2013高考文科数学函数压轴题
2013年湖北高考文科数学压轴题
2013 年湖北高考文科数学压轴题18．（本小题满分12 分）在△ ABC 中，角 A ， B ，C对应的边分别是 a ， b ， c . 已知 cos2 A 3cos( B C) 1 .（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积 S 5 3 ， b 5 ，求 sin B sin C 的值 .19．（本小题满分13 分）已知 S n是等比数列 { a n } 的前 n 项和， S4， S2， S3成等差数列，且 a2a3a418 .（Ⅰ）求数列{ a n } 的通项公式；（Ⅱ）能否存在正整数n ，使得 S n2013 ？若存在，求出切合条件的全部n 的会合；若不存在，说明原因．20．（本小题满分13 分）如图，某地质队自水平川面A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1处发现矿藏，再持续下钻到 A2处后下边已无矿，进而获得在 A 处正下方的矿层厚度为A1 A2 d1．相同可得在 B，C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2 d 2， C1C2d3，且 d1 d 2d3 . 过AB，AC 的中点 M ， N 且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2 B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一此中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ ABC 中，记BC a ，BC边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 地区内正下方的矿藏储量（即多面体A1 B1C1 A2 B2 C2的体积 V ）时，可用近似公式V估 S中 h 来估量 . 已知 V 1与 V 的大小关系，并加( d1 d 2 d3 ) S，试判断 V估3以证明 .第 20题图21．（本小题满分13 分）设 a0 ， b0 ，已知函数 f ( x)ax b .x 1（Ⅰ）当a b 时，议论函数 f ( x) 的单一性；（Ⅱ）当 x0 时，称 f (x) 为 a 、b对于x 的加权均匀数.（i ）判断 f (1) , f (b ) ,a f (b ) 能否成等比数列，并证明af ( b )af (b )a；（ ii ） a 、 b 的几何均匀数记为G. 称2ab为 a 、 b 的调解均匀数，记为H .若a bH f ( x)G ，求x 的取值范围.22．（本小题满分 14 分）如图，已知椭圆C1与 C2的中心在座标原点 O ，长轴均为MN且在 x 轴上，短轴长分别为 2m ，2n ( m n) ，过原点且不与x 轴重合的直线 l 与 C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A，B，C，D．记m，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为S1和S2. n（Ⅰ）当直线 l 与y轴重合时，若 S1S2，求的值；（Ⅱ）当变化时，能否存在与坐标轴不重合的直线l，使得 S1S2？并说明原因．yABM O N xCD第22题图答案及分析18．（Ⅰ）由 cos2 A 3cos( B23cos A20 , C ) 1 ，得 2cos A即 (2cos A1)(cos A2)0 ，解得 cos A1或 cosA 2 （舍去）.2由于 0Aπ，所以πA. 3（Ⅱ）由 S 1bc sin A1bc33bc53,得 bc20. 又b 5 ，知 c 4 . 2224由余弦定理得 a2b2c22bc cos A25162021,故 a21 .又由正弦定理得sin Bsin C bsin Acsin Abc2A2035a a a2 sin214.719．（Ⅰ）设数列 { a n } 的公比为q，则 a10 ， q0 . 由题意得S2S4S3S2 ,即a1q 2a1q3a1q 2 ,a2a3a418,a1q (1q q2 )18,解得a13, q 2.故数列 { a n } 的通项公式为 a n3(2) n 1 .（Ⅱ）由（Ⅰ）有S n3[1 (2) n ]1(2)n .1(2)若存在 n ，使得 S n2013 ，则1(2) n2013，即 ( 2)n2012.当 n 为偶数时， (2) n0 ，上式不建立；当 n 为奇数时，(2)n2n2012，即n2012 ，则n 11.2综上，存在切合条件的正整数n ，且全部这样的n 的会合为 { n n 2k1, k N , k 5} .20．（Ⅰ）依题意 A1 A2平面 ABC ，B1B2平面 ABC ，C1C2平面 ABC ，所以 A1A2∥ B1B2∥C1C2. 又 A1 A2d1， B1B2d2， C1C2d3，且 d1 d 2 d3 .所以四边形 A1 A2 B2 B1、 A1 A2C2C1均是梯形 .由 AA2∥平面MEFN， AA2平面 AA2 B2 B ，且平面 AA2 B2 B平面 MEFN ME ，可得 AA 2∥ ME，即 A1A2∥DE. 同理可证 A1A2∥FG ，所以 DE∥FG .又 M 、 N分别为 AB、 AC 的中点，则 D 、 E 、 F 、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点，即 DE 、 FG 分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.所以 DE 1111( A1 A2 B1B2 )(d1 d2 ) ， FG( A1 A2 C1 C2 )(d1 d3 ) ，2222而 d1 d2d3，故DE FG ，所以中截面DEFG 是梯形.（Ⅱ）V 估 V. 证明以下：由 A 1A 2 平面 ABC ， MN 平面 ABC ，可得 A 1 A 2MN .而 EM ∥ A 1A 2，所以 EM MN ，同理可得 FN MN .由 MN 是 △ ABC 的中位线，可得 MN 1 1a 即为梯形 DEFG 的高， BC22 所以 S 中 S 梯形 DEFG 1 ( d 1 d 2 d 1 d3 ) aa(2 d 1 d 2d 3 ) ，2 22 2 8 即 V 估 S 中 h ah (2d 1 d 2 d3 ) .8又 S1ah ，所以 V1(d 1d 2 d 3 ) Sah(d 1 d 2 d 3 ) .2 36于是 V V估ah (d 1d 2d 3 ) ah(2 d 1d 2d 3 ) ahd 1) ( d 3 d 1 )] .68[( d 224 由 d 1 d 2d 3 ，得 d 2 d 1 0 ， d 3 d 1 0，故 V 估 V .21． （Ⅰ） f ( x) 的定义域为 (, 1) ( 1,) ，f ( x)a( x 1) ( ax b) a b(x2( x2.1) 1)当 ab 时， f ( x) 0 ，函数 f (x) 在 (, 1)， ( 1, ) 上单一递加；当 a b 时， f ( x) 0 ，函数 f (x) 在 (, 1)， ( 1,) 上单一递减 .（Ⅱ）（ i ）计算得 f (1)a b0 ， f ( b 2ab 0 ， f (b ab0 .2) ab)aa故 f (1) f ( b) a b 2ab ab [ f ( b )] 2 , 即a 2 ab af (1) f (b)[ f (b)]2 .①aa所以 f (1), f (b), f ( b) 成等比数列 .aa因a b ab ，即 f (1)f ( b由①得f ( bf (b .2) . ))a aa（ ii ）由（ i ）知 f ( b)H ， f (b ) G.故由 Hf ( x) G ，得aaf ( b) f ( x)f ( b) .②aa当ab 时， f ( b) f ( ) f ( b )a .a xa这时， x 的取值范围为 (0,) ；当 ab 时， 0b 1 ，进而b b ，由 f (x) 在 (0,) 上单一递加与②式，a aa得bxb，即x 的取值范围为b , b ；aaa a当 ab 时，b1 ，进而bb，由 f ( x) 在 (0,) 上单一递减与②式，aaa得b xb，即 x 的取值范围为b , b .a aa a22． 依题意可设椭圆 C 1 和 C 2 的方程分别为x 2y 2x 2 y 21 . 此中 a m n 0m1.C 1 ：22 1，C 2：2 2，a m ann（Ⅰ） 解法 1：如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，即直线l 的方程为 x 0 ，则S 11 |BD | |OM |1， S 21|ON | 1S 1 |BD| 2a | BD ||AB|a | AB | ，所以.222S 2|AB|在 C 1 和 C 2 的方程中分别令 x 0 ，可得 y Am ， y Bn ， y Dm ，于是 | BD | | y By D | m n 1 .| AB | | y Ay B | m n1若S 1，则1 ，化简得221 0 . 由1，可解得2 1 .S 21故当直线 l 与 y 轴重合时，若S 1S 2 ，则2 1 .解法 2：如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，则| BD | | OB | | OD | m n ， | AB | | OA | | OB | mn ； S 11 |BD | |OM |1 ， S 211a | AB |.2a | BD ||AB| |ON|222所以 S 1|BD | m n 1 .S 2 |AB| m n 1若S 1，则1 ，化简得2 21 0 . 由1，可解得2 1 .S 21故当直线 l 与 y 轴重合时，若S 1S 2 ，则21 .yyAA BBMON xMO NxCCDD第 22 题解答图 1第 22 题解答图 2（Ⅱ） 解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 . 依据对称性，不如设直线 l ： y kx (k 0) ，点 M ( a, 0) ， N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，则由于 d 1| ak 0|ak ， d 2| ak 0 | ak，所以 d 1 d 2 .1 k1 k 21 k 221 k 2又S 11| BD | d 11| AB | d 2 ，所以S 1 |BD|，即|BD||AB|.2 ， S 2S 2|AB|2由对称性可知 | AB | |CD |，所以 |BC | |BD||AB | (1)| AB |，|AD | |BD| |AB| (1)| AB |，于是|AD|1①|BC |.1将 l 的方程分别与 C 1， C 2 的方程联立，可求得x Aam ， x Ban.a 2k 2 m 2a 2k 2n 2依据对称性可知 x Cx B ， x D x A ，于是|AD|2x D | 2x A2221 k | x Am a kn2 .②|BC |2x C |2x B2k 2m1 k | x B n a进而由①和②式可得a 2 k 2 n 21. ③a 2 k 2m 2( 1)令t( 1，则由 mn ，可得t 1，于是由③可解得2n 2 ( 2t 2 1)1)ka 2 (1 t 2 ) .由于 k 0 ，所以 k 20 . 于是③式对于 k 有解，当且仅当n 2 ( 2t 2 1) 0 ，a 2 (1 t 2 )等价于 2210 . 由1，可解得1t 1 ，(t1)(t2 )即1( 1 1，由1，解得12 ，所以1)当 112 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 ；当12 时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得 S 1S 2 .解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1 S 2 . 依据对称性，不如设直线 l ： ykx (k0) ，点 M ( a, 0) ， N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，则由于 d 1| ak0|ak ， d 2| ak 0 |ak ，所以 d 1d 2 .1 k21 k21 k21 k2又S 1 1| BD | d 1 ， S 21| AB | d 2 ，所以 S 1|BD| .2 2 S 2|AB|由于 |BD|2，所以x A1 1 k | x B x D | x A x B.|AB|1 k2 | x A x B | x A x Bx B1由点 A(x A , kx A ) ， B( x B , kx B ) 分别在 C 1， C 2 上，可得x A 2 k 2 x A 2 x B 2 k 2 x B 21 ，两式相减可得 x A2 x B 2k 2 ( x A 22x B2 )，a 2m 21 ，n 2a 2m 2a 2依题意 x Ax B 0 ，所以 x A2x B 2 . 所以由上式解得 k 2m 2 (x A 2 x B 2 ) .a 2 (2 x 2x2 )B A由于 k 20，所以由m2 (x A2x B2 )0 ，可解得 1x A.a2 ( 2 x B2x A2 )xB进而11，解得1 2 ，所以1当 11 2 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得 S1S2；当1 2 时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得 S1S2 .。
2013年湖南省高考压轴卷数学(文)试题
2013年湖南省高考压轴卷数学文本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。
时间120分钟，满分150分。
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置)1.复数()231i i +-的共轭复数是A ．－3－4iB ． －3+4iC ． 3－4iD ． 3+4i2．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ） A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤ 3.已知数列}{n a 满足: )(12,1*11N n a a a n n ∈+==+，则=12a （ ） A.210-1 B.211-1 C.212-1 D.213-14.对x ∈R ，“关于x 的不等式f(x)>0有解”等价于 ( )(A) R x ∈∃0，使得f(x 0)>0成立 （B) R x ∈∃0，使得f(x 0）≤0成立(C) R x ∈∀，f(x)>0 成立 （D) R x ∈∀，f(x)≤0 成立5．过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 且倾斜角为60o 的直l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AF BF= （ ）A ．5B ．4C ．3D ．26．给出30个数：1，2，3，5，8，13,……要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？和p ＝p ＋iD ．i ≤30？和p ＝p ＋i7．已知,A B 是单位圆上的动点，且AB 单位圆的圆心为O ，则O A A B ∙= （）A ．BC ．32-D ．328．在空间中，a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，aα，则a ∥β9．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为 ( )A ．y ＝e xB ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．已知实数X,满足约束条件，则目标函数Z=X-y 的最小值等于______.11.已知,x y R +∈，且满足22x y xy +=，那么+4x y 的最小值是 12.在极坐标系中，点A 的坐标为曲线c 的方程 为，则0A (O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为____.13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ．14.已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线y 2=8x 有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2，则|MF|=_____. 15. 给出下列四个命题： ①命题，则,②当时,不等式的解集为非空；③当X>1时，有④设有五个函数.，其中既是偶函数又在上是增函数的有2个.其中真命题的序号是_____.三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。
上海市2013届高考压轴卷 数学文试题
上海市2013届高三下学期高考压轴卷数学文试题考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数2log (1)y x =-的定义域为 .2.复数z 满足2)1(=-i z （其中i 为虚单位），则=z .3.已知||1a = ,||2b = ,向量a 与b的夹角为60︒,则||a b += . 4.直线0x y +=被圆2240x x y ++=截得的弦长为 ．5.在等差数列{}n a 中，若11a =，前5项的和525S =，则2013a = .6.若函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -= .7.已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 .8.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是 . 9.直线l 的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .10.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是 .11.在ABC ∆中，若2,60,a B b ︒=∠==c = .12.设1111221010)2()2()2()32)(2(+++++++=++x a x a x a a x x ，则+++210a a a11a + 的值为 ..13.平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自ABE ∆内部的概率为 . 14.给出定义：若1122m x m -<≤+ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-；②点(,0)k 是()y f x =的图像的对称中心，其中k Z ∈；③函数()y f x =的最小正周期为1；④ 函数()y f x =在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是 ．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则下面结论中正确的是（ ）A.()f x 是奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 是偶函数D.()f x 的值域是[2-16.已知ax x x x f +-=2331)(在区间]2,1[-上有反函数，则实数a 的取值范围为（ ） A.]3,(--∞ B.),1[+∞ C.)1,3(- D.),1[]3,(+∞--∞17.已知锐角,A B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为（ ）A.22B.2C.22 D.42 18.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）A.12822=+y xB.161222=+y xC.141622=+y x D.152022=+y x三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a . ①22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒︒+-； ②22sin 15cos 15sin15cos15︒︒︒︒+-；③22sin 18cos 12sin18cos12︒︒︒︒+-； ④22sin (18)cos 48sin(18)cos48︒︒︒︒-+--； ⑤22sin (25)cos 55sin(25)cos55︒︒︒︒-+--.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出常数a ；（Ⅱ）根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分. 如图,在长方体1111ABCD A BC D -中, 111,2AD A A AB ===,点E 在棱AB 上. （Ⅰ）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（Ⅱ）若二面角1D EC D --的大小为45︒,求点B 到平面1D EC 的距离.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.某药厂在动物体内进行新药试验．已知每投放剂量为m 的药剂后，经过x 小时该药剂在动物体内释放的浓度y (毫克/升) 满足函数()y mf x =，其中2125,(04)()2lg 10,(4)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--+>⎩．当药剂在动物体内中释放的浓度不低于4(毫克/升)时，称为该药剂达到有效．（Ⅰ）若2m =，试问该药达到有效时，一共可持续多少小时（取整数小时）?（Ⅱ）为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）达到有效，求应该投放的药剂量m 的最小值（m 取整数）.22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题6分.已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，焦距为.设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证12x x ⋅为一定值；（Ⅲ）设T A B ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ⋅≤，求2212S S - 的取值范围.23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的n N *∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在集合{|2,,10001500}M m m k k Z k ==∈≤<且中，是否存在正整数m ，使得不等式210052nn a S ->对一切满足n m >的正整数n 都成立？若存在，则这样的正整数m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ，使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在，并求出这个极限值．2013上海市 高考压轴卷 文科数学试题答案及解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.【答案】}1|{>x x . 【解析】由10x ->得1x >. 2.【答案】i +1【解析】i i i z +=+==12)1(22 3.4.【答案】【解析】圆的标准方程为22(2)4x y ++=，圆心坐标为(2,0)-，半径为2，圆心到直线+0x y =的距离d=5.【答案】4025【解析】在等差数列中，51542555102S a d d ⨯==+=+，解得2d =，所以2013120121201224025a a d =+=+⨯=. 6.【答案】3-【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以2(8)(8)(8)log 83f g f -=-=-=-=-，即(8)3g -=-。
2013年高考数学压轴题训练及详细的解析
2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题，精选其中有代表性的题目。
非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。
1．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x ac a P F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x ac a xab bc x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知，所以 .||1x ac a P F +=………………………3分证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a c a r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a c a由椭圆第二定义得ac cax P F =+||||21，即.||||||21x ac a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知，所以.||1x ac a P F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a yx =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20cby ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当cba 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，③ ④22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cby ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=cba cba cb a x于是，当cba 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记cx y k k cx y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan212121=+-=∠k k k k MF F (14)分2．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.③ ④0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y=相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='ax x a x 得φ当30-<<ax 时;0)(<'x φ当3->ax 时，0)(>'x φ，所以，当3-=ax 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)nn n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦① 当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nnn nn n nn C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线O A 和O B 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线A B 恒过定点，并求出该定点的坐标.yA xoB,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭MN2p x =-解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线A B 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x pp==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y kk+=⋅=①（1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k=所以2.b pk =因此直线A B 的方程可表示为2y k x P k =+，即(2)0k x P y +-=所以直线A B 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pkθ=-，所以22tan p b pk θ=+，此时，直线A B 的方程可表示为y kx =+22tan ppk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 所以直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线A B 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+yx，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-yx（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k yxkx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆kk k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k yxkx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA kx x kk x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=kk kk k kk x x k x x kB A B A.0131315,613732222>--<-+kk kk 即于是解此不等式得.31151322<>k k或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<kk或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----6．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a nn a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+kk k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a nn a nn a n nnn n两边取对数并利用已知不等式得 n nn a nn a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn nn a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得 121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n nn a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=nnn nn即).1(,2ln 2≥<<n ea a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a nn a n nn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=nn因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+（1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ；2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立， 令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a an n n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n nn n n b a b 即。
山东省2013届高考压轴卷 数学文试题
2013山东省高考压轴卷文科数学考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 12N =（ A 或4}x ≥37a ++=( )4( )A .，+∞) C . (0，1) D . (0，1)(1，+∞)5．若实数x ，y 满足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( ) A ．3 B.52C ．2D ．2 26．设sin2θ=（ ）A D D ．7. a 取值范围是（ ） A ．B ，3]C ．[－3,l ]D ．（－∞，－3] ⋃ [1．+∞）8.（2013青岛市一模）已知m 、n 、l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出以下命题： ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若l m l n m ⊥=⋂⊥⊂⊂,,,,βαβαβα，则n m ⊥；③若//n m ，m α⊂，则//n α；④若//αγ，//βγ，则//αβ．其中正确命题的序号是（ ） A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③9．（2013日照市一模）右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为形.则该几何体的表面积是（ ）C.8D.1610. 已知函数()f x 是R 上的奇函数，若对于0x ≥，都有()2()f x fx +=，[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时，()()20132012f f -+的值为（ ）A.2-B.1-C.1D.211．函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为 ( )．12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m ，n ），b=（p ，q ），令a ⊙b= mq －np ，下面说法错误的是（ ）A ．若a 与b 共线，则a ⊙b =0B ．a ⊙b =b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b =λ（a ⊙b ）D ．（a ⊙b ）2+（a·b ）2= |a|2|b|2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分． 13．执行如右图的程序框图，那么输出S 的值是 ． 14.（2013滨州一模）已知抛物线28y x =-的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为 . 现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为n ∈*N ，2(1)n n n ++++17. (分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-. （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）若4BC BA ⋅=，，求边a ，c 的值. 18．AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE .19.（本小题满分12分）某市芙蓉社区为了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）.(Ⅰ)分别求出频率分布表中a 、b 的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率； (Ⅱ）设321、A 、A A 是月用水量为[0，2)的家庭代表.21、B B 是月用水量为[2，4]的家庭代表.若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表21、B B 至少有一人被选中的概率.20. (本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的所有项均为正数，首项1a ＝1，且435,3,a a a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{1n n a a λ+-}的前n 项和为n S ，若n S ＝21(*)nn N -∈，求实数λ的值.21．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)B -，且其右焦点到直3.，与椭圆交于两个不同的点M N 、，且满足 22．成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．B所以虚部为1-，故应选B .2．A【解析】2{|540}{| 1 4}{|01}N x x x x x or x MN x x =-+≥=≤≥⇒=<≤ 3．C【解析】因为34512a a a ++=，所以44a =，所以1274728a a a a +++==.4.B，即0(1)0x x x ≥⎧⎨->⎩，所以解得1x >，即定义域为(1，+∞)，故应选B .5．C【解析】可行域为直角三角形，其面积为S ＝12×22×2＝2.6．A7. C有公共点，所以圆心(,0)a 到直线10x y-+=的距8．A.【解析】①中直线还可能异面；③中需指明直线n 不在平面内。
2013年高考-湖北省高考压轴卷 数学(文)试题
2013年高考-湖北省高考压轴卷文科数学本试卷共22题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集(){}(){}2,21,ln 1x x U A x B x y x -==<==-R ，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ）{}.1A x x ≥{}.12B x x ≤<{}.01C x x <≤{}.1D x x ≤2.下列四个命题中真命题的个数是（ ）①“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；②命题“2,0x x x ∃∈->R ”的否定是“2,0x x x ∀∈-≤R ”；③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真； ④命题[]:0,1,21x p x ∀∈≥，命题2:,10q x x x ∃∈++<R ，则p q ∨为真. .0A .1B .2C .3D3.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示.他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为（ ）.9A .6B .3C .0D 4.已知函数()ln 1xf x ex x =--（其中e 为自然对数的底数），则函数()1y f x =+的大致图象为（ ）5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是（ ）.3A .4B .6C .8D6.已知变量,x y 满足240,2,20,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则32x y x +++的取值范围是（ ）5.2,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 55.,42B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 45.,52C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.,24D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7.如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得88cos108AC =- ，乙同学在Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =，据此可得cos 72 的值所在区间为（ ）().0.1,0.2A().0.2,0.3B().0.3,0.4C().0.4,0.5D8.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，点F 为边AD 的中点，AE 和BF 相交于点O ，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABO ∆内部的概率等于（ ）1.10A 1.8B 1.5C 1.4D9.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上的一点()00,P x y到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为165，则双曲线的离心率为（ ）5.2A 5.2B 6.2C 5.4D10.在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+,其中01,01x y ≤≤≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的面积为（ ）106.3A 56.3B10.3C 20.3D 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在题中横线上．11.已知复数121,1z i z bi =+=+（i 是虚数单位），若12z z 为纯虚数，则实数b 的值是_______________________.12. 已知函数()xe x F =满足()()()x h x g x F +=，且()x g ，()x h 分别是R 上的偶函数和奇函数，若[]2,1∈∀x 使得不等式()()02≥-x ah x g 恒成立，则实数a 的取值范围是13.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:0l x =，抛物线24y x=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是________________.14.如图为某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是_______________. （第13题图）15.记123k k kk S =+++ k n +，当1,2,3,k =…时，观察下列等式：（第14题图）21322432354346542511,22111,326111,4241111,5233015,212S n n S n n n S n n n S n n n n S An n n Bn =+=++=++=++-=+++…可以推测A B -=_____________________. 16.已知不等式2342x x a-+-<.（1）若1a =，则不等式的解集为_______________;（2）若不等式的解集不是空集，则实数a 的取值范围为________________.17.已知函数()()()1,0,x f x x C ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩R Q Q 则 （1）()()f f x =______________;（2）下列三个命题中，所有真命题的序号是__________. ①函数()f x 是偶函数；②任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立；③存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本小题满分12分） 已知()()cos sin ,2cos ,cos sin ,sin m x x x n x x x =+=--.（1）求()f x m n=⋅ 的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移8π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()20,,222A f g B b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，求a 的值.19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且35,a a 是方程214450x x -+=的两根，数列{}nb 的前n 项和为()1,2nn n b S S n N *-=∈.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）记n n n c a b =⋅，求证：1n n c c +<；（3）求数列{}n c 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分） 如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，1DE CBB ⊥平面.（1） 证明：//DE ABC 平面； （2）求四棱锥11C ABB A -与圆柱1OO 的体积比；（3）若1BB BC =，求直线1CA 与平面1BBC 所成角的正弦值.21. （本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率22e =，且其中一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分14分） 已知函数()22ln f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 与()ag x x x =+有相同极值点，①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围.2013湖北省高考压轴卷文科数学答案1.B【解析】：对于()221x x -<，等价于()20x x -<，解得02x <<，所以()0,2A =集合B表示函数()ln 1y x =-的定义域，由10x ->，得1x <，故()[),1,1,B C B =-∞=+∞R ，则阴影部分表示()[)1,2A C B = R .故选B . 2.D【解析】：命题①中，{}1x x <是不等式2320x x -+>的解集{}12x x x <>或的真子集，∴“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，∴①正确.命题②显然正确.命题③中，当0m =时，其逆命题不成立，故③错.命题④中，p 为真，q 为假，所以p q ∨为真，故④正确.综上所述，真命题的个数为3.故选D . 3. D【解析】：本题考查茎叶图、平均数.甲的平均分为991001011021031015++++=，设看不清楚的数字为x ，则乙的平均分为939497110110+1015x++++<，解得1x <，因为0x ≥，x N ∈，所以0x =，看不清楚的数字为0.故选D .4.A【解析】据已知关系式可得()()()ln ln 101,111,x x e x x x x f x e x x x x -⎧⎛⎫+-=<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--=> ⎪⎪⎝⎭⎩作出其图象，再将所得图象向左平移1个单位即得函数()1g f x =+的图象.故选A . 5.D【解析】：第一次循环结束时，4,2S k ==；第二次循环结束时，22,3S k ==；第三次循环结束时，103,4S k ==，此时103100>，不满足100S <，则输出8x =.故选D . 6.B【解析】：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即ABC ∆的边界及其内部，又因为31122x y y x x +++=+++，而12y x ++表示可行域内一点(),x y 和点()2,1P --连线的斜率，由图可知12PB PC y k k x +≤≤+，根据原不等式组解得()()2,0,0,2B C ,所以0112111322202422y y x x ++++≤≤⇒≤≤++++535422x y x ++⇒≤≤+.故选B . 7.C【解析】：因为188c o s 108c o s 72-=，令c o s 72t =，则188t t+=，所以328810t t +-=.令()32881f t t t =+-，则当0t >时，()224160f t t t '=+>，所以()32881f t t t =+-在()0,+∞上单调递增.又因为()()0.30.40f f ⋅<，所以()32881f t t t =+-在()0.3,0.4上有唯一零点，所以cos 72 的值所在区间为()0.3,0.4.故选C . 8. C【解析】：设矩形ABCD 的长AB x =，宽BC y =，涉及相关图形的面积问题，那么矩形A B C D 的面积为A B C D S x y=矩形.如图所示，过O 点作OG //AB 交AD 于点G ，则有OG AGDE AD=,即12OG AGy x=，亦即2OG AG x y =.又OG FG AB FA =,即1212y AG OG x y -=，可得12122y AG AG y y -=，解得25AG y =.那么ABO ∆的面积为121255ABO S x y xy ∆⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 由几何概型的概率公式，得所求的概率为1155ABO ABCDxyS P S xy ∆===矩形.故选C . 9. A【解析】：因为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上的一点()00,P x y ()0x a ≥到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为8，所以28,4a a ==，又因为点()00,P x y ()0x a ≥到两条渐近线的距离之积为165，双曲线的两渐近线方程分别为0x ya b+=和0x y a b-=，所以根据距离公式得220000002222222222111111111x y x y x y a b a b a b a b a b a b a b -+-⋅==++++22222165a b ab a b c ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭，所以45ab c =，即55c b =，又因为2222165c c a b =+=+，所以25c =，离心率52c e a ==.故选A .10. A【解析】：根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以,OA OB 为邻边的平行四边形，其面积为A O B ∆的面积的2倍.在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，代入数据解得5c =，设ABC ∆的内切圆的半径为r ，则()11sin 22bc A a b c r =++，解得263r =，所以11265652233AO BS A B r ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故动点P 的轨迹所覆盖的面积为10623AOB S ∆=.故选A . 二、填空题11.1-【解析】：()()()()()()122111111111i bi b b i z iz bi bi bi b +-++-+===++-+，因为12z z 为纯虚数，则10b +=且10b -≠，解得1b =-. 12. 22≤a .【解析】：()()()x e x h x g x F =+=，得()()()x e x h x g x F -=-+-=-，即()()()xe x h x g x F -=-=-，解得()2x x e e x g -+=，()2xx e e x h --=，()()02≥-x ah x g 即得02222≥--+--xx x x e e a e e ，参数分离得()xx xx x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e a -------+-=-+-=-+≤22222，因为222≥-+---x x x x e e e e （当且仅当xx xxee ee ---=-2，即2=--xx e e 时取等号，x 的解满足[]2,1），所以22≤a . 13.1【解析】：如图所示，作抛物线24y x =的准线1x =-，延长PE 交准线于点N ，由抛物线的定义可得11PM PE PM PN PM PF +=+-=+-1F d ≥-（F d 表示焦点F 到直线1l 的距离）()22406121143-+=-=-=+-.14.223π+【解析】：由三视图知，该几何体由两个共底面的半圆锥构成（如图所示），两个半圆锥侧面积的和为2π，四边形ABCD 由两个等边三角形构成，其面积为324234⨯⨯=，故该几何体的表面积为223π+.15.14【解析】：本题考查归纳推理问题.根据各式的规律，显然16A =.令1n =，则5511S ==，代入得511511621212S B B =+++=⇒=-，所以1116124A B ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭. 16.（1）843x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】：（1）当1a =时，2342x x -+-<.①若4x ≥，则3102,4x x -<<，∴舍去；②若34x <<，则22x -<，34x ∴<<；③若3x ≤，则81032,33x x -<∴<≤.综上，不等式的解集为843x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（2）设()234f x x x =-+-，则()()()()()3104,234,11033,x x f x x x f x x x -≥⎧⎪=-<<∴≥⎨⎪-≤⎩，若不等式2342x x a -+-<的解集不是空集，则121,2a a >∴>，即a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 17.（1）1（2）①②③【解析】：（1）依题意可知，当x Q ∈时，()()()11ff x f ==；当x CQ ∈R时，()()()01f f x f ==.因此()()1f f x =.（2）对于①，当x Q ∈时，x Q -∈，此时()()1f x f x -==；当x CQ ∈R时，x C Q -∈R ，此时()()0f x f x -==，因此对任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，①正确.对于②，任取一个不为零的有理数T ，当x Q ∈时，x T Q +∈,()()1f x T f x +==；当x C Q ∈R 时，()(),0x T C Q f x T f x +∈+==R ，因此对任意的x ∈R ，都有()()fx T f x +=，②正确.对于③，取点()330,1,,0,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知点,,A B C 均在函数()f x 的图象上，且ABC ∆是等边三角形，③正确.综上所述，所有真命题的序号是①②③.三、解答题18.（1）()()()cos sin cos sin 2sin cos f x m n x x x x x x =⋅=+--22cos sin sin 2x x x =--cos 2sin 2x x =-32sin 22sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期T π=. （3分）又由()33222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()f x 的单调递减区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （6分）（2）由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得32si n 04A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()34A k k Z ππ+=∈，因为0A π<<，所以4A π=，将函数()y f x =的图象向右平移8π个单位，得到32s i n 22s i n 22c o s 2842y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2cos y g x x ==的图象，因为()22g B =，所以22cos 2B =，即1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=，由正弦定理sin sin a b A B =，得2sinsin 264sin 3sin 3b Aa Bππ===. （12分）19.（1）因为35,a a 是方程214450x x -+=的两根，且数列{}n a 的公差0d >，所以355,9a a ==，公差53253a a d -==-.所以()5521n a a n d n =+-=-. （2分） 又当1n =时，有11112b b S -==，所以113b =.当2n ≥时，有()1112n n n n n b S S b b --=-=-，所以()1123n n b n b -=≥. 所以数列{}n b 是首项为13，公比为13的等比数列，所以1111333n n nb -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. （4分）（2）由（1）知112121,33n n n n n n n n c a b c ++-+=⋅==， 所以()1114121210333n n n n n n n n c c +++-+--=-=≤， 所以1n n c c +≤. （8分）（3）因为213n n n nn c a b -=⋅=， 则123135333n T =+++ 213n n -+，①23411353333n T =+++ 1232133n n n n +--++，② 由①-②，得2321223333n T =+++ 122133n n n +-+-231131112123333n n n +-⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭+ ，整理，得113n n n T +=-. （12分） 20.（1）如图，连接.E OA O O E 、、分别为1CB BC 、的中点，EO ∴是1BB C ∆的中位线，1//EO BB ∴且112EO BB =.又111//,DA BB AA BB =,故11,2DA BB EO DA ==∴//EO 且DA EO =，∴四边形AOED 是平行四边形，即//DE OA ,又,,//DE ABC OA ABC DE ABC ⊄⊂∴平面平面平面. （4分） （2）如图，连接CA .由题知1DE CBB ⊥平面,且由（1）知//DE OA ， 1,AO CBB AO BC ∴⊥∴⊥平面, 2AC AB OA ∴==.BC 是底面圆O 的直径，CA AB ∴⊥.又1AA 是圆柱的母线，1AA ABC ∴⊥平面，11,AA CA AA AB A ∴⊥= 又,11CA AA B B ∴⊥平面,即CA 为四棱锥11C ABB A -的高. （7分）设圆柱高为h ,底面半径为r ，则()()112212=,2233C ABB A V r h V hr r hr π-=⋅=圆柱，1122223:3C ABB A hrV V r h ππ-∴==圆柱. （9分） （3）如图，作过C 的母线1CC ,连接11B C ,则11B C 是上底面圆1O 的直径，连接11AO ,则11//AO AO ,又111111,AO CBBC AO CBBC ⊥∴⊥平面平面,连接1CO ,则11ACO ∠为直线1CA 与平面1BBC 所成的角. （11分） ()()22221111226,A C AC AA rr r A O r =+=+== ，∴在11Rt AO C ∆中，111116sin 6AO ACO AC ∠==. ∴直线1CA 与平面1BBC 所成角的正弦值为66. （13分） 21.（1）依题意可设椭圆的方程为()222210x y a b b a+=>>，离心率22,22c e a ==， 又抛物线214y x =的焦点为()0,1， 所以1,2,1c a b ===，∴椭圆C 的方程是2212y x +=. （5分） （2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩ 即两圆相切于点()1,0.因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0. （7分） 事实上，点()1,0T 就是所求的点.证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点()1,0T .当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩（10分）又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-， ()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+()()()()()21212222121222222221111331111139122119311123290,x x k x x k x x k x x k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭=TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. （14分） 22.（1）()()()()211220x x f x x x x x+-'=-+=->， （1分） 由()0,0f x x '⎧>⎨>⎩得01x <<；由()0,0f x x '⎧<⎨>⎩得1x >.()f x ∴在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. （3分） ∴函数()f x 的最大值为()11f =-. （4分）（2）()()2,1a ag x x g x x x'=+∴=- .①由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又 函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点，∴()110g a '=-=，解得1a =. （7分）经验证，当1a =时，函数()g x 在1x =时取到极小值，符合题意. （8分）②()()2112,11,392ln 3f f f e e ⎛⎫=--=-=-+ ⎪⎝⎭，易知2192ln 321e -+<--<-，即()()131f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭. ()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ⎡⎤∴∀∈==-+==-⎢⎥⎣⎦. （9分）由①知()()211,1g x x g x x x'=+∴=-.当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<；当(]1,3x ∈时，()0g x '>.故()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，在(]1,3上为增函数.()()11110,12,3333g e g g e e ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭ ，而()()11012,133e g g g e e ⎛⎫<+<∴<< ⎪⎝⎭.()()()()222min max 110,3,12,33x g x g g x g e ⎡⎤∴∀∈====⎢⎥⎣⎦. （10分）1 当10k ->，即1k >时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12max 1k f x g x ⇔-≥-⎡⎤⎣⎦()()12max 1k f x g x ⇔≥-+⎡⎤⎣⎦.()()()()1211123f x g x f g -≤-=--=- ，312,1,1k k k ∴≥-+=->∴> 又. （12分）2 当10k -<，即1k <时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12min 1k f x g x ⇔-≤-⎡⎤⎣⎦()()12min 1k f x g x ⇔≤-+⎡⎤⎣⎦.()()()()1210373392ln 32ln 333f xg x f g -≥-=-+-=-+ ， 34342ln 3,1,2ln 333k k k ∴≤-+<∴≤-+ 又. 综上，所求实数k 的取值范围为()34,2ln 31,3⎛⎤-∞-++∞ ⎥⎝⎦. （14分）。
2013年高考数学文科押题试卷(附答案)
2013年高考数学文科押题试卷（附答案）数学（文）试题本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。
考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={}，下图中阴影部分所表示的集合为A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1}C．{0，1}2．复数，在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第二象限D．第四象限3．在用二分法求方程的一个近似解时，已将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为A．（1，4，2）B．（1，1，4）C．（1，）D．4．已知命题使得命题，下列命题为真的是A．pqB．（C．D．5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．C．D．6．设函数是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数7．如图是计算函数的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是A．y=ln（一x），y=0，y=2xB．y=0，y=2x，y=In（一x）C．y=ln（一x），y=2z，y=0D．y=0，y=ln（一x），y=2x8．如果数列是首项为1，公比为的等比数列，则等于A．B．—32C．D．329．在同一坐标系中画出函数的图象，可能正确的是10．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）•（b一c）=0，则|c|的最大值是A．1B．C．2D．11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的表面积为A．16B．24C．32D．4812．过双曲线的右顶点A作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2013江西省高三高考压轴卷数学文试题
2013江西省高考压轴卷数学（文）试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：棱台的体积公式 121()3V Sh S S =+ 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示梭台的高 球的表面积公式24R S π=球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径 第I 卷一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的．(1)已知集合{1,2},{,},aA B a b ==若1{}2AB =,则A B 为A ．1{,1,}2bB ．1{1,}2-C ．1{1,}2D ．1{1,,1}2-（ ）(2) 已知2ii(,)ia b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则a b +=(A)1- (B)1 (C)2 (D)3 (3)在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)3-(5) 已知a<0,b<0,a+b=-2若ba c 11+=，则c 的最值为 ( ) A ．最小值-1 B ．最小值-2C ．最大值-2D ．最大值-1（6）样本中共有5个个体，其值分别为,0,1,2,3a .若该样本的平均值为1，则样本方差为（A 65(D)2(7)已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25x + y 2=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的面积是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．4(8)设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的(A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(9)设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分别为(A)3,11- (B)3,11-- (C)11,3- (D)11,3 (10)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a b=mq-np ，下面说法错误的是（ ）A.若a 与b 共线，则a b=0B.ab=b aC.对任意的R λ∈，有a)b=(λλ（a b)D. 2222(ab)+(ab)=|a||b| 第II 卷二、 填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分． (11) 函数()sin sin()3f x x x π=-的最小正周期为 ．(12) 右程序框图中，当n ∈N *（n>1）时，函数()n f x 表示函 数1n-f x ()的导函数.若输入函数1sin cos =+()f x x x ，则输出的 函数()n f x 可化为___ __。
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1、已知函数2()x f x x e -=。
（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。
2、设函数f(x)=x^3-kx^2+x (1).当k=1时，求f(x)得单调区间（2）当K ＜0时，求函数f(x)在［k,-k ］上的最小值m 和最大值n
3、设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2
x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩ (Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(
1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313
x x x ++>.
4、已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .
(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．
5、已知函数f(x)＝
22,0,
ln,0,
x x a x
x x
⎧++<
⎨
>
⎩
其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该
函数图象上的两点，且x1＜x2.
(1)指出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；
(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
6、已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．
(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；
(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小．
7、已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.
(1)当2a =-时，讨论f (x )的单调性；
(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．
8．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝
2
11x x -+e x . (1)求f (x )的单调区间；
(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.
9．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝1,0,11, 1.1x x a a x a x a
⎧≤≤⎪⎪⎨⎪(-)<≤⎪-⎩a 为常数且a ∈(0,1)．
(1)当12a =时，求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为f (x )的二阶周期点．证明函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；
10．(2013福建，文22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x －1＋e
x a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；
(2)求函数f (x )的极值；
(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．。