―→＝c (－a 2＋c )＋b 4c a 2＋c＝c －a 4＋b 4＋c 2a 2＋c ＝c []b 2－a 2b 2＋a 2＋c 2a 2＋c＝0，所以F 1P ―→·F 1Q ―→＝0.所以点F 1在以PQ 为直径的圆上．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2. (1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC 必过点Q .解：(1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 2x 20－4＝1－14x 2x 20－4＝－14.(2)设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 2＋y 2＝4，消去y ，得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0， 解得x P ＝2k 21－11＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0， 解得x B ＝24k 21－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 11＋k 212k 21－11＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(3)设直线AC 的方程为y ＝k 2(x －2)， 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－216k 21－116k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 2121－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－216k 21－116k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q . 3．(2018·扬州期末)已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若椭圆E 2：x 2ma 2＋y 2mb 2＝1(a >b >0，m >1)，则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”．(1)求经过点(2，1)，且与椭圆E 1：x 22＋y 2＝1“相似”的椭圆E 2的方程； (2)若椭圆E 1与椭圆E 2“相似”，且m ＝4，椭圆E 1的离心率为22，P 在椭圆E 2上，过P 的直线l 交椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ―→＝λAB ―→.①若B 的坐标为(0,2)，且λ＝2，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为－12，求实数λ的值．解：(1)设椭圆E 2的方程为x 22m ＋y 2m＝1，将点(2，1)代入得m ＝2，所以椭圆E 2的方程为x 24＋y 22＝1.(2)因为椭圆E 1的离心率为22，故a 2＝2b 2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2. 又椭圆E 2与椭圆E 1“相似”，且m ＝4，所以椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．①法一：(设线法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32.当直线l 斜率不存在时，B (0,2)，A (0，－2)，P (0,4)，不满足AP ―→＝2AB ―→，从而直线l 斜率存在，可设直线l ：y ＝kx ＋2，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＝0， 解得x 1＝－8k 1＋2k 2，x 2＝0，故y 1＝2－4k21＋2k2，y 2＝2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋2k 2，2－4k 21＋2k 2.又AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 2，2＋12k 21＋2k 2， 代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12k 21＋2k 22＝32， 即20k 4＋4k 2－3＝0，所以k ＝±3010，所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. 法二：(设点法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，E 2：x 2＋2y 2＝32.由A (x 1，y 1)，B (0,2)，AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点， 则P (－x 1,4－y 1)．代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝8，x 21＋24－y 12＝32，解得y 1＝12，故x 1＝±302， 所以直线l 的斜率k ＝±3010， 所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. ②由题意得x 20＋2y 20＝8b 2，x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2，法一：(设点法)由直线OP ，OA 的斜率之积为－12，得y 0x 0·y 1x 1＝－12，即x 0x 1＋2y 0y 1＝0. 又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2，所以λ＝52.法二：(设线法) 不妨设点P 在第一象限，设直线OP ：y ＝kx (k >0)，代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2，解得x 0＝22b 1＋2k2，则y 0＝22bk 1＋2k2.直线OP ，OA 的斜率之积为－12，则直线OA ：y ＝－12k x ，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2，解得x 1＝－2bk 1＋2k2，则y 1＝b1＋2k2.又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋2(λ－1)22b 1＋2k2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2bk1＋2k 2＋2·22bk 1＋2k 2·b 1＋2k2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2， 即8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2， 所以λ＝52.4.(2018·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)， F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3， ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0. 因为x 0＞0，y 0＞0， 所以x 0＝2，y 0＝1. 所以点P 的坐标为(2，1)． ②因为△OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20x 20－224x 20＋y 20， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20x 20－24x 20＋y 202. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16x 20－2x 20＋12＝3249， 即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12， 因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y －22＝－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －102， 即y ＝－5x ＋3 2.。