2020年全国高考数学试题分类汇编6-立体几何-含详细解析

2020年全国高考数学试题分类汇编6

立体几何

一、选择题（本大题共16小题，共80.0分）

1.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()

A. 8cm3

B. 12cm3

C. 32

3cm3 D. 40

3

cm3

2.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(1,1，√2)，

S1，S2，S3分别表示三棱锥D?ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()

A. S1=S2=S3

B. S2=S1且S2≠S3

C. S3=S1且S3≠S2

D. S3=S2且S3≠S1

3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()

A. 若m//α，n//α，则m//n

B. 若m⊥α，n?α，则m⊥n

C. 若m⊥α，m⊥n，则n//α

D. 若m//α，m⊥n，则n⊥α

4.已知α，β是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是()

A. 若m//α，α∩β=n，则m//n

B. 若m//n，m⊥α，则n⊥α

C. 若m⊥α，m⊥β，则α//β

D. 若m⊥α，m?β，则α⊥β

5.设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若m//l，且m⊥α，则l⊥α；②若m//l，且m//α，则l//α；

③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l//m//n；

④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n//β，则l//m，

其中正确命题的个数是()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为()

A. 2π

B. 3

2π C. 2√3

3

π D. 1

2

π

7.若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，

则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

8.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

第8题图第9题图

9.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()

A. 6+√3

B. 6+2√3

C. 12+√3

D. 12+2√3

10.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，

O为底面ABCD的中心，若BE=x，A1F=y，则四面体O?AEF的体积()

A. 与x，y都有关

B. 与x，y都无关

C. 与x有关，与y无关

D. 与y有关，与x无关

11.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是()

①若m⊥α，n//α，则m⊥n

②若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ

③若m//α，n//α，则m//n

④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

A. ①②

B. ②③

C. ③④

D. ①④

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，

则该多面体的表面积为()

A. 18+36√5

B. 54+18√5

C. 90

D. 81

13.已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别

是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()

A. 8√6π

B. 4√6π

C. 2√6π

D. √6π

14.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到

直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()

A. 直线

B. 圆

C. 双曲线

D. 抛物线

15.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2//l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()

A. l1⊥l4

B. l1//l4

C. l1与l4既不垂直也不平行

D. l1与l4的位置关系不确定

16.以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()

A. 2π

B. π

C. 2

D. 1

二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

17.关于直角AOB在定平面a内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能

是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是______(注：把你认为是正确判断的序号都填上)．

18.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥β．

②如果m⊥α，n//α，那么m⊥n．

③如果α//β，m?α，那么m//β．

④如果m//n，α//β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题是______(填序号)

19.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．

如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为______．

20.已知l，m是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：

①l⊥m；②m//α；③l⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，

写出一个正确的命题：______．

21.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为______．

22.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________．

第22题图第23题图

23.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被

截后剩下部分的体积是______．

三、解答题（本大题共13小题，共156.0分）

24.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧

面经过棱CC1到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：

(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长

(II)PC和NC的长

(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)

25.如图，在多面体ABCD?A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大

小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a>c，b>d，两底面间的距离为h．

(Ⅰ)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；

(Ⅱ)证明：EF//面ABCD．

26.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=√2，M为EF的中点．

(Ⅰ)求证：平面ABF//平面DCE；

(Ⅱ)求证：AM//平面BDE；

(Ⅲ)求证：AM⊥平面BDF．

27.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为BB1的中点．

(Ⅰ)求证：BC1//平面AD1E；

(Ⅱ)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．

28.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，点M在线段EF上．

(Ⅰ)若M为EF的中点，求证：AM//平面BDE；

(Ⅱ)求二面角A?BF?D的余弦值；

(Ⅲ)证明：存在点M，使得AM⊥平面BDF，并求EM

的值．

EF

29.如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E

为线段PC上一点．

(1)求证：；

(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)当PA//平面BDE时，求三棱锥E?BCD的体积．

30.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，

AB=BC=√5，AC=AA1=2．

(1)求证：AC⊥平面BEF；

(2)求二面角B?CD?C1的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交．

31.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面

MAC，PA=PD=√6，AB=4．

(1)求证：M为PB的中点；

(2)求二面角B?PD?A的大小；

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

32.如图，在三棱锥V?ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O，M

分别为AB，VA的中点．

(1)求证：VB//平面MOC；

(2)求证：平面MOC⊥平面VAB

(3)求三棱锥V?ABC的体积．

33.如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD

的中点，点F在PC上，且PF

PC =1

3

．

(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；(Ⅱ)求二面角F?AE?P的余弦值；

(Ⅲ)设点G在PB上，且PG

PB =2

3

.判断直线AG

是否在平面AEF内，说明理由．

34.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别

为AD，PB的中点．

(Ⅰ)求证：PE⊥BC；

(Ⅱ)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(Ⅲ(Ⅱ))求证：EF//平面PCD．

35.如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A?PB?C的余弦值．

36.如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．

(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

(Ⅲ)棱PB上是否存在点F，使得CF//平面PAE？说明理由．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查三视图，直观图的体积的求法，考查计算能力，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可，属于基础题．

【解答】

解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，

所求几何体的体积为：23+1

3×2×2×2=32

3

cm3．

故选C．

2.【答案】D

【解析】解：设A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(1,1，√2)，则各个面上的射影分别为A′，B′，C′，D′，

在xOy坐标平面上的正投影A′(2,0，0)，B′(2,2，0)，C′(0,2，0)，D′(1,1，0)，S1=1

2

×2×2=2．

在yOz坐标平面上的正投影A′(0,0，0)，B′(0,2，0)，C′(0,2，0)，D′(0,1，√2)，S2=.1

2

×2×√2=√2

在zOx坐标平面上的正投影A′(2,0，0)，B′(2,0，0)，C′(0,0，0)，D′(0,1，√2)，S3=1

2

×2×√2=√2，

则S3=S2且S3≠S1，

故选：D．

分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．

本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟

这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型，属于基础题．

A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；

B.运用线面垂直的性质，即可判断；

C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；

D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．

【解答】

解：A.若m//α，n//α，则m，n相交或平行或异面，故A错；

B.若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确；

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α或n?α，故C错；

D.若m//α，m⊥n，则n//α或n?α或n⊥α或n与α相交，故D错．

故选B．

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题给出空间位置关系的几个命题，要找出其中的假命题．着重考查了空间直线与平面平行与垂直、平面与平面平行与垂直等位置关系的认识与理解，属于中档题．

根据线面平行性质定理，得A项不正确，根据线面垂直的性质与判定，可得B项正确；

根据面面平行的性质与线面垂直的性质，可得C项正确；根据线面垂直的定义，可得D项正确．由此可得本题答案．

【解答】

解：对于A，若m//α，m?β，α∩β=n，则m//n

但条件中缺少“m?β”，故不一定有m//n成立，故A不正确；

对于B，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，可得

若m//n，m⊥α，则n⊥α，故B正确；

对于C，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得

若m⊥α，m⊥β，则α//β，故C正确；

对于D，若直线与平面垂直，则直线与平面内所有直线都垂直

故若m⊥α，m?β，则α⊥β，故D正确

因此，不正确的命题只有A

故选：A．

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查空间中直线与直线，直线与平面间的位置关系，是基础题，

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．

【解答】

解：由l，m，n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，知：

①若m//l，且m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；

②若m//l，且m//α，则l//α或l?α，故②错误；

③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l，m，n可能交于一点，故③错误；

④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n//β，

则由α∩γ=n，知n?α且n?γ，

由n?α及n//β，α∩β=m，得n//m，

同理n//l，故m//l，故④正确．

故选：B．

6.【答案】C

【解析】【分析】

考查了圆台侧面积公式，属于基础题．

设圆台上、下底面圆半径为r、R，则母线l=2(R?r)，高?=√3(R?r)，由此结合圆台侧面积公式和梯形面积公式，即可算出该圆台的侧面积与轴截面面积的比．

【解答】

解：∵圆台的母线与底面成60°角，

∴设上底面圆半径为r，下底面圆半径为R，母线为l，可得l=2(R?r)

圆台的侧面积为S侧=π(r+R)l=2π(R2?r2)，

又∵圆台的高?=√3(R?r)，

∴圆台的轴截面面积为S

轴=1

2

(2r+2R)?=√3(R2?r2)，

由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为

2π(R2?r2)：√3(R2?r2)=2√3π

3

．

故选：C．

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查学生的空间想象能力，由三视图还原实物图，是基础题．

由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案．

【解答】

解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示(图中红色部分)，

利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．

故选D．

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查简单几何体的三视图，是基础题．

先还原几何体，再根据边长得到直角三角形个数．

【解答】

解：由三视图可知，该四棱锥如图中的四棱锥P?ABCD所示，

可知PA⊥底面ABCD，

AC=√5，CD=√5，PC=3，PD=2√2，PB=2√2，

可得三角形PCD不是直角三角形，

所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．

故选：C．

9.【答案】D

【解析】解：几何体的直观图如图：是三棱柱，底面边长与侧棱长都是2，

几何体的表面积为：3×2×2+2×1

2×2×√3

2

×2=12+2√3．

故选：D．

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．

本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，是基本知识

的考查．

10.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了利用等体积法求多面体的体积，考查空间想象能力，是中档题．

连接AO，AE，AF，OE，OF，EF，结合等积法说明四面体O?AEF的体积是与x，y无关的定值．【解答】

解：如图，连接AO，AE，AF，OE，OF，EF，

∵BB1//AA1，AA1?平面AA1C1C，

BB1?平面AA1C1C，

∴BB1//平面AA1C1C，

∴E到平面AA1C1C的距离为定值，

∵AO//A1C1，∴F到直线AO的距离为定值，

∴△AOF的面积为定值．

∵V O?AEF=V E?AOF，

∴四面体O?AEF的体积是与x，y无关的定值．

故选：B．

11.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．

直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，对选项进行逐一判断，推出结果即可．

【解答】

解：①n//α，则在α中存在一条直线l，使得l//n，m⊥α，l?α，则m⊥l，又l//n，∴m⊥n，故①正确；

②若α//β，β//γ，则有α//γ，m⊥α，则m⊥γ，②正确；

③若m//α，n//α，则m//n或相交或异面，不正确;

④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β或相交，不正确．

故选A．

12.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查由几何体的三视图求表面积考查棱柱的表面积，属于一般题．

由已知中的三视图可得：该几何体是一个以边长为3的正方形为底面的斜四棱柱，进而得到答案．

【解答】

解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以边长为3的正方形为底面的斜四棱柱，

其上下底面面积均为：3×3=9，

侧面的面积为：(3×6+3×√32+62)×2=36+18√5，

故棱柱的表面积为：9×2+36+18√5=54+18√5．

故选B．

13.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查球的体积的求法，是中档题．

设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求出球O的体积．

【解答】

解：

设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，

PB=x，AE=x，

因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EF=1

2

在△PAC中，cosθ=4x2+4?4x2

2×2x×2=1

2x

，

在△EAC中，cosθ=x2+4?y2

2×2x

，

整理得x2?y2=?2，①

因为△ABC是边长为2的正三角形，所以CF=√3，

又∠CEF=90°，则x2+y2=3，②，

由①②得x=√2

2

，

所以PA=PB=PC=√2，

所以PA2+PB2=4=AB2，即PA⊥PB，

同理可得PA⊥PC，PB⊥PC，则PA、PB、PC两两垂直，

则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为√2+2+2=√6，

所以球O的体积为．

故选D．

14.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查抛物线定义及线面垂直的性质，是中档题．

由直线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义．【解答】

解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，PC1在平面BB1C1C内，

则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，

那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离，所以点P的轨迹是抛物线．

故选：D．

15.【答案】D

【解析】解：在正方体中，若AB所在的直线为l2，CD所在的直线为

l3，AE所在的直线为l1，

若GD所在的直线为l4，此时l1//l4，

若BD所在的直线为l4，此时l1⊥l4，

故l1与l4的位置关系不确定，

故选：D．

根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．

本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．

16.【答案】A

【解析】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，

则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，

故选：A．

边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．

本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．

17.【答案】①②③④⑤

【解析】解：直角AOB在定平面a内的射影有下列几种情况：

当角所在的平面与平面α垂直时，

直角的射影可能是0°的角，可能是180°的角，故①⑤正确，

当角所在的平面与平面α平行时，直角的射影可能是直角，故③正确，

当角所在的平面与平面α不平行也不垂直时，平面转到一定角度，

直角的射影可能是锐角或钝角，故②④正确

故答案为：①②③④⑤

根据直角所在的平面与平面α之间的关系不同，角在α上的射影不同，可以分成三种情况来讨论，当角所在的平面与平面α垂直时，当角所在的平面与平面α平行时，当角所在的平面与平面α不平行也不垂直时，这三种情况可以得到不同的射影．

本题考查平行投影及平行投影所形成的图形，考查两个平面的不同的位置关系，是一个基础题，这种题目只要掌握平行投影的意义，就可以做出正确结果，再者同学们要勤动手，自己动手演示．

18.【答案】②③④

【解析】【分析】

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，属于较易题．

根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．

【解答】

解：①如果m⊥n，m⊥α，n//β，则α//β或α与β相交，不能得出α⊥β，故错误；

②如果n//α，则存在直线l?α，使n//l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n.故正确；

③如果α//β，m?α，那么m与β无公共点，则m//β.故正确

④如果m//n，α//β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；

故答案为：②③④．

19.【答案】40

【解析】【分析】

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是较易题．

由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．

【解答】

解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是一个长方体加一个棱柱，

(2+4)×2×4=40．

则该几何体的体积V=4×2×2+1

2

故答案为40．

20.【答案】若l⊥α，l⊥m，则m//α．

【解析】【分析】

本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

【解答】

解：l，m是平面α外的两条不同直线，由线面平行的判定定理，

得：若l⊥α，l⊥m，则m//α，

故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m//α．

21.【答案】2√2

【解析】【分析】

本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题．由主视图知CD⊥平面ABC，利用勾股定理即可求出最长棱的长．

【解答】

解：由三视图还原几何体，如图所示：

由主视图知，CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1，

由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，

在Rt△BCE中，BC=√2，

在Rt△BCD中，BD=√6，

在Rt△ACD中，AD=2√2．

则三棱锥中最长棱的长为2√2．

故答案为：2√2．

22.【答案】3

2

【解析】【分析】

由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．

本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．【解答】

解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，

棱柱的底面面积S=1

2×(1+2)×1=3

2

，

棱柱的高为1，

故棱柱的体积V=3

2

，

故答案为：3

2

．

23.【答案】1

2

πr2(a+b)

【解析】解：取两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体．

所求几何体的体积：1

2×πr2×(a+b)=1

2

πr2(a+b)

故答案为：1

2

πr2(a+b)

用补形法：两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体．求出总体积的一半即可．

本题考查几何体的体积，考查转化思想，是基础题．

24.【答案】解：(I)正三棱柱ABC?A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为√92+42=√97

(II)如图1，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线

设PC=x，则P1C=x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3+x)2+22=29

求得x=2

∴PC=P1C=2

∵NC

MA

=

P1C

P1A

=

2

5

∴NC=4 5

(III)如图2，连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP1

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)

在Rt△PHC中，∵∠PCH=1

2∠PCP1=60°，∴CH=PC

2

=1

在Rt△NCH中，tan∠NHC=NC

CH =

4

5

1

=4

5

故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为arctan4

5

【解析】(I)由展开图为矩形，用勾股定理求对角线长．

(II)在侧面展开图中三角形MAP是直角三角形，可以求出线段AP的长度，进而可以求出PC的长度，再由相似比可以求得CN的长度．

(III)补形，找出两面的交线，在特殊的位置作出线面角，如图2.二面角易求．

本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．25.【答案】解：(Ⅰ)过B1C1作底面ABCD的垂直平面，

交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G．

∵平面ABCD//平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°

∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.

∴∠B1PG为所求二面角的平面角．

过C1作C1H⊥PQ，垂足为H．

由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，

故四边形B1PQC1为等腰梯形．

∴PG=1

2

(b?d)，

又B1G=?，

∴tan∠B1PG=2?

b?d

(b>d)，

∴∠B1PG=arctan2?

b?d

，

即所求二面角的大小为arctan2?

b?d

．

(Ⅱ)证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB//CD，

又CD是面ABCD与面CDEF的交线，

∴AB//面CDEF．

∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，

∴AB//EF．

∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，

∴EF//面ABCD．