上海历年高考数学压轴题题选

历年高考数学压轴题题选

（2012文）

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a

（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）

（3）设100m =，常数1,12a ??

∈ ???

，若(1)22

(1)

n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，

求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-

（2012理）

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{}

(,),,Y a a s t s X t X ==∈∈，若对任意1a Y ∈，存在2a Y ∈，使得120a a ?=，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P （1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =

（3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式

23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

（2011文）

23、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*

n N ∈），将集合

**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,

,,

n c c c c 。

⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； ⑵ 12340,,,

,c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？说明理由；

⑶ 求数列{}n c 的前4n 项和4n S （*

n N ∈）。

（2011理）

22、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合

**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,

,,

n c c c c 。

⑴ 求1234,,,c c c c ；

⑵ 求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,

n a a a ；

⑶ 求数列{}n c 的通项公式。

23、（18分）已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l 。

⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； ⑵ 设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积；

⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，

,,,A B C D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择

了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 ① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。 ② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 ③ (0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

（2011春）

21. (本题满分14分)本题公园小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

已知抛物线y x F 4:2

=

（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在的直线的斜率分别为CA BC AB k k k ,,，

若A 的坐标在原点，求CA BC AB k k k +-的值；

（2）请你给出一个以)1,2(P 为顶点、其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的 直线斜率之间的关系式，并说明理由。

说明：第（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。

（2010文）

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ．

（1）若2

1x -比3接近0，求x 的取值围；

（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22

a b ab +比33a b +接近2；

（3）已知函数()f x 的定义域{}

,,D x x k k Z x R π≠∈∈．任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接

近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

（2010理）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。

若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m ．

（1）若2

1x -比1远离0，求x 的取值围；

（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22

a b ab +远离2；

（3）已知函数()f x 的定义域?

?????∈∈???+≠

=R x Z k k x x D ,,42π

π．任取x D ∈，()f x 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

（2010文）

23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知椭圆Γ的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点．

（1）若点M 满足1

()2

AM AQ AB =

+，求点M 的坐标；

（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2

122b k k a

?=-，证明：E

为CD 的中点；

（3）设点P 在椭圆Γ且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ 的两个交点1P 、2P 满

足12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1）

，若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标．

（2010理）

23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

已知椭圆Γ的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，点P 的坐标为（b a ,-）．

（1）若直角坐标平面上的点M 、)0,(),,0(a B b A -满足1

()2

PM PA PB =

+，求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2

122b k k a

?=-，

证明：E 为CD 的中点；

（3）对于椭圆Γ上的点)0()sin ,cos (πθθθ<

12PP PP PQ +=，写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值围．

（2010春）

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

已知首项为1x 的数列}{n x 满足1

1+=

+n n

n x ax x （a 为常数）。 （1）若对于任意的11-≠x ，有n n x x =+2对于任意的*

N n ∈都成立，求a 的值；

（2）当1=a 时，若01>x ，数列}{n x 是递增数列还是递减数列？请说明理由；

（3）当a 确定后，数列}{n x 由其首项1x 确定，当2=a 时，通过对数列}{n x 的探究，写出“}{n x 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。

说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。

（2009理）

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。 已知函数()y f x =的反函数。定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1

()y f x a -=+互为

反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与1

()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a

积性质”。

（1） 判断函数2

()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3） 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”。求()y f x =的表达式。

（2009文）

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列

（1）若 31n a n =+，是否存在*

,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；

（2）若n

n b aq =（a 、q 为常数，且aq ≠0）对任意m 存在k ，有1m m k b b b +?=，试求a 、q 满足的充要条件； （3）若21,3n

n n a n b =+=试确定所有的p,使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和式数列中{}n a 的一项，请证明.

（2009理）

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。 （1） 若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由； （2） 找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈,

1

n n n

a b a +=,并说明理由； （3） 若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一

项，请证明。

（2008文）

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++

．

（1）若1213264a a a a +++

+=，求r 的值；

（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；

（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．

（2008理）

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。

已知1a 为首项的数列{}n a 满足: 1,3,

,3,n n n n n a c a a a a d

++

=?≥??.

(1)当11,1,3a c d ===时，求数列{}n a 的通项公式；

（2）当101,1,3a c d <<==时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ； （3）当11

0,a m

<<

（m 是正整数），1c m =，正整数3d m ≥时，求证：数列21a m -，

321m a m +-

，621m a m +-，921

m a m

+-成等比数列当且仅当3d m =。

（2007文）

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1

+-=i m i a a （12i m =，，，）

，我们称其为“对称数列”． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”

． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项； （2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ； （3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．

（2007理）

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1

+-=i n i a a （12i n =，，，）

，我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01m

m m m C C C ，，，就是“对称数列”． （1）{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 每一项； （2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；

（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，

，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．