广东省2019年高考理科数学试题及答案
2019广东高考理科数学试卷及详细解答【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f. 55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()))44(sin coscos sin )(sin()cos cos()sin )44443sin 42cos (0,),2f A A A fx x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得sin 33()sin())444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值. :(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CD DECF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅=====⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =.(1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<-<-∴---<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-----<<-+-+-+--+<+->∴><+<-++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x xk x x k kk g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<--<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<-+<-++<∴<>+->∴<+-<---⋃--⋃-⋃--+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
2019广东卷理科数学答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案一、选择题1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y =3x 14．121315．0.18 16．2三、解答题17．解：（1）由已知得222sinsin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=． 18．解：（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1=DC ，可得B 1C =A 1D ，故ME =ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(12)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,MN =．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ，所以二面角1A MA N --的正弦值为5． 19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =． 20．解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <.所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.（iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.21．解：X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，，，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得()()()888776100877610134 1p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=.由于8=1p ，故18341p =-，所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l 的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=.当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l .23．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.。
2019年广东省高考数学试卷(理科)
2021年广东省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个 选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 〔5分〕设集合 M={x| x 2+2x=0,x€ R} , N={x| x 2—2x=0, x€ 号,贝U MUN=〔 A. {0} B. {0, 2} C. {-2, 0} D. {-2, 0, 2}2. 〔5分〕定义域为R 的四个函数y=x 3, y=2x, y=x 2+1, y=2sinx 中,奇函数的个 数是〔 〕 A. 4B. 3 C 2 D. 13. 〔5分〕假设复数z 满足iz=2+4i,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是〔 〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕 4. 〔5那么X 的数学期望E 〔X 〕=〔 〕 A — B. 2 C. D. 3 2 25. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B — C.D. 633 6. 〔5分〕设m, n 是两条不同的直线,% B 是两个不同的平面,以下命题中正 确的是〔 〕A.假设 a± & m? a, n? B,那么 m±nB.假设 all 0, m? a, n? & 那么 m // nC.假设 m±n, m? a, n? 3 那么 a± pD.假设 m ,a, m // n, n // & 那么 a± 0 7. 〔5分〕中央在原点的双曲线 C 的右焦点为F 〔3, 0〕,离心率等于,,那么 C 的方程是〔〕F ¥ J B Jc /n -7 二——1 — — C — — D —--〔5 分〕设整数 n>4,集合 X={1, 2, 3,…,n}.令集合 S={ 〔x, y, z 〕 | x, zC X,且三条件 x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设〔x, y, z 〕 〔z, w, x 〕都在S 中,那么以下选项正确的选项是〔〕A. 8. y, 和A. 〔y, z, w〕C S, 〔x, y, w〕 ?SB. 〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ SC. 〔y, z, w〕?S, 〔x, y, w〕S SD. 〔y, z, w〕 ?S, 〔x, y, w〕 ?S二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解集为.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k=.11. .〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7=.K+4V>413. 〔5 分〕给定区域D: r+y<4 .令点集T=｛〔x°, Vo〕 CD|xo, yo^Z, 〔x0,Ly°〕是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点｝,那么T中的点共确定条不同的直线.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕曲线C的参数方程为〔t为参数〕,C在点〔1,1〕处的切线为I,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么I的极坐标方程为. 15. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD于E.假设AB=6, ED=2,那么BC=.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12分〕函数f 〔x〕 =V2cos 〔x-—〕, xCR.12〔I〕求f 〔—工〕的值；6〔H〕假设cosB2,筱〔",2兀〕,求f 〔2什工〕. 5 2 317. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD二BE二加,O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O<.(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.2 S19. (14分)设数列{a n}的前n项和为3b a〔二1,二1二日三门2力4,n_ * € N .(1)求a2的求;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证实：对一切正整数n,有!小+..・」-<工. a l a2 a n 420. (14分)抛物线C的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x-y-2=0的距离为色巨,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA, PB,其中A, B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P (xo, yo)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.21. (14 分)设函数f (x) = (x- 1) e x- kx2 (kC R).(1)当k=1时,求函数f (x)的单调区问；(2)当1］时,求函数f (x)在［0, k］上的最大值M.叁2021年广东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. (5分)设集合M={x| x2+2x=0,x€ R} , N={x| x2—2x=0, xC R},贝U MUN=(A. {0}B. {0, 2}C. {-2, 0}D. {-2, 0, 2}【分析】根据题意,分析可得,M={0, -2}, N={0, 2},进而求其并集可得答案.【解答】解：分析可得,M 为方程x2+2x=0 的解集,贝U M={x| x2+2x=C}={0, — 2},N 为方程x2— 2x=0 的解集,贝U N={x|x2-2x=0}={0, 2},故集合M UN=[0, - 2, 2},应选：D.【点评】此题考查集合的并集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的并集.2. 〔5分〕定义域为R的四个函数y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sinx中,奇函数的个数是〔〕A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可.【解答】解：y=x3的定义域为R,关于原点对称,且〔-x〕3=- x3,所以函数y=x3 为奇函数；y=2x的图象过点〔0, 1〕,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点〔0, 1〕关于y轴对称,为偶函数；y=2sinx的定义域为R,关于原点对称,且2sin 〔 - x〕 =-2sinx,所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2,应选：C.【点评】此题考查函数奇偶性的判断,属根底题,定义是解决该类题目的根本方法,要熟练掌握.3. 〔5分〕假设复数z满足iz=2+4i,那么在复平面内,z对应的点的坐标是〔〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕【分析】由题意可得z2彗,再利用两个复数代数形式的乘除法法那么化为412i,从而求得z对应的点的坐标.【解答】解：复数z满足iz=2+4i,贝U有z=2+产」2+4i〕i=4 — 2i,1 -1故在复平面内,z对应的点的坐标是〔4, -2〕, 应选：C.【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幕运算性质, 复数与复平面内对应点之间的关系,属于根底题.4. 〔5分〕离散型随机变量X的分布列为那么X的数学期望E 〔X〕=〔〕A —B. 2 C. D. 3 2 2【分析】利用数学期望的计算公式即可得出.【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E〔X〕 =〞+2X三+3」巨.5 10 10 2应选：A.【点评】熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键.5. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B = C D. 6 33【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可.【解答】解：几何体是四棱台,下底面是边长为2的正方形,上底面是边长为1 的正方形,棱台的高为2, 并且棱台的两个侧面与底面垂直,四楼台的体积为V=L X〔22+ 1 3+722X I2〕X2=^-- ■J'J应选：B.【点评】此题考查三视图与几何体的关系, 棱台体积公式的应用,考查计算水平与空间想象水平.6. 〔5分〕设m, n是两条不同的直线,% B是两个不同的平面,以下命题中正确的是〔〕A.假设a± & m? a, n? B,那么m±nB.假设all 0, m? a, n? & 那么m // nC.假设m±n, m? a, n? 3 那么a± pD.假设m,a, m // n, n // & 那么a± 0 【分析】由a± p, m? a, n? B,可才t得m,n, m // n,或m, n异面；由all 0, m? & n?就可得m // n,或m, n异面；由m,n, m? a, n? 0,可得a与0 可能相交或平行；由m± a, m // n,那么n,a,再由n // B可得a± 0.【解答】解：选项A,假设n & m? % n? 3那么可能m±n, m // n,或m, n 异面,故A错误；选项B,假设all & m? a, n? B,那么m // n,或m, n异面,故B错误；选项C,假设m,n, m? a, n? 0,那么a与B可能相交,也可能平行,故C错误；选项D,假设m, a, m // n,那么n, a,再由n II 0可得「0,故D正确.应选：D.【点评】此题考查命题真假的判断与应用,涉及空间中直线与平面的位置关系, 属根底题.7. (5分)中央在原点的双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,那么C的方程是( )A / IB /C ,「D ’A「- - B ——C—— D —— -【分析】设出双曲线方程,利用双曲线的右焦点为 F (3, 0),离心率为1,建2立方程组,可求双曲线的几何量,从而可得双曲线的方程.22【解答】解：设双曲线方程为三二7二1 (a>0, b>0),那么 a b.•.双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,上1 r c-3* c c , c=3, a=2, • . b2=c2 - a2=5一心2 2「•双曲线方程为,誉:1. 4 5应选：B.【点评】此题考查双曲线的方程与几何性质,考查学生的计算水平,属于根底题.8. (5 分)设整数n>4,集合X=[1, 2, 3,…,n}.令集合S={ (x, y, z) | x, y, z€ X,且三条件x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设(x, y, z) 和(z, w, x)都在S中,那么以下选项正确的选项是( )A. (y, z, w) S S, (x, y, w) ?SB. (y, z, w) S S, (x, y, w) S SC. (y, z, w) ?S, (x, y, w) € SD. (y, z, w) ?S, (x, y, w) ?S【分析】特殊值排除法,取x=2, y=3, z=4, w=1,可排除错误选项,即得答案.【解答】解：方法一：特殊值排除法, 取x=2, y=3, z=4, w=1,显然满足(x, y, z)和(z, w, x)都在S中,此时(y, z, w) = (3, 4, 1) C S, (x, y, w) = (2, 3, 1) C S,故A、G D 均错误；只有B成立,应选B.直接法：根据题意知,只要y<z<w, z<w<y, w<y<z 中或x<y<w, y<w<x, w<x <y中恰有一个成立那么可判断〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ S.v(x, y, z) € S, (z, w, x) C S,x<y<z•・①,y<z<x••②,z<x<y••③三个式子中恰有一个成立；z<w<x…④,w<x<z••⑤,x<z<w••⑥三个式子中恰有一个成立.配对后有四种情况成立,第一种：①⑤成立,止匕时w <x<y<z,于是〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕C S; 第二种：①⑥成立,此时x<y<z<w,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第三种：②④成立,此时y<z< w<x,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第四种：③④成立,此时z<w<x<y, 于是(y, z, w) S S, (x, y, w) S S.综合上述四种情况,可得〔y, z, w〕 C S, 〔x, y, w〕€ S.应选：B.【点评】此题考查简单的合情推理,特殊值验证法是解决问题的关键,属根底题.二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解I集为〔一2, 1〕.【分析】先求相应二次方程x2+x-2=0的两根,根据二次函数y=x2+x- 2的图象即可写出不等式的解集.【解答】解：方程x2+x- 2=0的两根为-2, 1, 且函数y=/+x-2的图象开口向上,所以不等式x2+x- 2<0的解集为〔-2, 1〕.故答案为：〔-2, 1〕.【点评】此题考查一元二次不等式的解法,属根底题,深刻理解三个二次〞间的关系是解决该类题目的关键,解二次不等式的根本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k= - 1 .【分析】先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k 的化【解答】解：由题意得,y'踮, X•••在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,. ・k+1=0,彳4 k= - 1,故答案为：-1.【点评】此题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.11. 〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为7 .【分析】由中的程序框图及中输入4,可得：进入循环的条件为i04,即i=1, 2, 3, 4.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.【解答】解：当i=1时,S=1+1 - 1=1;当i=2 时,S=#2-1=2;当i=3 时,S=?3—1=4;当i=4 时,S=4M—1=7;当i=5时,退出循环,输出S=7;故答案为：7.【点评】此题考查的知识点是程序框图, 在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比拟多时,要用表格法对数据进行治理.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7= 20 .【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2 〔a5+a6〕=2 〔央+出〕.【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+ 〔a s+a/〕=2a5+ 〔2%〕 =2 〔a5+%〕 =2 〔a3+%〕 =20,故答案为：20.【点评】此题考查等差数列的性质及其应用, 属根底题,准确理解有关性质是解决问题的根本.工+4V>413. 〔5 分〕给定区域 D: r+y<4 .令点集 T={ 〔xo, yo 〕 CD|xo, yoCZ, 〔xo, yo 〕是z=x+y 在D 上取得最大值或最小值的点},那么T 中的点共确定 6 条 不同的直线.【分析】先根据所给的可行域,利用几何意义求最值, z=x+y 表示直线在y 轴上 的截距,只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可,从而得出点集T 中元素 的个数,即可得出正确答案.【解答】解：画出不等式表示的平面区域,如图.作出目标函数对应的直线,由于直线 z=x+y 与直线x+y=4平行,故直线z=x+y 过 直线 x+y=4 上的整数点：〔4,.〕,〔3, 1〕, 〔2, 2〕, 〔1, 3〕或〔.,4〕时,直线的纵截距最大,z 最大；当直线过〔o, 1〕时,直线的纵截距最小,z 最小,从而点集T={ 〔4, o 〕, 〔3, 1〕, 〔2, 2〕,〔1, 3〕,〔o,4〕,〔o,1〕},经过这六个点的直线一共有6条.即T 中的点共确定6条不同的直线. 故答案为：6.【点评】此题主要考查了简单的线性规划, 以及利用几何意义求最值,属于根底 题.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么 I 的极坐标方程为 P cos+% sin _02=o 〔埴 p sin 〔或 P cos 〔 9〕一回也得总分值〕 .【分析】先求出曲线C 的普通方程,再利用直线与圆相切求出切线的方程, 最后 利用x= p cos,8 y= p sin 他换求得其极坐标方程即可.「•曲线C 是以〔o, o 〕为圆心,半径等于 血的圆. C 在点〔1,1〕处的切线I 的方程为x+y=2, 令 x= p cos,8y= p sin,0曲线C 的参数方程为{x=V2costy=V2sint〔t 为参数〕,C 在点〔1,1〕处的切线为I,【解答】解：由「一 [y=V2sint〔t 为参数〕,两式平■方后相加得x 2+y 2=2,…〔4分〕代入x+y=2 ,并整理得p cos+〕p sin & 2=0 ,即p 4^；〕一日或P cos〔B那么l的极坐标方程为p cos+Op sin & 2=0 〔填p sin〔 84或P CCIB〔日二$〕=^巧也得总分值〕•…〔10分〕故答案为：p cos+Op sin 4〕2=0 〔填P n 〔.H或p 8 式 9 —.也得总分值〕.【点评】此题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化.普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x= p cos,8y= p sin.015. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD 于E.假设AB=6, ED=2, WJ BC=__^_.【分析】利用AB是圆O的直径,可得/ ACB=90. IP AC±BD,又BC=CD 可得△ ABD是等腰三角形,可得/ D=/B.再利用弦切角定理可得/ ACE=/ B, 得至ij/AECWACB=90,进而得到^ CED^AACB,利用相似三角形的性质即可得出.【解答】解：.「AB是圆O的直径,「./ ACB=90.即AC BD.又 = BC=CD AB=AD,「. / D=/ ABC, / EAC=Z BAC•.CE与..相切于点C, 「./ACE之ABC / AECW ACB=90.・ .△CED^ AACB.. •里里,又CD=BCAB BCBC=V AB*ED =76X2-2^3.【点评】此题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等根底知识,需要较强的推理水平.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12 分〕函数f 〔x〕 ='/^cos 〔x-y1-〕, xCR. JT〔I〕求f 〔-三〕的值；6〔n〕假设cosel,长〔JLL, 2兀〕,求f〔2肝2L〕.5 2 3【分析】〔1〕把x=-二直接代入函数解析式求解.6〔2〕先由同角三角函数的根本关系求出sin 8的值以及sin2.然后将x=20二代3入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果.【解答】解：〔1〕f ^〕=A/2COS〔^^^T〕=V2COS〔--^〕=V2o Q iz q 一上〔2〕由于8号©=|, e e 等,2n〕所以, 「［一一・：所以$in2 e =2sin8 cos 9 =2 乂〔"〕"二,cos2 9 =cos2 9 -si n20 二〔汨〕一〔4〕2 = 5 5 25所以f〔2 = +_Z-〕=V2C0S^2=+-z_^r;r〕=V2C0S〔2 =+—j-〕：=cos2日-sin2 ==U 0 JL T7 z24 s1725 ।25’ 25【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值的求解, 考查了和差角公式的运用, 属于知识的简单综合,要注意角的范围.17. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？〔3〕从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【分析】〔1〕茎叶图中共同的数字是数字的十位,这是解决此题的突破口,根据所给的茎叶图数据,代入平均数公式求出结果；〔2〕先由〔1〕求得的平均数,再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；〔3〕设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率.【解答】解：(1)样本均值为升20+21+25+30=22；6(2)抽取的6名工人中有2名为优秀工人,所以12名工人中有4名优秀工人；(3)设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,clcJ 1 c所以P(A〞一V二会, v12即恰有1名优秀工人的概率为—.33【点评】此题主要考查茎叶图的应用,古典概型及其概率计算公式,属于容易题.对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数,题目分别表示一组数据的特征,考查最根本的知识点.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD=BE=V2, O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O=?(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.【分析】(1)连接OD, OE.在等腰直角三角形ABC中,/B=/ C=45, CD二BE二班, AD=AE乏/!,CO=BO=3分另1」在4 COD与△ OBE中,利用余弦定理可得OD, OE.禾用勾股定理的逆定理可证实/ A OD=A' OE=90再利用线面垂直的判定定理即可证实；(2)方法一：过点O作OF, CD的延长线于F,连接A' F利用(1)可知：A' 0 ,平面BCDE根据三垂线定理得A LCD,所以/ A' FO；二面角A'-CD- B的平面角.在直角△ OCF中,求出OF即可；方法二：取DE中点H,那么OH, OB.以O为坐标原点,OH、OB、OA分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系.利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角.【解答】(1)证实：连接OD, OE.由于在等腰直角三角形ABC中,/ B=/ C=45, CD二BE二加,CO=BO=3在ACOD中,加二｛C02+C D々CO・CDs s45;二立,同理得比=^・由于AD=A' D=A‘ E=AE=2/2, A’ 0二®所以 A 2+OD2=A 2), A 2+Og=A,孑所以/A' OD=A' OE=90所以A' UOD, A吐OE, ODA OE=O.所以A吐平面BCDE(2)方法一：过点O作OF,CD的延长线于F,连接A' F由于A吐平面BCDE根据三垂线定理,有A 1CD.所以/A' F的二面角A'-CD- B的平面角.在Rt^COF中,0F=C0S E5'=^.在A' 0中,卜’ F 二W .,口/二^^ 所以一「」卜,•A r b所以二面角A' - CD- B 的平面角的余弦值为 堡.5方法二：取DE 中点H,那么OH±OB.以O 为坐标原点,OH 、OB OA 分别为x 、v 、z 轴建立空间直角坐标系. 那么 O (0, 0, 0), A' (0, 0,加),C (0, - 3, 0), D (1, - 2, 0) 0A 7* = (0, 0,无)是平面BCDE 勺一个法向量.设平面A ClDj 法向量为n= (x, y, z)前六二(0, 3,五),而二(L 1, 0). 二一、/n ・CA' =3y+V^w=0 人 皿_ rz所以? 一,令 x=1,那么 y=—1,[n*CD=x+y=O所以4(1,-1,行)是平面A' C 的一个法向量 设二面角A'-CD- B 的平面角为8,且8 6(0, g)|3F>|n|一中立-5所以二面角A'-CD- B 的平面角的余弦值为 亟5【点评】此题综合考查了等腰直角三角形的性质、 余弦定理、线面垂直的判定与 性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求 面角等根底知识与方法,需要较强的空间想象水平、推理水平和计算水平. 19. (14分)设数列｛a n ｝的前n 项和为3b a i =1,(2)利用 a n =&-S n-1 (n >2)即可得到 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),可化为 缪T 〞,缪T,再利用等差数列的通项公式即可得出；(3)利用(2),通过放缩法——< % n【解答】解：(1)当 n=1 时,—p-=2a 1=a £^--l^y,解得 比=4 (1 2)2 %54n 3-n 2 4口① 当 n >2 时,2 SnT 二 ST) a n -7r(n-l ) 3-(n-l ) 24(nT)② J o ①-②得「. ：., 口 ： । n , ,整理得 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),即 ％? &L+], n+1 n . -r a9 a ।当 n=1 时,年一^2-1二1 w JL所以数列｛曰｝是以1为首项,1为公差的等差数列 所以上"二口,即a =n 2 n仇所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =n 2, n € N *、一 「L (n>2)即可证实.(n-1) n n-1 n(1) 求a 2的值;(2) (3)求数列｛a n ｝的通项公式； 证实：对一切正整【分析】(1)利用a 1=1,有 _p_l_+... a l a2 a n 42Sn_ 1 2 ____________ 2--a ^l —^行,nCN *.令n=1即可求出;an+l a n n+1 n当n=1, 2时,也成立.【点评】熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前 n 项和的关系a n =S- Sn-i (n>2)>裂项求和及其放缩法等是解题的关键.20. (14分)抛物线C 的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x -y-2=0的距离为型2,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线 2 PA, PB,其中A, B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x0, y0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.【分析】(1)利用焦点到直线l: x- y-2=0的距离建立关于变量c 的方程,即可 解得c,从而得出抛物线C 的方程； (2)先设A (町,[J),//),由(1)得到抛物线C 的方程求导数,得到切线PA PB 的斜率,最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式,即可得出 直线AB 的方程；(3)根据抛物线的定义,有|AF|二1J + 1, |即|二|谥+1,从而表示出|AF|?|BF , 再由(2)得X 1+X 2=2x 0, X 1X 2=4y 0, X 0=y 0+2,将它表示成关于y 0的二次函数的形 式,从而即可求出|AF|?| BF 的最小值.【解答】解：(1)焦点F (0, c) (c>0)到直线所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)设［. . . ■ ■ ■ ：「：, 由(1)得抛物线C 的方程为悬所以切线PA, PB 的斜率分别为 工 工2勺’2叼 所以PA ：或］〔犬—犬］〕①PB ：工:斗父2〔¥一；12〕②联立①②可得点P 的坐标为〔31%, 七2〕,即三1,二二！, : 2 4270 41 J(3)由于--J % n 2 (nT)门 n-1 n(n>2)l : x - y - 2=0的距离I -c-21 c+2 3^2解得c=1, 所二丁 n 4 n 4又由于切线PA的斜率为其孙=.』",整理得为三孙乂04岩,L1 X Q-X I U 2 1 U 4 11 2_1 2直线AB的斜率kJ町国际二止2二现町r 2 4 2所以直线AB的方程为y—■工工o 〔上一£ 1〕,整理得产/乂/白盯式口w J,即尸1,町X-V口,由于点P 〔XQ, yo〕为直线l: x- y- 2=0上的点,所以xo - yo- 2=0,即yo=x0—2, 所以直线AB的方程为XQX - 2y - 2yo=O.〔3〕根据抛物线的定义,有|阿|1君+1,|BF|［g+1,所以k：卜…•」：’-「：। , 了〜, - J ：'［「- = 当U+/〔町+ 〞〕2-2'区21+1,由〔2〕得X I+X2=2XQ, x1X2=4yo, Xo=yo+2,所以I..'' I' ' ' .''' । ,' ：। ,：" । :,■:■.■|l・,> ：। : ,：=2yg+2y0+5=2〔y D+y〕2+1-.所以当V.二q时,|AF|?|BF的最小值为u 4【点评】此题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算水平,有一定的综合性.21. 〔14 分〕设函数f 〔X〕 = 〔X- 1〕 e x - kx2〔kC R〕.〔1〕当k=1时,求函数f 〔X〕的单调区问；〔2〕当k€ e,1］时,求函数f〔X〕在［0, k］上的最大值M.【分析】(1)利用导数的运算法那么即可得出f'(x),令f'(x) =0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区问；(2)利用导数的运算法那么求出f'(x),令f'(x) =0得出极值点,列出表格得出单调区问,比拟区间端点与极值即可得到最大值.【解答】解：(1)当k=1 时,f (x) = (x—1) e x-x2,f (x) =e x + (x- 1) e x - 2x=x (e x -2) 令 f (x) =0,解得 x 1二0, x 2=ln2>0 所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：所以函数f (x)的单调增区间为(-8, 0)和(ln2, +8),单调减区间为(0,ln2)(2) f (x) = (x-1) e x - kx 2, x€[0, k] ,(y, U.f (x) =x3- 2kx=x (e x — 2k), f (x) =0,解得 x1二0, x?=ln (2k) 令小(k) =k- ln (2k),我 心,口,0’2k k所以小(k)在 6,1]上是减函数,..・小(1) &小(k) <1 -ln2<小 (k)(工<k.2 即 0<ln (2k) < k所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：f (0) =- 1, f (k) -f (0) =(k- 1) e k -k 3-f (0) =(k- 1) e k -k 3+1 =(k-1) e k - (k 3-1)=(k —1) e k — (k — 1) (k 2+k+1) =(k- 1) [e k - (k 2+k+1)] k£ 弓,1], k-10O.对任意的(L 1], y=e k 的图象包在y=k 2+k+1下方,所以e k - (k 2+k+1) < 0 2 所以 f (k) -f (0) >0,即 f (k) >f (0)所以函数f (x)在[0, k]上的最大值M=f (k) = (k-1) e k -k 3.【点评】熟练掌握导数的运算法那么、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键.。
2019年高考理科数学试卷(广东卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2019年广东高考数学理试题及参考答案.doc
2019年广东高考数学理试题及参考答案.docD14（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为（t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为L ，一座标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则L 的极坐标方程为_______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 是BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E 。
若AB=6，ED=2，则BC=______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答需写出文字说明。
证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=cos （x-12π），X ∈R 。
（1） 求f （ -6π）的值； （2） 若cos θ= 53，θ∈（，2π），求f （2θ+3π）。
17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数。
（1） 根据茎叶图计算样本均值；（2） 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。
根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率18（本小题满分4分）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A =900 BC= 6,D,E分别是AC，AB上的点，CD=BE=，O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎A’-BCDE，其中A’O=?3（1）证明：A’O⊥平面BCDE；（2）求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值19.（本小题满分14分）设数列｛a n｝的前n项和为S n，已知a1=1，=a n+1-n2 – n - ，n∈N·.（1）求a2的值（2）求数列｛a n｝的通项公式（3） 证明：对一切正整数n ，有11a +21a +31a+。
+na 1＜4720.(本小题满分14分)已知抛物线c 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线L:x-y-2=0的距离为 . 设P 为直线L 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB,其中A,B 为切点。
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。
{x|-4<x<3}B。
{x|-4<x<-2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。
(x+1)^2+y^2=1B。
(x-1)^2+y^2=1C。
x^2+(y-1)^2=1D。
x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。
a<b<cB。
a<c<bC。
c<a<bD。
b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。
某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。
165cmB。
175cmC。
185cmD。
190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。
B。
C。
D。
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。
B。
C。
D。
7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。
2019年高考理科数学试卷(广东卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2019广东高考理科数学试题及答案word版
绝密★使用前试卷类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相对应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相对应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。
锥体的体积公式为V=1/3Sh其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
第I卷选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i为虚数单位，则复数56i i-=（）A．65i+B．65i-C．65i-+D．65i--2．设集合{1,2,3,4,5,6}U=，{1,2,4}M=，则U M=ð（）A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6} 3．若向量(2,3)BA =，(4,7)CA =，则BC =（）A．(2,4)--B．(2,4)C．(6,10)D．(6,10)-4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A．ln(2)y x=+B．y=C．12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D．1y xx=+5．已知变量x，y满足约束条件211yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩；则3z x y=+的最大值为（）A．12B．11C．3D．1-6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 （ ）A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβ=ββ。
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广东省2019年高考理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则MN =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之 比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便 是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子 下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A +B ．A =12A +C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13．曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，则C 的离心率为__________．三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
） （一）必考题（共60分） 17．（本小题共12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（222a b c +=，求sin C ． 18．（本小题共12分）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分 别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A −MA 1−N 的正弦值． 19．（本小题共12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若求|AB |．20．（本小题共12分）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 21．（本小题共12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试 验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题（共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
）22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．参考答案一、选择题1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题13．y =3x 14．121315．0.18 16．2三、解答题17．解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 60C ︒+=．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=． 18．解：（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ． 由题设知A 1B 1=DC ，可得B 1C =A 1D ，故ME =ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(3,2)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,3,0)MN =-．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以32040x y z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，．可取3,1,0)=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n 所以3020q p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是2315cos ,||525⋅〈〉===⨯‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --的正弦值为105．19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． 20．解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点， 设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.21．解：X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，，，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得()()()8887761008776101341p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=.由于8=1p ，故18341p =-，所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l 的直角坐标方程为23110x y ++=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到l π4cos 11|2cos 23sin 11|77ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=11 当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l. 23．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++. 所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.。